河南省新鄉(xiāng)市封丘縣第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

高一開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題（每題5分）1.下列敘述中正確的個數(shù)是①若，則；②若，則與的方向相同或相反；③若，，則；④對任一向量，是一個單位向量A.0 B.1 C.2 D.32.已知，，則（）A. B. C. D.3.已知函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為A. B.C D.4.一個扇形的面積是1平方厘米，它的周長是4厘米，則它的圓心角是（）弧度A.2 B.3 C.4 D.55.已知集合，若，則實(shí)數(shù)a取值集合為（）A. B. C. D.6.若冪函數(shù)在單調(diào)遞減，則（）A.8 B.3 C.-1 D.7.若函數(shù)，則（）A.-2 B.-1 C.0 D.28.已知，則不等式等價于（）A.或 B.或C.或 D.二、多選題（每題6分，部分選對按比例得部分分，選錯得0分）9.下列運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.10.（多選）如果由函數(shù)的圖象變換得到函數(shù)的圖象，那么下列變換正確的是（）A.圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍B.圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的一半C.向左平移個單位長度，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的一半，縱坐標(biāo)不變D.將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的一半，縱坐標(biāo)不變，再將所得圖象向左平移個單位長度11.關(guān)于的方程的解集中只含有一個元素，則的可能取值是（）A B.0 C.1 D.5三、填空題（每題5分）12.化簡_________．13.若指數(shù)函數(shù)最大值與最小值之和等于6，則______．14.若f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f（x）=，若方程f（x）=kx恰有3個不同的根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______．四、解答題（13+15+15+17+17分）15.（1）設(shè)，求的值；（2）若，求的值．16已知且，求：（1）；（2）．17.已知，，．（1）求與的夾角；（2）若，且，求及．18.設(shè)函數(shù)，（1）已知，函數(shù)是偶函數(shù)，求的值；（2）設(shè)，求的單調(diào)遞減區(qū)間.19.已知函數(shù)的表達(dá)式為.（1）若，求函數(shù)的值域；（2）當(dāng)時，求函數(shù)的最小值；（3）對于（2）中的函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)，同時滿足下列兩個條件：（i）；（ii）當(dāng)?shù)亩x域?yàn)?，其值域?yàn)?；若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

高一開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題（每題5分）1.下列敘述中正確的個數(shù)是①若，則；②若，則與的方向相同或相反；③若，，則；④對任一向量，是一個單位向量A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】利用向量概念判斷①；共線向量判斷②③，零向量判斷④【詳解】向量不能比較大小，①錯誤；由于零向量與任一向量共線，且零向量的方向是任意的，故②錯誤；對于③，若為零向量，與可能不是共線向量，故③錯誤；對于④，當(dāng)時，無意義，故④錯誤故選：A【點(diǎn)睛】本題考查向量概念，共線向量及性質(zhì)，注意零向量考查是易錯題2.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，可得的范圍，又，可得的值，根據(jù)，利用兩角差的余弦公式，展開即可求解.【詳解】解：因?yàn)樗裕郑运怨蔬x：D【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系，兩角差的余弦公式，考查了配湊求角的思想，是常見的湊角形式，考查分析理解，化簡求值的能力，屬中檔題.3.已知函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先用兩角差的正弦公式和降冪公式，再用輔助角公式把函數(shù)解析式化成正弦型函數(shù)解析式形式，最后利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性性質(zhì)求出單調(diào)遞增區(qū)間即可.【詳解】因?yàn)椋院瘮?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了兩角差的正弦公式和降冪公式以及輔助角公式，考查了正弦型函數(shù)的單調(diào)性.4.一個扇形的面積是1平方厘米，它的周長是4厘米，則它的圓心角是（）弧度A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】【分析】結(jié)合扇形面積公式及弧長公式可求，，然后結(jié)合扇形圓心角公式可求.【詳解】設(shè)扇形半徑r，弧長l，則，解得，，所以圓心角為，故選：A.5.已知集合，若，則實(shí)數(shù)a的取值集合為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程解的情況，結(jié)合子集關(guān)系，即可分類討論求解.【詳解】由于，故時，則且，若中只有一個元素，①中的方程為一元二次方程，則，此時,不合題意，舍去；②中的方程為一元一次方程，則，則，則，此時不符合，舍去，當(dāng)時，則符合題意，綜上可知：或，故選：D.6.若冪函數(shù)在單調(diào)遞減，則（）A.8 B.3 C.-1 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意得出關(guān)于的等式和不等式，解出即可.【詳解】∵是冪函數(shù)，∴解得或又函數(shù)在單調(diào)遞減，則即有冪函數(shù)，∴故選：D.7.若函數(shù)，則（）A.-2 B.-1 C.0 D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算法則得到，即可得到結(jié)論．【詳解】∵，∴函數(shù)的定義域?yàn)镽，，故.故選：A8.已知，則不等式等價于（）A.或 B.或C.或 D.【答案】C【解析】【分析】由分式不等式去分母，轉(zhuǎn)化為二次不等式直接求解得出答案.【詳解】因?yàn)?，所以，由可得或，由可得或，求交集可得，或故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式不等式的解法，一元二次不等式的解法，屬于中檔題.二、多選題（每題6分，部分選對按比例得部分分，選錯得0分）9.下列運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則及對數(shù)恒等式,換底公式即可選出選項(xiàng).【詳解】解:由題,關(guān)于選項(xiàng)A:,故選項(xiàng)A正確;根據(jù)對數(shù)恒等式可知,選項(xiàng)B正確;關(guān)于選項(xiàng)C:,故選項(xiàng)C錯誤;根據(jù)換底公式可得:故選項(xiàng)D正確.故選:ABD10.（多選）如果由函數(shù)的圖象變換得到函數(shù)的圖象，那么下列變換正確的是（）A.圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍B.圖象上所有點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的一半C.向左平移個單位長度，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的一半，縱坐標(biāo)不變D.將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的一半，縱坐標(biāo)不變，再將所得圖象向左平移個單位長度【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖像的變換關(guān)系求解即可.【詳解】函數(shù),函數(shù),函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到的圖象，故A不正確；函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的一半，得到的圖象，故B不正確；將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的一半，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，故C正確；將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的一半，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，再將圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，故D正確；故選:CD.11.關(guān)于的方程的解集中只含有一個元素，則的可能取值是（）A. B.0 C.1 D.5【答案】ABD【解析】【分析】由方程有意義可得且，并將方程化為；根據(jù)方程解集中僅含有一個元素可分成三種情況，由此可解得所有可能的值.【詳解】由已知方程得：，解得：且；由得：；若的解集中只有一個元素，則有以下三種情況：①方程有且僅有一個不為和的解，，解得：，此時的解為，滿足題意；②方程有兩個不等實(shí)根，其中一個根為，另一根不為；由得：，，此時方程另一根為，滿足題意；③方程有兩個不等實(shí)根，其中一個根為，另一根不為；由得：，，此時方程另一根為，滿足題意；綜上所述：或或.故選：ABD三、填空題（每題5分）12.化簡_________．【答案】1【解析】【分析】先將根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，然后根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.【詳解】解：原式，故答案為：.13.若指數(shù)函數(shù)的最大值與最小值之和等于6，則______．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】因?yàn)槭菄?yán)格單調(diào)函數(shù)，所以，解得（舍去）或.

故答案為：2.14.若f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f（x）=，若方程f（x）=kx恰有3個不同的根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______．【答案】[-，-）∪（，]【解析】【分析】利用周期與對稱性得出f（x）的函數(shù)圖象，根據(jù)交點(diǎn)個數(shù)列出不等式得出k的范圍．【詳解】∵當(dāng)x＞2時，f（x）=f（x-1），∴f（x）在（1，+∞）上是周期為1的函數(shù)，作出y=f（x）的函數(shù)圖象如下：∵方程f（x）=kx恰有3個不同的根，∴y=f（x）與y=kx有三個交點(diǎn)，若k＞0，則若k＜0，由對稱性可知.故答案為[-，-）∪（，].【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)圖象的關(guān)系，函數(shù)周期與奇偶性的應(yīng)用，方程根的問題常轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，屬于中檔題．四、解答題（13+15+15+17+17分）15.（1）設(shè)，求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】（1）將指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對數(shù)式，代入目標(biāo)式，利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計算即可；（2）求出，代入目標(biāo)式，利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計算即可.【詳解】（1）由已知得，，所以．（2）方法一因?yàn)椋?，所以．方法二因?yàn)?，所以，所以，所以?6.已知且，求：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】先由同角的平方關(guān)系得到的值，從而得到，結(jié)合萬能公式，分別代入（1）（2）中計算即可.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，于是．設(shè)．．【小問2詳解】

．17.已知，，．（1）求與的夾角；（2）若，且，求及．【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）利用向量數(shù)量積運(yùn)算律和數(shù)量積定義即可求出；（2）根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算律得，再平方計算即可.【小問1詳解】，所以，又，所以.【小問2詳解】由題意知，解得，，，所以．18.設(shè)函數(shù)，（1）已知，函數(shù)是偶函數(shù)，求的值；（2）設(shè)，求的單調(diào)遞減區(qū)間.【答案】（1）或；（2）減區(qū)間為，【解析】【分析】（1）根據(jù)為偶函數(shù)得到，由范圍可確定最終取值；（2）利用二倍角公式和輔助角公式可將函數(shù)整理為，令，解不等式求得范圍即為所求單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】為偶函數(shù)，又或（2）由題意得：令，解得：的單調(diào)遞減區(qū)間為，【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)奇偶性求解參數(shù)值、正弦型函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解問題；關(guān)鍵是能夠利用二倍角公式和輔助角公式將所求函數(shù)化簡為正弦型函數(shù)的形式，進(jìn)而利用整體對應(yīng)的方式來求解單調(diào)區(qū)間.19.已知函數(shù)的表達(dá)式為.（1）若，求函數(shù)的值域；（2）當(dāng)時，求函數(shù)的最小值；（3）對于（2）中的函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)，同時滿足下列兩個條件：（i）；（ii）當(dāng)?shù)亩x域?yàn)椋渲涤驗(yàn)?；若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）（3）不存在，理由見解析【解析】【分析】（1）由，利用的范圍可得的范圍，進(jìn)而可得答案；（2）