2024-2025學(xué)年新教材高考數(shù)學(xué) 第2章 平面解析幾何 3.3 直線與圓的位置關(guān)系教學(xué)實(shí)錄 新人教B版選擇性必修第一冊(cè)

2024-2025學(xué)年新教材高考數(shù)學(xué)第2章平面解析幾何3.3直線與圓的位置關(guān)系教學(xué)實(shí)錄新人教B版選擇性必修第一冊(cè)科目授課時(shí)間節(jié)次--年—月—日（星期——）第—節(jié)指導(dǎo)教師授課班級(jí)、授課課時(shí)授課題目（包括教材及章節(jié)名稱）2024-2025學(xué)年新教材高考數(shù)學(xué)第2章平面解析幾何3.3直線與圓的位置關(guān)系教學(xué)實(shí)錄新人教B版選擇性必修第一冊(cè)教學(xué)內(nèi)容本節(jié)課內(nèi)容選自新人教B版選擇性必修第一冊(cè)《2024-2025學(xué)年新教材高考數(shù)學(xué)》第2章平面解析幾何3.3節(jié)，主要內(nèi)容包括直線與圓的位置關(guān)系，具體涉及直線與圓相交、相切、相離的判定方法及數(shù)量關(guān)系。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生將掌握直線與圓的位置關(guān)系的判定方法和應(yīng)用，為后續(xù)學(xué)習(xí)圓的性質(zhì)和方程打下基礎(chǔ)。核心素養(yǎng)目標(biāo)分析本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。通過直線與圓的位置關(guān)系的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠理解數(shù)學(xué)概念的形成過程，發(fā)展空間想象能力；通過分析數(shù)量關(guān)系，鍛煉邏輯推理能力；通過實(shí)際問題建模，提高數(shù)學(xué)建模能力；通過計(jì)算和推導(dǎo)，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。學(xué)情分析學(xué)生層次：本節(jié)課面對(duì)的是高中一年級(jí)的學(xué)生，他們剛剛接觸平面解析幾何，對(duì)直線和圓的基本概念有所了解，但尚未形成系統(tǒng)的知識(shí)體系。學(xué)生在幾何直觀和空間想象能力方面有一定基礎(chǔ)，但可能對(duì)坐標(biāo)法表示點(diǎn)和線的關(guān)系還不夠熟練。

知識(shí)方面：學(xué)生在初中階段學(xué)習(xí)了平面幾何的基本概念和性質(zhì)，對(duì)點(diǎn)的坐標(biāo)、直線方程等有一定的了解。然而，對(duì)于圓的方程和直線與圓的位置關(guān)系，學(xué)生的掌握程度參差不齊，部分學(xué)生對(duì)圓的方程的理解不夠深入。

能力方面：學(xué)生在解決問題的能力上存在差異，部分學(xué)生能夠運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決簡單的幾何問題，但面對(duì)較為復(fù)雜的幾何問題時(shí)，解題思路不夠清晰，缺乏有效的解題策略。

素質(zhì)方面：學(xué)生在課堂參與度、合作學(xué)習(xí)等方面表現(xiàn)良好，但部分學(xué)生可能存在依賴心理，對(duì)于獨(dú)立思考和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)需要加強(qiáng)。

行為習(xí)慣：學(xué)生在課堂紀(jì)律方面表現(xiàn)較好，但個(gè)別學(xué)生可能存在注意力不集中、做小動(dòng)作等不良行為習(xí)慣，需要教師及時(shí)引導(dǎo)和糾正。

對(duì)課程學(xué)習(xí)的影響：學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)和認(rèn)知水平對(duì)直線與圓的位置關(guān)系的學(xué)習(xí)有直接影響。教師需根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，調(diào)整教學(xué)策略，確保每個(gè)學(xué)生都能跟上教學(xué)進(jìn)度，同時(shí)注重培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和問題解決能力。教學(xué)資源-軟硬件資源：電子白板、投影儀、計(jì)算機(jī)

-課程平臺(tái)：學(xué)校教學(xué)資源庫、在線教育平臺(tái)

-信息化資源：直線與圓的位置關(guān)系動(dòng)畫演示軟件、相關(guān)數(shù)學(xué)軟件（如GeoGebra）

-教學(xué)手段：實(shí)物教具（如圓形紙盤、直尺）、多媒體課件、板書工具教學(xué)過程設(shè)計(jì)1.導(dǎo)入新課（5分鐘）

目標(biāo)：引起學(xué)生對(duì)直線與圓的位置關(guān)系的興趣，激發(fā)其探索欲望。

過程：

開場(chǎng)提問：“同學(xué)們，你們能描述一下直線和圓在現(xiàn)實(shí)生活中的例子嗎？”

展示一些生活中常見的直線和圓的圖片，如鐘表的時(shí)針和分針、自行車輪子等。

簡短介紹直線與圓的位置關(guān)系的基本概念和它在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，為接下來的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

2.直線與圓的位置關(guān)系基礎(chǔ)知識(shí)講解（10分鐘）

目標(biāo)：讓學(xué)生了解直線與圓的位置關(guān)系的基本概念、組成部分和原理。

過程：

講解直線與圓的位置關(guān)系的定義，包括相離、相切和相交。

詳細(xì)介紹直線與圓的位置關(guān)系的判定方法，如距離公式、切線方程等。

3.直線與圓的位置關(guān)系案例分析（20分鐘）

目標(biāo)：通過具體案例，讓學(xué)生深入了解直線與圓的位置關(guān)系的特性和重要性。

過程：

選擇幾個(gè)典型的直線與圓的位置關(guān)系的案例進(jìn)行分析，如計(jì)算圓的切線長度、求解直線與圓的交點(diǎn)等。

詳細(xì)介紹每個(gè)案例的解題思路和方法，讓學(xué)生全面了解直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用。

引導(dǎo)學(xué)生思考這些案例在實(shí)際問題中的應(yīng)用，以及如何利用直線與圓的位置關(guān)系解決實(shí)際問題。

4.學(xué)生小組討論（10分鐘）

目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的合作能力和解決問題的能力。

過程：

將學(xué)生分成若干小組，每組選擇一個(gè)與直線與圓的位置關(guān)系相關(guān)的主題進(jìn)行深入討論，如“如何利用直線與圓的位置關(guān)系解決實(shí)際問題？”

小組內(nèi)討論該主題的現(xiàn)狀、挑戰(zhàn)以及可能的解決方案。

每組選出一名代表，準(zhǔn)備向全班展示討論成果。

5.課堂展示與點(diǎn)評(píng)（15分鐘）

目標(biāo)：鍛煉學(xué)生的表達(dá)能力，同時(shí)加深全班對(duì)直線與圓的位置關(guān)系的認(rèn)識(shí)和理解。

過程：

各組代表依次上臺(tái)展示討論成果，包括主題的現(xiàn)狀、挑戰(zhàn)及解決方案。

其他學(xué)生和教師對(duì)展示內(nèi)容進(jìn)行提問和點(diǎn)評(píng)，促進(jìn)互動(dòng)交流。

教師總結(jié)各組的亮點(diǎn)和不足，并提出進(jìn)一步的建議和改進(jìn)方向。

6.課堂小結(jié)（5分鐘）

目標(biāo)：回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)直線與圓的位置關(guān)系的重要性和意義。

過程：

簡要回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，包括直線與圓的位置關(guān)系的定義、判定方法、案例分析等。

強(qiáng)調(diào)直線與圓的位置關(guān)系在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和實(shí)際問題解決中的價(jià)值和作用，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)一步探索和應(yīng)用這一知識(shí)。

布置課后作業(yè)：讓學(xué)生嘗試解決一些與直線與圓的位置關(guān)系相關(guān)的實(shí)際問題，以鞏固學(xué)習(xí)效果。拓展與延伸1.提供與本節(jié)課內(nèi)容相關(guān)的拓展閱讀材料

-《圓的方程及其性質(zhì)》選讀：介紹圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、一般方程及其幾何意義，以及圓的半徑、圓心等概念。

-《直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用》選讀：探討直線與圓的位置關(guān)系在實(shí)際問題中的應(yīng)用，如建筑設(shè)計(jì)、機(jī)械設(shè)計(jì)等領(lǐng)域的應(yīng)用案例。

-《解析幾何中的圓的切線問題》選讀：研究圓的切線方程、切線斜率與圓心坐標(biāo)之間的關(guān)系，以及切線問題的解法。

2.鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行課后自主學(xué)習(xí)和探究

-學(xué)生可以嘗試自己推導(dǎo)直線與圓的位置關(guān)系的判定公式，如利用距離公式推導(dǎo)直線與圓相切的條件。

-引導(dǎo)學(xué)生研究不同類型圓（如橢圓、雙曲線、拋物線）與直線相交的情況，總結(jié)規(guī)律。

-鼓勵(lì)學(xué)生嘗試解決一些綜合性較強(qiáng)的幾何問題，如直線與圓、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用。

-學(xué)生可以嘗試?yán)糜?jì)算機(jī)軟件（如GeoGebra）模擬直線與圓的位置關(guān)系的變化，觀察規(guī)律。

-引導(dǎo)學(xué)生思考直線與圓的位置關(guān)系在其他學(xué)科中的應(yīng)用，如物理學(xué)中的圓周運(yùn)動(dòng)、工程學(xué)中的圓弧測(cè)量等。

-學(xué)生可以嘗試將直線與圓的位置關(guān)系應(yīng)用于解決實(shí)際問題，如設(shè)計(jì)一個(gè)圓的切割方案，使得切割后的圓弧長度最大或最小。課堂1.課堂評(píng)價(jià)

課堂評(píng)價(jià)是教學(xué)過程中不可或缺的一環(huán)，它有助于教師了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，及時(shí)發(fā)現(xiàn)問題并進(jìn)行解決。以下是本節(jié)課課堂評(píng)價(jià)的具體實(shí)施方法：

（1）提問評(píng)價(jià)：通過提問，教師可以了解學(xué)生對(duì)直線與圓的位置關(guān)系的理解程度。在講解過程中，教師可以適時(shí)提出問題，如“直線與圓相切的條件是什么？”、“如何求解直線與圓的交點(diǎn)？”等。學(xué)生回答后，教師應(yīng)及時(shí)給予反饋，對(duì)學(xué)生的回答進(jìn)行評(píng)價(jià)和補(bǔ)充。

（2）觀察評(píng)價(jià)：教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生在課堂上的參與情況，如注意力集中程度、課堂互動(dòng)積極性等。通過觀察，教師可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的困惑和難點(diǎn)，以便在講解過程中進(jìn)行針對(duì)性指導(dǎo)。

（3）測(cè)試評(píng)價(jià)：在課堂結(jié)束前，教師可以設(shè)計(jì)一些小測(cè)試，如填空題、選擇題等，以檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)直線與圓的位置關(guān)系的掌握情況。測(cè)試題應(yīng)與課本內(nèi)容緊密相關(guān)，難度適中。

2.作業(yè)評(píng)價(jià)

作業(yè)評(píng)價(jià)是了解學(xué)生學(xué)習(xí)效果的重要途徑。以下是本節(jié)課作業(yè)評(píng)價(jià)的具體實(shí)施方法：

（1）認(rèn)真批改作業(yè)：教師應(yīng)認(rèn)真批改學(xué)生的作業(yè)，對(duì)學(xué)生的解答進(jìn)行評(píng)價(jià)。對(duì)于錯(cuò)誤，教師應(yīng)指出錯(cuò)誤原因，并給出正確的解答方法。

（2）及時(shí)反饋：教師應(yīng)及時(shí)將作業(yè)批改結(jié)果反饋給學(xué)生，讓學(xué)生了解自己的學(xué)習(xí)情況。對(duì)于作業(yè)中的亮點(diǎn)，教師應(yīng)給予表揚(yáng)，鼓勵(lì)學(xué)生繼續(xù)保持；對(duì)于存在的問題，教師應(yīng)提出改進(jìn)建議。

（3）鼓勵(lì)學(xué)生繼續(xù)努力：在作業(yè)評(píng)價(jià)中，教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度和進(jìn)步空間。對(duì)于學(xué)習(xí)態(tài)度認(rèn)真、進(jìn)步明顯的同學(xué)，教師應(yīng)給予肯定和鼓勵(lì)；對(duì)于學(xué)習(xí)有困難的同學(xué)，教師應(yīng)給予更多關(guān)注和指導(dǎo)，幫助他們克服困難。

3.課堂評(píng)價(jià)與作業(yè)評(píng)價(jià)的結(jié)合

課堂評(píng)價(jià)和作業(yè)評(píng)價(jià)相輔相成，共同構(gòu)成了本節(jié)課的教學(xué)評(píng)價(jià)體系。教師應(yīng)將兩者結(jié)合起來，全面了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況。

（1）課堂評(píng)價(jià)與作業(yè)評(píng)價(jià)的相互補(bǔ)充：課堂評(píng)價(jià)側(cè)重于學(xué)生在課堂上的表現(xiàn)，作業(yè)評(píng)價(jià)側(cè)重于學(xué)生在課后對(duì)知識(shí)的鞏固和應(yīng)用。兩者相互補(bǔ)充，共同構(gòu)成了對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)。

（2）課堂評(píng)價(jià)與作業(yè)評(píng)價(jià)的動(dòng)態(tài)調(diào)整：教師應(yīng)根據(jù)課堂評(píng)價(jià)和作業(yè)評(píng)價(jià)的結(jié)果，動(dòng)態(tài)調(diào)整教學(xué)策略，確保教學(xué)效果。對(duì)于學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生，教師應(yīng)給予更多關(guān)注和指導(dǎo)；對(duì)于學(xué)習(xí)表現(xiàn)優(yōu)秀的學(xué)生，教師應(yīng)鼓勵(lì)他們繼續(xù)努力，追求更高目標(biāo)。反思改進(jìn)措施反思改進(jìn)措施（一）教學(xué)特色創(chuàng)新

1.案例教學(xué)法的應(yīng)用：在講解直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，我嘗試結(jié)合實(shí)際案例，如建筑設(shè)計(jì)中的圓弧設(shè)計(jì)、機(jī)械制造中的圓切割等，讓學(xué)生更直觀地理解知識(shí)的應(yīng)用，提高學(xué)生的實(shí)際操作能力。

2.多媒體輔助教學(xué)：利用多媒體課件展示直線與圓的位置關(guān)系的動(dòng)態(tài)變化，幫助學(xué)生更好地理解抽象的數(shù)學(xué)概念，增強(qiáng)課堂的趣味性和互動(dòng)性。

反思改進(jìn)措施（二）存在主要問題

1.學(xué)生基礎(chǔ)參差不齊：由于學(xué)生來自不同的初中，他們對(duì)平面幾何知識(shí)的掌握程度不一，導(dǎo)致課堂教學(xué)中難以做到因材施教。

2.教學(xué)方式單一：在講解直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，我主要采用講授法，缺乏多樣化的教學(xué)手段，可能導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)興趣不高。

3.評(píng)價(jià)方式不夠全面：課堂評(píng)價(jià)和作業(yè)評(píng)價(jià)雖然有所結(jié)合，但評(píng)價(jià)方式仍較單一，未能全面反映學(xué)生的學(xué)習(xí)情況。

反思改進(jìn)措施（三）

1.優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)，關(guān)注學(xué)生個(gè)體差異：針對(duì)學(xué)生基礎(chǔ)參差不齊的問題，我將根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，設(shè)計(jì)分層教學(xué)方案，確保每個(gè)學(xué)生都能跟上教學(xué)進(jìn)度。同時(shí)，關(guān)注學(xué)生的個(gè)體差異，針對(duì)不同層次的學(xué)生提出不同的學(xué)習(xí)要求。

2.豐富教學(xué)手段，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣：在教學(xué)中，我將嘗試運(yùn)用多種教學(xué)手段，如小組討論、角色扮演、實(shí)驗(yàn)操作等，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高課堂參與度。

3.完善評(píng)價(jià)體系，全面了解學(xué)生學(xué)習(xí)情況：為了更全面地了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，我將采用多元化的評(píng)價(jià)方式，包括課堂表現(xiàn)、作業(yè)完成情況、小組討論表現(xiàn)等，以便及時(shí)發(fā)現(xiàn)和解決問題。同時(shí)，將評(píng)價(jià)結(jié)果與教學(xué)反饋相結(jié)合，不斷調(diào)整和優(yōu)化教學(xué)策略。典型例題講解1.例題：已知圓的方程為\(x^2+y^2=4\)，直線方程為\(y=kx+2\)，求直線與圓的位置關(guān)系。

解：將直線方程代入圓的方程，得到\(x^2+(kx+2)^2=4\)，化簡得\((1+k^2)x^2+4kx+4-4=0\)，即\((1+k^2)x^2+4kx=0\)。

這是一個(gè)關(guān)于\(x\)的一元二次方程，其判別式為\(Δ=b^2-4ac=(4k)^2-4(1+k^2)(0)=16k^2\)。

當(dāng)\(Δ>0\)時(shí)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即直線與圓相交；

當(dāng)\(Δ=0\)時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根，即直線與圓相切；

當(dāng)\(Δ<0\)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根，即直線與圓相離。

由于\(Δ=16k^2\)，因此無論\(k\)取何值，直線都與圓相交。

2.例題：已知圓的方程為\(x^2+y^2=25\)，直線方程為\(x-2y-5=0\)，求圓心到直線的距離。

解：圓心坐標(biāo)為\((0,0)\)，直線方程可寫為\(x-2y=5\)。

圓心到直線的距離公式為\(d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)，代入圓心坐標(biāo)和直線方程的系數(shù)，得到\(d=\frac{|1\cdot0-2\cdot0-5|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\)。

因此，圓心到直線的距離為\(\sqrt{5}\)。

3.例題：已知直線\(y=3x+1\)與圓\(x^2+y^2=16\)相切，求切點(diǎn)坐標(biāo)。

解：將直線方程代入圓的方程，得到\(x^2+(3x+1)^2=16\)，化簡得\(10x^2+6x-15=0\)。

這是一個(gè)關(guān)于\(x\)的一元二次方程，其判別式為\(Δ=b^2-4ac=6^2-4\cdot10\cdot(-15)=36+600=636\)。

由于\(Δ>0\)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即直線與圓相交于兩點(diǎn)。

由于直線與圓相切，切點(diǎn)坐標(biāo)應(yīng)滿足直線方程和圓的方程，即\(y=3x+1\)和\(x^2+y^2=16\)。

將\(y=3x+1\)代入\(x^2+y^2=16\)，得到\(x^2+(3x+1)^2=16\)，化簡得\(10x^2+6x-15=0\)。

解得\(x=\frac{-6\pm\sqrt{636}}{20}\)，即\(x=\frac{-3\pm\sqrt{81}}{10}\)。

因此，切點(diǎn)坐標(biāo)為\(\left(\frac{-3+9}{10},\frac{-3+3}{10}\right)\)和\(\left(\frac{-3-9}{10},\frac{-3-3}{10}\right)\)，即\((\frac{6}{10},\frac{2}{10})\)和\((-\frac{6}{10},-\frac{6}{10})\)。

4.例題：已知直線\(y=-\frac{1}{2}x+3\)與圓\(x^2+(y-1)^2=1\)相交，求交點(diǎn)坐標(biāo)。

解：將直線方程代入圓的方程，得到\(x^2+\left(-\frac{1}{2}x+2\right)^2=1\)，化簡得\(5x^2-2x-3=0\)。

這是一個(gè)關(guān)于\(x\)的一元二次方程，其判別式為\(Δ=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot5\cdot(-3)=4+60=64\)。

由于\(Δ>0\)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即直線與圓相交于兩點(diǎn)。

解得\(x=\frac{2\pm\sqrt{64}}{10}\)，即\(x=\frac{2\pm8}{10}\)。

因此，交點(diǎn)坐標(biāo)為\((\frac{10}{10},\frac{17}{10})\)和\((-\frac{6}{10},\frac{1}{10})\)，即\((1,1.7)\)和\((-0.6,0.1)\)。

5.例題：已知直線\(2x-y+1=0\)與圓\(x^2+y^2-4x+6y+9=0\)相切，求切點(diǎn)坐標(biāo)。

解：將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，得到\((x-2)^2+(y+3)^2=1\)。

圓心坐標(biāo)為\((2,-3)\)，半徑為\(1\)。

直線到圓心的距離公式為\(d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)，代入直線方程和圓心坐標(biāo)，得到\(d=\frac{|2\cdot2-1\cdot(-3)+1|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{|4+3+1|}{\sqrt{5}}=\frac{8}{\sqrt{5}}=\frac{8\sqrt{5}}{5}\)。

由于\(d=\frac{8\sqrt{5}}{5}\)大于半徑\(1\)，因此直線與圓相離。

根據(jù)切線性質(zhì)，切線與半徑垂直，因此可以求出切線斜率\(k=-\frac{1}{m}\)，其中