2024-2025學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期中模擬試卷2（測(cè)試范圍：三角形、全等三角形、軸對(duì)稱）解析版

2024-2025學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期中模擬試卷02

滿分：120分測(cè)試范圍：三角形、全等三角形、軸對(duì)稱

一、選擇題(共10小題，每小題3分，共30分)下列各題中均有四個(gè)備選答案，其中有且只有一個(gè)是正

確的

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念，如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖

形叫做軸對(duì)稱圖形，進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：A.不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

B.不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

C.是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；

D.不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是軸對(duì)稱圖形的概念，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵.

2.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是720。，這個(gè)多邊形是()

A.五邊形B.六邊形C.七邊形D.八邊形

【分析】利用〃邊形的內(nèi)角和可以表示成("-2)」80。，結(jié)合方程即可求出答案.

【解答】解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為“，由題意，得

("2)180°=720°,

解得：n=6,

故這個(gè)多邊形是六邊形.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和公式，比較容易，熟記〃邊形的內(nèi)角和為("-2)」80。是解題的關(guān)鍵.

第1頁(yè)共23頁(yè)

3.如圖，AABC=NADE,AB=30°,NE=115。，則NB/C的度數(shù)是（）

C.45°D.25°

【分析】首先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得NC=NE=115。，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出NA4c的度

數(shù).

【解答】解：;AABC=AADE,ZE=115°,

ZC=Z￡=115°,

NB=30°,

ZBAC=180°-Z5-ZC=180°-115°-30°=35°.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的性質(zhì),以及三角形內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等是解

決問(wèn)題的關(guān)鍵.

4.如圖，點(diǎn)。，E分別在線段48,AC±,CD與BE相交于。點(diǎn)，已知4B=/C,現(xiàn)添加以下的哪個(gè)條

件仍不能判定AA8E=A4cz)()

B.BE=CDC.BD=CED.AD=AE

【分析】欲使A45EMA4CD,已知4S=NC,可根據(jù)全等三角形判定定理44S、SAS>4sL4添加條件,

逐一證明即可.

【解答】解：=44為公共角,

A、如添加48=/C,利用/S4即可證明A4BE=A4CZ)；

B、加添BE=CD,因?yàn)镾S/,不能證明=所以此選項(xiàng)不能作為添加的條件;

C、如添8￡>=CE,等量關(guān)系可得AD=AE,利用&4s即可證明AABE=AACD；

D、如添AD=AE,利用SAS即可證明KABE=\ACD.

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故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生對(duì)全等三角形判定定理的理解和掌握，此類添加條件題，要求學(xué)生應(yīng)熟練掌握

全等三角形的判定定理.

5.如圖，三條公路兩兩相交，現(xiàn)計(jì)劃在A43C中內(nèi)部修建一個(gè)探照燈，要求探照燈的位置到這三條公路的

距離都相等，則探照燈位置是A42C（）的交點(diǎn).

A.三條角平分線B.三條中線

C.三條高的交點(diǎn)D.三條垂直平分線

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)進(jìn)行判斷.

【解答】解：?.?探照燈的位置到這三條公路的距離都相等，

，探照燈位置是NABC三條角平分線的交點(diǎn).

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.也考查了線段垂直平分

線的性質(zhì).

6.一個(gè)不等邊三角形的兩邊長(zhǎng)分別為6和10,且第三邊長(zhǎng)為偶數(shù)，符合條件的三角形有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【分析】設(shè)第三邊長(zhǎng)為x,根據(jù)三角形三邊的關(guān)系得4Vx<16,再根據(jù)題意即可得到x可取6、8、10、12、

14.

【解答】解：設(shè)第三邊長(zhǎng)為X,

根據(jù)題意得10-6<x<10+6,即4<x<16,

又?.?三角形為不等邊三角形，且第三邊長(zhǎng)為偶數(shù)，不等邊三角形，

為8、12、14,符合條件的三角形有3個(gè)，

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形三邊的關(guān)系，關(guān)鍵是根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊解答.

7.AA8C中，如果N/+/B=/C,那么AX8C形狀是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能確定

【分析】據(jù)在AA8C中，NA+/B=NC,//++NC=180?？汕蟪鯪C的度數(shù)，進(jìn)而得出結(jié)論.

【解答】解：?.?在A48C中，ZA+ZB=ZC,ZA+ZB+ZC=180°,

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2ZC=180°,解得NC=90°,

AABC是直角二角形.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形內(nèi)角和是180。是解答此題的關(guān)鍵.

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)△N8C進(jìn)行循環(huán)往復(fù)地軸對(duì)稱變換，若原來(lái)點(diǎn)C的坐標(biāo)是(3,1),則經(jīng)

過(guò)第2023次變換后點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為()

第3次關(guān)于

y軸對(duì)稱

D.(3,-1)

【分析】先得出前幾次變化的坐標(biāo)，總結(jié)出一般變化規(guī)律，即可解答.

【解答】解：經(jīng)過(guò)第1次變換后點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(-3,1),

經(jīng)過(guò)第2次變換后點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(-3,-1),

經(jīng)過(guò)第3次變換后點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,-1),

經(jīng)過(guò)第4次變換后點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,1),

經(jīng)過(guò)第5次變換后點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(-3,1),

該變化每4個(gè)一循環(huán),

???2023+4=505……3,

二.經(jīng)過(guò)第2023次變換后點(diǎn)為第506組的第三個(gè)坐標(biāo)，即(3,-1),

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化-對(duì)稱，點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是掌握關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn),

橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相同；關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù).

9.如圖，直線/P平分/A4D,CP平分ZBCD的外角Z8CE,則NP與22、/D的數(shù)量關(guān)系是()

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A.2ZP-Z5+Zr>=180°B.2ZP-Z5-Zr>=180°

C.2ZP+ZS-ZD=180°D.2NP+/B+ZD=360°

【分析】設(shè)NP/3=N0/P=x,NECP=NPCB=y,利用三角形內(nèi)角和定理構(gòu)建方程組解決問(wèn)題即可.

【解答】解：設(shè)NPAB=N04P=x,NECP=ZPCB=y,

■■■NAOB=ZCOD,AAGP=ZCGD,

NB+/BAO=ZD+ZOCD,ZP+/PAG=ZD+NPCG,

NB+2x=ND+180。-2y①

ZP+x=ZD+180°-y@'

由①-2x②可得NB-2NP=-ND-180。，

2ZP-ZB-ZD=180°.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查角平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，理清角之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

10.已知等腰AA8C中，AB=AC,兩腰的垂直平分線交于點(diǎn)P,已知N3尸C=100。，則等腰三角形的頂角

為（）

A.50°B.20°C.50°或130°D.50°或100°

【分析】分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)尸在A4BC內(nèi)時(shí)；當(dāng)點(diǎn)P在A45C外時(shí)；然后分別進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：分兩種情況：

當(dāng)點(diǎn)P在A4BC內(nèi)時(shí)，如圖：連接/尸，

VAB和AC的垂直平分線交于點(diǎn)P,

PA=PB=PC,

NBAP=ZABP,NPBC=NPCB,ZPAC=NACP,

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ZBPC=100°,

NPBC+ZPCB=180。一ZBPC=80°,

???ABAC+/ABC+NACB=180°,

/.NABP+NBAP+AACP+/CAP=18(F-(APBC+NPCB)=100°,

/.2ZBAP+2ZCAP=100°f

/.NBAP+/CAP=50。,

ABAC=50°；

當(dāng)點(diǎn)尸在A4BC外時(shí)，如圖：連接/P,

AB和AC的垂直平分線交于點(diǎn)P,

PA=PB=PC,

NBAP=ZABP,APAC=ZACP,

???=100°,

/ABP+ZBAP+/CAP+ZACP=360°-ZBPC=260°,

2NBAP+2ZCAP=260°,

/.ZBAP+ZCAP=130°f

ZBAC=130°；

綜上所述：等腰三角形的頂角為50?；?30。，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，分兩種情況討論是

解題的關(guān)鍵.

二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）

11.從五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以引2條對(duì)角線.

【分析】根據(jù)多邊形的對(duì)角線性質(zhì)列式計(jì)算即可.

【解答】解：從五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以引的對(duì)角線條數(shù)為5-3=2（條），

故答案為：2.

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【點(diǎn)評(píng)】本題考查多邊形的對(duì)角線，熟練掌握其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.已知點(diǎn)河(-6,2),則“點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是_(-6,-2)_.

【分析】根據(jù)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)可得答案.

【解答】解：點(diǎn)”(-6,2)關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是(-6,-2).

故答案為：(-6,-2).

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，關(guān)鍵是掌握點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律.

13.已知一張三角形紙片/8C(如圖1),其中N/3C=NC.將紙片沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)C落到

邊上的￡點(diǎn)處，折痕為如(如圖2).再將紙片沿過(guò)點(diǎn)E的直線折疊，點(diǎn)/恰好與點(diǎn)。重合，折痕為跖(如

圖3).原三角形紙片N8C中，的大小為72度.

【分析】先設(shè)NA8C=NC=2a,然后用含有a的式子表示乙4,NADE,ABED,進(jìn)而得到N/ED,最后

利用三角形的外角性質(zhì)列出方程求得a,即可求得N/8C的大小.

【解答】解：設(shè)//BC=/C=2a,則//=180。一/48。一/。=180。一4(7,

由折疊得，^BED=ZC=2a,ZADE=ZA=1SO°-4a,

ABED是M.ED的外角，

:.NBED=NA+NADE,

2a=180°-4a+l80°-4a,

解得：a=36°,

/ABC=72°,

故答案為：72.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了折疊的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用折疊

的性質(zhì)將其他角的度數(shù)用代數(shù)式表示.

14.如圖，A48C的面積為,BP平分NABC,過(guò)點(diǎn)/作/尸_LAP于點(diǎn)P.則AP8C的面積為7.5

cm2.

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A

【分析】根據(jù)已知條件證得A45尸二樹尸，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到/尸=依，得出S“BP=S"BP，

S^CP=S3推出5AHic=gSaBc，代入求出即可?

【解答】解：延長(zhǎng)/尸交3。于E,

???BP平分/ABC,

1./ABP=NEBP,

?/AP1BP,

NAPB=ZEPB=90°,

在\ABP和AEBP中，

/ABP=/EBP

<BP=BP,

ZAPB=AEPB

AABPAEBP(ASA),

/.AP=PE,

,?S^BP=S邛BP，SMCP=S怔CP，

112

..S"BC=3S&BC=]X15=7.5(cm~),

故答案為：7.5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積的應(yīng)用，能夠根據(jù)已知條件證得A48尸=

得到AP=PE,進(jìn)而得到S^BP=S^BP,S^CP=S^cp是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

15.如圖，在APAW中，點(diǎn)P,W在坐標(biāo)軸上，P(0,2),N(2,-2),PM=PN,PM±PN,則點(diǎn)Af的坐

標(biāo)是_(-4,0)_.

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【分析】過(guò)點(diǎn)N作ND_L》軸于點(diǎn)D,證明AMOP=APDN(AAS),由全等三角形的性質(zhì)可得出OM=PD=4,

則可得出答案.

【解答】解：過(guò)點(diǎn)N作即，》軸于點(diǎn)。，

/.OP=2,OD=2,DN=2,

PD=4,

???PM\PN,

ZMPN=90°,

/.ZMPO+ZDPN=90°,

又?.?/DPN+ZPND=90°,

/.ZMPO=ZPND,

又NMOP=ZPDN=90°,

...AMOP=\PDN(AAS),

OM=PD=4,

4,0),

故答案為：(-4,0).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，證明A20O尸二APQN是解題的關(guān)鍵.

AV)Q

16.如圖，2。是等腰AA8C的角平分線，AB=AC=6,BC=8,則——的值是一；E為線段BD(端

DC一4一

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點(diǎn)除外)上的動(dòng)點(diǎn)，連接NE,作/E4F=NBAC,S.AE=AF,連接小，當(dāng)A4D廠的周長(zhǎng)最小時(shí)，則一

DF

的值是

【分析】過(guò)點(diǎn)。作DWL8C于M,DN1AB于■N,先根據(jù)得見加；：5受助=48：3C,再根據(jù)

ZUAD和AC8。邊，C￡＞上的高相同，得S-BC:S&CBD=4D：CD,由此得出N。：CD=:8C,據(jù)此可

得出02的值；連接。尸，作點(diǎn)4關(guān)于直線CP的對(duì)稱點(diǎn)K,連接CK,FK,DK,設(shè)。K與直線C尸于點(diǎn)

DC

AF)Q

H,由點(diǎn)4,K關(guān)于直線CF對(duì)稱，得/C=CK=6,AF=KF,NACH=NKCH,再由一=-；可求出

CD4

iQ94

AD=—，CD=——，由于AAD廠的周長(zhǎng)為4D+4b+。/，因此要求A4。尸的周長(zhǎng)的最小值，只需求出

77

尸的最小值即可，由于//=K尸，只需求出K方+。產(chǎn)的最小值即可，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得:

當(dāng)。，F(xiàn),K在同一條直線上時(shí)，KF+DF為最小，此時(shí)點(diǎn)方與點(diǎn)H重合，

AT

AF:DF=KF:DF=KH:DH=CK:CD,據(jù)此可得出——的值.

DF

【解答】解：過(guò)點(diǎn)。作于"，DN1AB于N,如圖1所示：

DN=DM,

BPAABD^\CBD^AB,BC上的高相等，

…S^BC-SACBD=4B:BC,

X?/MBD\CBDiiAD,CD上的高相同,

…S\ABC-SbCBD=4D,CD,

AD:CD=AB:BC,

vAB=AC=6,BC=8,

第10頁(yè)共23頁(yè)

?_A_D_—_6___3?

■,CD-8-4'

連接CN,作點(diǎn)4關(guān)于直線CF的對(duì)稱點(diǎn)K,連接CK,FK,DK,設(shè)。K與直線。/于X,如圖2所示:

?.?點(diǎn)/,K關(guān)于直線C尸對(duì)稱，

：.AC=CK=6,AF=KF,ZACH=ZKCH,

,,_A_D_一—3.

CD4，

.?.設(shè)AD=3左，CD=4k,

AC=AD+CD=7k=6,

,6

:.k=一，

7

iQ24

AD=3k=—，CD=4k=—,

77

1Q

AAD廠的周長(zhǎng)為：AD+AF+DF,且4。=—,

7

要求ZU。9的周長(zhǎng)的最小值，只需求出/尸+。廠的最小值即可,

?;AF=KF,

要求AF+DF為最小,只需求出KF+DF的最小值即可，

根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得：當(dāng)。，F(xiàn),K在同一條直線上時(shí)，KF+DF為最小,

此時(shí)點(diǎn)方與點(diǎn)H重合，

/.AF:DF=KF:DF=KH:DH,

???ZACH=ZKCH,

CK:CD=KH:DH,

即AF:DF=CK:CD

?/CK=6,CD=24/7,

4尸：。尸=6:24/7=7:4,

即

DF4

故答案為：—；—.

44

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【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)及應(yīng)用，正確地作出輔助線,

靈活運(yùn)用“兩點(diǎn)之間線段最短”求最小值是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

三、解答題(共8小題，共72分)

17.如圖，點(diǎn)/、B、C、D在同一直線上，AE=DF,AB=CD,CE=FB.求證：AE/IDF.

【分析】根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理和平行線的判定定理即可得到結(jié)論.

【解答】證明：4S=CD,

AB+BC=BC+CD,

即AC=BD,

在AAEC與ADFB中，

AE=DF

<AC=BD,

CE=BF

\AEC=ADFB(SSS),

ZA=ZD,

AEIIDF.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)定理是

解題的關(guān)鍵.

18.如圖，在A4BC中，ND是高，是角平分線，它們相交于點(diǎn)/，ABAC=58°,ZC=72°,求ND/C

和的度數(shù).

【分析】由高線可得//DC=90。，由三角形的內(nèi)角和可求得//BC=50。，ZDAC=1S°,從而可求得

NB4D=40。,再利用角平分線的定義可得N48b=25。，再次利用三角形的內(nèi)角和即可求NAE8的度數(shù).

【解答】解：?.?/￡>是高，

第12頁(yè)共23頁(yè)

:.ZADC=9Q°,

NB4c=58。,ZC=72°,

/ABC=180°-ABAC-ZC=50°,

ADAC=180。—ZADC-ZC=18°,

/.ABAD=ABAC-ACAD=40°,

?.?BE是乙45。的平分線，

:.NABF=二/ABC=25。,

2

...ZAFB=180°-/ABF-ABAD=115°.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，解答的關(guān)鍵是明確三角形的內(nèi)角和為180。.

19.如圖，在A4BC中，AB=AC,Q為BC邊上一點(diǎn),過(guò)。作/瓦加=/5,分別與45,4。相交于點(diǎn)E

和點(diǎn)方.

(1)求證：/BED=NFDC；

⑵若DE=DF,求證：BE=CD.

【分析】(1)根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和平角的定義即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論.

【解答】證明：(1)?/ABED=180°--ABDE,ZFDC=180°-ZEDF-ZBDE,ZEDF=AB,

/BED=ZFDC；

(2)?;AB=AC,

ZB=ZC,

在與ACT辦中，

NB=ZC

</BED=/CDF,

DE=DF

\DBE=ACFD(AAS),

/.BE—CD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

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20.已知三角形的三邊分別為4c/〃，9cm和xcm.

（1）求x的取值范圍；

（2）若三角形為等腰三角形，求該三角形的周長(zhǎng).

【分析】（1）根據(jù)第三邊大于已知兩邊的差，小于已知兩邊的和列不等式組求解即可；

（2）根據(jù)第三邊的取值范圍確定等腰三角形的另一邊，再求周長(zhǎng)即可.

【解答】解：（1）?.?三角形任意兩邊的差都小于第三邊，任意兩邊之和都要大于第三邊，

Jx>9-4

…[x<9+4'

解得：5<x<13；

（2）?1-5<x<13,已知兩邊為4和9,

二.尤=9時(shí)三角形為等腰三角形，

二.該三角形周長(zhǎng)為：4+9+9=22（cm）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握構(gòu)成三角形的條件，等腰三角形的定義.

21.如圖，在8x8的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1,網(wǎng)格中有一格點(diǎn)AABC（即三角形的頂點(diǎn)

都在格點(diǎn)上）.

（1）在圖中作出A48C關(guān)于直線/對(duì)稱的△44G；（要求/與4，B與Bi，C與G相對(duì)應(yīng)）

（2）若有一格點(diǎn)尸到點(diǎn)8的距離相等，則網(wǎng)格中滿足條件的點(diǎn)P有4個(gè);

（3）在直線/上找到一點(diǎn)。，使。5+QC的值最小.

【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)作圖即可.

（2）利用網(wǎng)格，作線段的垂直平分線，所經(jīng)過(guò)的格點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)P的位置.

（3）連接。耳，交直線/于點(diǎn)。，連接3。，此時(shí)Q3+QC的值最小.

【解答】解：（1）如圖，△其耳G即為所求.

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（2）由圖可知，耳，P2,P3,乙滿足到點(diǎn)N,8的距離相等,

網(wǎng)格中滿足條件的點(diǎn)尸有4個(gè).

故答案為：4.

（3）如圖，點(diǎn)。即為所求.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖-軸對(duì)稱變換、軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題、線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握軸對(duì)稱的

性質(zhì)以及線段垂直平分線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

22.如圖，ZACB=90°,AC=BC,ADICE,BELCE,垂足分別為D,E.

（1）求證：\ADC=\CEB；

（2）延長(zhǎng)劭至點(diǎn)尸，使得8F=DE,連接N歹交CE于點(diǎn)G,若4。=5,BE=3,求DG的長(zhǎng).

F

【分析】(1)由44s證明=即可；

(2)由全等三角形的性質(zhì)得AD=CE=5,CD=BE=3,則DE=CE-CD=2,再證AADG=AFEG(AAS),

【解答】(1)證明：ZACB=90°,BELCE,ADLCE,

/BCE+NACD=90°,ZBEC=ZCDA=90°,

:.ZACD+ZCAD=90°,

ZBCE=ZCAD,

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在A4DC和ACE8中，

ZCDA=ZBEC

，ZCAD=ZBCE,

AC=CB

ACEB=AADC(AAS)；

(2)解：由(1)可知，AADC=\CEB,

AD=CE=5,CD=BE=3,

:.DE=CE-CD=5-3=2,

■：BF=DE,

CD+DE=BE+BF,

即CE=FE,

AD=FE,

在AADG和KFEG中，

ZDGA=ZEGF

<ZADG=ZFEG=90°,

AD=FE

AADG=AFEG(AAS),

DG=EG=-DE=1,

2

即DG的長(zhǎng)為1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，掌握全等三角形的判定方法

是解題的關(guān)鍵.

23.問(wèn)題情境

如圖1,NABC和\ADE都是等邊三角形，連接BD,CE,求證：AABD=NACE.

遷移應(yīng)用

如圖2,AA8C和A4OE都是等邊三角形，A,B,E三點(diǎn)在同一條直線上，”是/。的中點(diǎn)，N是/C的

中點(diǎn)，P在BE上,AWVP是等邊三角形，求證：尸是BE的中點(diǎn).

拓展創(chuàng)新

如圖3,P是線段BE的中點(diǎn)，BE=1,在BE的下方作等邊A/7出(尸，F(xiàn),X三點(diǎn)按逆時(shí)針順序排列，APFH

的大小和位置可以變化)，連接所，BH.當(dāng)昉+3〃的值最小時(shí)，直接寫出等邊邊長(zhǎng)的最小

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D

D

PA

值.圖1圖2

【分析】(1)證出=根據(jù)&4s證明A48O=A4CE；

(2)在NE上取點(diǎn)K,使得NK=4W,連接KM,證明A4MN=△KMP(S/S),由全等三角形的性質(zhì)得出

AN=KP,證出EP=BP,則可得出結(jié)論;

(3)作ZEPQ=60°,使PQ=PE,連接QE,QB,證明XEPF=\QPH{SAS},由全等三角形的性質(zhì)得出

EF=QH,則EF+BH=QH+BH,當(dāng)點(diǎn)X在線段上時(shí)，所+28的值最小.由直角三角形的性質(zhì)可

得出答案.

【解答】(1)證明：???A48C和AADE都是等邊三角形,

ABAC=/DAE=60°,AB=AC,AD=AE.

ABAC-ZACD=ZDAE-ZACD,

ABAD=/CAE.

在AS4D和AC/E中,

AB=AC

<ABAD=NCAE,

AD=AE

ABAD=\CAE{SAS)；

(2)證明：在/E上取點(diǎn)K,使得=連接KM,

NABC和AADE都是等邊三角形.

NDAE=60°AD=AE,AC=AB.

NAMK是等邊三角形，

AM=MK=AK,ZAMK=60°,

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???AMPN是等邊三角形，

:.MN=MP,APMN=60°,

ZPMN=ZKMA,

/.ZPMN-NAMP=ZKMA-/AMP,

即ZAMN=ZKMP.

在A4MN和AAM中，

AM=KM

<ZAMN=ZKMP,

MN=MP

M.MN=\KMP(SAS),

...AN=KP,

AM=AK=AP+AN,

???M為4。的中點(diǎn)，點(diǎn)N為4C的中點(diǎn)，

/.AE=AD=2AM,AB=AC=2AN,

設(shè)AP=x,AN=y,貝！JAK=x+yfAB=2y,

AE=2AK=2x+2y,BP=AB+AP=x+2y,

EP=AE-AP=x+2y，

EP=BP,

:.點(diǎn)P為BE的中點(diǎn).

(3)解：作NEP°=60。，使尸Q=PE,連接EQ,QB,

圖3

是等邊三角形,

PF=PH,ZFPH=60°,

NEPF=ZQPH,

^EPF=NQPH(SAS),

EF=QH,

EF+BH=QH+BH,

當(dāng)點(diǎn)”在線段上時(shí)，EF+BH的值最小.

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此時(shí)尸〃_L5Q,R7的值最小，

?rPQ=PB=PE,

APBQ=ZPQB=30°,

i7

在RtAPBH中，PH=-PB=-,

24

一一7

即當(dāng)EF+B/Z的值最小時(shí)，APFH邊長(zhǎng)的最小值為」.

4

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰三角形性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，

等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握“手拉手”模型及其變形.

24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A48C的頂點(diǎn)C,8分別在x軸和y軸上，且乙4c3=90。，AC=BC.

(1)如圖1，若點(diǎn)2的坐標(biāo)(0,6),點(diǎn)C的坐標(biāo)(-2,0),求點(diǎn)/的坐標(biāo)；

(2)過(guò)點(diǎn)N作/N//3C,交x軸于點(diǎn)。，￡是邊上一點(diǎn)，過(guò)E作EGLCE交射線/N于點(diǎn)G.

①如圖2,若點(diǎn)G與點(diǎn)。重合.求證：CE=ED；

②如圖3,過(guò)點(diǎn)￡作線段且跖=/￡,取/C的中點(diǎn)M,EM交FG于點(diǎn)、H,設(shè):MH=m,EH=n,

【分析】(1)過(guò)點(diǎn)/作4P_Lx軸于P,則N/PC=N/C5=90。，可證得：AACP=ACBO(AAS),即可求得

答案；

(2)①過(guò)點(diǎn)E作交射線NN于尸，可證得A￡7加三,即可得出C￡=￡Z＞；

②過(guò)點(diǎn)C作a///B交EM的延長(zhǎng)線于過(guò)點(diǎn)￡作￡K_L/N于K,￡/_LNC于J,設(shè)/E交尸G于R,

可證得=,ACEJ三AGEK(ASA),\EFG=ACLE(SAS),可推出

SSS+s

MCE=MME+SACME=SCMLSCME=SSCLE=SSEFG=^FG-EH=2(m+n)-n=n(m+n).

【解答】(1)解：?.?點(diǎn)3的坐標(biāo)為(0,6),點(diǎn)C