專(zhuān)題12 將軍飲馬模型（解析版）

專(zhuān)題12將軍飲馬模型將軍飲馬模型在考試中，無(wú)論是解答題，還是選擇、填空題，都是學(xué)生感覺(jué)有困難的地方，也恰是學(xué)生能力區(qū)分度最重要的地方，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類(lèi)考試中都以中高檔題為主。在解決幾何最值問(wèn)題主要依據(jù)是：①兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短；②垂線(xiàn)段最短，涉及的基本方法還有：利用軸對(duì)稱(chēng)變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差小于第三邊”等。希望通過(guò)本專(zhuān)題的講解讓大家對(duì)這類(lèi)問(wèn)題有比較清晰的認(rèn)識(shí)。模型1、將軍飲馬--兩定一動(dòng)求線(xiàn)段和的最小值【模型探究】A，B為定點(diǎn)，m為定直線(xiàn)，P為直線(xiàn)m上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求AP+BP的最小。圖1圖2（1）如圖1，點(diǎn)A、B在直線(xiàn)m兩側(cè)：輔助線(xiàn)：連接AB交直線(xiàn)m于點(diǎn)P，則AP+BP的最小值為AB.（2）如圖2，點(diǎn)A、B在直線(xiàn)同側(cè)：輔助線(xiàn)：過(guò)點(diǎn)A作關(guān)于定直線(xiàn)m的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A’，連接A’B交直線(xiàn)m于點(diǎn)P，則AP+BP的最小值為A’B.例1．（2022·廣東·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)，，在x軸上的點(diǎn)C，使得最小，則點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為_(kāi)______．【答案】【分析】作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'，連接A'B，與x軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)C，連接AC，則AC＋BC的最小值等于A'B的長(zhǎng)，利用待定系數(shù)法求得直線(xiàn)A'B的解析式，即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)．【詳解】解：如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'，連接A'B，與x軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)C，連接AC，則AC＋BC的最小值等于A'B的長(zhǎng)，∵A（1，1），∴A'（1，?1），設(shè)直線(xiàn)A'B的解析式為y＝kx＋b（k≠0），把A'（1，?1），B（3，5）代入得，解得，∴y＝3x?4，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝，∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了最短路線(xiàn)問(wèn)題，凡是涉及最短距離的問(wèn)題，一般要考慮線(xiàn)段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對(duì)稱(chēng)變換來(lái)解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．例2．（2022·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，是等邊三角形，AD是BC邊上的高，E是AC的中點(diǎn)，P是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，的度數(shù)為_(kāi)_____．【答案】30°##30度【分析】連接BP，由等邊三角形的性質(zhì)可知AD為BC的垂直平分線(xiàn)，即得出BP=CP，由此可知要使△PCE的周長(zhǎng)最小，即P點(diǎn)為BE與AD的交點(diǎn)時(shí)．最后根據(jù)等邊三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)，即得出CP平分，從而可求出．【詳解】如圖連接BP．∵為等邊三角形，∴AD為BC的垂直平分線(xiàn)，∴BP=CP，∵△PCE的周長(zhǎng)=PE+CP+CE=PE+BP+CE，∴當(dāng)PE+BP最小時(shí)，△PCE的周長(zhǎng)最小，∵PE+BP最小時(shí)為BE的長(zhǎng)，即此時(shí)BE與AD的交點(diǎn)為P，如圖．又∵點(diǎn)E為中點(diǎn)，AD為高，為等邊三角形，∴P點(diǎn)即為等邊角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，∴CP平分，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定和性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短等知識(shí)．理解要使△PCE的周長(zhǎng)最小，即P點(diǎn)為BE與AD的交點(diǎn)是解題關(guān)鍵．例3．（2022·浙江·臨海市八年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）如圖，正△ABC的邊長(zhǎng)為2，過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)l⊥AB，且△ABC與△A′BC′關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，D為線(xiàn)段BC′上一動(dòng)點(diǎn)，則AD+CD的最小值是_____．【答案】4【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得到∠ABC=∠B=60°，B=AB=BC=2，證明△CBD≌△BD，得到CD=D，推出當(dāng)A、D、三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，AD+CD最小，此時(shí)AD+CD=B+AB=4．【詳解】解：如圖，連接D，∵正△ABC的邊長(zhǎng)為2，△ABC與△A′BC′關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，∴∠ABC=∠B=60°，B=AB=BC=2，∴∠CB=60°，∴∠CB=∠B，∵BD=BD，∴△CBD≌△BD，∴CD=D，∴AD+CD=D+CD，∴當(dāng)A、D、三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，AD+CD最小，此時(shí)AD+CD=B+AB=4，故答案為：4．．【點(diǎn)睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，最短路徑問(wèn)題，正確掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．例4．（2023.浙江八年級(jí)期中）如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4，AD是BC邊上的中線(xiàn)，F(xiàn)是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)，若AE＝2，當(dāng)EF＋CF取得最小值時(shí)，則∠ECF的度數(shù)為多少？【答案】∠ECF＝30o【解析】過(guò)E作EM∥BC，交AD于N，如圖所示：∵AC＝4，AE＝2，∴EC＝2＝AE，∴AM＝BM＝2，∴AM＝AE，∵AD是BC邊上的中線(xiàn)，△ABC是等邊三角形，∴AD⊥BC，∵EM∥BC，∴AD⊥EM，∵AM＝AE，∴E和M關(guān)于AD對(duì)稱(chēng)，連接CM交AD于F，連接EF，則此時(shí)EF＋CF的值最小，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60o，AC＝BC，∵AM＝BM，∴∠ECF＝∠ACB＝30o.例5．（2023·江陰市八年級(jí)月考）某班級(jí)在探究“將軍飲馬問(wèn)題”時(shí)抽象出數(shù)學(xué)模型：直線(xiàn)同旁有兩個(gè)定點(diǎn)、，在直線(xiàn)上存在點(diǎn)，使得的值最?。夥ǎ喝鐖D1，作點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，則與直線(xiàn)的交點(diǎn)即為，且的最小值為．請(qǐng)利用上述模型解決下列問(wèn)題：（1）幾何應(yīng)用：如圖2，中，，，是的中點(diǎn)，是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為；（2）幾何拓展：如圖3，中，，，若在、上各取一點(diǎn)、使的值最小，畫(huà)出圖形，求最小值并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2），圖和理由見(jiàn)解析【分析】（1）作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接A′E交BC于P，此時(shí)PA+PE的值最?。B接BA′，先根據(jù)勾股定理求出BA′的長(zhǎng)，再判斷出∠A′BA=90°，根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論；（2）作點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′，作C′N(xiāo)⊥AC于N交AB于M，連接AC′，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答．【詳解】解：（1）如圖2所示，作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接A′E交BC于P，此時(shí)PA+PE的值最小．連接BA′．由勾股定理得，BA′=BA===2，∵是的中點(diǎn)，∴BE=BA=，∵，，∴∠A′BC=∠ABC=45°，∴∠A′BA=90°，∴PA+PE的最小值=A′E===．故答案為：；（2）如圖3，作點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′，作C′N(xiāo)⊥AC于N交AB于M，連接AC′，則C′A=CA=2，∠C′AB=∠CAB=30°，∴△C′AC為等邊三角形，∴∠AC′N(xiāo)=30°，∴AN=C′A=1，∴CM+MN的最小值為C′N(xiāo)==．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱(chēng)--最短路線(xiàn)問(wèn)題、勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、垂線(xiàn)段最短，解這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是將所給問(wèn)題抽象或轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，把兩條線(xiàn)段的和轉(zhuǎn)化為一條線(xiàn)段．模型2、將軍飲馬--兩動(dòng)一定求線(xiàn)段和的最小值【模型探究】已知定點(diǎn)A位于定直線(xiàn)m,n的內(nèi)側(cè),在直線(xiàn)m、n分別上求點(diǎn)P、Q點(diǎn)PA+PQ+QA周長(zhǎng)最短.輔助線(xiàn)：過(guò)點(diǎn)A作關(guān)于定直線(xiàn)m、n的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A’、A’’，連接A’A’’交直線(xiàn)m、n于點(diǎn)P、Q，則PA+PQ+QA的最小值為A’A’’.例1．如圖，在銳角△ABC中，∠ACB＝50°；邊AB上有一定點(diǎn)P，M、N分別是AC和BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PMN的周長(zhǎng)最小時(shí)，∠MPN的度數(shù)是（）A．50° B．60° C．70° D．80°【答案】D【解析】∵PD⊥AC，PG⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝90°，∴∠C+∠EPF＝180°，∵∠C＝50°，∠D+∠G+∠EPF＝180°，∴∠D+∠G＝50°，由對(duì)稱(chēng)可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM，∴∠GPN+∠DPM＝50°，∴∠MPN＝130°﹣50°＝80°，選D．例2．（2022·安徽·合肥市八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，∠AOB＝30°，P（5，0），在OB上找一點(diǎn)M，在OA上找一點(diǎn)N，使△PMN周長(zhǎng)最小，則此時(shí)△PMN的周長(zhǎng)為_(kāi)__．【答案】5【分析】作點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C，作P點(diǎn)關(guān)于AO的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D，連接CD交OA于N，交OB于M，連接MP，NP，OC，OD，當(dāng)C、M、N、D點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，△PMN的周長(zhǎng)最小，由題意可知△OCD是等邊三角形，則CD＝5即為所求．【詳解】作點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C，作P點(diǎn)關(guān)于AO的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D，連接CD交OA于N，交OB于M，連接MP，NP，OC，OD，∴CM＝MP，NP＝DN，∴PM+PN+MN＝CM+MN+DN≥CD，∴當(dāng)C、M、N、D點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，△PMN的周長(zhǎng)最小，∵∠BOA＝30°，OP＝OC＝OB，∴∠COD＝60°，∴△OCD是等邊三角形，∴CD＝OP，∵P（5，0），∴OP＝5，∴CD＝5，∴△PMN的周長(zhǎng)最小值為5，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的對(duì)稱(chēng)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、兩點(diǎn)間線(xiàn)段最短等知識(shí)，作點(diǎn)P分別關(guān)于OA、OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是關(guān)鍵，把求三角形周長(zhǎng)的最小值轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間線(xiàn)段的長(zhǎng)度．例3.（2023.山東八年級(jí)期末）如圖所示，在四邊形ABCD中，∠A＝90o，∠C＝90o，∠D＝60o，AD＝3，AB＝，若點(diǎn)M、N分別為邊CD，AD上的動(dòng)點(diǎn)，則△BMN的周長(zhǎng)最小值為（） A. B. C.6 D.3【答案】C【解析】作點(diǎn)B關(guān)于CD、AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為點(diǎn)B'和點(diǎn)B''，連接B'B''交DC和AD于點(diǎn)M和點(diǎn)N，連接MB、NB；再DC和AD上分別取一動(dòng)點(diǎn)M’和N’（不同于點(diǎn)M和N），連接M'B，M'B'，N’B和N'B''，如圖1所示：∵B'B''＜M'B'＋M'N'＋N'B"，B'M'＝BM'，B"N'＝BN'，∴BM'＋M'N'＋BN'＞B'B"，又∵B'B"＝B'M＋MN＋NB"，MB＝MB'，NB＝NB''，∴NB＋NM＋BM＜BM'＋M’N'＋BN'，＝NB＋NM＋BM時(shí)周長(zhǎng)最?。贿B接DB，過(guò)點(diǎn)B'作B'H⊥DB''于B’’D的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H，如圖示2所示：在Rt△ABD中，AD＝3，AB＝，，∴∠2＝30o，∴∠5＝30o，DB＝DB''，又∵∠ADC＝∠1＋∠2＝60o，∴∠1＝30o，∴∠7＝30o，DB'＝DB，∴∠B'DB''＝∠1＋∠2＋∠5＋∠7＝120o，DB'＝DB''＝DB＝，又∵∠B'DB"＋∠6＝180o，∴∠6＝60o，∴HD＝，HB'＝3，在Rt△B'HB''中，由勾股定理得：B'B"＝，∴＝NB＋NM＋BM＝6，故選C.模型3、將軍飲馬--兩動(dòng)兩定求線(xiàn)段和的最小值【模型探究】A，B為定點(diǎn)，在定直線(xiàn)m、n上分別找兩點(diǎn)P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）如圖1，兩個(gè)點(diǎn)都在直線(xiàn)外側(cè)：輔助線(xiàn)：連接AB交直線(xiàn)m、n于點(diǎn)P、Q，則PA+PQ+QB的最小值為AB.（2）如圖2，一個(gè)點(diǎn)在內(nèi)側(cè)，一個(gè)點(diǎn)在外側(cè)：輔助線(xiàn)：過(guò)點(diǎn)B作關(guān)于定直線(xiàn)n的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B’，連接AB’交直線(xiàn)m、n于點(diǎn)P、Q，則PA+PQ+QB的最小值為AB’.圖1圖2（3）如圖3，兩個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)側(cè)：輔助線(xiàn)：過(guò)點(diǎn)A、B作關(guān)于定直線(xiàn)m、n的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A’、B’，連接A’B’交直線(xiàn)m、n于點(diǎn)P、Q，則PA+PQ+QA的最小值為A’B’.（4）如圖4，臺(tái)球兩次碰壁模型：輔助線(xiàn)：同圖3輔助線(xiàn)作法。圖3圖4例1．（2023.浙江八年級(jí)期中）如圖所示，∠AOB＝50°，∠BOC＝30°，OM＝12，ON＝4．點(diǎn)P、Q分別是OA、OB上動(dòng)點(diǎn)，則MQ+PQ+NP的最小值是．【解答】解：如圖，作點(diǎn)N關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N′，則NP＝N′P，作點(diǎn)M關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M′，則MQ＝M′Q，∴MQ+PQ+NP＝M′Q+PQ+N′P，當(dāng)N′M′在同一條直線(xiàn)上時(shí)取最小值，連接ON′，OM′，∵∠AOB＝50°，∠BOC＝30°則∠N′OA＝∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝20°，∠BOM′＝∠BOA＝50°，∴∠N′OM′＝2×20°+30°+50°＝120°，∵ON′＝ON＝4，OM′＝OM＝12，∴∠AON＝∠AOB﹣∠BOC＝50°﹣30°＝20°，先作射線(xiàn)ON'與射線(xiàn)ON關(guān)于OA對(duì)稱(chēng)，由對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可知∠AON'＝20°，PN＝PN'，同理作射線(xiàn)OM'與射線(xiàn)OM關(guān)于OB對(duì)稱(chēng)，同理∠BOM'＝50°，QM＝QM′，當(dāng)N'、P、Q、M'四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，MQ+PQ+NP最小，則∠N′OM′＝∠N′OP+∠AOB+∠BPM′＝20°+50°+50°＝120°，作N'垂直O(jiān)M'的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)E，∴∠EON'＝60°，∴ON'＝ON＝4，在Rt△N'OE中，∠EN'O＝30°，根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半可知OE＝2，則EN'＝2，OM＝OM'＝12，∴EM′＝OE+OM′＝12+2＝14，則N′M＝＝＝4．故答案為：4．例2．（2022·湖北武漢市·九年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)A在y軸上，G、B兩點(diǎn)在x軸上，且G（﹣3，0），B（﹣2，0），HC與GB關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，∠GAH＝60°，P、Q分別是AG、AH上的動(dòng)點(diǎn)，則BP＋PQ＋CQ的最小值是（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】分別作B、C關(guān)于AG和AH對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)、，連接BP、CQ、、，PQ，得出BP＋PQ＋CQ的最小值為，再依據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和判定和軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)分別求得和即可求得．【詳解】解：分別作B、C關(guān)于AG和AH對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)、，連接BP、CQ、、，PQ∵HC與GB關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，∴GO=HO,BO=CO,∵x軸⊥y軸，∴AG=AH，、關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，∴當(dāng)、，P、Q在同一條直線(xiàn)上時(shí)，最小，此時(shí)軸，∵∠GAH＝60°，∴△AGH為等邊三角形，∴∠AGO=60°，∵軸，B、關(guān)于AG對(duì)稱(chēng)，∴,，∴△BPG為等邊三角形，過(guò)作PM⊥GO交x軸與M，∵G（﹣3，0），B（﹣2，0），∴BG=1，BO=2，∴，∴，同理可得,即．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判斷，坐標(biāo)與圖形變化．能借助軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)正確變形將折線(xiàn)的長(zhǎng)化成一條線(xiàn)段的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．例3．（2022·湖北青山·八年級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC為邊向左作等邊△BCE，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，連接CD，點(diǎn)P、Q分別為CE、CD上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求證：△ADC為等邊三角形；（2）求PD+PQ+QE的最小值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）4．【分析】（1）先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)等邊三角形的判定即可得證；（2）連接，先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)等腰三角形的三線(xiàn)合一可得垂直平分，然后根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)可得，同樣的方法可得，從而可得，最后根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短即可得出答案．【詳解】證明：（1）在中，，，點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)，，是等邊三角形；（2）如圖，連接，和都是等邊三角形，，，，垂直平分，，同理可得：垂直平分，，，由兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短可知，當(dāng)點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，取得最小值，故的最小值為4．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．模型4、將軍飲馬--線(xiàn)段差的最大值【模型探究】A，B為定點(diǎn)，在定直線(xiàn)m上分別找兩點(diǎn)P，使PA與PB的差最大。（1）如圖1，點(diǎn)A、B在直線(xiàn)m同側(cè)：輔助線(xiàn)：延長(zhǎng)AB交直線(xiàn)m于點(diǎn)P，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，P’A—P’B＜AB，而PA—PB=AB此時(shí)最大，因此點(diǎn)P為所求的點(diǎn)。（2）如圖2，點(diǎn)A、B在直線(xiàn)m異側(cè)：輔助線(xiàn)：過(guò)B作關(guān)于直線(xiàn)m的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B’,連接AB’交點(diǎn)直線(xiàn)m于P,此時(shí)PB=PB’，PA-PB最大值為AB’圖1圖2例1．（2022·福建福州·八年級(jí)期中）如圖，在等邊中，E是邊的中點(diǎn)，P是的中線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最大值是________．【答案】3【分析】連接PC，則BP=CP，=CP-PE，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，CP-PE=CE，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：連接PC，∵在等邊中，，P是的中線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，∴AD是BC的中垂線(xiàn)，∴BP=CP，∴=CP-PE，∵在中，CP-PE＜CE，∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，CP-PE=CE，∵E是邊的中點(diǎn)，∴的最大值=6÷2=3．故答案是：3．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形三邊長(zhǎng)關(guān)系，連接CP，得到=CP-PE，是解題的關(guān)鍵．例2．（2023·重慶·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，四邊形中，，，點(diǎn)為直線(xiàn)左側(cè)平面上一點(diǎn)，的面積為則的最大值為_(kāi)__．【答案】10【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥EC于H.過(guò)點(diǎn)F作直線(xiàn)l//EC，作點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C'，連接AC'交直線(xiàn)l于F'，此時(shí)|F'A?F'C'|的值最大，即|FA?FC|的值最大，最大值為線(xiàn)段AC'的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥EC于H．∵△CFE的面積為8，即EC?FH=8，CE=8，∴FH=2，過(guò)點(diǎn)F作直線(xiàn)l//EC，作點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C'，連接AC'交直線(xiàn)l于F'，此時(shí)|F'A?F'C'|的值最大，即|FA?FC|的值最大，最大值為線(xiàn)段AC'的長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)C'作C'K⊥AB于K．∵∠C'KB=∠KEC=∠ECC'=90°，∴四邊形CEKC'是矩形，∴CC'=EK=4，EC=KC'=8，∵AE=10，∴AK=AE?EK=10?4=6，∴AC'=，∴|FA?FC|的最大值為10．故答案為10．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱(chēng)?最短問(wèn)題，三角形的面積，直角梯形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱(chēng)解決最值問(wèn)題，屬于中考填空題中的壓軸題．例3．（2022·重慶大渡口·七年級(jí)期末）如圖，，∠ACB＝90°，BC＝AC＝4，平面內(nèi)直線(xiàn)BC的左側(cè)有一點(diǎn)P，連接BP，CP，，將沿BC翻折至同一平面得到，連接．若取得最大值時(shí)，則______．【答案】12【分析】如圖1中，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥BC于點(diǎn)H．求出PH＝2，推出點(diǎn)P在BC的中垂線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，由翻折變換的性質(zhì)可知，BP＝BP′，推出|AP′﹣PB|＝|AP′﹣BP′|≥AB＝4，推出當(dāng)A，B，P′共線(xiàn)時(shí)，|AP′﹣PB|的值最小，如圖2中，設(shè)BC的中垂線(xiàn)交AC于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)N．則NM＝AM＝MC＝2，PN＝PP′＝4，求出PM，即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖1中，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥BC于點(diǎn)H．∵AB＝CB＝4，∠ACB＝90°，∴ABBC＝4，∵S△BCP＝4，∴4×PH＝4，∴PH＝2，∴點(diǎn)P在BC的中垂線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，由翻折變換的性質(zhì)可知，BP＝BP′，∴|AP′﹣PB|＝|AP′﹣BP′|≥AB＝4，∴當(dāng)A，B，P′共線(xiàn)時(shí)，|AP′﹣PB|的值最小，如圖2中，設(shè)BC的中垂線(xiàn)交AC于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)N．則NM＝AM＝MC＝2，PN＝PP′＝4，∴PM＝4+2＝6，∴S△ACP′AC×PM4×6＝12，故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡，屬于中考填空題中的壓軸題．課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練1.（2022·河南八年級(jí)期末）如圖，在中，，，，，平分交于點(diǎn)，，分別是，邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_________．【答案】【分析】在上取點(diǎn)，使，連接，過(guò)點(diǎn)作，垂足為．利用角的對(duì)稱(chēng)性，可知，則EC＋EF的最小值即為點(diǎn)C到AB的垂線(xiàn)段CH的長(zhǎng)度，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：如圖，在上取點(diǎn)，使，連接，過(guò)點(diǎn)作，垂足為．平分，根據(jù)對(duì)稱(chēng)可知．，．，當(dāng)點(diǎn)、、共線(xiàn)，且點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，的值最小，最小值為CH=，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)-線(xiàn)段和最小值問(wèn)題，添加輔助線(xiàn)，把兩條線(xiàn)段的和的最小值化為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離問(wèn)題，是解題的關(guān)鍵．2．（2022·四川成都·七年級(jí)期末）如圖，分別以線(xiàn)段AB的兩個(gè)端點(diǎn)為圓心，以大于AB長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)M和點(diǎn)N，在直線(xiàn)MN上取一點(diǎn)C，連接CA，CB，點(diǎn)D是線(xiàn)段AC的延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且CD＝AC，點(diǎn)P是直線(xiàn)MN上一動(dòng)點(diǎn)，連接PD，PB，若BC＝4，則PD+PB的最小值為_(kāi)__．【答案】6【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)和垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)判斷即可；【詳解】解：由作法得MN垂直平分AB，∴CA＝CB＝4，PA＝PB，∵CD＝AC＝2，∴AD＝6，∵PA+PD≤AD（點(diǎn)A、P、D共線(xiàn)時(shí)取等號(hào)），∴PA+PD的最小值為6，∴PB+PD的最小值為6．故答案為6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)和軸對(duì)稱(chēng)最短距離問(wèn)題，準(zhǔn)確分析計(jì)算是解題的關(guān)鍵．3．（2022·安徽蕪湖市·八年級(jí)期末）如圖，在中．，若，，，將折疊，使得點(diǎn)C恰好落在AB邊上的點(diǎn)E處，折痕為AD，點(diǎn)P為AD上一動(dòng)點(diǎn)，則的周長(zhǎng)最小值為_(kāi)__．【答案】20．【分析】根據(jù)由沿AD對(duì)稱(chēng),得到，進(jìn)而表示出，最后求周長(zhǎng)即可．【詳解】由沿AD對(duì)稱(chēng)得到，則E與C關(guān)于直線(xiàn)AD對(duì)稱(chēng)，，∴，如圖,連接，由題意得，∴，當(dāng)P在BC邊上，即D點(diǎn)時(shí)取得最小值12，∴周長(zhǎng)為，最小值為．故答案為:20．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形折疊問(wèn)題，正確讀懂題意是解本題的關(guān)鍵．4．（云南省紅河哈尼族彝族自治州建水縣2021-2022學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，在等邊中，BC邊上的高，E是高AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是邊AB的中點(diǎn)，在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，存在最小值，則這個(gè)最小值是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】先連接CE，再根據(jù)EB=EC，將FE+EB轉(zhuǎn)化為FE+CE，最后根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，求得CF的長(zhǎng)，即為FE+EB的最小值．【詳解】解：如圖，連接CE，∵等邊△ABC中，AD是BC邊上的中線(xiàn)，∴AD是BC邊上的高線(xiàn)，即AD垂直平分BC，∴EB=EC，∴BE+EF=CE+EF，∴當(dāng)C、F、E三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，EF+EC=EF+BE=CF，∵等邊△ABC中，F(xiàn)是AB邊的中點(diǎn)，∴AD=CF=6，即EF+BE的最小值為6．故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握和運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)以及軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．解題時(shí)注意，最小值問(wèn)題一般需要考慮兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短或垂線(xiàn)段最短等結(jié)論．5．（2022·山東山東·八年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，線(xiàn)段所在直線(xiàn)的解析式為，是的中點(diǎn)，是上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，與的交點(diǎn)，即符和條件的點(diǎn)，再求出，的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理求出的值，即為的最小值．【詳解】作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交于，此時(shí)，的值最小，最小值為的長(zhǎng)，∵線(xiàn)段所在直線(xiàn)的解析式為，∴，，∴，，是的中點(diǎn)，∴，∵是點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，∴，，，∴四邊形是正方形，∴，∴的最小值是．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)求點(diǎn)的坐標(biāo)和性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)最短路徑問(wèn)題，勾股定理，掌握軸對(duì)稱(chēng)最短路徑的確定方法是解題的關(guān)鍵．6．（2022·河南安陽(yáng)市·八年級(jí)期末）如圖，在中，，，的面積為12，于點(diǎn)D，直線(xiàn)EF垂直平分BC交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，P是線(xiàn)段EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的周長(zhǎng)的最小值是（）A．6 B．7 C．10 D．12【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)可知為底邊上的高線(xiàn)，根據(jù)面積關(guān)系即可求得的長(zhǎng)，根據(jù)垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)可知點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)EF對(duì)稱(chēng)，所以當(dāng)與重合時(shí)，的值最小，根據(jù)和的長(zhǎng)度即可求得周長(zhǎng)的最小值．【詳解】如圖∵的面積為12，∴，，解得，，∵直線(xiàn)EF垂直平分BC交AB于點(diǎn)E，∴點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)EF對(duì)稱(chēng)，∴當(dāng)與重合時(shí)，的值最小，最小值等于的長(zhǎng)，∴周長(zhǎng)的最小值是，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)、軸對(duì)稱(chēng)最短路線(xiàn)問(wèn)題的應(yīng)用、三角形的面積等，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出點(diǎn)的位置．7.（2022?蕪湖期末）如圖，在銳角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面積為8，BD平分∠ABC．若M、N分別是BD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+MN的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)M′，過(guò)點(diǎn)M′作M′N(xiāo)′⊥BC于N′，則CE即為CM+MN的最小值，再根據(jù)三角形的面積公式求出CE的長(zhǎng)，即為CM+MN的最小值．【答案】解：過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)M′，過(guò)點(diǎn)M作MN′⊥BC于N′，∵BD平分∠ABC，M′E⊥AB于點(diǎn)E，M′N(xiāo)′⊥BC于N∴M′N(xiāo)′＝M′E，∴CE＝CM′+M′E∴當(dāng)點(diǎn)M與M′重合，點(diǎn)N與N′重合時(shí)，CM+MN的最小值．∵三角形ABC的面積為8，AB＝4，∴×4?CE＝8，∴CE＝4．即CM+MN的最小值為4．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱(chēng)﹣?zhàn)疃搪肪€(xiàn)問(wèn)題，根據(jù)題意作出輔助線(xiàn)，構(gòu)造出等腰直角三角形，利用銳角三角函數(shù)的定義求解是解答此題的關(guān)鍵．8．（2022·河南·安陽(yáng)市殷都區(qū)教科培中心八年級(jí)期末）如圖，在中，，邊的垂直平分線(xiàn)分別交，于點(diǎn)，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)，連接，，若，，周長(zhǎng)最小時(shí)，，之間的關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接AP，根據(jù)線(xiàn)段垂直垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)可知PA=PC，．由，即得出，由此可知當(dāng)A、P、D在同一直線(xiàn)上時(shí)，最小．再根據(jù)等腰三角形“三線(xiàn)合一”的性質(zhì)可知AD為的平分線(xiàn)，即．最后根據(jù)三角形外角性質(zhì)即得出，由此即可判斷．【詳解】如圖，連接AP，∵直線(xiàn)MN是線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn)，且P在線(xiàn)段MN上，∴PA=PC，．∵,∴．由圖可知CD為定值，當(dāng)A、P、D在同一直線(xiàn)上時(shí)，最小，即為的長(zhǎng)，∴此時(shí)最?。逥是邊BC的中點(diǎn)，AB=AC，∴AD為的平分線(xiàn)，∴．∵，即，∴．故選C【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)段垂直垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的定義以及三角形外角性質(zhì)．根據(jù)題意理解當(dāng)A、P、D在同一直線(xiàn)上時(shí)最小是解題關(guān)鍵．9．（2022·廣東廣州·八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)D是∠FAB內(nèi)的定點(diǎn)且AD=2，若點(diǎn)C、E分別是射線(xiàn)AF、AB上異于點(diǎn)A的動(dòng)點(diǎn)，且△CDE周長(zhǎng)的最小值是2時(shí)，∠FAB的度數(shù)是（）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】A【分析】作D點(diǎn)分別關(guān)于AF、AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G、H，連接GH分別交AF、AB于C′、E′，利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得AG=AD=AH=2，利用兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短判斷此時(shí)△CDE周長(zhǎng)最小為DC′+DE′+C′E′=GH=2，可得△AGH是等邊三角形，進(jìn)而可得∠FAB的度數(shù)．【詳解】解：如圖，作D點(diǎn)分別關(guān)于AF、AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G、H，連接GH分別交AF、AB于C′、E′，連接DC′，DE′，此時(shí)△CDE周長(zhǎng)最小為DC′+DE′+C′E′=GH=2，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，得AG=AD=AH=2，∠DAF=∠GAF，∠DAB=∠HAB，∴AG=AH=GH=2，∴△AGH是等邊三角形，∴∠GAH=60°，∴∠FAB=∠GAH=30°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)-最短路線(xiàn)問(wèn)題：熟練掌握軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，會(huì)利用兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短解決路徑最短問(wèn)題．11．（2022·湖北·武漢市六中位育中學(xué)八年級(jí)）如圖，，為上一動(dòng)點(diǎn)，，過(guò)作交直線(xiàn)于，過(guò)作交直線(xiàn)于點(diǎn)，若，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，則________．【答案】123°【分析】當(dāng)DM與DP重合，AN與AB重合時(shí)，|AN-DM|的值最大，此時(shí)|AN-DM|=AB，畫(huà)出相應(yīng)的圖形，根據(jù)條件，利用三角形的內(nèi)角和、鄰補(bǔ)角的意義，求出結(jié)果．【詳解】解：當(dāng)DM與DP重合，AN與AB重合時(shí)，|AN-DM|的值最大，此時(shí)|AN-DM|=AB，∵∠ABC=114°，∴∠CDE=180°-114°=66°，∴∠MCD=90°-66°=24°，又∵AB=BC，∴∠ACB=（180°-114°）÷2=33°，∴∠ACE=180°-∠ACB-∠DCM=180°-33°-24°=123°，故答案為：123°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和、直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)題意畫(huà)出相應(yīng)圖形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．12．（2021·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，四邊形中，，，點(diǎn)為直線(xiàn)左側(cè)平面上一點(diǎn)，的面積為則的最大值為_(kāi)__．【答案】10【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥EC于H.過(guò)點(diǎn)F作直線(xiàn)l//EC，作點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C'，連接AC'交直線(xiàn)l于F'，此時(shí)|F'A?F'C'|的值最大，即|FA?FC|的值最大，最大值為線(xiàn)段AC'的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥EC于H．∵△CFE的面積為8，即EC?FH=8，CE=8，∴FH=2，過(guò)點(diǎn)F作直線(xiàn)l//EC，作點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C'，連接AC'交直線(xiàn)l于F'，此時(shí)|F'A?F'C'|的值最大，即|FA?FC|的值最大，最大值為線(xiàn)段AC'的長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)C'作C'K⊥AB于K．∵∠C'KB=∠KEC=∠ECC'=90°，∴四邊形CEKC'是矩形，∴CC'=EK=4，EC=KC'=8，∵AE=10，∴AK=AE?EK=10?4=6，∴AC'=，∴|FA?FC|的最大值為10．故答案為10．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱(chēng)?最短問(wèn)題，三角形的面積，直角梯形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱(chēng)解決最值問(wèn)題，屬于中考填空題中的壓軸題．13．（2022·湖北十堰·八年級(jí)期末）如圖，在四邊形ABCD中，．在BC，CD上分別找一點(diǎn)M，N，使周長(zhǎng)最小，則的度數(shù)為_(kāi)________．【答案】160°【分析】要使周長(zhǎng)最小，即利用點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)，使三角形的三邊在同一直線(xiàn)上，作點(diǎn)A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，即可得到，進(jìn)而求得，即可得到答案．【詳解】作點(diǎn)A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，交BC于M，交CD于N，則即為周長(zhǎng)最小值，故答案為：160°．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱(chēng)—最短路線(xiàn)問(wèn)題，涉及平面內(nèi)最短路線(xiàn)問(wèn)題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．14．（2022·河南濮陽(yáng)·八年級(jí)期末）如圖，等邊三角形的邊長(zhǎng)為5，A、B、三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上，且．若D為線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是________．【答案】10【分析】連接CA1交BC1于點(diǎn)E，C、A1關(guān)于直線(xiàn)BC1對(duì)稱(chēng)，推出當(dāng)點(diǎn)D與B重合時(shí)，AD+CD的值最小，最小值為線(xiàn)段AA1的長(zhǎng)＝10．【詳解】解：連接CA1交BC1于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作直線(xiàn)l⊥AB，如圖，∵△ABC是等邊三角形，∴是等邊三角形，AB=A1B=5∵A、B、三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上，∴△ABC與△A1BC1關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，∵∠ABC＝∠A1BC1＝60°，∴∠CBC1＝60°，∴∠C1BA1＝∠C1BC，∵BA1＝BC，∴BD⊥CA1，CD＝DA1，∴C、A1關(guān)于直線(xiàn)BC1對(duì)稱(chēng)，∴當(dāng)點(diǎn)D與B重合時(shí)，AD+CD的值最小，最小值為線(xiàn)段AA1的長(zhǎng)＝10，故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱(chēng)﹣?zhàn)疃虇?wèn)題，等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)找對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，形成兩點(diǎn)之間的線(xiàn)段來(lái)解決最短問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．15．如圖，∠AOB＝45°，P是∠AOB內(nèi)的一點(diǎn)，PO＝10，點(diǎn)Q，R分別在∠AOB的兩邊上，△PQR周長(zhǎng)的最小值是．【解答】解：如圖所示，分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P'、P''，連接P'P''交OA、OB于點(diǎn)Q、R，此時(shí)，△PQR的周長(zhǎng)最小，最小即為P'P''的長(zhǎng)．連接OP'，OP''．根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)性可得：∠P''OB＝∠BOP，∠P'OA＝∠AOP，OP＝OP'＝OP''＝10，∵∠AOB＝45°，∴∠P'OP''＝90°，∴P'P''＝＝＝．故答案為：10．16．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M、N、P分別是邊AB、AC、BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接PM、PN和MN，則PM+PN+MN的最小值是．【解答】解：如圖，作點(diǎn)P關(guān)于AB，AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，F(xiàn)，連接PE，PF，PA，EM，F(xiàn)N，AE，AF．∵∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，∴BC＝＝＝5，由對(duì)稱(chēng)