專題19 垂美四邊形模型與378、578模型（解析版）

專題19垂美四邊形模型與378、578模型全等三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就對角互補(bǔ)模型進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1、垂美四邊形模型規(guī)定：對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形圖1圖2圖3條件：如圖1，已知四邊形ABCD，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，且AC⊥BD；結(jié)論：①AB2+CD2＝AD2+BC2；②“垂美”四邊形的面積等于對角線乘積的一半。【變形1】條件：如圖2，在矩形ABCD中，P為CD邊上有一點(diǎn)，連接AP、BP；結(jié)論：DP2+BP2=AP2+PC2【變形2】條件：如圖3，在矩形ABCD中，P為矩形內(nèi)部任意一點(diǎn)，連接AP、BP，CP，DP；結(jié)論：AP2+PC2=DP2+BP2用處：①對角線垂直的四邊形對邊的平方和相等；②已知三邊求一邊的四邊形，可以聯(lián)想到垂美四邊形。例1．（2023春·浙江八年級課時練習(xí)）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，點(diǎn)E為對角線BD上任意一點(diǎn)，連接AE、CE．若AB=5，BC=3，則AE2-CE2等于(

)A．7 B．9 C．16 D．25【答案】C【分析】連接AC，與BD交于點(diǎn)O，根據(jù)題意可得，在在與中，利用勾股定理可得，在在與中，繼續(xù)利用勾股定理可得，求解即可得．【詳解】解：如圖所示：連接AC，與BD交于點(diǎn)O，∵對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，∴，在中，，在中，，∴，在中，，在中，，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】題目主要考查勾股定理的應(yīng)用，理解題意，熟練運(yùn)用勾股定理是解題關(guān)鍵．例2．（2023秋·河北石家莊·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，四邊形的對角線，互相垂直，若，，則的長為（

）A．2.5 B．3 C．4 D．【答案】D【分析】在中，，在中，，再根據(jù)即可得出答案．【詳解】解：在中，，在中，，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，正確利用勾股定理是解題的關(guān)鍵．例3．（2023·湖北武漢·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形的兩條對角線互相垂直，AC、BD是方程的兩個解，則四邊形的面積是（

）A．60 B．30 C．16 D．32【答案】B【分析】對角線互相垂直的四邊形的面積等于對角線乘積的一半，二次方程的兩根乘積可以利用韋達(dá)定理快速求解即可．【詳解】由題意可知：四邊形的面積∵AC、BD是方程的兩個解，∴，四邊形的面積，故答案為：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查對角線互相垂直的四邊形的面積計(jì)算及二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，知道利用對角線的成績計(jì)算面積是解題關(guān)鍵．例4．（2023·湖北·九年級專題練習(xí)）學(xué)習(xí)新知：如圖1、圖2，P是矩形ABCD所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則有以下重要結(jié)論：AP2+CP2＝BP2+DP2．該結(jié)論的證明不難，同學(xué)們通過勾股定理即可證明．應(yīng)用新知：如圖3，在△ABC中，CA＝4，CB＝6，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且CD＝2，∠ADB＝90°，則AB的最小值為_____．【答案】4﹣2【分析】以AD、BD為邊作矩形ADBE，連接CE、DE，根據(jù)題意可得，即可求出CE的長度，當(dāng)C、D、E三點(diǎn)共線時，AB的值最小，且為CE與CD長度之差，故AB最小值可求．【詳解】解：以AD、BD為邊作矩形ADBE，連接CE、DE，如圖所示：則AB＝DE，由題意得：，即，解得：CE＝，當(dāng)C、D、E三點(diǎn)共線時，DE最小，∴AB的最小值＝DE的最小值＝CE-CD＝-2，故答案為：-2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了以幾何為背景的推理與論證、兩點(diǎn)之間線段最短，解題的關(guān)鍵在于通過題目中已給的新知推斷CD、CE、CA、CB之間的長度關(guān)系，并應(yīng)用兩點(diǎn)之間線段最短的定理，求出對應(yīng)的最值．例5．（2023春·浙江·八年級期中）我們給出如下定義：若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱這個四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個四邊形的勾股邊．（1）寫出你所學(xué)過的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱正方形、長方形、直角梯形（任選兩個均可）；（2）如圖1，已知格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)）O（0，0），A（3，0），B（0，4），請你畫出以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，OA，OB為勾股邊且對角線相等的勾股四邊形OAMB；（3）如圖2，將△ABC繞頂點(diǎn)B按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△DBE，連接AD，DC，∠DCB=30度．求證：DC2+BC2=AC2，即四邊形ABCD是勾股四邊形．【答案】（1）正方形、長方形；（2）見解析；（3）見解析．【分析】（1）直接利用勾股四邊形的定義得出答案；（2）OM=AB知以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的M共兩個，分別得出答案；（3）連接CE，證明△BCE是等邊三角形，△DCE是直角三角形，繼而可證明四邊形ABCD是勾股四邊形；【詳解】（1）解：正方形、長方形，理由如下：如圖：正方形ABCD中，由勾股定理有：；長方形DEFG中，由勾股定理有：；都滿足勾股四邊形的定義，因此都是勾股四邊形．（2）解：答案如圖所示．（3）證明：連接EC，∵△ABC≌△DBE，∴AC=DE，BC=BE，∵∠CBE=60°，∴△CBE為等邊三角形，∴EC=BC，∠BCE=60°，∵∠DCB=30°，∴∠DCE=90°，∴DC2+EC2=DE2，∴DC2+BC2=AC2．即四邊形ABCD是勾股四邊形．．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形的綜合題，主要考查了勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解并運(yùn)用新定義“勾股四邊形”、“勾股邊”，正確尋找全等三角形解決問題．例6．（2022秋·江西撫州·九年級校考階段練習(xí)）(1)【知識感知】如圖1，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形，在我們學(xué)過的：①平行四邊形②矩形③菱形④正方形中，能稱為垂美四邊形是______；（只填序號）

(2)【概念理解】如圖2，在四邊形中，，，問四邊形是垂美四邊形嗎？請說明理由．(3)【性質(zhì)探究】如圖1，垂美四邊形的兩對角線交于點(diǎn)，試探究，，，之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并給出證明；(4)【性質(zhì)應(yīng)用】如圖3，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連接，，，已知，，求長．【答案】(1)③④(2)四邊形ABCD是垂美四邊形；理由見解析(3)；理由見解析(4)【分析】（1）根據(jù)菱形和正方形的對角線互相垂直、垂美四邊形的概念判斷即可；（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)、垂美四邊形的概念判斷即可；（3）根據(jù)垂美四邊形的概念、勾股定理計(jì)算，得到答案；（4）證明△GAB≌△CAE，進(jìn)而得出CE⊥BG，根據(jù)（3）的結(jié)論計(jì)算即可．（1）解：∵在①平行四邊形，②矩形，③菱形，④正方形中，兩條對角線互相垂直的四邊形是③菱形，④正方形，∴③菱形，④正方形一定是垂美四邊形，故答案為：③④；（2）解：四邊形ABCD是垂美四邊形，理由如下：如圖2，∵AB＝AD，∴點(diǎn)A在線段BD的垂直平分線上，∵CB＝CD，∴點(diǎn)C在線段BD的垂直平分線上，∴直線AC是線段BD的垂直平分線，∴AC⊥BD，即四邊形ABCD是垂美四邊形；（3）解：，證明如下：如圖①，∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得，，，∴；（4）解：如圖3，連接BE、CG，設(shè)AB與CE交于點(diǎn)M，∵∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，∵∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠BMC＝90°，即CE⊥BG，∴四邊形CGEB是垂美四邊形，∴，∵AB＝10，AC＝8，∴，，，∴，則GE＝．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直的定義、勾股定理的應(yīng)用，正確理解垂美四邊形的定義、靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．模型2、378和578模型當(dāng)我們遇到兩個三角形的三邊長分別為3，7，8和5，7，8的時候，通常不會對它們進(jìn)行處理，實(shí)際是因?yàn)槲覀儗τ谶@兩組數(shù)字不敏感，但如果將這兩個三角形拼在一起，你將驚喜地發(fā)現(xiàn)這是一個邊長為8的等邊三角形。條件：當(dāng)兩個三角形的邊長分別為3，7，8和5，7，8時；結(jié)論：①這兩個三角形的面積分別為63、103；②3、8與5、8夾角都是60°。例1．（2023·浙江溫州·九年級?？计谀┻呴L為5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（

）．A．90° B．150° C．135° D．120°【答案】D【分析】法1：拼成一個邊長為8的等邊三角形，即可求解。法2：設(shè)△ABC的三邊AB=5，AC=7，BC=8，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，設(shè)BD=x，分別在Rt△ADB和Rt△ADC中，利用勾股定理求得AD，從而可建立方程，求得x的值，可求得∠B，因此可得最大角和最小角的和．【詳解】法1：∵△ABC的邊長為5，7，8，∴其可以和邊長為3，7，8的三角形拼成一個邊長為8的等邊三角形，又由三角形中大邊對大角，可知邊長為7的邊所對的角為60°，所以最大角和最小角的和是120°.故選D.法2：設(shè)△ABC的三邊AB=5，AC=7，BC=8，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，如圖設(shè)BD=x，則CD=8-x在Rt△ADB中，由勾股定理得：；在Rt△ADC中，由勾股定理得：則得方程：解得：即∵，AD⊥BC∴∠BAD=30゜∴∠ABD=90゜-∠BAD=60゜∴∠BAC+∠C=180゜-∠ABD=120゜∵BC>AC>AB∴∠BAC>∠ABD>∠C故最大角與最小角的和為120゜故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，解一元一次方程，大角對大邊等知識，關(guān)鍵是作最大邊上的高，從而為勾股定理的使用創(chuàng)造了條件．例2．（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）已知在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，則∠B＝（

）．A．45° B．37° C．60° D．90°【答案】C【分析】法1：拼成一個邊長為8的等邊三角形，即可求解。法2：過點(diǎn)A作交BC延長線于點(diǎn)D，設(shè)CD=x，則BC=3+x，在和中，利用勾股定理求出，可求出CD的長，從而得到BD的長，然后利用直角三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】法1：∵△ABC的邊長為3，7，8，∴其可以和邊長為5，7，8的三角形拼成一個邊長為8的等邊三角形，如圖，觀察圖形可知∠B為等邊三角形的一個內(nèi)角，所以∠B=60°.故選C.法2：如圖，過點(diǎn)A作交BC延長線于點(diǎn)D，∵在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，可設(shè)CD=x，則BC=3+x，在中，，在中，，∴，解得：，∴BC=3+x=4，∴在中，，∴，∴．故選C．【定睛】本題主要考查了勾股定理及直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形中若一條直角邊等于斜邊的一半，則這條直角邊所對的銳角等于是解題的關(guān)鍵．例3．（2023·廣東·八年級專題練習(xí)）如圖，△ABC的邊AB＝8，BC＝5，AC＝7，試過A作AD垂直BC于點(diǎn)D并求出CD的長度．解：如圖所示，作AD⊥BC于點(diǎn)D，設(shè)CD＝x，則BD＝BC﹣CD＝5﹣x，則在直角三角形ABD和直角三角形ADC中，由勾股定理有：AB2﹣BD2＝AC2+CD2，即64﹣（5﹣x）2＝49﹣x2，解得：x＝1．故CD長度為1．另解：可以和三邊長為3，7，8的三角形拼成一個邊長為8的等邊三角形，從而求解。例4．（2023·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）已知△ABC的邊長分別為5，7，8，則△ABC的面積是（）A．20 B．10 C．10 D．28【答案】C【分析】過A作AD⊥BC于D，根據(jù)勾股定理列方程得到BD，然后根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】如圖，∵AB=5，AC=7，BC=8，過A作AD⊥BC于D，∴AB2-BD2=AC2-CD2=AD2，∴52-BD2=72-（8-BD）2，解得：BD=，∴AD=，∴△ABC的面積=10，故選C．另解：可以和三邊長為3，7，8的三角形拼成一個邊長為8的等邊三角形，從而求解?！军c(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，三角形的面積的計(jì)算，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．例6．（2023·重慶·八年級專題練習(xí)）△ABC中，BC＝8，AC＝7，∠B＝60°，則△ABC的面積為．解：如圖所示：作AD⊥BC交BC于點(diǎn)D，則∠ADC＝90°．∵∠B＝60°，∴∠BAD＝30°．設(shè)BD為x，則CD為（8﹣x），AB為2x．∵∠BAD＝30°∴＝，AC＝7，∴AD＝x．∴（x）2+（8﹣x）2＝72．解得x1＝，x2＝．∴當(dāng)x1＝時，△ABC的面積為S＝BC?AD＝×8××＝6；當(dāng)x2＝時，△ABC的面積為S＝BC?AD＝×8××＝10．故答案為6或10．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測）如圖，點(diǎn)E是矩形內(nèi)任意一點(diǎn)，連接，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】過點(diǎn)E作EF⊥BC，延長FE交AD于點(diǎn)M，由題意可證四邊形ABFM，四邊形DCFM是矩形，可得AM=BF，MD=CF，MF⊥AD，根據(jù)勾股定理可得：．【詳解】如圖：過點(diǎn)E作EF⊥BC，延長FE交AD于點(diǎn)M．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°又∵EF⊥BC∴四邊形ABFM，四邊形DCFM是矩形∴AM=BF，MD=CF，MF⊥AD∵，，，∴故：選C．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)和判定，勾股定理，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造矩形是本題的關(guān)鍵．2．（2023·河南信陽·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，四邊形的兩條對角線互相垂直，，則四邊形的面積最大值是（

）A．16 B．32 C．36 D．64【答案】B【分析】利用對角線互相垂直的四邊形的面積等于對角線乘積的一半求解即可．【詳解】解：設(shè)，四邊形面積為S，則，則：當(dāng)時，S最大為：32﹔故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查配方求最大值，能夠正確利用面積計(jì)算公式結(jié)合方程思想是解題關(guān)鍵．3．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形，對角線，交于點(diǎn)O，若，，則．【答案】13【分析】在和中，根據(jù)勾股定理得，，進(jìn)一步得，再根據(jù)，可求得的值．【詳解】解：，，在和中，根據(jù)勾股定理得，，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用，從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型是解題關(guān)鍵．4、當(dāng)兩個三角形的邊長分別為3，7，8和5，7，8時，則這兩個三角形的面積之和是．解：∵邊長為3，7，8的三角形，可以和邊長為5，7，8的三角形拼成一個邊長為8的等邊三角形，如圖，∴拼成的等邊三角形的高為43，∴這兩個三角形的面積之和為12×8×43=1635．（2023·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，△ABC中，∠B＝60°，AB＝8，BC＝5，E點(diǎn)在BC上，若CE＝2，則AE的長等于．解：過A作AD⊥BC，交BC于D，△ABD中，∠B＝60°，AB＝8，∴BD＝4，AD＝4，則CD＝1，ED＝1．∴AE＝＝＝7．故答案為：7．6．（2023·河北·八年級專題練習(xí)）已知：在△ABC中，BC＝8，AC＝7，∠B＝60°，則AB為．解：如圖所示：作AD⊥BC交BC于點(diǎn)D，則∠ADC＝90°．∵∠B＝60°，∴∠BAD＝30°．設(shè)BD為x，則CD為（8﹣x），AB為2x．∵∠BAD＝30°，AC＝7，∴AD＝．∴（x）2+（8﹣x）2＝72．解得x1＝，x2＝．∴當(dāng)x＝時，AB＝2x＝3；當(dāng)x＝時，AB＝2x＝5．故AB為3或5．故答案為：3或5．7．（2023春·山東·八年級期中）如圖，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”．（1）性質(zhì)探究：如圖1．已知四邊形ABCD中，AC⊥BD．垂足為O，求證：AB2+CD2＝AD2+BC2；（2）解決問題：已知AB＝5．BC＝4，分別以△ABC的邊BC和AB向外作等腰Rt△BCE和等腰Rt△ABD；①如圖2，當(dāng)∠ACB＝90°，連接DE，求DE的長；②如圖3．當(dāng)∠ACB≠90°，點(diǎn)G、H分別是AD、AC中點(diǎn)，連接GH．若GH＝2，則S△ABC＝．【答案】（1）見解析；（2）①；②【分析】（1）根據(jù)AC⊥BD可以得到∠AOB=∠COD=90°即可得到AB2=AO2+OB2，CD2=DO2+OC2即AB2+CD2=AO2+OB2+DO2+OC2同理可以得到AD2+BC2=AO2+OB2+DO2+OC2即可得到答案;（2）連DC、AE相交于點(diǎn)F，先證明△ABE≌△DBC得到∠CDB=∠BAE從而證得AE⊥CD再利用勾股定理和（1）中的結(jié)論求解即可得到答案；（3）連DC、AE相交于點(diǎn)F，作CP⊥BD交DB延長線于點(diǎn)P，BP2+CP2=BC2=（4）2=32，DP2+PC2=DC2=（）2=96，(DP2+PC2)-(BP2+CP2)=96-32=64，DP2-BP2=64從而求出BP=，再證明AB∥PC則S△ABC＝AB×BP.【詳解】解：（1）證明：∵AC⊥BD∴∠AOB=90°在Rt△AOB中AB2=AO2+OB2∴∠COD=90°在Rt△COD中CD2=DO2+OC2∴AB2+CD2=AO2+OB2+DO2+OC2同理AD2+BC2=AO2+OB2+DO2+OC2∴AB2＋CD2＝AD2＋BC2(2)①解：連DC、AE相交于點(diǎn)F∵Rt△BCE和Rt△ABD是等腰三角形∴BE=BCAB=BD∠CBE=∠ABD=90°∴∠ABE=∠DBC=90°+∠ABC∴△ABE≌△DBC∴∠CDB=∠BAE∵∠ABD=90°∴∠CDB+∠CDA+∠DAB=90°∴∠BAE+∠CDA+∠DAB=90°∴∠AFD=90°∴AE⊥CD∵AB=5，BC=4∠ACB=90°∴AC=∵AB=5，BD=5∠ABD=90°∴AD=∵BC=4，BE=4∠CBE=90°∴CE=由（1）中結(jié)論AD2+EC2=AC2+DE2∴(10)2+（8）2=（3）2+DE2∴DE=②連DC、AE相交于點(diǎn)F∵點(diǎn)G、H分別是AD、AC中點(diǎn)，GH＝∴DC=2GH=作CP⊥BD交DB延長線于點(diǎn)P；BP2+CP2=BC2=（4）2=32DP2+PC2=DC2=（）2=96∴(DP2+PC2)-(BP2+CP2)=96-32=64∴DP2-BP2=64∴（BD+BP)2-BP2=64∴（5+BP)2-BP2=64∴BP=∵∠PBA=90°，∠P=90°，∴∠PBA+∠P=90°+90°=180°∴AB∥PC則S△ABC＝AB×BP=×5×【點(diǎn)睛】本題主要考查了四邊形的綜合問題，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，垂直的定義，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解.8．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于它的一條對角線的平方，則稱該四邊形為勾股四邊形．(1)回顧在你學(xué)過的特殊四邊形中，寫出兩種勾股四邊形的名稱．(2)如圖，將繞頂點(diǎn)B按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接、、．①證明：是等邊三角形；②若，證明：四邊形是勾股四邊形．【答案】(1)正方形、矩形；(2)①見解析，②見解析．【分析】（1）根據(jù)定義和特殊四邊形的性質(zhì)，可證明矩形或正方形是勾股四邊形；（2）①由旋轉(zhuǎn)可知，得出，結(jié)合旋轉(zhuǎn)角可證；②利用等邊三角形的性質(zhì)，進(jìn)一步得出是直角三角形，再利用勾股定理即可解決問題．【詳解】（1）解：如圖在正方形中，正方形是勾股四邊形；如圖在矩形形中，矩形是勾股四邊形；故答案為：正方形、矩形；（2）證明：①∵，∴，∵，∴是等邊三角形；②∵，∴，；∵為等邊三角形，∴，，∵，∴，在中，，∴∴四邊形是勾股四邊形【點(diǎn)睛】此題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解勾股四邊形的定9．（2023春·廣東惠州·八年級階段練習(xí)）給出定義：若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱該四邊形為勾股四邊形．如圖所示，將繞頂點(diǎn)B按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接，，，已知．（1）求證：是等邊三角形；（2）求證：，即四邊形是勾股四邊形．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）首先證明△ABC≌△DBE，得出BC＝BE，進(jìn)一步得出△BCE為等邊三角形；（2）利用等邊三角形的性質(zhì)，進(jìn)一步得出△DCE是直角三角形，問題得解．【詳解】解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△ABC≌△DBE，∴BC＝BE，∵∠CBE＝60°，∴△BCE是等邊三角形；（2）∵△ABC≌△DBE，∴BE＝BC，AC＝ED；∵△BCE為等邊三角形，∴BC＝CE，∠BCE＝60°，∵∠DCB＝30°，∴∠DCE＝90°，∴在Rt△DCE中，DC2+CE2＝DE2，∴DC2+BC2＝AC2．即四邊形ABCD是勾股四邊形．【點(diǎn)睛】此題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，是一道綜合性很強(qiáng)的題目．解決本題的關(guān)鍵是證明△BCE是等邊三角形．10．（2023春·陜西西安·八年級校考期末）如圖1，對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．(1)概念理解：如圖2，在四邊形中，，，問四邊形是垂美四邊形嗎？請說明理由．(2)性質(zhì)探究：如圖1，試探索垂美四邊形兩組對邊、與、之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．(3)問題解決：如圖3，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，使得，，，連接，，，已知，，求的值．

【答案】(1)是，理由見解析(2)，理由見解析(3)【分析】（1）連接交于點(diǎn)G，根據(jù)垂直平分線的判定定理證明即可；（2）根據(jù)垂直的定義和勾股定理解答即可；（3）、交于點(diǎn)N，、交于點(diǎn)M，先證明四邊形是垂美四邊形，根據(jù)垂美四邊形的性質(zhì)、勾股定理、結(jié)合（2）的結(jié)論計(jì)算．【詳解】（1）如圖，四邊形是垂美四邊形．證明：連接交于點(diǎn)G，

∵，∴點(diǎn)A在線段的垂直平分線上，∵，∴點(diǎn)C在線段的垂直平分線上，∴直線是線段的垂直平分線，∴，即四邊形是垂美四邊形；（2）猜想結(jié)論．如圖1，已知四邊形中，∵，∴，由勾股定理得，，，∴；（3）如圖，、交于點(diǎn)N，、交于點(diǎn)M，∵，∴，即，又∵，，在和中，，∴，∴，又∵，∴，∴，∴四邊形是垂美四邊形，由（2）得，，∵，，∴，∴，又∵∴，由（2）可得．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直的定義、勾股定理的應(yīng)用，正確理解垂美四邊形的定義、靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．11．（2023春·重慶渝北·八年級?？计谥校局R感知】（1）如圖1，四邊形的兩條對角線交于點(diǎn)O，我們把這種對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．在我們學(xué)過的：①平行四邊形

②矩形

③菱形

④正方形中，屬于垂美四邊形的是______；（只填序號）【性質(zhì)探究】（2）如圖1，試探究垂美四邊形的四條邊，，，之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并給出證明；【性質(zhì)應(yīng)用】（3）如圖2，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連接，，，已知，，求的長．

【答案】【知識感知】③④【性質(zhì)探究】，證明見解析【性質(zhì)應(yīng)用】【分析】知識感知：根據(jù)垂美四邊形的定義和以上四邊形的性質(zhì)即可判斷；性質(zhì)探究：利用勾股定理分辨表示出四條邊即可得出關(guān)系并求證；性質(zhì)應(yīng)用：先證明，得到,再利用性質(zhì)探究中的結(jié)論和勾股定理即可求解．【詳解】知識感知：∵菱形和正方形的對角線互相垂直，∴屬于垂美四邊形的是③④；性質(zhì)探究：；證明：，∴，，,，∴，即；性質(zhì)應(yīng)用：∵正方形和正方形，∴，∴,∴，∴，又∵,∴,∴，∴,連接，∵，，，∴,，，∴，∴．

【點(diǎn)睛】本題為新定義題型，考查了正方形菱形的性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是理解題意，發(fā)現(xiàn)邊之間的關(guān)系，本題有一定的運(yùn)算量，需要細(xì)心對待．12．（2023春·湖北黃石·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．

(1)概念理解：下列三個圖形①正方形②菱形③矩形一定是垂美四邊形的是______（填序號）(2)性質(zhì)探究：如圖1，四邊形的對角線、交于點(diǎn)O，．試證明：．(3)解決問題：如圖2，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連接、、．已知，，求的長．【答案】(1)①②(2)證明見解析(3)【分析】（1）由垂美四邊形的定義可得答案；（2）根據(jù)垂直四邊形對角線互相垂直，再在直角三角形中，利用勾股定理即可推得結(jié)論；（3）先證明，得到，然后再證明四邊形是垂直四邊形，結(jié)合第二問的結(jié)論即可求得的長．【詳解】（1）解：∵正方形，菱形的對角線互相垂直，∴正方形，菱形是垂美四邊形，故答案為：①②．（2），理由如下：證明：∵，∴，由勾股定理，得，，∴，（3）如圖3，連接、，∵正方形和正方形，∴，，，∴，

在和中，∴，∴，∵，∴，∵，∴，即，∴四邊形是垂美四邊形，由（2）得，，∵，，∴，∵，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查新定義的理解、矩形，菱形，正方形的性質(zhì)、三角形全等判定和性質(zhì)、勾股定理等知識點(diǎn)，理解新定義的含義并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．13．（2023春·江蘇南通·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．

(1)概念理解：如圖，在四邊形中，，，問四邊形是垂美四邊形嗎？請說明理由．(2)性質(zhì)探究：試探索垂美四邊形兩組對邊，與，之間的數(shù)量關(guān)系．猜想結(jié)論：要求用文字語言敘述______寫出證明過程先畫出圖形，寫出已知、求證．(3)問題解決：如圖，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連接，，，已知，，求長．【答案】(1)四邊形是垂美四邊形，見解析(2)垂美四邊形的兩組對邊的平方和相等，見解析(3)【分析】（1）證明直線是線段的垂直平分線，即可得到結(jié)論；（2）先利用勾股定理猜想結(jié)論，再畫圖，寫出已知，求證，再利用勾股定理進(jìn)行證明即可；（3）根據(jù)垂美四邊形的性質(zhì)、勾股定理、結(jié)合（2）的結(jié)論計(jì)算．【詳解】（1）四邊形是垂美四邊形．證明：，點(diǎn)A在線段的垂直平分線上，

，點(diǎn)在線段的垂直平分線上，直線是線段的垂直平分線，，即四邊形是垂美四邊形；（2）猜想結(jié)論：垂美四邊形的兩組對邊的平方和相等．如圖，已知四邊形中，，垂足為，求證：證明：，，由勾股定理得，，，；（3）連接、，∵正方形，正方形，∴，，，，即，

在和中，，≌，，又，，即，四邊形是垂美四邊形，由（2）得，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直的定義、勾股定理的應(yīng)用，正確理解垂美四邊形的定義、靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．的定義并運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．14．（2023春·福建廈門·八年級廈門雙十中學(xué)校考期中）在學(xué)習(xí)了平行四邊形章節(jié)后，小明根據(jù)所學(xué)習(xí)的內(nèi)容，試著創(chuàng)造了一個新的特殊四邊形，規(guī)定：對角線互相垂直的四邊形稱為“垂美四邊形”如圖1所示．(1)【概念理解】證明：有三條邊相等的垂美四邊形是菱形；（寫出已知、求證）(2)【性質(zhì)探索】若記垂美四邊形面積為，試直接寫出與、之間的關(guān)系；(3)【性質(zhì)應(yīng)用】根據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，勾股定理的證明有400多種方法，小明為了證明勾股定理，嘗試用兩個全等的直角三角形（）如圖2擺放，其中、、在一條直線上，若假設(shè)直角三角形三邊長為，，，即，，，試?yán)茫?）中結(jié)論證明勾股定理．【答案】(1)證明見詳解(2)(3)證明見詳解【分析】（1）根據(jù)已知寫出已知求證再利用三角形全等證明結(jié)論即可；（2）四邊形的面積的面積的面積；（3）根據(jù)垂美四邊形的性質(zhì)、勾股定理、結(jié)合（2）的結(jié)論計(jì)算即可．【詳解】（1）已知：四邊形的兩條對角線互相垂直，即，且；求證：四邊形是菱形證明：∵，∴，在和中∴，同理可得：，∴，又∵，∴四邊形是菱形，∴有三條邊相等的垂美四邊形是菱形；（2）解：如圖1所示：四邊形的面積的面積的面積；∴；（3）由已知，可得∵∴∴∴是垂美四邊形由（2）可得是垂美四邊形的面積∴∵∴即所以勾