大二高數(shù)競(jìng)賽試題及答案

大二高數(shù)競(jìng)賽試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題5分，共20分）

1.設(shè)函數(shù)f(x)=x^3-3x+2，則f(x)的零點(diǎn)為：

A.x=1

B.x=-1

C.x=2

D.x=-2

2.設(shè)向量a=(1,2,3)，向量b=(3,4,5)，則向量a與向量b的點(diǎn)積為：

A.14

B.10

C.6

D.8

3.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值和最小值一定存在：

A.在區(qū)間端點(diǎn)

B.在區(qū)間內(nèi)

C.在區(qū)間端點(diǎn)或區(qū)間內(nèi)

D.不一定存在

4.設(shè)矩陣A=\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，則矩陣A的行列式為：

A.2

B.5

C.8

D.10

5.若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且a1=2，q=3，則an=：

A.2*3^(n-1)

B.2/3^(n-1)

C.6*3^(n-1)

D.6/3^(n-1)

二、填空題（每題5分，共20分）

1.設(shè)函數(shù)f(x)=e^x，則f'(x)=________。

2.設(shè)向量a=(2,3)，向量b=(4,6)，則向量a與向量b的叉積為_(kāi)_______。

3.若函數(shù)f(x)在x=a處可導(dǎo)，則f(x)在x=a處的導(dǎo)數(shù)為_(kāi)_______。

4.設(shè)矩陣A=\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，則矩陣A的逆矩陣為_(kāi)_______。

5.若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a1=5，d=2，則an=________。

三、解答題（每題20分，共60分）

1.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x+2，求f(x)的導(dǎo)數(shù)。

2.設(shè)向量a=(2,3)，向量b=(4,6)，求向量a與向量b的點(diǎn)積。

3.設(shè)函數(shù)f(x)=x^2-2x+1，求f(x)在區(qū)間[1,3]上的最大值和最小值。

4.設(shè)矩陣A=\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，求矩陣A的行列式。

5.設(shè)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且a1=2，q=3，求an。

四、證明題（每題20分，共40分）

1.證明：若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)>f(b)，則存在至少一個(gè)點(diǎn)c∈(a,b)，使得f'(c)=0。

2.證明：設(shè)矩陣A是一個(gè)n階可逆矩陣，證明A的伴隨矩陣A*也是可逆的，并求出A*的逆矩陣。

五、應(yīng)用題（每題20分，共40分）

1.已知某商品的需求函數(shù)Q=100-2P，其中P為價(jià)格，Q為需求量。求該商品的需求價(jià)格彈性，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義。

2.設(shè)某工廠的生產(chǎn)函數(shù)為Q=2L^0.5K^0.5，其中L為勞動(dòng)力，K為資本。求該工廠的邊際產(chǎn)量函數(shù)，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義。

六、綜合題（每題20分，共40分）

1.已知函數(shù)f(x)=x^3-6x^2+9x+1，求f(x)的極值點(diǎn)，并判斷其性質(zhì)（極大值或極小值）。

2.設(shè)矩陣A=\(\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\)，求矩陣A的特征值和特征向量。

試卷答案如下：

一、選擇題

1.B.x=-1

解析思路：通過(guò)對(duì)f(x)進(jìn)行因式分解，可以得到f(x)=(x+1)(x-1)^2，從而找到零點(diǎn)x=-1。

2.A.14

解析思路：向量a和向量b的點(diǎn)積計(jì)算公式為a·b=a1*b1+a2*b2+a3*b3，代入數(shù)值計(jì)算得14。

3.C.在區(qū)間端點(diǎn)或區(qū)間內(nèi)

解析思路：根據(jù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，極值一定存在于閉區(qū)間[a,b]的端點(diǎn)或區(qū)間內(nèi)。

4.D.10

解析思路：矩陣A的行列式計(jì)算公式為|A|=a11*a22-a12*a21，代入數(shù)值計(jì)算得10。

5.A.2*3^(n-1)

解析思路：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1*q^(n-1)，代入a1=2和q=3得到an=2*3^(n-1)。

二、填空題

1.e^x

解析思路：函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)公式為f'(x)=d/dx(e^x)=e^x。

2.0

解析思路：向量a和向量b的叉積計(jì)算公式為a×b=|a||b|sin(θ)，其中|a|和|b|分別是向量的模，θ是兩向量之間的夾角。由于a和b平行，夾角θ=0，所以叉積為0。

3.f'(a)

解析思路：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，函數(shù)f(x)在x=a處的導(dǎo)數(shù)就是f'(a)。

4.\(\begin{bmatrix}1&-2\\-3&1\end{bmatrix}\)

解析思路：矩陣A的逆矩陣可以通過(guò)公式A^-1=1/|A|*adj(A)來(lái)計(jì)算，其中adj(A)是A的伴隨矩陣。計(jì)算后得到逆矩陣。

5.5+(n-1)*2

解析思路：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1+(n-1)d，代入a1=5和d=2得到an=5+(n-1)*2。

三、解答題

1.f'(x)=3x^2-6x+9

解析思路：對(duì)函數(shù)f(x)進(jìn)行求導(dǎo)，應(yīng)用冪函數(shù)的求導(dǎo)法則得到導(dǎo)數(shù)。

2.a·b=2*4+3*6=8+18=26

解析思路：根據(jù)向量點(diǎn)積的定義，將向量a和b的對(duì)應(yīng)分量相乘后求和得到點(diǎn)積。

3.最大值f(3)=4，最小值f(2)=-1

解析思路：對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)，找到導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，即可能的極值點(diǎn)。計(jì)算f(1)和f(3)得到最大值和最小值。

4.|A|=1*4*9-2*3*7=36-42=-6

解析思路：計(jì)算矩陣A的行列式，使用行列式的計(jì)算公式得到結(jié)果。

5.an=2*3^(n-1)

解析思路：根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，代入a1=2和q=3得到an的表達(dá)式。

四、證明題

1.證明：設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)>f(b)。根據(jù)介值定理，存在c∈(a,b)，使得f(c)=(f(a)+f(b))/2。由于f(a)>f(b)，則f(c)>0。因此，f(x)在區(qū)間[a,c]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[c,b]上單調(diào)遞增。又因?yàn)閒(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，所以存在c∈(a,b)，使得f'(c)=0。

2.證明：由于A是可逆矩陣，所以|A|≠0。根據(jù)伴隨矩陣的定義，adj(A)是A的代數(shù)余子式矩陣的轉(zhuǎn)置，所以|adj(A)|=|A|^(n-1)。因此，adj(A)也是可逆的，且(adj(A))^(-1)=|adj(A)|^(n-2)*|A|^(-1)=|A|^(n-1)*|A|^(-1)=|A|^(n-2)。

五、應(yīng)用題

1.需求價(jià)格彈性=(dQ/dP)*(P/Q)=-2*(P/(100-2P))，當(dāng)P=25時(shí)，需求價(jià)格彈性為-1。經(jīng)濟(jì)意義：當(dāng)價(jià)格P上升1%時(shí)，需求量Q將下降1%。

解析思路：根據(jù)需求價(jià)格彈性的定義，計(jì)算彈性值，并代入P=25的值來(lái)解釋經(jīng)濟(jì)意義。

2.邊際產(chǎn)量函數(shù)dQ/dL=2K^0.5/L^0.5，當(dāng)L=1時(shí)，邊際產(chǎn)量為2K^0.5。經(jīng)濟(jì)意義：當(dāng)勞動(dòng)力L增加1單位時(shí)，產(chǎn)量Q將增加2K^0.5單位。

解析思路：根據(jù)生產(chǎn)函數(shù)的邊際產(chǎn)量定義，求導(dǎo)得到邊際產(chǎn)量函數(shù)，并代入L=1的值來(lái)解釋經(jīng)濟(jì)意義。

六、綜合題

1.極值點(diǎn)：x=2，極大值f(2)=-1

解析思路：對(duì)函數(shù)f(x