2024-2025學年貴州省高二年級上冊期中聯(lián)考數(shù)學檢測試卷（含解析）

2024-2025學年貴州省高二上學期期中聯(lián)考數(shù)學檢測試卷

注意事項：

1.答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號框涂

黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號框.回答非選擇題時，將答案寫在答

題卡上.寫在本試卷上無效.

3.試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共19個小題，滿分150分，考試用時120分鐘.

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.已知直線1經過點尸(T°),。(-2,3)則直線1的斜率為()

1

A.-3B.3C.3D.3

【正確答案】C

【分析】利用斜率坐標公式計算得解.

.,3-0「二

【詳解】由直線1經過點尸(一3°),°(一2,3),得直線1的斜率-2-(-3)

故選：C

2.已知集合"={I},{I}，貝ij"xe4""xeB”

的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C,充要條件D,既不充分

也不必要條件

【正確答案】B

【分析】根據(jù)必要不充分條件的判定方法進行判斷.

【詳解】先看充分性：因為4e2,但所以“xeN”不是“xeB”的充分條件；

再看必要性：因為4k+2=2(2左+1),keZ,所以“xeB，，是，，的充分條件，

即“xeN”是“xe8，，的必要條件.

所以“xeN”是“xe5”的必要不充分條件.

故選：B

3.已知數(shù)據(jù)占，”2,…，”20的極差為%方差為2,則數(shù)據(jù)3玉+5,3/+5,一

3%。+5的極差和方差分別是（）

A.4,2B.4,18C.12,2D.12,18

【正確答案】D

【分析】根據(jù)極差和方差的性質運算可得.

【詳解】新數(shù)據(jù)的極差是原數(shù)據(jù)極差的3倍，所以新數(shù)據(jù)的極差為：4x3=12；

新數(shù)據(jù)的方程是原數(shù)據(jù)方差的32倍，所以新數(shù)據(jù)的方差為.2x32=18

故選：D

4.在正方體48co—4用°。|中，直線8G與平面片所成角的正切值為（）

A.2B.3C.2D.拒

【正確答案】B

1

【分析】連接4G交BQ于點。,連接08,易證4G平面BDDXBX可得48°為直

線BCi與平面BDDA所成角,設正方體ABCD—481G2的棱長為a,進而結合勾股定理

及直角三角形中正切函數(shù)的定義即可計算求解.

【詳解】如圖，連接4G交8a于點°,連接08,

在正方體/BCO-MBIGD中，4GAS】_L平面,

因為4Gu平面4臺￡。1,所以即，4G,

又BBinBQ】=Bl,BB[,BRu平面BDDXBX

所以4G，平面8。。洪，

所以/C/°為直線BQ與平面BDD[B[所成角,

設正方體ABCD—的棱長為a,

BB}=a,OBx=OCx=—aOB=JoB^+BB；=—a

則2,則2

叵

67百

tan/GBO=QQ_V

OB~46T

--Q

在RtZXOBG中2

5.己知函數(shù)/（x）=e'+x,g（x）=hw+x,〃（x）=d的零點分別為。，b,c,則（

)

A.a<b<cB.a<c<bQc<b<aD.c<a<b

【正確答案】B

【分析】結合函數(shù)單調性，根據(jù)零點的定義列方程，確定各函數(shù)零點的正負情況，即可比較

a,b,c的大小.

【詳解】顯然：函數(shù)/（x）=e'+x,g（x）=lnx+x,〃（》）=^+x在定義域內都是增函數(shù),

又f(Q)=e"+〃=0=e"=—〃>0=Q<0

而g(b)=lnb+b=0中的b>0,

人〃(c)=c3+c=c^c2+1)=0=>c=0

"x，

???a,b,。的大小順序為：a<c<b,

故選：B.

6.已知點8（3/,2）,C（2,0,3）,則4在商上的投影向量為（

A仁叼

B.Nt

【正確答案】D

【分析】根據(jù)投影向量的求法求得正確答案.

【詳解】k=0,0,2），益=（2」,1）,

/?方AB_4（2,1,1）_<422

所以k在荏上的投影向量為網同""'''

故選：D

7.若直線機”+即=1與圓/+/=1有交點，則（）

AW2+W2...1Bm2+n2?1

Cm2+722>1D.4+Z72<1

【正確答案】A

【分析】根據(jù)題意可知，圓心到直線的距離小于等于圓的半徑，進而可以列出不等式.

【詳解】/+/=1的圓心為半徑「=1,

<7-H-1

圓心（°'°）到直線機X+盯—1=0的距離J療+〃2J療+〃2,

依題意，圓心到直線的距離小于等于圓的半徑，

1

<1

所以J加2+〃2即加2+〃22]

故選：A

8.己知實數(shù)X,V滿足丁+了2-4x—2〉—4=°,則2x-y的最大值為（）

3?3M

A.5B.3+后c.3+3&D,12

【正確答案】C

【分析】令2X-了=左，利用判別式法即可.

【詳解】令2x7",則歹=2x-左,

由》2+/_4》_2/_4=0,

彳曰X?+（2x-左J—4x-2（2x-A:）-4=0

的E/曰5x?—（4左+8）x+左2+2左一4=0

整理得，17,

因為存在實數(shù)x滿足等式，

A=（4左+8）2-4x5x（?+2左—40

所以

解得3—3#>V左V3+3#）,

x=2+逑—13-

則加一了的最大值為3+3石，此時5.5.

故選：C.

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列命題中的真命題是（）

A.若直線a不在平面。內，則a〃a

B.若直線1上有無數(shù)個點不在平面0內，貝也〃0

C.若1〃。，則直線1與平面。內任何一條直線都沒有公共點

D.平行于同一平面的兩直線可以相交

【正確答案】CD

【分析】根據(jù)線面平行的性質可判斷AB錯誤，C正確，在長方體中，存在4G與42相交，

且都與平面N8C。平行，可得D正確.

【詳解】對于A,直線a不在平面0內，直線a也可能與平a交，故A是假命題;

對于B,直線1與平。交時，1上也有無數(shù)個點不在平面1內，故B是假命題；

對于C,1〃。時，1與。沒有公共點，所以1與。內任何一條直線都沒有公共點，故C是真

命題；

對于D,在長方體4sC?！?SG2中，4G與片，都與平面4SC。平行，且4G與

42相交，故D是真命題.

故選：CD

23

io.甲、乙兩人各投籃1次，己知甲命中的概率為乙命中的概率為且他們是否命中

相互獨立，則（）

12_

A.恰好有1人命中的概率為5B.恰好有1人命中的概率為15

2B

C.至多有1人命中的概率為《D.至少有1人命中的概率為15

【正確答案】BD

【分析】根據(jù)互斥事件的概率加法公式和相互獨立事件的概率乘法計算公式求得正確答案.

22137

—X——F—X—=——

【詳解】對于AB,由題意，恰好有1人命中的概率為353515,故A錯誤，B正

確；

對于C,至多有1人命中包含0人命中和恰好1人命中，

1273

-X—I-------——

因此至多有1人命中的概率為35155,故c錯誤；

對于D,至少有1人命中包含恰好1人命中和2人都命中，

72313

-------1-----X——------

因此至少有1人命中的概率為153515,故D正確.

故選：BD.

11.“曼哈頓距離”是十九世紀的赫爾曼?閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯，定義如下：在直角坐標平面上

任意兩點“aJ1），B（々,外）的曼哈頓距離為.?（a8）=忖-/?+1%-為在此定義下以

下結論正確的是（)

A.已知點￡（T°）,二°）,滿足貼，用）=2

B.已知點。（°Q,滿足的點河軌跡圍成的圖形面積為2

C.已知點片（T°）,《（I，。），不存在動點河滿足方程：卜（機/A""小2》1

D.已知點M在圓°：八/=1上，點N在直線/：2x+y-6=0上，則""2的最小

3--

值為2

【正確答案】ABD

【分析】A選項：根據(jù)定義計算即可；

B選項：根據(jù)定義得到"（°'.）=忖+3=1,分類討論"J的正負得到軌跡圖形，然后求

面積即可；

C選項：根據(jù)定義得到K（M幻一d（此尸2）=卜+1|-卜-1|=1,然后利用特殊值的思路

判斷即可;

D選項：根據(jù)幾何的思路得到當°腸垂直直線0〃乂平行x軸時，

?"々A最小，然后求最小值即可.

【詳解】A選項：由題意得"（斗與）=卜1-1|+"。=2,故A正確;

B選項：設"（x，X）,“°，"）=|0—x|+|°—1=國+3=1,

當x20,丑0時，d（0"）=x+.v=l；

當x<0,歹20時，d（O,M）=-x+.v=l；

當XNO,"0時，d（°，w）=x—y=i；

當x<0,”0時，x—N=l；

所以點M的軌跡圍成的圖形是以a為邊長的正方形，所以面積為2,故B正確；

1

c選項」"機用卜卜+1+3一卜一|一聞=卜+1卜卜一"=1,當”=5時，

所以存在M使□（〃，幻—“〃，耳人1

,故C錯;

過點M作平行于久軸的直線"5交直線,于點2,過點N作于點/,d（M,N）蓑

-N-A--

示M4+NZ的長度，因為直線’的方程為2x+y—6=0,所以tan/N&4=2,AB一

即M4=2ABd（M,N）=MA+2AB=MB+AB

當固定點/時，MB為定值，此時45為零時，d（M,N）最小,即"N平行于x軸，所以當

2R

sinNTNM=------

的斜率為-2,得5,所以

6君,

d（M,N）=MN=5_3亞

2/52

r

,故D正確.

故選：ABD.

三、填空題：本題共3小題,每小題5分，共15分.

.z伊+。伊-5i）的虛部是

12.已知1是虛數(shù)單位，則復數(shù)

【正確答案】一4百

【分析】根據(jù)復數(shù)的運算法則化簡z=8-46i,進而結合虛部的定義求解即可.

【詳解】由2=（^+。伊一夕）=3-5后+序一q=8-4有

則復數(shù)z的虛部是一4百

故答案為.一46

13.若向量。=加》+加+丘，則稱（九凡”）為Z在基底｛羽?*｝下的坐標.已知向量方在

單位正交基底W,c｝下的坐標為則AB在基底2下的坐標為

【正確答案】O'2"）

【分析】結合題意，根據(jù)空間向量的線性運算可得

益=31+3+3云=仿一512仿+3）+3云

、JJ,進而求得坐標.

【詳解】由題意，益=32+5+3人

3M+B+33=x@-B>yG+B>z1=(x+y)5+(y-x)B+zc

設

x+y=3x=\

y-x=l<y=2

z—3z=3

則，解得

AB=35+6+313c

則

所以君在基底干一，"十瓦。｝下的坐標為0,2,3）,

故答案為2,3）

14.已知某三棱臺的高為2石，上、下底面分別為邊長為40和的正三角形，若該三棱

臺的各頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為

【正確答案】1447r

【分析】求出三棱臺上下底面正三角形外接圓的半徑，確定球心位置，結合球的截面圓性質

求出球半徑，再由球的表面積公式可得結果.

【詳解】依題意，該三棱臺為正三棱臺，設為三棱臺4sc—4與q,如圖,

2

上底面正△4S1G外接圓的半徑是043X2義4百4,為正△45]G外接圓圓心,

OnA=-x^-x6y/3=6

下底面正V48C外接圓的半徑是32°?為正VABC外接圓圓心,

由正三棱臺的性質知，其外接球的球心。在直線0102上，令該球半徑為尺，

于是依-甲MR—2=2行,或質-甲=2#>,解得火2=36,

所以球。的表面積是S=4成2=4兀X36=1447r.

故1447r

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知函數(shù)/G）T°g〃Q+x）,g（x）=bg“（2-》）（。>0，"1）,

H（x）=f（x）-g（x）

（1）求函數(shù)"（X）的定義域A；

（2）實數(shù)加“，且"（冽）=2,求"（一加）的值.

【正確答案】（1），=（—22）

（2）-2

【分析】（1）根據(jù)函數(shù)有意義求解定義域即可；

（2）結合（1）可知〃（"）=l°ga（2+x）_log.（2—x）,me（-2,2）,-加e（—2,2）,進

而代值計算即可.

【小問1詳解】

由題意，〃（x）=/（x）—g（x）=log.（2+x）—log〃（2-x）,

2+x>0

<

由〔2一x〉0,解得_2<X<2,

則函數(shù)"（X）的定義域為HZ.

【小問2詳解】

由⑴知,"00=1嗚（2++bg“（2-x）,

又加e（-2,2）,則-加e（-2,2）,

則H（m）=log0（2+加）-log“（2-陽）=2,

所以*（一掰）=嚏。G-掰）Tog〃（2+加）=-2

16.記V4BC的內角A,8,°的對邊分別為。，b,c,已知向量”（sm41）,

B=（V^,cos/-2）一?工。

V）,其中a=2.

（1）求角A；

（2）若V48C是銳角三角形，求V/8C的周長的取值范圍.

兀

【正確答案】（1）3

⑵（2+2皿

【分析】（1）根據(jù)口上石，可得。*=°,結合A為三角形內角，可求角A.

（2）利用正弦定理表示出6+c,結合輔助角公式和角°的取值范圍，可求6+c的取值范

圍，進而求出三角形周長的取值范圍.

【小問1詳解】

因為〃所以?！?0,

2sin14+g卜2

所以百sin4+cosA-2=0=

又A為三角形內角，所以62n3.

【小問2詳解】

b_c_a_24G

sin5sinCsin4?兀3

sin—

由正弦定理：3

b=&Bc^sinC

所以33

,兀兀兀

、/B+C與Ce

A——5

又VZBC是銳角三角形，且3,所以3,且62

4J34百.12兀)

、b+c=3-(sinB+sinC)=3sinI——CI+sinC

兀71

Ce

5

因為62

所以b+ce(2后4],所以V/8C的周長."+"。，(2+2百同

17.設圓C的半徑為r,圓心C是直線＞=2x—4與直線y=x-l的交點.

(1)若圓C過原點0,求圓C的方程;

(2)已知點4°，3),若圓C上存在點M,使1兒勿1=2|同0|,求r的取值范圍.

【正確答案】⑴GF+&-2)=13

(2)[372-2,372+2]

【分析】(1)求出圓C的圓心和半徑，即可求得答案；

(2)先求出點M的軌跡方程，判斷該軌跡和圓C有交點，即可列出不等關系，求得答案.

【小問1詳解】

y=2x-4卜=3

由卜=xT得卜=2,

所以圓心。（3,2）,

又???圓c過原點o=兇=屈,

???圓C的方程為（X-3）2+3-2）2=13

【小問2詳解】

設M（xy）,由得荷+。-37=2卜+丫2

化簡得9+0+1）2=4,

.??點M在以°（°，一1）為圓心，半徑為2的圓上.

又???點M在圓CO一3）2+0-a7=，上,

故圓X2+（"1）2=4與。*""（――/有交點，

..Jr-2|<|CZ>|<r+2）即任一2區(qū)3五〈r+2,

is.如圖，在直三棱柱'BC-NIBCI中，CACB2AA'i,BC，NC,p為上

的動點，Q為棱G0的中點.

（1）設平面480n平面Z8C=/,若p為48的中點，求證：PQ/H；

⑵設歐=4網，問線段4s上是否存在點P,使得平面4s。？若存在，求出

實數(shù)4的值；若不存在，請說明理由.

【正確答案】（1）證明見解析；

2=-

（2）存在，3.

【分析】（1）設48的中點為E,連接PE,PQ,CE,易證四邊形PEC。為平行四邊形，可

得尸Q〃￡C,進而得到0平面48°,再根據(jù)線面平行的性質求證即可；

（2）建立空間直角坐標系，結合空間向量及4P工平面48。列出方程組求解即可.

【小問1詳解】

證明：設N8的中點為E,連接PE,PQ,CE,

因為P為的中點，Q為的中點，

PE=~AAQC=1CC

所PE以HAA此2X21

在直三棱柱Z8C—4與G中，MGC,4N=GC,

所以Z///0C,且4幺=。。，

所以四邊形尸ECQ為平行四邊形，

則尸Q//EC,又尸0a平面4sC,ECu平面45C,

所以P0〃平面Z8C,

又平面480口平面48。=/,PQu平面450,

所以PQ///.

30!

S

B【小問2詳解】

在直三棱柱ABC_44G中，CC11平面ABC,BC1AC,

故可以C為原點，以CB,C4,CCI所在直線分別為X,2軸建立空間直角坐標系,

CA=CB=-AA.=1

因為2,

所以8(1,0,0),Q(0,0,1),4(0,1,2),Z(0,1,0),

M54=(-1,1,2),1^=(0,-1,-1)AB=(1-1,0)

火LI，，

^BP=(0<2<1)=(-2,2,22)

AP=AB+BP=(1-A,A

所以、，，乙

AP-BA^Q

若ZPl平面480,貝14?-40=°,

-(l-2)+2-l+42=0]

則口」)—2』，解得"3,

所以線段48上存在點p,使得4P1平面4BQ,此時3.

19.材料：我們把經過兩條直線4：4x+2/+G=°,’2：

勾+82歹+°2=0(4與的交點的直線方程叫做共點直線系方程，其交點稱作共點

直線系方程的“共點”，共點直線系方程也可表示為：

4X+8J+G+'(4X+82N+C2)=°(其中XeR,且該方程不表示4).

問題：已知圓M：x2+y2-2x+4y-3=Q_求：

(1)求共點直線系方程3》+V+3+幾(2x-》+3)=0(4eR)的“共點,,P的坐標;

(2)設點尸為第(1