高考數(shù)學復習第八章立體幾何初步第48講空間幾何體的表面積與體積

第48講空間幾何體表面積與體積考試要求1.空間幾何體表面積(A級要求)，體積(A級要求)；2.高考對本講內(nèi)容考查以填空題為主.應(yīng)關(guān)注空間幾何體表面積、體積計算問題.1/371.思索辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形幾何體是棱柱.(

)(2)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形幾何體是棱錐.(

)(3)圓柱側(cè)面展開圖是矩形.(

)(4)臺體體積可轉(zhuǎn)化為兩個錐體體積之差.(

)診

斷

自

測2/37解析如圖中幾何體有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形，但不滿足“每相鄰兩個側(cè)面公共邊相互平行”，所以它不是棱柱，故(1)錯；(2)有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點三角形幾何體是棱錐，故(2)錯.答案(1)×

(2)×

(3)√

(4)√

(5)√3/374/373.(·天津卷)已知一個正方體全部頂點在一個球面上，若這個正方體表面積為18，則這個球體積為________.5/376/375.(·全國Ⅲ卷)已知圓柱高為1，它兩個底面圓周在直徑為2同一個球球面上，則該圓柱體積為________.7/376.將邊長為a正方形ABCD沿對角線AC折起，使得BD＝a，則三棱錐D－ABC體積為________.8/371.多面體結(jié)構(gòu)特征知

識

梳

理相互平行全等公共頂點平行于底面相同9/372.旋轉(zhuǎn)體形成幾何體旋轉(zhuǎn)圖形旋轉(zhuǎn)軸圓柱矩形________所在直線圓錐直角三角形____________所在直線圓臺直角梯形______________所在直線球半圓______所在直線任一邊任一直角邊垂直于底邊腰直徑10/373.柱、錐、臺和球表面積和體積Sh4πR211/374.慣用結(jié)論12/3713/37考點一空間幾何體結(jié)構(gòu)特征【例1】

給出以下命題：①棱柱側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等平行四邊形；②在四棱柱中，若兩個過相對側(cè)棱截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；③存在每個面都是直角三角形四面體；④棱臺側(cè)棱延長后交于一點.其中正確命題序號是________.14/37解析①不正確，依據(jù)棱柱定義，棱柱各個側(cè)面都是平行四邊形，但不一定全等；②正確，因為兩個過相對側(cè)棱截面交線平行于側(cè)棱，又垂直于底面；③正確，如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中三棱錐C1－ABC，四個面都是直角三角形；④正確，由棱臺概念可知.答案②③④15/37規(guī)律方法(1)處理本類題目標關(guān)鍵是準確了解幾何體定義，真正把握幾何體結(jié)構(gòu)特征，能夠依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在幾何模型中進行判斷.(2)處理本類題目標技巧：三棱柱、四棱柱、三棱錐、四棱錐是慣用幾何模型，有些問題能夠利用它們舉特例處理或者學會利用反例對概念類命題進行辨析.16/37【訓練1】(1)以下命題：①以直角三角形一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體是圓錐；②以直角梯形一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體是圓臺；③圓柱、圓錐、圓臺底面都是圓面；④一個平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺.其中正確命題個數(shù)為________.17/37(2)給出以下四個命題：①有兩個側(cè)面是矩形幾何體是直棱柱；②側(cè)面都是等腰三角形棱錐是正棱錐；③側(cè)面都是矩形直四棱柱是長方體；④底面為正多邊形，且有相鄰兩個側(cè)面與底面垂直棱柱是正棱柱.其中不正確命題為________(填序號).18/37解析(1)命題①錯，因為這條邊若是直角三角形斜邊，則得不到圓錐；命題②錯，因為這條腰必須是垂直于兩底腰；命題③對；命題④錯，必須用平行于圓錐底面平面截圓錐才能夠，故正確命題個數(shù)為1.19/37(2)對于①，平行六面體兩個相對側(cè)面也可能是矩形，故①錯；對于②，對等腰三角形腰是否為側(cè)棱未作說明(如圖)，故②錯；對于③，若底面不是矩形，則③錯；④由線面垂直判定，側(cè)棱垂直于底面，故④正確.綜上，命題①②③不正確.答案(1)1

(2)①②③20/37考點二求空間幾何體表面積(2)(·蘇州模擬)如圖，斜三棱柱ABC－A′B′C′中，底面是邊長為a正三角形，側(cè)棱長為b，側(cè)棱AA′與底面相鄰兩邊AB與AC都成45°角，求此斜三棱柱表面積.21/37(1)解析由題意知該六棱錐為正六棱錐，∴設(shè)正六棱錐高為h，側(cè)面斜高為h′.22/37(2)解如圖，過A′作A′D⊥平面ABC于D，過D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，連接A′E，A′F，AD.則由∠A′AE＝∠A′AF，AA′＝AA′，又由題意知A′E⊥AB，A′F⊥AC，得Rt△A′AE≌Rt△A′AF，∴A′E＝A′F，∴DE＝DF，∴AD平分∠BAC，又∵AB＝AC，∴BC⊥AD，∴BC⊥AA′，而AA′∥BB′，∴BC⊥BB′，∴四邊形BCC′B′是矩形，23/3724/37規(guī)律方法

(1)處理組合體問題關(guān)鍵是分清該幾何體是由哪些簡單幾何體組成以及這些簡單幾何體組合情況.(2)在求多面體側(cè)面積時，應(yīng)對每一側(cè)面分別求解后再相加，對于組合體表面積應(yīng)注意重合部分處理.(3)圓柱、圓錐、圓臺側(cè)面是曲面，計算側(cè)面積時需要將這個曲面展為平面圖形計算，而表面積是側(cè)面積與底面圓面積之和.25/37(1)求三棱臺斜高；(2)求三棱臺側(cè)面積和表面積.解(1)設(shè)O1、O分別為正三棱臺ABC－A1B1C1上、下底面正三角形中心，26/37在Rt△D1DE中，(2)設(shè)c、c′分別為上、下底周長，h′為斜高，27/3728/37考點三空間幾何體體積【例3】(1)(·江蘇卷)現(xiàn)有橡皮泥制作底面半徑為5，高為4圓錐和底面半徑為2，高為8圓柱各一個．若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同新圓錐和圓柱各一個，則新底面半徑為________．(2)(·鹽城模擬)如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝2cm，E為C1D1中點，則三棱錐EA1BC體積為________cm3.29/3730/37規(guī)律方法

空間幾何體體積問題常見類型及解題策略(1)若所給定幾何體是可直接用公式求解柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式進行求解．(2)若所給定幾何體體積不能直接利用公式得出，則慣用換底法、分割法、補形法等方法進行求解．31/37【訓練3】

如圖，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長為1正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體體積為________.32/37解析如圖，分別過點A，B作EF垂線，垂足分別為G，H，連接DG，CH，33/37考點四與球相關(guān)問題【例4】

(·揚州模擬)已知直三棱柱ABC－A1B1C16個頂點都在球O球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O半徑為________.解析如圖所表示，由球心作平面ABC垂線，則垂足為BC中點M.34/37規(guī)律方法

空間幾何體與球接、切問題求解方法(1)求解球與棱柱、棱錐接、切問題時，普通過球心及接、切點作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓接、切問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g關(guān)系求解.(2)若球面上四點P，A，B，C組成三條線段PA，PB，PC兩兩相互垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，普通