第六章 平面向量及其應(yīng)用（思維導(dǎo)圖+知識清單） 高一數(shù)學(xué) （人教A版2019必修第二冊）

第六章平面向量及其應(yīng)用（思維導(dǎo)圖+知識清單）【人教A版（2019）】6.1平面向量的概念【知識點1向量的概念】1．向量的概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量.(2)數(shù)量：只有大小，沒有方向的量（如年齡、身高、長度、面積、體積和質(zhì)量等），稱為數(shù)量．注：①本書所學(xué)向量是自由向量，即只有大小和方向，而無特定的位置，這樣的向量可以作任意平移．②看一個量是否為向量，就要看它是否具備了大小和方向兩個要素．③向量與數(shù)量的區(qū)別：數(shù)量與數(shù)量之間可以比較大小，而向量與向量之間不能比較大?。?．向量的表示法(1)有向線段：具有方向的線段叫做有向線段，有向線段包含三個要素：起點、方向、長度．(2)向量的表示方法：①字母表示法：如等.②幾何表示法：以A為始點，B為終點作有向線段（注意始點一定要寫在終點的前面）．如果用一條有向線段表示向量，通常我們就說向量. 3．向量的有關(guān)概念(1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用來表示向量的有向線段的長度).(2)零向量：長度為零的向量叫零向量.記作，它的方向是任意的．(3)單位向量：長度等于1個單位的向量.(4)相等向量：長度相等且方向相同的向量.(5)相反向量：長度相等且方向相反的向量.注：①在畫單位向量時，長度1可以根據(jù)需要任意設(shè)定.②在平面內(nèi)，相等的向量有無數(shù)多個，它們的方向相同且長度相等．③非零向量與的關(guān)系：是與同方向的單位向量.【知識點2相等向量與共線向量】1．向量的共線或平行方向相同或相反的非零向量，叫共線向量(共線向量又稱為平行向量).規(guī)定:與任一向量共線.注：①零向量的方向是任意的，注意與0的含義與書寫區(qū)別.②平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系.③共線向量與相等向量的關(guān)系：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定是相等的向量．2．用共線（平行）向量或相等向量刻畫幾何關(guān)系(1)利用向量的模相等可以證明線段相等，利用向量相等可以證明線段平行且相等.

(2)利用向量共線可以證明直線與直線平行，但需說明向量所在的直線無公共點.

(3)利用向量可以判斷圖形的形狀(如平行四邊形、等腰三角形等)、證明多點共線等.3．平行向量有關(guān)概念的三個關(guān)注點(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點無關(guān).(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時，不要把它與函數(shù)圖象的平移混淆.6.2平面向量的運算【知識點1平面向量的線性運算】1．向量的加法運算(1)向量加法的定義及兩個重要法則定義求兩個向量和的運算，叫做向量的加法.向量

加法

的三

角形

法則前提已知非零向量，在平面內(nèi)任取一點A.作法作，連接AC.結(jié)論向量叫做與的和，記作，即.圖形向量

加法

的平

行四

邊形

法則前提已知兩個不共線的向量，在平面內(nèi)任取一點O.作法作，以O(shè)A,OB為鄰邊作四邊形OACB.結(jié)論以O(shè)為起點的向量就是向量與的和，即.圖形規(guī)定對于零向量與任一向量，我們規(guī)定. (2)多個向量相加為了得到有限個向量的和，只需將這些向量依次首尾相接，那么以第一個向量的起點為起點，最后一個向量的終點為終點的向量，就是這些向量的和，如圖所示.2．向量加法的運算律(1)交換律：；(2)結(jié)合律：.3．向量的減法運算(1)相反向量我們規(guī)定，與向量長度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，記作.零向量的相反向量仍是零向量.(2)向量減法的定義：向量加上的相反向量，叫做與的差，即.求兩個向量差的運算叫做向量的減法.(3)向量減法的三角形法則如圖，已知向量，在平面內(nèi)任取一點O，作，，則.即可以表示為從向量的終點指向向量的終點的向量，這是向量減法的幾何意義.4．向量的數(shù)乘運算(1)向量的數(shù)乘的定義一般地，我們規(guī)定實數(shù)與向量的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作，它的長度與方向規(guī)定如下：①；

②當(dāng)時，的方向與的方向相同；當(dāng)時，的方向與的方向相反.(2)向量的數(shù)乘的運算律設(shè)為實數(shù)，那么①；②；③.

特別地，我們有，.

(3)向量的線性運算向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算.對于任意向量，以及任意實數(shù)，恒有.5．平面向量線性運算問題的求解思路：(1)解決平面向量線性運算問題的關(guān)鍵在于熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運用相反向量將加減法相互轉(zhuǎn)化；(2)在求向量時要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，運用平行四邊形法則、三角形法則及三角形中位線定理、相似三角形對應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為用已知向量線性表示.【知識點2向量共線定理】1．向量共線定理(1)向量共線定理向量與共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)，使.

(2)向量共線定理的應(yīng)用——求參

一般地，解決向量共線求參問題，可用兩個不共線向量(如)表示向量，設(shè)，化成關(guān)于的方程，由于不共線，則解方程組即可.2．利用共線向量定理解題的策略(1)是判斷兩個向量共線的主要依據(jù).注意待定系數(shù)法和方程思想的運用.(2)當(dāng)兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線，即A,B,C三點共線共線.(3)若與不共線且，則.(4)(λ,μ為實數(shù))，若A,B,C三點共線，則λ+μ=1.6.3向量的數(shù)量積【知識點1向量的數(shù)量積】1．向量的數(shù)量積(1)向量數(shù)量積的物理背景在物理課中我們學(xué)過功的概念：如果一個物體在力的作用下產(chǎn)生位移，那么力所做的功W=，其中是與的夾角.

我們知道力和位移都是矢量，而功是一個標(biāo)量(數(shù)量).這說明兩個矢量也可以進行運算，并且這個運算明顯不同于向量的數(shù)乘運算，因為數(shù)乘運算的結(jié)果是一個向量，而這個運算的結(jié)果是數(shù)量.(2)向量的夾角已知兩個非零向量，如圖所示，O是平面上的任意一點，作，，則∠AOB=叫做向量與的夾角，也常用表示.(3)兩個向量數(shù)量積的定義已知兩個非零向量與，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做向量與的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作，即.

規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即.(4)向量的投影如圖，設(shè)是兩個非零向量，，，我們考慮如下的變換：過的起點A和終點B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.2．向量數(shù)量積的性質(zhì)和運算律(1)向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)是非零向量，它們的夾角是，是與方向相同的單位向量，則

①.

②.

③當(dāng)與同向時，；當(dāng)與反向時，.

特別地，或.

④，當(dāng)且僅當(dāng)向量共線，即時，等號成立.

⑤.(2)向量數(shù)量積的運算律由向量數(shù)量積的定義，可以發(fā)現(xiàn)下列運算律成立：

對于向量和實數(shù)，有

①交換律：；

②數(shù)乘結(jié)合律：；

③分配律：.3．向量數(shù)量積的常用結(jié)論(1)=；

(2)；

(3)；

(4)；

(5)，當(dāng)且僅當(dāng)與同向共線時右邊等號成立，與反向共線時左邊等號成立.

以上結(jié)論可作為公式使用.4．向量數(shù)量積的兩大應(yīng)用(1)夾角與垂直根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)：若與為非零向量，則(夾角公式)，等，可知平面向量的數(shù)量積可以用來解決有關(guān)角度、垂直問題.(2)向量的模的求解方法：①公式法：利用及，把向量的模的運算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運算；②幾何法：利用向量的幾何意義，即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解.6.4平面向量基本定理及坐標(biāo)表示【知識點1平面向量基本定理】1．平面向量基本定理(1)平面向量基本定理如果是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)，使.若不共線，我們把叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底.(2)定理的實質(zhì)由平面向量基本定理知，可將任一向量在給出基底的條件下進行分解——平面內(nèi)的任一向量都可以用平面內(nèi)任意不共線的兩個向量線性表示，這就是平面向量基本定理的實質(zhì).2．用平面向量基本定理解決問題的一般思路用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一個基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決.注意同一個向量在不同基底下的分解是不同的，但在每個基底下的分解都是唯一的.【知識點2平面向量的坐標(biāo)表示】1．平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示(1)正交分解不共線的兩個向量相互垂直是一種重要的情形，把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.(2)向量的坐標(biāo)表示如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量分別為，取作為基底.對于平面內(nèi)的任意一個向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數(shù)x，y，使得.這樣，平面內(nèi)的任一向量都可由x，y唯一確定，我們把有序數(shù)對(x，y)叫做向量的坐標(biāo)，記作①.其中x叫做在x軸上的坐標(biāo)，y叫做在y軸上的坐標(biāo)，①叫做向量的坐標(biāo)表示.

顯然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0).(3)點的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)的關(guān)系區(qū)別表示形

式不同向量中間用等號連接，而點A(x,y)中間沒有等號.意義

不同點A(x,y)的坐標(biāo)(x,y)表示點A在平面直角坐標(biāo)系中的位置，的坐標(biāo)(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外，(x,y)既可以表示點，也可以表示向量，敘述時應(yīng)指明點(x,y)或向量(x,y).聯(lián)系向量的坐標(biāo)與其終點的坐標(biāo)不一定相同.當(dāng)平面向量的起點在原點時，平面向量的坐標(biāo)與向量終點的坐標(biāo)相同.2．平面向量線性運算的坐標(biāo)表示(1)兩個向量和（差）的坐標(biāo)表示由于向量，等價于，，所以，即.同理得.

這就是說，兩個向量和(差)的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和(差).(2)向量數(shù)乘的坐標(biāo)表示由，可得，則，即.

這就是說，實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo).

3．平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示(1)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示由于向量，等價于，，所以.又，，，所以.

這就是說，兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和.(2)平面向量長度（模）的坐標(biāo)表示若，則或.

其含義是：向量的長度(模)等于向量的橫、縱坐標(biāo)平方和的算術(shù)平方根.

如果表示向量的有向線段的起點和終點的坐標(biāo)分別為，，那么，.

4．平面向量位置關(guān)系的坐標(biāo)表示(1)共線的坐標(biāo)表示①兩向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)，，其中.我們知道，共線的充要條件是存在實數(shù)，使.如果用坐標(biāo)表示，可寫為，即，消去，得.這就是說，向量共線的充要條件是.②三點共線的坐標(biāo)表示若，，三點共線，則有，從而，即，

或由得到，

或由得到.

由此可知，當(dāng)這些條件中有一個成立時，A,B,C三點共線.

(2)夾角的坐標(biāo)表示設(shè)都是非零向量，，，是與的夾角，根據(jù)向量數(shù)量積的定義及坐標(biāo)表示可得.(3)垂直的坐標(biāo)表示設(shè)，，則.

即兩個向量垂直的充要條件是它們相應(yīng)坐標(biāo)乘積的和為0.5．平面向量坐標(biāo)運算的技巧(1)向量的坐標(biāo)運算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運算的法則來進行求解的，若已知有向線段兩端點的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo).(2)解題過程中，常利用向量相等其坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程(組)來進行求解.6.5平面向量的應(yīng)用【知識點1平面幾何中的向量方法】1．平面幾何中的向量方法(1)用向量研究平面幾何問題的思想向量集數(shù)與形于一身，既有代數(shù)的抽象性又有幾何的直觀性.因此，用向量解決平面幾何問題，就是將幾何的證明問題轉(zhuǎn)化為向量的運算問題，將“證”轉(zhuǎn)化為“算”，思路清晰，便于操作.(2)向量在平面幾何中常見的應(yīng)用①證明線段平行或點共線問題，以及相似問題，常用向量共線定理：.

②證明線段垂直問題，如證明四邊形是矩形、正方形，判斷兩直線(或線段)是否垂直等，常用向量垂直的條件：.

③求夾角問題，利用夾角公式：.

④求線段的長度或說明線段相等，可以用向量的模：或.(3)向量法解決平面幾何問題的“三步曲”第一步，轉(zhuǎn)化：建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；第二步，運算：通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；第三步，翻譯：把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.【知識點2向量在物理中的應(yīng)用】1．力學(xué)問題的向量處理方法向量是既有大小又有方向的量，它們可以有共同的作用點，也可以沒有共同的作用點，但力卻是既有大小，又有方向且作用于同一作用點的量.用向量知識解決力的問題，往往是把向量平移到同一作用點上.2．速度、位移問題的向量處理方法速度、加速度與位移的合成和分解，實質(zhì)就是向量的加減法運算，而運動的疊加也用到向量的合成.3．向量與功、動量

物理上力做功的實質(zhì)是力在物體前進方向上的分力與物體位移的乘積，它的實質(zhì)是向量的數(shù)量積.

(1)力的做功涉及兩個向量及這兩個向量的夾角，即.功是一個實數(shù)，它可正，可負(fù)，也可為零.

(2)動量涉及物體的質(zhì)量m，物體運動的速度，因此動量的計算是向量的數(shù)乘運算.6.6解三角形【知識點1余弦定理、正弦定理】1．余弦定理(1)余弦定理及其推論的表示文字表述三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.公式表述a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.推論(2)對余弦定理的理解①余弦定理對任意的三角形都成立.

②在余弦定理中，每一個等式都包含四個量，因此已知其中三個量，利用方程思想可以求得未知的量.

③余弦定理的推論是余弦定理的第二種形式，適用于已知三角形三邊來確定三角形的角的問題.用余弦定理的推論還可以根據(jù)角的余弦值的符號來判斷三角形中的角是銳角還是鈍角.

④余弦定理的另一種常見變式：b2+c2-a2=2bccosA，a2+c2-b2=2accosB，a2+b2-c2=2abcosC.2．正弦定理(1)正弦定理的表示在△ABC中，若角A,B,C對應(yīng)的邊分別是a,b,c，則各邊和它所對角的正弦的比相等，即==.(2)正弦定理的常見變形在△ABC中，由正弦定理得===k(k>0)，則a=k，b=k，c=k，由此可得正弦定理的下列變形：①=，=，=，a=b，a=c，b=c；

②======；

③a:b:c=::；④===2R，（R為△ABC外接圓的半徑）.(3)三角形的邊角關(guān)系

由正弦定理可推導(dǎo)出，在任意三角形中，有“大角對大邊，小角對小邊”的邊角關(guān)系.3．解三角形(1)解三角形的概念一般地，三角形的三個角A,B,C和它們的對邊a,b,c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形.(2)余弦定理在解三角形中的應(yīng)用利用余弦定理可以解決以下兩類解三角形的問題：

①已知兩邊及它們的夾角，求第三邊和其他兩個角；

③已知三邊，求三角形的三個角.(3)正弦定理在解三角形中的應(yīng)用公式==反映了三角形的邊角關(guān)系.

由正弦定理的推導(dǎo)過程知，該公式實際表示為：=，=，=.上述的每一個等式都表示了三角形的兩個角和它們的對邊的關(guān)系.從方程角度來看，正弦定理其實描述的是三組方程，對于每一個方程，都可“知三求一”，于是正弦定理可以用來解決兩類解三角形的問題：

①已知兩角和任意一邊，求其他的邊和角，

③已知兩邊和其中一邊的對角，求其他的邊和角.4．對三角形解的個數(shù)的研究已知三角形的兩角和任意一邊，求其他的邊和角，此時有唯一解，三角形被唯一確定.

已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，求其他的邊和角，此時可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，三角形不能被唯一確定.

(1)從代數(shù)的角度分析“已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角”時三角形解的情況，下面以已知a,b和A，解三角形為例加以說明.

由正弦定理、正弦函數(shù)的有界性及三角形的性質(zhì)可得：

①若=>1，則滿足條件的三角形的個數(shù)為0；

②若==1，則滿足條件的三角形的個數(shù)為1；

③若=<1，則滿足條件的三角形的個數(shù)為1或2.

顯然由0<=<1可得B有兩個值，一個大于，一個小于，考慮到“大邊對大角”、“三角形內(nèi)角和等于”等，此時需進行討論.(2)從幾何的角度分析“已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角”時三角形解的情況，以已知a,b和A，解三角形為例，用幾何法探究如下：圖形關(guān)系式解的個數(shù)A為銳角①a=bsinA；②a≥b一解bsinA<a<b兩解a<bsinA無解A為鈍角或直角a>b一解a≤b無解5．判定三角形形狀的途徑：(1)化邊為角，通過三角變換找出角之間的關(guān)系；(2)化角為邊，通過代數(shù)變形找出邊之間的關(guān)系，正(余)弦定理是轉(zhuǎn)化的橋梁.無論使用哪種方法，都不要隨意約掉公因式，要移項提取公因式，否則會有漏掉一種形狀的可能.注意挖掘隱含條件，重視角的范圍對三