2023學(xué)年杭州市某中學(xué)高二數(shù)學(xué)（上）期末考試卷（附答案解析）

2023學(xué)年杭州市十四中高二數(shù)學(xué)（上）期末考試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意.

1.已知集合/=打量—4x<0.xeZ},5={X1-1<X<4},則如八（）

A.B.|U,4)C.{0,1,2,3,4}D.{0,1,2,3）

2.若z=l—i,貝!|，2_2z+i卜()

A.5B.V5C.V3D.3

3.已知sin(tz+k]=l，則sin[2a—k]=()

2424

4.在中，。是的中點(diǎn)，￡是/。的中點(diǎn)，若麗=4標(biāo)+*衣，則％+〃=（）

331

A.1B.-C.----D.----

442

5.中國明代商人程大位對(duì)文學(xué)和數(shù)學(xué)頗感興趣，他于60歲時(shí)完成杰作《直指算法統(tǒng)宗》.這是一本風(fēng)

行東亞的數(shù)學(xué)名著，該書第五卷有問題云：“今有白米一百八十石，令三人從上及和減率分之，只云甲

多丙米三十六石，問：各該若干？”翻譯成現(xiàn)代文為：今有白米一百八十石，甲、乙、丙三個(gè)人來分，

他們分得的米數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少石米？請(qǐng)你計(jì)算甲應(yīng)

該分得（）

A.76石B.77石C.78石D.79石

6.設(shè)函數(shù)/卜）=5E]。X+^^。〉0）在區(qū)間（0,兀）恰有三個(gè)極值點(diǎn)，則①的取值范圍為（）

1381319]「513、「519A

A.

66J|_36JL36）

7.所有的頂點(diǎn)都在兩個(gè)平行平面內(nèi)的多面體叫做擬柱體，其中平行的兩個(gè)面叫底面，其它面叫側(cè)面，兩

底面之間的距離叫高，經(jīng)過高的中點(diǎn)且平行于兩個(gè)底面的截面叫中截面.似柱體的體積公式為

V=-（51+S2+450）A,這里耳、S?為兩個(gè)底面面積，品為中截面面積，h為高.如圖，已知多面體

6

ABCDEF中,/BCD是邊長1為的正方形，且VZOE,ABC》均為正三角形，EFIIAB,EF=2,

則該多面體的體積為（）

D.

4

22

8.已知片，耳分別為雙曲線「：彳二乂。>。/的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線漸近線上一點(diǎn)，

ab

若尸片，尸片，tan/P^K=；，則雙曲線F的離心率為（）

55二

A.—B.-C.>72D.2

34v

二、多選題：本趣共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全

部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.

9.某市2022年經(jīng)過招商引資后，經(jīng)濟(jì)收入較前一年增加了一倍，實(shí)現(xiàn)翻番，為更好地了解該市的經(jīng)濟(jì)

收入的變化情況，統(tǒng)計(jì)了該市招商引資前后的年經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如下扇形圖：

轉(zhuǎn)移凈收入轉(zhuǎn)移凈收入

工資

工資凈收入

凈收入

言凈收入

招商引資前招商引資后

經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例經(jīng)?濟(jì)收入構(gòu)成比例

則下列結(jié)論中正確的是（）

A.招商引資后,工資凈收入較前一年增加

B.招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入是前一年的1.25倍

2

C.招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入與財(cái)產(chǎn)凈收入的總和超過了該年經(jīng)濟(jì)收入的一

5

D.招商引資后，經(jīng)營凈收入較前一年增加了一倍

10.如圖所示，在邊長1為的正六邊形N8CDM中，下列說法正確的是（）

2

A.AB-CD=FBB.AD+EB+CF=O

C.AD.AB^\D.ABBC=ABAF

11.甲箱中有3個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙箱中有2個(gè)白球和4個(gè)黑球.先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱

中，再從乙箱中隨機(jī)取出一球.以分別表示從甲箱中取出的是白球和黑球的事件，以分別表

示從乙箱中取出的球是白球和黑球的事件，則下列結(jié)論正確的是()

A.事件&與事件應(yīng)互斥B.事件均與事件4相互獨(dú)立

59

C.尸(周4)=1D.p(s2)=-

12.存在定義域?yàn)?的函數(shù)/(X)滿足()

A./(x)是增函數(shù)，/[/(X)]也是增函數(shù)

B./(x)是減函數(shù)，/[/(X)]也是減函數(shù)

C./(x)是奇函數(shù)，但/[/(x)]是偶函數(shù)

D.對(duì)任意的aeR,但/[/(x)]=x

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(l-x)6的展開式中/的系數(shù)為___.

14.已知直線/同時(shí)與圓f—4x+/=。和圓/+/+2x=0相切，請(qǐng)寫出兩條直線/的方程和

15.已知點(diǎn)M在拋物線。:/=285>0)上，過M作。的準(zhǔn)線的垂線，垂足為X,點(diǎn)尸為C的焦點(diǎn).若

/Hl〃=60°，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1，則。=.

16.設(shè)函數(shù)歹=/(x)的圖象既關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱，又關(guān)于直線x+y=0軸對(duì)稱.當(dāng)xe(O,l)時(shí)，

/(x)=log2(x+l),貝I」f(log212)的值為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知AZ8C內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,sinC=J5sinB，且c=40.

(1)求邊b的值；

3

3

（2）若。為邊3c的中點(diǎn)，cosZG4D=-,求AZ8C的面積.

4

AF1A

18.在長方體48c。一44GA中，點(diǎn)￡,廠分別在58],DD{±.,且/ELZ/，P-

D\

（1）求證：4。，平面/斯；

（2）當(dāng)40=3,AB=4,且平面/所與平面2及AD的夾角的余弦值為"也時(shí)，求441的長.

25

19.為比較甲、乙兩所學(xué)校學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，采用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取80名學(xué)生.通過測(cè)驗(yàn)得到了

如表數(shù)據(jù)：

數(shù)學(xué)成績

學(xué)校合計(jì)

不優(yōu)秀優(yōu)秀

甲校301040

乙校202040

合計(jì)503080

（1）依據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析兩校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率之間是否存在差異；如

果表中所有數(shù)據(jù)都擴(kuò)大為原來的10倍.在相同的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)下，再用獨(dú)立性檢驗(yàn)推斷學(xué)校和數(shù)學(xué)成績之間

的關(guān)聯(lián)性，結(jié)論還一樣嗎？請(qǐng)你試著解釋其中的原因.

（2）據(jù)調(diào)查，丙校學(xué)生數(shù)學(xué)成績的優(yōu)秀率為30%,且將頻率視為概率、現(xiàn)根據(jù)甲、乙、丙三所學(xué)?？?/p>

人數(shù)比例依次抽取了24人，30人，30人進(jìn)行調(diào)查訪談.如果已知從中抽到了一名優(yōu)秀學(xué)生，求該名學(xué)

生來自丙校的概率.

附：臨界值表:

a0.10.050010.0050.001

4

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

20.已知數(shù)列｛4｝中，對(duì)任意的〃eN+，都有%+%+i=4〃.

（1）若｛%｝為等差數(shù)列，求｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）若4=3,求數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和S”.

21.已知橢圓。：++條=1（?！?〉0）過點(diǎn)且離心率e為g

（1）求橢圓。的方程；

（2）E、尸是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線NE的斜率與“/的斜率互為相反數(shù)，證明直線E尸的斜

率為定值，并求出這個(gè)定值.

22.設(shè)函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a,beR）.

（1）若6=1,函數(shù)/Xx）在［T』的值域是［加,〃］,求函數(shù)〃（。）=〃一加的表達(dá)式；

2

⑵令t=b-%，若存在實(shí)數(shù)C,使得與|/（c+2）歸1|同時(shí)成立，求才的取值范圍

5

2023學(xué)年杭州市十四中高二數(shù)學(xué)（上）期末考試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意.

1.已知集合八上"J4x<0,xeZ},5={xl-l<x<4}；則如八（）

A.[-1,4]B.[0,4)C.{0,1,2,3,4)D.{0,1,2,3)

【答案】D

【分析】利用二次不等式的解法解出集合A,然后計(jì)算集合的交集.

【詳解】由2=何X2-4X<0,XGZ}={0,1,2,3,4},

5={x|-1<x<4},

所以/「3={0,1,2,3},

故選：D.

2.若z=l—i,則上2—2z+i|=()

A.5B.75C.V3D.3

【答案】B

【分析】由題意求z2-2z+i，進(jìn)而可求其模長.

【詳解】z=1-i,則z?-2z+i=(z-l)2-l+i=(-ip-l+i=-2+i,

貝U產(chǎn)_2z+i|=^(-2)2+12=V5.

故選：B.

3.已知sin]tz+kJ=l，則sin[2a—()

24247

A.—B.------C.—D.-

252525

【答案】D

【分析】利用二倍角的余弦公式和誘導(dǎo)公式即可.

【詳解】sin12a—；]=sin[2(z+[一；]=-sinJ=-cos^2a+

1o-2(兀YlG.2(兀)1C(3丫7

二一1-2sin\a+—\=2sin—\-l=2x\—-1=------.

6

故選：D.

4.在48C中，。是的中點(diǎn)，￡是40的中點(diǎn)，若前=4加+〃％,則％+〃=(

331

A.1B.-C.----D.----

442

【答案】D

一

【分析】根據(jù)。是5C的中點(diǎn)，，￡為/。的中點(diǎn)，得到8—E=—±34f8+-1ZC,然后結(jié)合

44

BE=AAB+/JAH>求出N+〃的值?

【詳解】解：是的中點(diǎn)，，￡為40的中點(diǎn)，

f1-1f11-

BE=-BA+-BD=-BA+-BC

2224

151T-?3f1-

=——AB+-(AC-AB)=——AB+-AC,

2444

,31

BE=AAB+^iAC'二4二一“〃=屋

1

???X)+,〃=—,

2

故選：D.

5.中國明代商人程大位對(duì)文學(xué)和數(shù)學(xué)頗感興趣，他于60歲時(shí)完成杰作《直指算法統(tǒng)宗》.這是一本風(fēng)

行東亞的數(shù)學(xué)名著，該書第五卷有問題云：“今有白米一百八十石，令三人從上及和減率分之，只云甲

多丙米三十六石，問：各該若干？”翻譯成現(xiàn)代文為：今有白米一百八十石，甲、乙、丙三個(gè)人來分，

他們分得的米數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少石米？請(qǐng)你計(jì)算甲應(yīng)

該分得()

A.76石B.77石C.78石D.79石

【答案】C

【分析】設(shè)出未知數(shù)，列出方程組，求出答案.

【詳解】設(shè)甲、乙、丙分得的米數(shù)為x+d,X,x-d,則(x+d)—(x—d)=36,解得：上18,

(x+d)+x+(x—d)=180,解得：x=60,所以x+d=60+18=78(石)

7

故選：c

6.設(shè)函數(shù)/（x）=sinox+g（?！?）在區(qū)間（0,兀）恰有三個(gè)極值點(diǎn)，則。的取值范圍為（）

13813195月

A.B.3'6)D.3%

666)

【答案】B

【分析】由X的取值范圍得到。x+72T的取值范圍，再結(jié)合正弦定理的性質(zhì)得到不等式組，解得即可.

3

【詳解】依題意可得0>0,因?yàn)閤e（0,〃），所以++,

要使函數(shù)在區(qū)間（0.）恰有三個(gè)極值點(diǎn)，根據(jù)了=sinx,》€(wěn)弓3萬）圖象：

r，1g5nnIn”自1319(1319

可得：—<COTTH—<—，解得：—<<y<—，即0：-^-,-^-

23266166.

故選：B

7.所有的頂點(diǎn)都在兩個(gè)平行平面內(nèi)的多面體叫做擬柱體，其中平行的兩個(gè)面叫底面，其它面叫側(cè)面，兩

底面之間的距離叫高，經(jīng)過高的中點(diǎn)且平行于兩個(gè)底面的截面叫中截面.似柱體的體積公式為

V=-^（5,1+S2+4S0）h,這里邑為兩個(gè)底面面積，件為中截面面積，〃為高.如圖，已知多面體

ABCDEF中,48CD是邊長1為的正方形，且VNDE,△BC9均為正三角形，EFHAB,EF=2,

44

【答案】B

【分析】依據(jù)割補(bǔ)法去求該多面體的體積即可解決.

【詳解】如圖，分別過點(diǎn)A,8作后尸的垂線，垂足分別為點(diǎn)G,H,連接。G,CH,

8

1/a

容易求得EG=HF=—,AG=GD=BH=HC=—.

22

取40的中點(diǎn)0,連接G。，易得GO：%，則S△/GQ=S△即/c=g><亨><l=亨，

所以多面體的體積V=VE_ADG+VF_BCH+^AGD-BHC~"E-ADG+^AGD-BHC

1V2IA/2⑦

——xx-x2+----x1-------.

34243

故選：B

22

8.已知￡,巴分別為雙曲線r：?—￡=1（4〉0力〉0）的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)尸為雙曲線漸近線上一點(diǎn),

若年;，尸與，tan/P耳K=；，則雙曲線F的離心率為（）

55;-

A.-B.-C.J2D.2

34Y

【答案】B

12

【分析】由題可得/尸。6=2/尸/用，然后利用二倍角公式結(jié)合條件可得一=—,然后根據(jù)離心率公

a4

式即得.

【詳解】因?yàn)槟?，盟，。為耳腦的中點(diǎn)，

所以閨。|=\0P\,NPg=NRPO,

所以/尸。6=2/尸6工，又tan/尸片乙=1，tanZP0F2=-,

一一3a

9

b2X33

所以廠

故選：B.

二、多選題：本趣共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全

部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.

9.某市2022年經(jīng)過招商引資后，經(jīng)濟(jì)收入較前一年增加了一倍，實(shí)現(xiàn)翻番，為更好地了解該市的經(jīng)濟(jì)

收入的變化情況，統(tǒng)計(jì)了該市招商引資前后的年經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如下扇形圖：

轉(zhuǎn)移凈收入轉(zhuǎn)移凈收入

工資

凈收入

招商引資前招商引資后

經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例

則下列結(jié)論中正確的是（）

A.招商引資后，工資凈收入較前一年增加

B.招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入是前一年的1.25倍

2

C.招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入與財(cái)產(chǎn)凈收入的總和超過了該年經(jīng)濟(jì)收入的二

D.招商引資后，經(jīng)營凈收入較前一年增加了一倍

【答案】AD

【分析】根據(jù)已知條件及扇形圖的特點(diǎn)即可求解.

【詳解】設(shè)招商引資前經(jīng)濟(jì)收入為而招商引資后經(jīng)濟(jì)收入為2M,則

對(duì)于A,招商引資前工資性收入為Mx60%=0.6",而招商引資后的工資性收入為

2Mx37%=0.74",所以工資凈收入增加了，故A正確；

對(duì)于B,招商引資前轉(zhuǎn)移凈收入為Mx4%=0.04M,招商引資后轉(zhuǎn)移凈收入為2Mx5%=0.1M,所

以招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入是前一年的2.5倍，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入與財(cái)產(chǎn)凈收入的總和為0.1M+0.56M=0.66〃<2x2〃=0.8Af,

5

10

2

所以招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入與財(cái)產(chǎn)凈收入的總和低于該年經(jīng)濟(jì)收入的《，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,招商引資前經(jīng)營凈收入為Mx30%=0.3M,招商引資后轉(zhuǎn)移凈收入為2Mx30%=0.6M,

所以招商引資后，經(jīng)營凈收入較前一年增加了一倍，故D正確.

故選：AD.

10.如圖所示，在邊長1為的正六邊形N8CDEE中，下列說法正確的是（）

A.AB-CD=FBB.AD+EB+CF^Q

C.AD-AB^\D.AB-BC=AB-AF

【答案】ABC

【解析】

【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，結(jié)合平面向量性運(yùn)算性質(zhì)、數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】A：因?yàn)榕c一無=而+灰=反=池,所以本選項(xiàng)說法正確；

B：因?yàn)榱?麗+/=2前+2或+2第=2瑟—2（/+方）=2數(shù)—2怎

所以本選項(xiàng)說法正確；

C：在正六邊形4BCDEE中，共頂點(diǎn)的邊和對(duì)角線夾角為60°,

因?yàn)閬?方=2xlx^=l,所以本選項(xiàng)說法正確；

2

D：在正六邊形N5CDEE中，每個(gè)內(nèi)角為120°

因?yàn)閆8.50=1x1x3=5,^-^F=lxlxl--1=--,

所以本選項(xiàng)說法不正確，

故選：ABC

11.甲箱中有3個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙箱中有2個(gè)白球和4個(gè)黑球.先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱

中，再從乙箱中隨機(jī)取出一球.以4,4分別表示從甲箱中取出的是白球和黑球的事件，以用,當(dāng)分別表

示從乙箱中取出的球是白球和黑球的事件，則下列結(jié)論正確的是（）

11

A.事件4與事件a互斥B.事件凡與事件4相互獨(dú)立

C.0（圖4）=1D.

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)互斥事件、相互獨(dú)立事件的概念判斷A、B,根據(jù)古典概型的概率公式判斷C,根據(jù)全概

率公式判斷D；

【詳解】解：對(duì)于A,???每次取出1球，，事件4與事件4是互斥事件且是對(duì)立事件，故A正確；

對(duì)于B,從甲箱中取出黑球，放入乙箱中，則乙箱黑球變?yōu)?個(gè)，

則取出白球概率發(fā)生變化，，事件與與事件4不相互獨(dú)立，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若從甲箱取出1個(gè)黑球放入乙箱，這時(shí)乙箱黑球變?yōu)?個(gè)，白球還是2個(gè)，

則p（聞4）=],故c錯(cuò)誤；

145

對(duì)于D：因?yàn)槭?）=尸（4）=5，尸（與[4）=7，=

所以尸（以）=尸（54）+P電4）=尸（514）?尸（4）+尸（員14）?尸（4）

=~x~z+~x~=~?故D正確.

272714

故選：AD.

12.存在定義域?yàn)锽的函數(shù)/（X）滿足（）

A./（x）是增函數(shù)，/[/（x）]也是增函數(shù)

B./（x）是減函數(shù)，/[/（X）]也是減函數(shù)

C./（x）是奇函數(shù)，但/[/（x）]是偶函數(shù)

D.對(duì)任意的aeR,但/=x

【答案】AD

【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法判斷AB；由奇函數(shù)定義判斷C；特殊函數(shù)判斷D.

【詳解】對(duì)于A,根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，因?yàn)?（x）是增函數(shù)，所以/[/（X）]也是增函數(shù)，A正

確；

12

對(duì)于B,根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，因?yàn)?（x）是減函數(shù)，所以/［/（X）］是增函數(shù)，B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,因?yàn)?（x）是奇函數(shù)，則=所以/［/（一》）］=/［一/（》）］=一/［/（》）］，所

以/［/（x）］是奇函數(shù)，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,令/（x）=—1,其定義域?yàn)閧x|xwO},滿足/（4）=—工但是

JCCL

故D正確.

故選：AD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（1-尤）6的展開式中^的系數(shù)為.

【答案】-20

【分析】寫出（l-x）6展開式第左+1項(xiàng)通式即可求解.

【詳解】因?yàn)椋?-x）6展開式第k+1項(xiàng)通式為C：L,

所以當(dāng)k=3時(shí)d的系數(shù)為=_20.

故答案為：-20.

14.已知直線/同時(shí)與圓X?-4x+y2=0和圓/+/+2x=0相切，請(qǐng)寫出兩條直線/的方程和

【答案】①.x=0（答案不唯一）②.V2x+4y+4^2=0（答案不唯一）

【分析】根據(jù)直線與圓相切的性質(zhì)，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】由丁―4x+『=0=卜—2『+/=4,設(shè)圓心為Z（2,0）,半徑為2,

由x2+y2+2x=0n（x+l）2+j；2=i,設(shè)圓心為8（—1,0）,半徑為1,

設(shè)直線/不存在斜率，此時(shí)方程設(shè)為：x=m,

因?yàn)橹本€/同時(shí)與圓Y—4x+V=o和圓好+/+2%=（）相切，

］加-2|=2

所以有《1n/"=0,此時(shí)直線/的方程為x=0,

13

當(dāng)直線/存在斜率，此時(shí)方程設(shè)為：y=kx+b,

因?yàn)橹本€/同時(shí)與圓V—4x+V=0和圓好+/+2》=0相切,

2k+b

所以此時(shí)切線方程為y=-且X-拒，或y=Y2x+也，即

■4-4

~\[ix+4y+=0,或—4y+4-\/2=0，

故答案為：x=0；V2x+4y+4^2=0

15.已知點(diǎn)M在拋物線C:「=2px（p>0）上，過M作。的準(zhǔn)線的垂線，垂足為X,點(diǎn)尸為C的焦點(diǎn).若

尸=60°，點(diǎn)河的橫坐標(biāo)為1，則。=.

【答案】|

【分析】根據(jù)題意，聯(lián)立方程組求得M（L而），得到直線尸尸的傾斜角為60。，結(jié)合斜率公式，列出

方程，即可求解.

【詳解】如圖所示，不妨設(shè)點(diǎn)M在第一象限，因?yàn)辄c(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1,

聯(lián)立方程組]N=2PX,解得x=l,y=J5，，即M（l,而），

X=1

又由〃耳_1/,可得洶7//x軸，因?yàn)?加牛=60°，可得NxFA/=NHMF=60°，

所以直線尸尸的傾斜角為60°，

12P—0r~

因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為尸（B,0）,則勺彼=P=73,

21---

2

整理得20夕=6（2-））且2-。>0,解得0<?<2,

2

即3/一202+12=0,解得夕或夕二6（舍去）.

2

故答案為：—.

14

16.設(shè)函數(shù)歹=/(x)的圖象既關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱，又關(guān)于直線x+y=O軸對(duì)稱.當(dāng)xe(O,l)時(shí),

/(x)=log2(x+l),貝uf(log212)的值為,

112

【答案】一##3—

33

【分析】根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行求解即可.

【詳解】設(shè)函數(shù)歹=/(x)的圖象為C,

對(duì)任意的王e(0,1),令%=log2(x()+l)e(0,l),則(二,%)在C上才

因?yàn)椋?/(x)的圖象既關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱,又關(guān)于直線x+y=0軸對(duì)稱.

所以由(玉),％,)在。上，可得(2-%,2-,(%-2,%—2),(4—%,4—%)都在。上，而

log212=4-log21+

所以取此時(shí)/(log212)=/(4—%)=4—x°=4—；=

故答案為：一

3

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用函數(shù)的對(duì)稱性.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知以8C內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,sinC=V2sin5-且C=4A￡

(1)求邊b的值；

3

(2)若。為邊3c的中點(diǎn)，cosZC4D=-,求的面積.

4

【答案】(1)4(2)4療

【分析】(1)根據(jù)正弦定理，找到邊G6關(guān)系求解.

15

⑵根據(jù)余弦定理cosNCAE=4，一?！暌欢?,求出再根據(jù)面積公式

2AE-AC4

S./\A/IBDC=2S\.ADC=2-2-AD-AC-sinZADC求解.

【小問1詳解】

因?yàn)閟inC=V2sinB，

由正弦定理得：c=J55,且c=4j^，

所以6=4.

【小問2詳解】

延長/。至點(diǎn)E,滿足4D=DE,連接即，EC,在AEBC中,

屆人.一旭汨，八門AE2+AC2-CE23

由余弦ZE理倚：cosNCAE=-----------------=—

2AE-AC4

因?yàn)閆C=4,EC=4V2，

代入上式整理得：AE=8,所以/。=4

所以=25百比=2,ND?ZC?sinNZDC=4S

/\jlDL/\zlXx

18.在長方體48CD—44GA中，點(diǎn)￡，尸分別在DO1上，且NEL/R,AF±AXD.

（1）求證：4。，平面/斯；

（2）當(dāng)40=3,AB=4,且平面/斯與平面。1耳8￡）的夾角的余弦值為"YZ時(shí)，求441的長?

25

【答案】（1）證明見解析

16

（2）5

【解析】

【分析】（1）由正方體的性質(zhì)得到BC1平面AA^B,即可得到BC1AE,結(jié)合AE±&B,得到AE1

平面Z/C,從而得到ZE，4。，同理可證幺F，4。，即可得證；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得

【小問1詳解】

因?yàn)?C1平面441片8,幺石匚平面44啰田，

所以又BCcA[B=B,8C，48u平面48C,所以平面2啰。，

又4Cu平面48C,

所以NE，4C,

因?yàn)?F_LAXD,DC±平面AAXDXD,AF<z平面AAXD}D,

所以。CJ_/尸，又DCC4D=D,DC,u平面4。。，所以/尸，平面4。。，

又4。u平面4。。,

所以

因?yàn)?Ec4F=/,/￡,/廠<=平面

所以4。，平面4E/L

【小問2詳解】

依題意，建立以。為原點(diǎn)，以D4,DC,分別為x,y,z軸的空直角坐標(biāo)系，設(shè)24=加（m>0）,

則1（3,0,0）,5（3,4,0）,C（0,4,0）,4（3,0,加），2（0,0,冽）,

則西=（0,0,加），麗=（3,4,0）,4C=（-3,4,-m）,

由（1）4c-L平面AEF,

所以平面AEF的法向量為為=就=（―3,4,—加），

17

麗.DB—3x+4y=0

設(shè)平面。筋A(yù)D的法向量為比=（x/,z）,則｛__.'",

\m.DD、=mz=0

令x=4,則y=—3,z=0,所以平面DR/。的法向量為應(yīng)=（4,—3,0）,

設(shè)平面AEF與平面D[B]BD的夾角為，，

Izn-HI4x(-3)+4x(-3)+012^2

則cos0=|cos/n,?|=同司|一心+63)2.■+(—3)2+(—間2—25

解得加=5（負(fù)值舍去），

所以平面AEF與平面DRBD的夾角的余弦值為國Z時(shí)441=5.

25

19.為比較甲、乙兩所學(xué)校學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，采用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取80名學(xué)生.通過測(cè)驗(yàn)得到了

如表數(shù)據(jù):

數(shù)學(xué)成績

學(xué)校合計(jì)

不優(yōu)秀優(yōu)秀

甲校301040

乙校202040

合計(jì)503080

（1）依據(jù)小概率值a=0.01的z2獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析兩校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率之間是否存在差異；如

果表中所有數(shù)據(jù)都擴(kuò)大為原來的10倍.在相同的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)下，再用獨(dú)立性檢驗(yàn)推斷學(xué)校和數(shù)學(xué)成績之間

的關(guān)聯(lián)性，結(jié)論還一樣嗎？請(qǐng)你試著解釋其中的原因.

（2）據(jù)調(diào)查，丙校學(xué)生數(shù)學(xué)成績的優(yōu)秀率為30%,且將頻率視為概率、現(xiàn)根據(jù)甲、乙、丙三所學(xué)校總

人數(shù)比例依次抽取了24人，30人，30人進(jìn)行調(diào)查訪談.如果已知從中抽到了一名優(yōu)秀學(xué)生，求該名學(xué)

18

生來自丙校的概率.

附：臨界值表：

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

3

【答案】（1）答案見解析（2）—

10

【解析】

【分析】（1）由卡方公式進(jìn)行求解即可；

（2）利用全概率公式、條件概率公式進(jìn)行求解即可.

【小問1詳解】

80(30x20-10x20)2

因?yàn)?5.33<6.635,

40x40x30x50

所以兩校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率之間沒有關(guān)系,

所有數(shù)據(jù)都擴(kuò)大10倍后：

800(300x200-100x200)2

253.3>6,635

z400x400x300x500'

這時(shí)兩校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率之間有關(guān)系,

所以相同的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)下，再用獨(dú)立性檢驗(yàn)推斷學(xué)校和數(shù)學(xué)成績之間的關(guān)聯(lián)性，結(jié)論不一樣,

主要是因?yàn)闃颖救萘康牟煌?，只有?dāng)樣本容量越大時(shí)，用樣本估計(jì)總體的準(zhǔn)確性會(huì)越高.

【小問2詳解】

抽取甲、乙、丙三所學(xué)校優(yōu)秀學(xué)生人數(shù)分別為:

24x—=6,30x—=15,30%x30=9,

4040

記4,4,4分別為事件“抽到的學(xué)生來自甲、乙、丙學(xué)?！保珺為事件“抽到一名優(yōu)秀學(xué)生”,

則尸(4)=24+30+30=，'尸("2)=0(4)=24+30+30=14

尸(同4)=**仍⑷=**尸修⑷=2=看

所以P(8)=P國4)P(4)+P國a)P(4)+P(H4)P(4)

1215355

=—X——|-----X--------1-------X——

47214101414

19

所以從中抽到了一名優(yōu)秀學(xué)生，該名學(xué)生來自丙校的概率為:

35

O/.IM尸（"）尸（B|4）P（4）1OX14_3

尸（4回-一麗——^^一萬

14

20.已知數(shù)列｛%｝中，對(duì)任意的〃eN+，都有%+a“+i=4〃.

（1）若｛4｝為等差數(shù)列，求｛4｝的通項(xiàng)公式;

（2）若q=3,求數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和S".

為偶數(shù)

【答案】（1）a=2n-l⑵S,=<

n"2+2,”為奇數(shù)

【解析】

【分析】（1）由｛%｝為等差數(shù)列，設(shè)公差為/又%+4+1=4場(chǎng)，可得4]+?=4,a2+a3=8,于

是可求得%”的值，即可得｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）根據(jù)an+an+l=4n,可得數(shù)列｛an｝的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為3,公差為4的等差數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為

1公差為4的等差數(shù)列，再對(duì)項(xiàng)數(shù)〃分奇偶討論，結(jié)合等差數(shù)列求和公式，即可數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和S".

【小問1詳解】

解：因?yàn)椋?｝為等差數(shù)列，設(shè)公差為d,

又4+%+1=4〃，可得：卬+。2=4,%+。3=8,

24+d=4

所以,解得：q=1,d=2,

2%+3d=8

所以｛4｝的通項(xiàng)公式為%=為+（"-1）1=2〃-1.

【小問2詳解】

解：由條件%+%+i=4〃，可得：an+1+an+2=4（?+1）,

兩式相減得：=4,因?yàn)?=3,又。]+%=4,所以。2=1，

所以數(shù)列｛%｝的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為3,公差為4的等差數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為1公差為4的等差數(shù)列.

所以當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí),

20

2

S"=（a{+a3+■--+an_i）+（a2+a4+---+an）=3x-^+---x4+lxy---義4=〃'

當(dāng)"為奇數(shù)時(shí)，

s?=sn-x+an=（?-l）2+3+]^1^_1]X4=n2+2,

妗[心〃為偶數(shù)

g,"[/+2,〃為奇數(shù).

21.已知橢圓0：?+本=1（?！?〉0）過點(diǎn)2。,^；且離心率e為g

（1）求橢圓。的方程；

（2）E、尸是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線/￡的斜率與“尸的斜率互為相反數(shù)，證明直線E尸的斜

率為定值，并求出這個(gè)定值.

V221

【答案】⑴土+LV