高考數(shù)學復習第八章立體幾何初步第4節(jié)平行關系

第4節(jié)平行關系1/41最新考綱1.以立體幾何定義、公理和定理為出發(fā)點，認識和了解空間中線面平行相關性質(zhì)與判定定理；2.能利用公理、定理和已取得結(jié)論證實一些相關空間圖形平行關系簡單命題.2/411.直線與平面平行 (1)直線與平面平行定義

直線l與平面α沒有公共點，則稱直線l與平面α平行.知

識

梳

理3/41(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號表示判定定理平面外_____________________________平行，則該直線平行于此平面a

α，b

α，a∥b?a∥α性質(zhì)定理一條直線和一個平面平行，則過這條直線任一平面與此平面_____與該直線平行a∥α，a

β，α∩β＝b?a∥b一條直線與此平面內(nèi)一條直線交線4/412.平面與平面平行 (1)平面與平面平行定義

沒有公共點兩個平面叫作平行平面. (2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號表示判定定理一個平面內(nèi)兩條________與另一個平面平行，則這兩個平面平行a

α，b

α，a∩b＝P，a∥β，b∥β?α∥β相交直線5/41性質(zhì)定理兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)直線______于另一個平面α∥β，a

α?a∥β假如兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們______平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b平行交線6/41[慣用結(jié)論與微點提醒]1.平行關系中兩個主要結(jié)論 (1)垂直于同一條直線兩個平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β. (2)平行于同一平面兩個平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.2.線線、線面、面面平行間轉(zhuǎn)化7/411.思索辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”) (1)若一條直線和平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行.(

) (2)若直線a∥平面α，P∈α，則過點P且平行于直線a直線有沒有數(shù)條.(

) (3)假如一個平面內(nèi)兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行.(

) (4)假如兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內(nèi)兩條直線平行或異面.(

)診

斷

自

測8/41解析(1)若一條直線和平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行或在平面內(nèi)，故(1)錯誤.(2)若a∥α，P∈α，則過點P且平行于a直線只有一條，故(2)錯誤.(3)假如一個平面內(nèi)兩條直線平行于另一個平面，則這兩個平面平行或相交，故(3)錯誤.答案(1)×

(2)×

(3)×

(4)√9/412.(教材習題改編)以下命題中正確是(

) A.若a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過b任何平面 B.若直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內(nèi)任何直線平行 C.平行于同一條直線兩個平面平行 D.若直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b

α，則b∥α

解析依據(jù)線面平行判定與性質(zhì)定理知，選D.

答案

D10/413.設α，β是兩個不一樣平面，m是直線且m

α.“m∥β”是“α∥β”(

) A.充分而無須要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也無須要條件

解析當m∥β時，可能α∥β，也可能α與β相交.

當α∥β時，由m

α可知，m∥β.

∴“m∥β”是“α∥β”必要不充分條件.

答案

B11/414.(·西安模擬)已知m，n是兩條不一樣直線，α，β，γ是三個不一樣平面，則以下命題中正確是(

) A.m∥α，n∥α，則m∥n B.m∥n，m∥α，則n∥α C.m⊥α，m⊥β，則α∥β D.α⊥γ，β⊥γ，則α∥β

解析

A中，m與n平行、相交或異面，A不正確；B中，n∥α或n

α，B不正確；依據(jù)線面垂直性質(zhì)，C正確；D中，α∥β或α與β相交，D錯.

答案

C12/415.(教材練習改編)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為DD1中點，則BD1與平面AEC位置關系為________.13/41解析連接BD，設BD∩AC＝O，連接EO，在△BDD1中，O為BD中點，E為DD1中點，所以EO為△BDD1中位線，則BD1∥EO，而BD1

平面ACE，EO

平面ACE，所以BD1∥平面ACE.答案平行14/41考點一與線、面平行相關命題判定【例1】(1)(·成都診療)已知m，n是空間中兩條不一樣直線，α，β是兩個不一樣平面，且m

α，n

β.有以下命題：

①若α∥β，則m∥n；

②若α∥β，則m∥β；

③若α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，則α⊥β；

④若α∩β＝l，且m⊥l，m⊥n，則α⊥β.

其中真命題個數(shù)是(

) A.0 B.1 C.2 D.315/4116/41解析(1)①若α∥β，則m∥n或m，n異面，不正確；②若α∥β，依據(jù)平面與平面平行性質(zhì)，可得m∥β，正確；③若α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，則α與β不一定垂直，不正確；④若α∩β＝l，且m⊥l，m⊥n，l與n不一定相交，不能推出α⊥β，不正確.(2)如圖，對于①，連接MN，AC，則MN∥AC，連接AM，CN，易得AM，CN交于點P，即MN

面APC，所以MN∥面APC是錯誤.對于②，由①知M，N在平面APC內(nèi)，由題易知AN∥C1Q，且AN

平面APC，C1Q

平面APC.所以C1Q∥面APC是正確.17/41對于③，由①知，A，P，M三點共線是正確.對于④，由①知MN

面APC，又MN

面MNQ，所以面MNQ∥面APC是錯誤.答案(1)B

(2)②③18/41規(guī)律方法1.判斷與平行關系相關命題真假，必須熟悉線、面平行關系各個定義、定理，不論是單項選擇還是含選擇項填空題，都能夠從中先選出最熟悉最輕易判斷選項先確定或排除，再逐步判斷其余選項.2.(1)結(jié)合題意結(jié)構(gòu)或繪制圖形，結(jié)合圖形作出判斷.(2)尤其注意定理所要求條件是否完備，圖形是否有特殊情況，經(jīng)過舉反例否定結(jié)論或用反證法推斷命題是否正確.19/41【訓練1】(1)設m，n是不一樣直線，α，β是不一樣平面，且m，n

α，則“α∥β”是“m∥β且n∥β”(

) A.充分無須要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也無須要條件 (2)(·全國Ⅱ卷)α，β是兩個平面，m，n是兩條直線，有以下四個命題：

①假如m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.

②假如m⊥α，n∥α，那么m⊥n.

③假如α∥β，m

α，那么m∥β.

④假如m∥n，α∥β，那么m與α所成角和n與β所成角相等.

其中正確命題有________(填寫全部正確命題編號).20/41解析(1)若m，n

α，α∥β，則m∥β且n∥β；反之若m，n

α，m∥β且n∥β，則α與β相交或平行，即“α∥β”是“m∥β且n∥β”充分無須要條件.(2)當m⊥n，m⊥α，n∥β時，兩個平面位置關系不確定，故①錯誤，經(jīng)判斷知②③④均正確，故正確答案為②③④.答案(1)A

(2)②③④21/41考點二直線與平面平行判定與性質(zhì)(多維探究)命題角度1直線與平面平行判定【例2－1】

(·全國Ⅲ卷)如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M為線段AD上一點，AM＝2MD，N為PC中點.(1)證實：MN∥平面PAB；(2)求四面體N－BCM體積.22/41又AD∥BC，故TN綊AM，所以四邊形AMNT為平行四邊形，于是MN∥AT.因為AT

平面PAB，MN

平面PAB，所以MN∥平面PAB.23/41(2)解因為PA⊥平面ABCD，N為PC中點，24/41命題角度2直線與平面平行性質(zhì)定理應用【例2－2】

(·宜春質(zhì)檢)如圖，五面體ABCDE，四邊形ABDE是矩形，△ABC是正三角形，AB＝1，AE＝2，F(xiàn)是線段BC上一點，直線BC與平面ABD所成角為30°，CE∥平面ADF. (1)試確定F位置； (2)求三棱錐A－CDF體積.25/41解

(1)連接BE交AD于點O，連接OF，∵CE∥平面ADF，CE

平面BEC，平面ADF∩平面BEC＝OF，∴CE∥OF.∵O是BE中點，∴F是BC中點.26/41(2)∵BC與平面ABD所成角為30°，BC＝AB＝1，27/41規(guī)律方法1.利用判定定理判定線面平行，關鍵是找平面內(nèi)與已知直線平行直線.常利用三角形中位線、平行四邊形對邊或過已知直線作一平面找其交線.2.在處理線面、面面平行判定時，普通遵照從“低維”到“高維”轉(zhuǎn)化，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而在應用性質(zhì)定理時，其次序恰好相反.28/41【訓練2】

(·江蘇卷)如圖，在三棱錐A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD.

求證：(1)EF∥平面ABC； (2)AD⊥AC.29/41證實(1)在平面ABD內(nèi)，AB⊥AD，EF⊥AD，則AB∥EF.∵AB

平面ABC，EF

平面ABC，∴EF∥平面ABC.(2)∵BC⊥BD，平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABD⊥平面BCD，BC

平面BCD，∴BC⊥平面ABD.∵AD

平面ABD，∴BC⊥AD.又AB⊥AD，BC，AB

平面ABC，BC∩AB＝B，∴AD⊥平面ABC，又因為AC

平面ABC，∴AD⊥AC.30/41考點三面面平行判定與性質(zhì)(典例遷移)【例3】

(經(jīng)典母題)如圖所表示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1中點，求證： (1)B，C，H，G四點共面； (2)平面EFA1∥平面BCHG.31/41證實

(1)∵G，H分別是A1B1，A1C1中點，∴GH是△A1B1C1中位線，則GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四點共面.32/41(2)∵E，F(xiàn)分別為AB，AC中點，∴EF∥BC，∵EF

平面BCHG，BC

平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分別為A1B1，AB中點，A1B1綊AB，∴A1G綊EB，∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1E∥GB.∵A1E

平面BCHG，GB

平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.33/41【遷移探究1】

在本例中，若將條件“E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1中點”變?yōu)椤癉1，D分別為B1C1，BC中點”，求證：平面A1BD1∥平面AC1D.證實如圖所表示，連接A1C交AC1于點M，∵四邊形A1ACC1是平行四邊形，∴M是A1C中點，連接MD，∵D為BC中點，∴A1B∥DM.34/41∵A1B

平面A1BD1，DM

平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1，又由三棱柱性質(zhì)知，D1C1綊BD，∴四邊形BDC1D1為平行四邊形，∴DC1∥BD1.又DC1

平面A1BD1，BD1

平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又DC1∩DM＝D，DC1，DM

平面AC1D，所以平面A1BD1∥平面AC1D.35/4136/4137/41規(guī)律方法

1.判定面面平行主要方法(1)利用面面平行判定定理.(2)線面垂直性質(zhì)(垂直于同一直線兩平面平行).2.面面平行條件應用(1)兩平面平行，分析結(jié)構(gòu)與之相交第三個平面，交線平行.(2)兩平面平行，其中一個平面內(nèi)任意一條直線與另一個平面平行.提醒利用面面平行判