2023-2024學(xué)年蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)復(fù)習(xí)專練：線段的垂直平分線與角平分線綜合壓軸題五種模型（解析版）

專題06線段的垂直平分線與角平分線綜合壓軸題五種模型全攻略

?。贺巍究键c(diǎn)導(dǎo)航】

目錄

【典型例題】...................................................................................1

【考點(diǎn)一利用線段垂直平分線的性質(zhì)求解】...................................................1

【考點(diǎn)二線段垂直平分線的判定】..........................................................4

【考點(diǎn)三利用角平分線的性質(zhì)求解】........................................................8

【考點(diǎn)四角平分線的判定】................................................................11

【考點(diǎn)五線段的垂直平分線與角平分線的綜合問題】.........................................14

【過關(guān)檢測(cè)】..................................................................................20

【典型例題】

【考點(diǎn)一利用線段垂直平分線的性質(zhì)求解】

例題：（2023春?江蘇淮安?七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，AABC中，AB^AC,ZA=36°,AC的垂直平分

線交AB、AC于E,D,連接EC,貝i]NBEC=

【答案】72。/72度

【分析】先根據(jù)垂線平分線的定義得到=CD,EDrAC,進(jìn)而證明四得到

ZDCE=ZA=36°,則由三角形外角的性質(zhì)可得N5EC=/A+/ACE=72。.

【詳解】解：回AC的垂直平分線交A3、AC于E,D,

回AT>=CD,ED.LAC,

SZADE=ZCDE=90°,

又0ED=ED,

0Z\ADE絲△CDE(SAS),

EZDCE=ZA=36°,

0ZBEC=ZA+ZACE=72°,

故答案為：72°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判斷，線段垂直平分線的定義，正確推

出/。CE=/A=36。是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023?江蘇?八年級(jí)假期作業(yè)）三名同學(xué)分別站在一個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的位置上，他們?cè)谕鎿尩首拥挠螒颍?/p>

要求在他們中間放一個(gè)凳子，搶到凳子者獲勝，為使游戲公平，凳子應(yīng)放的最適當(dāng)?shù)奈恢迷谌切蔚模ǎ?/p>

A.三條角平分線的交點(diǎn)B.三邊中線的交點(diǎn)

C.三邊上高所在直線的交點(diǎn)D.三邊的垂直平分線的交點(diǎn)

【答案】D

【分析】根據(jù)題意可知，凳子的位置應(yīng)該到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，從而可確定答案.

【詳解】因?yàn)槿叺拇怪逼椒志€的交點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，這樣就能保證凳子到三名同學(xué)的距

離相等，以保證游戲的公平，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查垂直平分線的應(yīng)用，掌握垂直平分線的性質(zhì)是關(guān)鍵.

2.（2023春?山東濟(jì)南?七年級(jí)濟(jì)南市章丘區(qū)第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在"BC中，BC=8,A3的

中垂線交BC于E,AC的中垂線交8C于G,貝LAGE的周長(zhǎng)等于.

【答案】8

【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)定理，得EA=EB,GA=GC,進(jìn)而即可求解.

【詳解】解：回AB的中垂線交于E,AC的中垂線交于G,

SEA=EB,GA=GC,

團(tuán)AAGE的周長(zhǎng)=￡4+G4+GE=EB+GC+GE=3C=8.

故答案是：8.

【點(diǎn)睛】本題主要考查垂直平分線的性質(zhì)定理，掌握垂直平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.線段的垂直平

分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.

3.（2023春?廣東深圳?七年級(jí)?？计谀┤鐖D，在AABC中，DM,EN分別垂直平分邊AC和邊BC,交邊

AB于A/,N兩點(diǎn)，D暇與EN相交于點(diǎn)尸.

（1）若AB=10cm,求ACMN的周長(zhǎng)；

（2）若ZMFN=65°,則NMCN的度數(shù)為°.

【答案］⑴10cm

⑵50

【分析】（1）由線段垂直平分線的性質(zhì)可得MA=MC,NB=NC,則ACMN的周長(zhǎng)

=CM+CN+MN=AM+MN+BN=AB；

（2）根據(jù)等邊對(duì)等角可得/A=NMAC,ZB=ZNCB,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，列式求出ZFMN+NWVM,

再求出NA+/3,即可求解.

【詳解】（1）解：^\DM,EN分別是AC,BC的中垂線

EM4=MC,NB=NC

13CACMN=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB=10cm；

（2）由（1）得M4=MC,NB=NC,由DM,EN分別垂直平分AC和BC,可得4ffM=ZAEB=90。，

SZA=ZMCA,ZB=ZNCB,

團(tuán)在zJWNF中，ZMFN=65°,

SZFMN+ZFNM=115°,

根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)可得：ZFMN=ZAMD,NFNM=NBNE,

在Rt/XADM中，ZA=90°-ZAMD=90°-ZFMN,

在RjBA?中，NB=90°-NBNE=900-NFNM,

SZA+ZB=90°-ZFMN+900-ZFNM=65°,

ZMCA+ZNCB=65°,

在AABC中，ZA+ZB=65°

0ZACB=115°,

0ZMCN=ZACB-(ZMCA+NNCB)=50°.

故答案為：50.

【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練

掌握相關(guān)基本性質(zhì)和整體思想的利用.

【考點(diǎn)二線段垂直平分線的判定】

例題：(2023春?陜西西安?七年級(jí)?？茧A段練習(xí))如圖，AD為三角形A3C的角平分線，DE/AB于點(diǎn)E,

DPIAC于點(diǎn)E連接E尸交AO于點(diǎn)O.

⑴若BE=DE,ZBAC=60°,求NCD尸的度數(shù)；

(2)寫出AD與E尸的關(guān)系，并說明理由；

【答案】⑴15。

(2)AD±EF,AD平分E/

【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和可得/C,再利用內(nèi)角和即可得出NCDF；

(2)由角平分線的意義及兩個(gè)垂直可證明VADEA皿L從而有==由線段垂直平分線

的判定知，AD±EF,AD平分￡F.

【詳解】(1)解：^DE±AB

ABED=90°

0BE=DE

.-.ZB=45°

0ZB4C=6O°

ZC=180°-45°-60°=75°

^DF1AC

:.ZDFC=90°

^ZCDF=15°

（2）解：AD^EF,AD平分￡F；

理由如下：

團(tuán)平分NBAC,

^\ZDAB=ZDACf

也DE」.AB,DF1AC,

團(tuán)ND￡A=NDE4=90。，

^AD—AD,

^NADE^ADF,

BAE=AF,DE=DF,

回AD是線段所的垂直平分線，

即AQ_LEF,AQ平分EF.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的證明，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，角平分線的性質(zhì).找到RtA4ED

和RtAADP,通過兩個(gè)三角形全等，找到各量之間的關(guān)系，完成證明是關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023秋?廣西河池?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在AABC中，邊AB,BC的垂直平分線交于點(diǎn)P.

⑴求證：PA=PB=PC；

⑵求證：點(diǎn)P在線段AC的垂直平分線上.

【答案】⑴見解析

⑵見解析

【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)直接可得到答案；

（2）根據(jù)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上即可得到答案;

【詳解】（1）證明：回邊AB、BC的垂直平分線交于點(diǎn)P,

^PA^PB,PB=PC,

SPA=PB=PC；

(2)證明：回邊A3,8C的垂直平分線交于點(diǎn)P,

^\PA=PB,PB=PC,

SPA=PC,

???點(diǎn)P在AC的垂直平分線上.

【點(diǎn)睛】本題考查垂直平分線的性質(zhì)及判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)距

離相等及到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上.

2.(2023春?全國(guó)?八年級(jí)專題練習(xí))如圖，點(diǎn)。是等邊AABC外一點(diǎn)，ZBDC=120°,DB=DC,點(diǎn)、E,F

分別在A3,AC上，連接AD、DE、DF、EF.

⑴求證：AD是BC的垂直平分線；

(2)若ED平分ZBEF,BC=5,求尸的周長(zhǎng).

【答案】⑴見解析；

(2)10.

【分析】(1)根據(jù)到線段兩端距離相等的點(diǎn)在垂直平分線上即可證明；

(2)如圖，過。作于結(jié)合已知易證NDBE=90。即,同理可得DC_LAC,易證

RtADBE會(huì)RMDME(HL)得BE=ME,同理可得B=然后轉(zhuǎn)換求周長(zhǎng)即可.

【詳解】(1)證明：?.?△ABC是等邊三角形，

AB=AC，

0A在8C的垂直平分線上,

又DB=DC,

回。在BC的垂直平分線上，

是8C的垂直平分線；

(2)如圖，過D作DA/_LEF于

?/ZBDC=120°,DB=DC

二"3c=30°

又?.?△ABC是等邊三角形，

ZDBE=ZDBC+ZABC=90°

:.DB±AB

同理可得.〔DCJ_AC

?;ED平分ZBEF,DM±EF

:.DB=DM=DC

:.DF平分NCFE,

在R^DBE與Rt^DME中

[DE=DE

[DB=DM

RtQBE%RtQME（HL）

:.BE=ME

同理可得B=MF

CLAEF=AE+AF+EF=AE+AF+（EM+MF）

=AE+AF+（EB+CF）

=（AE+EB）+（AF+CF）

=AB+AC

=2BC=10.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的判定，角平分線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)；解題的關(guān)鍵

是通過相關(guān)性質(zhì)構(gòu)造線段相等、進(jìn)行轉(zhuǎn)換.

【考點(diǎn)三利用角平分線的性質(zhì)求解】

例題：（2023春?山東威海?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AD是AABC中―54C的平分線，DE上AB于點(diǎn)、E,

AB=8,DE=4,AC=6,則凡人正=（）

A.14B.26C.56D.28

【答案】D

【分析】如圖：作交AC于點(diǎn)F,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得八斤=?！?4,再由，ABCMSAABC+KA?

求解即可.

【詳解】解：如圖，作DF/AC交AC于點(diǎn)孔

回AD平分/BAC,DE±AB,DF1AC,

回。/=OE=4,

^.c=S/+Sm=gACm+；A3OE=goE（AC+A2）g4（6+8）=28,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理、三角形的面積公式等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得到

=OE=4是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?甘肅張掖?八年級(jí)?？计谀┮粔K三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一個(gè)涼亭供大家休息，要使涼

亭到草坪三邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在（）

A.三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)B.三角形三條角平分線的交點(diǎn)

C.三角形三條高所在直線的交點(diǎn)D.三角形三條中線的交點(diǎn)

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，涼亭到草坪三邊的距離相等，涼亭的位置在三角形三條角平分線的交點(diǎn)，據(jù)此即可求

解.

【詳解】解：回涼亭到草坪三邊的距離相等，

回涼亭的位置在三角形三條角平分線的交點(diǎn)，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.（2023春?山西運(yùn)城?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，8。平分/ABC,P是BD上一點(diǎn)、,過點(diǎn)尸作于點(diǎn)

Q,PQ=5,。是剛上任意一點(diǎn)，連接0尸，則OP的最小值為.

【答案】5

【分析】根據(jù)垂線段最短確定點(diǎn)。的位置，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到最短距離.

【詳解】解：；。是54上任意一點(diǎn)，

當(dāng)尸OLA4時(shí)，O尸的值最小，

又?.?8。平分/ABC,P是8。上一點(diǎn)，PQLBC,PQ=5

O尸的最小值為5,

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)定理，垂線段最短，解題關(guān)鍵是找到最短距離的位置.

3.（2023春?陜西榆林,七年級(jí)校考期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD〃BC,ID90?,的平分

線與2C&L的平分線相交于點(diǎn)P,且點(diǎn)尸在線段8上，ZCPB=30°.

⑴求的度數(shù);

⑵試說明PD=PC.

【答案】⑴30。

(2)詳見解析

【分析】(1)根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，以及角平分線的定義，即可作答;

(2)過點(diǎn)尸作于點(diǎn)E,再根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理即可證明.

【詳解】(1)SiAD^BC,

回NC=180°—/O=180°一90°=90°.

0ZCPB=30°,

0/PBC=90°-NCPB=60°.

團(tuán)尸8平分/ABC,

EZABC=2NPBC=120°.

SAD^BC,

ZDAB+ZABC=180°,

0ZDAB=180。-120°=60°.

E1AP平分

0ZPAD=-ZDAB=30°.

2

E1AP平分NIM3,PDYAD,PE±AB,

^PE=PD.

團(tuán)BP平分，ABC,PCLBC,PELAB,

0PE=PC,

0PD=PC.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理的等知識(shí)，掌握角平分線的性質(zhì)定理，是解

答本題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)四角平分線的判定】

例題：（2023?全國(guó)?八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，/ABC的平分線與-ACB的外角平分線相交于點(diǎn)。，連接AD.求

證：AD是/BAC的外角平分線.

【分析】作交54的延長(zhǎng)線于E,Db/AC于尸，DG_L3”于G,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到

DE=DF,根據(jù)角平分線的判定定理證明結(jié)論.

【詳解】證明：作DEL54交54的延長(zhǎng)線于E,DFJ.AC于F,DGLBH于G,

?.?DB平分/ABC、DC平分ZAC”,

:.DE=DG,DF=DG,

：.DE=DF,

又。E_LA4,DF1AC,

回AD是—SAC的外角平分線.

【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)和判定，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等、到角的兩

邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023?廣東惠州?校聯(lián)考二模）如圖，CB=CD,ZD+ZABC=180°,CELAD于E.

⑴求證：AC平分NIMB；

(2)若AE=10,DE=4,求AB的長(zhǎng).

【答案】⑴見解析

(2)6

【分析】（1）過C點(diǎn)作CF1AB,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)孔由A4s證明ACDE空忒//，可得CE=CF,結(jié)

論得證;

（2）證明可得AE=AF,可求出AB.

【詳解】（1）證明：過C點(diǎn)作CF1AB,交42的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

SIZDEC=ZCFB=90°,

S1ZD+ZABC=180°,ZCBF+ZABC=180°,

B1ZD=ZCBF,

又團(tuán)CB=CD,

^^CDE^CBF,

0CE=CF,

EIAC平分ZIMB；

（2）解：由（1）可得班'=Z）E=4,

CE=CF

在RIAACE和RMACF中,

AC=AC'

0Rt^ACE^Rt^ACF,

團(tuán)AE=AF=10,

^1AB=AF-BF=6.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是作出輔助線構(gòu)造全等三角

形.

2.（2023?江蘇?八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，DE上AB于點(diǎn)、E,DF上AC于點(diǎn)F,若BD=CD,BE=CF.

⑴求證：AD平分/R4C；

⑵請(qǐng)猜想鉆+AC與AE之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明.

【答案】⑴見解析

（2）AB+AC^2AE,證明見解析

【分析】（1）根據(jù)HL證明RtADBEgRtADCF,得到DE=DF,再根據(jù)角平分線的判定定理，求證即

可；

（2）通過HL證明RtA4￡史也RtZXADF,得至ljAE=AF,利用線段之間的關(guān)系，求解即可.

【詳解】（1）證明：^DE±AB,DF1AC,

回4="尸。=90°,

在RMDBE和RSDCF中,

BD=CD

BE=CF

0RtADBE咨RtA?CF(HL),

SDE^DF,

^DE±AB,DFJ.AC,

回AD平分，A4C.

(2)解：AB+AC^2AE,證明如下:

在RIA.ADE和RaADF中,

\AD=AD

[DE=DF'

0RtAAE>E^RtAA￡>F(HL),

^iAE=AF,

回AB+AC=AB+AF+CF=AB+AE+BE=2AE.

【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及角平分線的判定定理，解題的關(guān)鍵是靈活利用相關(guān)性

質(zhì)進(jìn)行求解.

【考點(diǎn)五線段的垂直平分線與角平分線的綜合問題】

例題：(2023秋?河北保定?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，在AASC中，AD平分/BAC,NC=90。，DE/AB于

點(diǎn)E,點(diǎn)歹在AC上，BD=DF.

⑴求證：CF=EB.

(2)連接CE,求證AO垂直平分CE.

⑶若AB=10,AF=6,求CF的長(zhǎng).

【答案】⑴證明見解析

(2)證明見解析

(3)CF=2

【分析】⑴利用角平分線的性質(zhì)可得OC=上，再利用"HL"證明Rt^DCF\Rt^DEB,即可證明B；

(2)利用"HL"證明RsACD/RtAAED,可得AC=AE,所以點(diǎn)A在CE的垂直平分線上，根據(jù)OC=OE,

可得點(diǎn)。在CE的垂直平分線上，進(jìn)而可以解決問題；

(3)設(shè)CF=3E=尤，貝!|AE=AB-BE=10-x=AC=AF+WC=6+x,即可建立方程求解.

【詳解】(1)證明：?.?小工至于點(diǎn)E,

；-NDEB=90°,

又AO平分NBA。，NC=90。，

DC-DE,

在RtADCF和Rt^DEB中，

jDF=DB

[DC=DE9

??.Rt^DCFmRtADEB(HL),

：,CF=EB.

(2)證明：連接CE,如圖

在R〃ACD和RtAAED中,

[AD=AD

[DC=DE，

RtAACD2RtAAED(HL),

??.AC=AE

??.點(diǎn)A在CE的垂直平分線上，

???DC=DE,

???點(diǎn)D在CE的垂直平分線上，

???AO垂直平分CE

(3)解：設(shè)CF=BE=x,

???AB=10,Ab=6,

.-.AE=AB-BE=IO-x,AC=AF+FC=6+x,

-AE=AC,

.??10-x=6+x,

解得：x=2

???C尸=2

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形全等的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是在圖形中找到正確的全

等三角形以及熟悉以上性質(zhì)與判定.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023秋?河南洛陽(yáng)?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AD是AABC的角平分線，DEJ.AB于點(diǎn)、E,于點(diǎn)

F,連接收.

⑴求證：點(diǎn)。在跖的垂直平分線上；

（2）若AS+AC=16,邑ABC=24,則。E的長(zhǎng)為

【答案】⑴見解析

（2）3

【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理直接得出DE=DF，則問題得解；

⑵先得出LBD=gxABXZZE,SVACD=^xACxDF,結(jié)合DE=DF,可得=gx（AB+AC）xOE,

問題隨之得解.

【詳解】（1）證明：EIAD是44BC的角平分線，DE.LAB,DFJ.AC,

^DE=DF.

回點(diǎn)。在EF■的垂直平分線上.

(2)SDEJ.AB,DF1AC,

0S,—xASxDE,Sy,=—xACxDzF,

AADU2'VALyLJArn2

團(tuán)在(1)中有：DE=DF,

團(tuán)SVACD=；xACxDF~~xACxDE,

團(tuán)^^ABC=S&ABD+SAACD，

團(tuán)SvMe=xABxDE+~xxDE=x(AS+AC)xDE,

團(tuán)AB+AC=16,S/BC=24,

024=—xl6x￡)E,

2

0PE=3，

即/定的長(zhǎng)為3,

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理直接得出DE=DF是解答本題的

關(guān)鍵.

2.（2023春?全國(guó)?八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，。為AABC外一點(diǎn)，0G為8C的垂直平分線，分別過點(diǎn)。作

DEJ.AB,DFJ.AC,垂足分別為點(diǎn)E,F,且3E=CF.

⑴求證：AO為NC4B的角平分線；

（2）若AB=8,AC=6,求AE的長(zhǎng).

【答案】⑴見解析

（2）AE=7

【分析】（1）連接8，BD,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得CD=3O,再證明RtZiDEB絲RtAJ）PC,可

得DF=DE,再證明RtA4FDZRtA4ED,即可得證；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AE=AF,進(jìn)一步可得=M—AC,從而可得AE=；（A3+AC）.

【詳解】（1）連接8,BD,如圖所示：

為BC的垂直平分線,

:.CD=BD,

■.DELAB,DF1AC,

Z.DEB=ZDFC=90°,

在RtADEB和RtADFC中,

BE=CF

BD=CD

RtADEB^RtADFC

:.DE=DF，

在RtAAFD和RtAAED中，

jDF=DE

[AD=AD，

RtAAF￡＞絲RtAAED

:.ZFAD=ZEAD,

AD為—CAB的角平分線；

(2)RtZkAFD^RtAAED,

:.AE=AF,

又,；BE=CF,

:.AB-AE=AF-AC,§PA￡=1(AB+AC),

?：AB=S,AC=6,

:.AE=1.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的判定及線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握直角

三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵.

3.(2O23春?全國(guó)?八年級(jí)開學(xué)考試)如圖l,射線B。交a4BC的外角平分線CE于點(diǎn)P,已知0A=78。,aBPC=39。,

BC=7,AB=4.

⑴求證：8。平分0A2C；

(2)如圖2,AC的垂直平分線交于點(diǎn)Q,交AC于點(diǎn)G,QW0BC于點(diǎn)求MC的長(zhǎng)度.

【答案】⑴見解析

(2)MC=1.5

【分析】(1)i0ACF=0A+EIABF,0ECF=0BPC+0Z)BF,得EIABF=I3ACF78°,0DBF=[3￡CF-39°,再根據(jù)CE平

分0ACF得0ACB=2EIECR則刻2尸=2回￡6用78。=2(0ECF-39°)=20DBF,從而證明結(jié)論；

(2)連接AQ,CQ,過點(diǎn)。作BA的垂線交BA的延長(zhǎng)線于N,利用HL證明Rt^QNA^Rt^QMC,得NA=MC,

再證明(乩)，得NB=MB,貝。BC=BM+MC=BN+MC=AB+A7V+MC,從而得出答案.

【詳解】(1)證明：Eia4CF=EIA+EL4BF,SECF=S\BPC+^\DBF,

00ABF=EIACF-78O,0Z)BF=0ECF-39°,

EICE平分0ACR

00ACF=20ECF,

0EL4BF=20￡CF-78°=2(0ECF-390)=2SDBF,

SBD平分EIABC；

(2)解：連接AQ,CQ,過點(diǎn)。作BA的垂線交BA的延長(zhǎng)線于N,

N/

國(guó)QG垂直平分AC,

她。二。。，

姐。平分她8C,QM^\BC,Q7WA,

團(tuán)QAf=QM

^Rf^QNA^Rf^QMC(HL),

^\NA=MC,

團(tuán)QM=QN,BQ=BQ,

^Rf^QNB^Rt^QMB(HL),

國(guó)NB=MB,

^\BC=BM+MC=BN+MC=AB+AN+MCf

07=4+2MC,

^\MC=1.5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角

形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

【過關(guān)檢測(cè)】

一、選擇題

1.（2023春?四川成都?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在"RC中，OE是AC邊的垂直平分線，分別交BC、AC于

。、E兩點(diǎn)，連接AD,=25°,ZC=35°,則的度數(shù)為（）

A

A.70°B.75°C.80°D.85°

【答案】D

【分析】利用垂直平分線的性質(zhì)，可得/D4C=NC=35。，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可得N3的度數(shù).

【詳解】解：是AC邊的垂直平分線，

.-.ZDAC=ZC=35°,

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可得4=180。-/區(qū)4。一/"。一/。=85。，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練利用垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.（2023春?四川達(dá)州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)P為定角—403平分線上的一個(gè)定點(diǎn)，且NMPN與NAOB

互補(bǔ).若在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過程中，其兩邊分別與。4、相交于M、N兩點(diǎn)，則以下結(jié)論中，不正

確的是（）

A.OM+ON的值不變B.NPNM=NPOB

C."N的長(zhǎng)不變D.四邊形PMON的面積不變

【答案】C

【分析】如圖作PE_LOA于E,于凡于NEPb+NAQ?=180。，可證NMPN=NEPF,所以

ZEPM=ZFPN,由O尸平分一493,得證尸于是RtZkPOE之Rt△尸》,所以O(shè)E=O尸，同時(shí)

APEM'PFN,所以EM=NF,PM=PN,推出=進(jìn)一步得到/PNM=-ZAOB,

2

ZPOB=-ZAOB,所以NPNM=NPOB,故B正確；因?yàn)?/p>

2

OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE=定值，故A正確；由三角形全等可知，所以定值，故。正

確；M,N的位置變化，所以MN的長(zhǎng)度是變化的，故C錯(cuò)誤.

【詳解】解：如圖作PE_LQ4于E,PFLOB于F.

SZPEO=ZPFO=90°,

0ZEPF+ZAOB=180°,

0NMPN+ZAOB=180°,

0/MPN=AEPF,

回NEPM=ZFPN,

團(tuán)。尸平分/AQB,P￡_LQ4于E,于凡

⑦PE=PF,

在Rt^POE和RtAPOF中，

(OP=OP

[PE=PFf

0RtAPOE^RtAPOF,

國(guó)OE=OF,

在△尸石N和△尸RV中，

ZMPE=ZNPF

<PEPF

ZPEM=NPFN

⑦APEM'PFN,

⑦EM=NF,PM=PN,

⑦PE=PF,EM=NF,

團(tuán)S&PEM=$&PNF，

團(tuán)S四邊形「"ON=S四邊形PEOF=定值，故。正確，

團(tuán)。M+QN=OE++Ob一版=2QE=定值，故A正確,

團(tuán)M,N的位置變化，

團(tuán)MN的長(zhǎng)度是變化的，故C錯(cuò)誤.

@PM=PN,

⑦/PMN=/PNM,

團(tuán)NMPN與ZAOB互補(bǔ)，

團(tuán)NMPN+NAO3=180。，

國(guó)/PMN+/PNM+AMPN=180°,

回NPMN+ZPNM=ZAOB,

田/PMN=/PNM,

0ZPNM=-ZAOB,

2

回0P平分,AQB,

S\ZPOB=-ZAOB

2

國(guó)NPNM=NPOB,故B正確，

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查角平線的性質(zhì)定理、全等三角形的判定和性質(zhì)；能夠結(jié)合角平分線的性質(zhì)定理作出

角平分線上點(diǎn)到兩邊的垂線段，構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

3.（2023春,山東青島?七年級(jí)山東省青島實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)?？计谀┤鐖D，AD是AABC的角平分線，DE1AC,

垂足為E,AF是AABC的中線，AB=16,AC=6,DE=5.則AAT獷的面積為.

【答案】12.5

【分析】過。點(diǎn)作DM工AB,垂足為根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DM=DE=5,然

后根據(jù)三角形的面積公式可得S△謝=40,S^ACD=15,可得S△皿=54.+5-8=55,然后由三角形的中

線得心ACF=27.5,根據(jù)一ADF-$XNCF-S^ACD求解即可.

【詳解】解：過D點(diǎn)作。垂足為

E1AD是AABC的角平分線，DE1AC,AB=16,AC=6,DE=5,

團(tuán)DM=DE=5,

0S4Af,\?D?U=-2AB-DAf=-2xl6x5=40,

SZA-XA.rCLDz=-2ACDE=-2x6x5=15,

團(tuán)S/\ABC=^AABD+S/kACD=40+15=55,

回AF是AABC的中線，

團(tuán)^AACF=2ZABC=5x55=27.5,

團(tuán)~—~27.5-15=12.5,

團(tuán)△4￡）廠的面積為12.5.

故答案為：12.5.

A

M

E

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)，三角形的面積，作輔

助線并利用角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.（2023春?湖南衡陽(yáng)?七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在銳角三角形ABC中，AB=6,的面積為18,BD

平分/ASC,若E、尸分別是應(yīng)＞、3C上的動(dòng)點(diǎn)，則CE+EF的最小值為.

【分析】過點(diǎn)C作CPLA5于點(diǎn)尸，交BD于點(diǎn)、E,過點(diǎn)￡作班上8。于凡則CP即為CE+EF的最小值,

再根據(jù)三角形的面積公式求出CP的長(zhǎng)，即為CE+EF的最小值.

【詳解】解：過點(diǎn)C作C尸J_AJB于點(diǎn)P,交BD于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作斯工3c于尸，

B1PE=EF,

回CP=CE+PE=CE+EF的最小值.

13AA3c的面積為18,AB=6,

0-x6xCP=18,

2

0CP=6.

即CE+￡F的最小值為6,

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問題，關(guān)鍵是將CE+麻的最小值為轉(zhuǎn)化為CP,題目具有一定的代表

性，是一道比較好的題目.

三、解答題

5.（2023春?河南商丘?七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，ZAOB=AG°,OC平分NA03,點(diǎn)、D,E在射線Q4,

0c上，點(diǎn)尸是射線OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DP交射線OC于點(diǎn)R設(shè)/OD尸=x。.

①/QEO的度數(shù)是。，當(dāng)時(shí)，x=；

②若NEDF=NEFD,求x的值；

⑵如圖2,若是否存在這樣的龍的值，使得ZEFD=4ZEDF?若存在，求出x的值；若不存在,

說明理由.

【答案】⑴①20,70；②60；

（2）存在這樣的尤的值，使得NEFD=4ZEDF.當(dāng)x=68或104時(shí)，ZEFD=4ZEDF.

【分析】（1）①運(yùn)用平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，可得/DEO的度數(shù)，根據(jù)DPLOE求出x的值;

②根據(jù)三角形內(nèi)角和求出/EDE,根據(jù)平行的性質(zhì)N8C的度數(shù)，相減即可得x的值；

（2）分兩種情況進(jìn)行討論:DP在。E左側(cè)，上在。E右側(cè)，分別根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可得x的值.

【詳解】（1）解：①EINAOB=40。，0c平分-493,

BlZBOE=20°,

SDE//OB,

0ZDEO=ZBOE=20°；

回"OE="EO=20°,

^DO=DE,ZODE=140°,

當(dāng)。P_LOE時(shí)，NODP==NODE=70°,

2

即x=70,

故答案為：20,70；

②團(tuán)"EO=20。，NEDF=NEFD,

0Z￡DF=80°,

又回NODE=140°,

0NODP=140°-80°=60°,

0x=6O；

（2）存在這樣的x的值，4更得NEFD=4NEDF.分兩種情況:

①如圖2,若分在DE左側(cè)，

^DE±OA,

0ZEDF=9Oo-x°,

0ZAOC=20°,

EZEFD=20°+x°,

當(dāng)N￡FD=4N￡E>?時(shí)，20o+x°=4（90o-x°）,

解得x=68；

②如圖3,若。尸在DE右側(cè)，

A

0Z￡DF=x°-90°,ZEFD=180°-20°-x°=160°-%0,

回當(dāng)NEFD=4NEC*時(shí)，160o-x0=4（xo-90°）,

解得x=104；

綜上所述，當(dāng)x=68或104時(shí)，ZEFD=4ZEDF.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和三角形的外角性質(zhì)的應(yīng)用，三角形的內(nèi)角和等于180。，三角形

的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和.解題時(shí)注意分類討論思想的運(yùn)用.

6.(2023春?黑龍江哈爾濱?七年級(jí)統(tǒng)考期末)在AABC中，ZZMC=60°,線段BF、CE分別平分ZABC./ACB

交于點(diǎn)G.

圖1

圖3

⑴如圖1,求,3GC的度數(shù);

(2)如圖2,求證：EG=FG；

⑶如圖3,過點(diǎn)C作CD,EC交BF延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,連接AD,點(diǎn)N在&L延長(zhǎng)線上,連接NG交AC于苴M,

使NDAC=ZNGD,若EB;FC=1:2,CG=10,求線段跖V的長(zhǎng).

【答案】⑴120。

⑵見解析

(3)5

【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NABC+NACB=120。，根據(jù)跳'平分/ABC、CE平分NACB,

得出NGBC=NG3E=；/ABC,ZGCB=ZGCF=|ZACB,求出NG3C+NGCB=60。，根據(jù)三角形內(nèi)角

和得出/3GC+NGBC+/GCB=180。，即可求出結(jié)果；

(2)作GH平分NBGC交BC于點(diǎn)H,證明△BGE絲△3GH,得出EG=GH,證明△CG77絲△CG”,得

出尸G=G〃，即可證明結(jié)論；

(3)作交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,作。交54延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，作。R,AC于點(diǎn)R,證明。平

分ZACP,根據(jù)DRLAC,DP1BC,得出Z)R=OP,根據(jù)8尸平分/ABC,DRLAC,DQ1AB,得出

DP=OQ,證明DR=。。，證明△NEG之△CFG,得出NG=CG=10,證明ABEG%AMFG,得出BE=MF,

作ELLNG于點(diǎn)L,FK_LCG于點(diǎn)K,6卬，“。于點(diǎn)卬，根據(jù)以小尸=,

1IMGMF1

S^=-GCFK=-FCGW,得出y=*=%，求出MG=5即可得出答案.

GF22GCFC2

【詳解】(1)解：在AABC中，ABAC+ZABC+ZACB=180°,

團(tuán)44c=60。

回NABC+NACB=120。，

團(tuán)所平分/ABC、CE平分/AC3,

[?]ZGBC=ZGBE=-ZABC,ZGCB=ZGCF=-ZACB,

22

0ZGBC+ZGCB=60°,

在△5GC中，ZBGC+ZGBC+ZGCB=180°,

團(tuán)ZBGC=120°.

(2)解：作GH平分NBGC交BC于點(diǎn)、H,如圖所示：

團(tuán)ZBGH=NCGH=60°,

0ZBGE=ZCGF=NGBC+NGCB=60°,

團(tuán)ZBGH=ZCGH=ZBGE=ZCGF,

國(guó)/GBC=/GBE,BG=BG

⑦ABGEm△BGH,

⑦EG=GH,

⑦/GCH=/GCF,CG=CG,

⑦△CGFmACGH,

⑦FG=GH,

團(tuán)EG-FG；

(3)解:作。PL3C交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,作交54延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，作OR_LAC于點(diǎn)R,如圖所

示：

團(tuán)CE平分ZACS,

團(tuán)NACB=2NACE,

0CD±￡C,

0ZECD=9O°,

0ZACE+ZACD=90°,

0ZACB+ZACP=18O°,

BZACP=2ZACDf

團(tuán)CD平分ZACP,

團(tuán)QH_LAC,DPIBC,

田DR=DP,

團(tuán)砥平分/ABC,DR1AC,DQLAB,

^\DP=DQ,

^\DR=DQ,

團(tuán)平分"AC,

ABAC=60°,

^\ZDAQ=ZDAC=60°,

^\ZNGD=ZDAC=60°f

由（1）得NBGC=120。，

團(tuán)NB￡G=NFGC=180?！狽BGC=60。，

用NMGF=/ABF+/BNG=60。，

ZFGC=/FBC+/ECB=60°,

ZABF=NFBC,

0ZBNG=/ECB,

國(guó)NECB=NACE,

國(guó)ZACE=NBNG,

由(2)得EG=FG,

中色NEG”ACFG,

團(tuán)NG=CG=10,

/NEG=/CFG,

0ZAEG+ZBEG=18O°,

NCFG+NMFG=180。，

田ZBEG=/MFG,

MBEG烏AMFG,

^BE=MF,

0BE:FC=1:2,

BMF:FC=l:2f

作FLLNG于點(diǎn)￡,FK上CG于點(diǎn)、K,6卬，加。于點(diǎn)卬，

^ZMGF=ZCGF=60°f

國(guó)FK=FL,

^MCF=\MGFL=^MF-GW,

S^CGF=^GC-FK=^FC-GW,

MGMF1

團(tuán)----——,

GCFC2

團(tuán)MG=5,

⑦M(jìn)N=NG—MG=5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，角平分線的判定和性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算，三角形

內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形全等的判定方法.

7.(2023春?八年級(jí)課時(shí)練習(xí))如圖，。尸是NMON的平分線，點(diǎn)A在射線O河上，P,。是直線ON上的兩

動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。在點(diǎn)P的右側(cè)，且尸。=。4,作線段。。的垂直平分線，分別交直線。尸，ON于點(diǎn)、B,點(diǎn)、C,

連接AB,PB.

圖

⑴如圖1,請(qǐng)指出AB與P8的數(shù)量關(guān)系,

⑵如圖2,當(dāng)P,。兩點(diǎn)都在射線ON的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，線段AB,是否還存在（1）中的數(shù)量關(guān)系？若

存在，請(qǐng)寫出證明過程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）AB=P3,理由見解析

⑵存在，理由見解析

【分析】（1）連接80,根據(jù)垂直平分。?？芍?0=3。，則/BOQ=N3QO,根據(jù)。F平分NMON,

貝i]NAOB=NBO。，即NAOB=NBQO,根據(jù)。A=QP,可知△AOB之△PQB,則可知45=尸2；

（2）如圖，連接BQ,根據(jù)BC垂直平分。。，可知30=30,（7。=。。結(jié)合條件可證48。。/48。。，

則/BQO=/BOQ,根據(jù)O尸平分NMON,ZBOQ=ZFON,可知NAOB=NFON=/BOQ,則

ZAOF=ZBQO,進(jìn)而可知NAOB=NPQB,由此可證△AOB（S4S）,則AB=P3.

【詳解】（1）解：AB=PB

理由如下：

連接BQ

回BC垂直平分。。

^\BO=BQ

^ZBOQ=ZBQO

團(tuán)Ob平分NMQV

^\ZAOB=ZBOQ

^\ZAOB=ZBQO

^\OA=QP

^\AAOB^/\PQB

團(tuán)AB=PB；

(2)存在，

理由：如圖，連接BQ,

團(tuán)BC垂直平分OQ,

^BQ=BO,CQ=CO

BC=BC

在ABQC和必。。中，＜CQ=CO

BQ=BO

^\/\BQC^/\BOC(SSS)

田NBQO=NBOQ,

團(tuán)O廠平分NMON,

ZBOQ=ZFON,

團(tuán)ZAOF=ZFON=/BOQ,

^\ZAOF=ZBQO,

^\ZAOB=ZPQB,

'OA=PQ

在她05和團(tuán)尸05中，＜ZAOB=ZPQB

BO=BQ

(SAS),

^AB=PB.

【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決

問題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，本題屬于中考常考問題.

8.(2023春?浙江寧波?七年級(jí)?？计谀?角平分線性質(zhì)定理描述了角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離的關(guān)系，小

儲(chǔ)發(fā)現(xiàn)將角平分線放在三角形中，有一些新的發(fā)現(xiàn)，請(qǐng)完成下列探索過程：

(1)如圖1,P是ZBO4的平分線上的一點(diǎn)，于點(diǎn)E,作尸。_LOA于點(diǎn)。，試證：PE=PD

【深入探究】

(2)如圖2,在AABC中，8。為/A3c的角平分線交于AC于。點(diǎn)，其中A5+BC=10,AD=2,CD=3,

求A2.

【應(yīng)用遷移】

(3)如圖3,RSABC中，NC=9(T,NR4C的角平分線AE與AC的中線3。交于點(diǎn)￡尸為CE中點(diǎn)，連接

若C尸=4,SABFP=20,則AB的長(zhǎng)度為.

【答案】(1)見解析；(2)AB=4；(3)10

【分析】(1)根據(jù)AAS證明△POD0ZXPOE即可；

(2)作D做工AB于點(diǎn)V,作DN_L3C于點(diǎn)N,由角平分線的性質(zhì)得DM=DN,由三角形的面積公式可

得黑=黑，結(jié)合AB+3c=10即可求解；

C/JnC

(3)過E作EGLAB于G,連接CF,由P為CE中點(diǎn)，^ShEFP=ShCFP=y,根據(jù)是AC邊上的中線，

設(shè)S.CDF=Si=z,根據(jù)三角形的面積的計(jì)算得到工版=S^c-S,E=40+2y+2z-(2y+2z)=40,根據(jù)

角平分線的性質(zhì)得到EG=CE=2CP=8,于是得到結(jié)論.

【詳解】(1)證明：

ZPDO=ZPEO=90°,

在△PO。和△POE中,

ZPDO=ZPEO

<ZDOP=ZEOP,

OP=OP

.?.△POD白△POE(AAS),

:.PE=PD;

(2)解：如圖，過點(diǎn)。作。VflAB于點(diǎn)M,作。N_L3c于點(diǎn)N,

(2友)平分/區(qū)4。，

DM=DN,

?7=-BCDN,

??S△AoBZnJ=2-ABDM△C,oSiJCB2D

.S4ABD=A3

SqDBC

ABD。

同理可S證產(chǎn)=A示，

、ACBD

ADAB

團(tuán)-------.

CDBC

vAD=2,CD=3,

ADAB_2

'CD-BC-3?

設(shè)AB=2x,貝lj3C=3x

QAB+BC=10,

/.2x+3x=10,尤=2,

.\AB=4；

(3)解：過E作EGLAB于G,連接Cf,

ap為CE中點(diǎn)，

團(tuán)S&EFP=S《FP，

設(shè)SREFP~SQP-y，

團(tuán)BD是AC邊上的中線，

回設(shè)S^cDF=S.AFD=Z,

團(tuán)S&BFP=20,

^SABCD=20+y+z9

團(tuán)S^ABC=2s即=40+2y+2z,

團(tuán)S&ACE=^^ACF+S&CEF=2、+2z，

團(tuán)SABE=SAMC—S?c￡=40+2y+2z-（2y+2z）=40,

團(tuán)A石是/C4B的角平分線，C尸=4,

團(tuán)EG=CE=2C尸=8,

團(tuán)

S△AoBcE=2-ABEG=40,

0AB=1O,

故答案為：10.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積的計(jì)算，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，三角形中線的性

質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

9.（2023?貴州遵義??？既＃┮阎?。是R/S48c斜邊43的中點(diǎn)，fflACB=90。，0ABe=30。，過點(diǎn)。作Rt^DEF

使回。跖=90。，0DFE=3OO,連接CE并延長(zhǎng)CE到尸，使EP=CE,連接BE,FP,BP,設(shè)BC與DE交于

M,PB與EF交于N.

（1）如圖1,當(dāng)。，B,尸共線時(shí)，求證：

①EB=EP；

@0￡FP=3O°；

（2）如圖2,當(dāng)。，B,尸不共線時(shí)，連接8P,求證：aBED+MFP=30。.

【答案】(1)①見解析@300(2)見解析

【分析】(1)①本題主要考查通過角度計(jì)算求證平行，繼而證明團(tuán)四尸是直角三角形，根據(jù)直角三角形斜

邊中線可得結(jié)論.

②本題以上一問結(jié)論為解題依據(jù)，考查平行線以及垂直平分線的應(yīng)用，根