2024冀教版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第2章 與角度相關(guān)的計(jì)算專項(xiàng)訓(xùn)練

第二章與角度相關(guān)的計(jì)算專題訓(xùn)練

1.如圖，。在直線AC上，OD是—AC?的平分線，OE在，H9C內(nèi)，NBOE=；NEOC,

/OOE=72。，求NEOC的度數(shù).

ZAOC=；NBOC,OM平分13OC.求—AQW的度數(shù).

2.如圖所示，ZAOB=nO°,

0D平分/AO3,且NAOC=40。，求NCOD.

4.如圖，M■是直線Z2A上的一點(diǎn)，ZAMB=130°,ME1是拉WB的平分線，/FMB=95。，

求ZAMF和ZFME的度數(shù).

5.如圖，己知。是直線CD上■點(diǎn)，平分/BOC,NAOC=35。，求-50。的度數(shù).

6.如圖，ZAOC=15°,NBOC=45°,OD平分/AO3,求NCOD的度數(shù).

7.已知：如圖，ZBOC^2ZAOC,OD平分NAO3,且NAOB=120。，求-4OC和NC8

的度數(shù).

8.如圖，己知NAOB=90。，ZEOF=60°,OE平分NAOS,O尸平分NBOC,求2OC和

NCO3的度數(shù).

9.如圖，點(diǎn)。是直線A3上一點(diǎn)，OC平分NAOB,在直線的另■側(cè)以。為頂點(diǎn)作

ZDOE=90°

⑴若NAQE=48。，求/BOD的度數(shù).

(2)猜想N49E與NCOQ有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.

10.如圖，。為直線4B上一點(diǎn)，NDOE=90°,ZAOC=140°,8平分-4OC.

⑴求/BOD的度數(shù)；

(2)請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明OE是否平分/BOC.

11.已知：如圖，-403是直角，/AOC是銳角，ON是/AOC的平分線，OM是NBOC

的平分線.

⑴如果NAOC=40。，那么NMON是多少度？

(2)當(dāng)銳角—AOC的大小發(fā)生改變時(shí)，41ON的大小是否發(fā)生改變？說(shuō)明理由.

12.如圖/3OC=2/AOC,OD平分2A0B,

(1)若NCOD=20。，求—4C次的度數(shù);

(2)請(qǐng)畫出一AOC的角平分線OE,試猜想NDOE1與—AOC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

13.如圖，已知ZAO8=NC8=90。，QB是/COE的平分線，ZCOB=5ZBOD.

(l)/30D的度數(shù)；

⑵/AOE的度數(shù).

14.如圖，平分NAOC,ON平分NBOC.

A

■M

—B

(1)若ZAOB=90o,/BOC=30。，求4/ON的度數(shù).

⑵若/A03=x。，4BOC=y。，用含無(wú)、y的代數(shù)式表示NMON的度數(shù)為

15.如圖，OC是的平分線，ZBOC=2ZBOD.

⑴當(dāng)/3?！?gt;=20。時(shí)，求/AOD的度數(shù)；

(2)當(dāng)NAQD=150。時(shí)，求/30D的度數(shù).

(1)若/fiOC=40。，求/AOE的度數(shù);

(2)若4OC=40。，求NDO尸的度數(shù).

17.已知點(diǎn)。為直線A8上一點(diǎn)，將直角三角板MON如圖所示放置，且直角頂點(diǎn)在。處,

在ZMON內(nèi)部作射線OC,且OC恰好平分NMOB.

⑵若ZBON=2ZNOC,求ZAOM的度數(shù).

18.如圖，將直角三角板OWN的直角頂點(diǎn)。放在直線AB上，射線OC平分NAON.

⑴當(dāng)NBON=60°時(shí),求Z.COM的度數(shù)；

⑵若ZAOM=2Z.COM,求ACOM的度數(shù).

19.已知：如圖，ZAOB=ZCOD=180°,ZEOC=90°,0P平分NAOE.

(l)NAOE的余角是；

⑵若ZBOC=40。，求ZCOF的度數(shù)；

(3)猜想NCO/與NBOC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

20.如圖，。為直線AB上一點(diǎn)，ZAOC=50°,。。平分NAOC,ZDOE=90°.

⑵求出的度數(shù).

(3)小明發(fā)現(xiàn)OE平分/BOC,請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算說(shuō)明道理.

參考答案：

1.72°

【分析】本題考查角平分線的定義，鄰補(bǔ)角，一元一次方程的應(yīng)用.設(shè)=則

/EOC=2x,ZAOB^80°-3x,利用角平分線的定義求得4?！?gt;=3(180。-3月，根據(jù)

ZDOE=12°,列式計(jì)算進(jìn)行解答即可.

【詳解】解：設(shè)/BOE=x,則/EOC=2x,ZAOB=180°-3x,

,/OD是ZAOB的平分線，

/.ZBOZ)=1(180°-3x),

?//BOE+/BOD=/DOE,且/DOE=72°,

x+；(180。一3x)=72。

解得x=36°,

故NEOC=2x=72。.

2.75°

【分析】本題考查了角的計(jì)算，由題意得:/BOC+/8OC=120。，可求得4OC=90。,

ZAOC=30°,ZCOM=-x90°=45°,故可求得ZAOAf=75°.

2

【詳解】解：??ZOC=g/BOC,

ZAOB=-ZBOC+ZBOC=120°,

3

解得，ZBOC=90°,

ZAOC=-NBOC=-x90°=30°,

33

,?OM平分NBOC,

ZCOM=-xZBOC=1x90°=45°,

22

ZAOM=ZAOC+ZCOM

=30°+45°

=75°

3.ZCOD=20°

【分析】本題考查了幾何圖形中的角度計(jì)算，角平分線的定義，先根據(jù)題意求出-3OC的

度數(shù)，進(jìn)而求出/AO3的度數(shù)，利用角平分線的定義求出NAOD的度數(shù)，最后根據(jù)

ZCOD=ZAOD-ZAOC求出結(jié)果.

【詳解】解：■.■ZAOC=-ZBOC,ZAOC=40°,

2

:.ZBOC=80°,

ZAOB=ZBOC+ZAOC=120°,

?.?0。平分NAO3,

ZAOD=-ZAOB=60°,

2

ZCOD=ZAOD-ZAOC=20°.

4.ZAMF=35°,ZFME=30°

【分析】本題主要考查了有關(guān)角平分線性質(zhì)的相關(guān)角的計(jì)算，先根據(jù)已知條件求出ZAMF,

再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出/EMB=/EM4=65。,再利用角的和差公式即可求出

【詳解】解：VZAMB=130°,/FMB=95。,

：.ZAMF=ZAMB-ZFMB=130°-95°=35°,

?/ZAMB=130°,上ffi■是ZAMB的平分線，

ZEMB=ZEMA=65°,

,：ZFMB^95°,

：.ZFME=ZFMB-ZEMB=95°-65°=30°.

5.110°

【分析】本題主要考查了幾何圖形中角度的計(jì)算，角平分線的定義，正確求出

NBOC=2NAOC=70。是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：：平分N80C,^AOC=35°,

：.NBOC=2ZAOC=2x35°=70。.

ZBOD=180°-ZBOC=180。-70。=110。，

即一30。的度數(shù)為110。.

6.15°

【分析】本題考查了角平分線的定義以及角的計(jì)算.利用圖形計(jì)算角的和差是解題的關(guān)鍵.

先求出203的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線的定義得出/AOD的度數(shù)，進(jìn)而可得答案.

【詳解】解：VZAOC^15°,ZBOC=45。,

：.ZAOB=ZAOC+ZBOC=15°+45°=60°,

平分/AO3,

ZAOD=-ZAOB=-x60°=30°,

22

Z.COD=ZAOD-ZAOC=30°-15°=15°

7.ZAOC=40°,ZCOD=20°

【分析】本題考查幾何圖形中角度的計(jì)算，與角平分線有關(guān)的計(jì)算.根據(jù)/3OC=2NAOC,

ZAOB=ZAOC+ZBOC=120°,求出—AOC的度數(shù)，角平分線求出/AOD的度數(shù)，再利

用/AOD-/AOC求出NCOD的度數(shù)即可.正確的識(shí)圖，理清角度之間的數(shù)量關(guān)系，是解題

的關(guān)鍵.

【詳解】解：NBOC=2ZAOC,ZAOB=ZAOC+NBOC=120°,

3ZAOC=120°,

ZAOC=40°,

?/平分403,

ZAOD=-ZAOB=60°,

2

ZCOD=ZAOD-ZAOC=20°.

8.ZAOC=120°,ZCOB=30°

【分析】本題主要考查角平分線的計(jì)算，角的和差計(jì)算，理解圖形，掌握角平分線的計(jì)算方

法是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)角平分線的性質(zhì)，分別算出N3OE,NBOb的度數(shù)，再根據(jù)圖示，計(jì)算角和差即可求

解.

【詳解】解：,?,OE平分NAOBOF斗父NBOC,

：.NBOE=-NAOB=1x90°=45°,ZCOF=ZBOF=-ZBOC,

222

,?ZBOF=Z.EOF-Z.BOE=60°-45°=15°,

NBOC=2ZBOF=30°,ZAOC=ZBOC+ZAOB=30°+90°=120°.

9.(1)42°

(2)?AOE?COD180?,理由見(jiàn)解析

【分析】本題考查與角平分線有關(guān)的計(jì)算，幾何圖形中角度的計(jì)算.

(1)利用平角的定義，直接求解即可；

(2)根據(jù)角平分線的定義，得到NAOC=N3OC=90。，進(jìn)而得到NCOD=/BOE,再根據(jù)

NAOE+/3OE=180。，即可得出結(jié)論.

正確的識(shí)圖，理清角度之間的和差關(guān)系，是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：：ZAOE=48。，NDOE=90°,

：.ZBOD=180°-ZAOE-ZDOE=42°；

(2)1AOE2COD180?,理由如下：

:點(diǎn)0是直線A3上一點(diǎn)，OC平分/AOB,

：.ZAOB=180°,ZCOB=-ZAOB=90°,

2

??ZDOE=90。,

：.Z.COD=NBOE=90°+NBOD,

?；ZAOE+ZBC>E=180°,

：.?AOE1COD180?.

10.(1)110°

(2)平分，見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)角平分線的定義求出ZAOD=1/AOC=70。，再利用鄰補(bǔ)角定義求出

2

/30D的度數(shù);

(2)根據(jù)角平分線的定義得到ZAOD=NCOD=gzAOC,利用4>OE=90。，得到

ZCOD+ZCOE=90°,ZAOD+ZBOE=90°,即可證得ZCOE=ZBOE.

【詳解】(1)解：：NAOC=140。，OZ)平分/4OC.

ZAOD=-ZAOC=70°,

2

?/ZAOD+/BOD=180°,

：.ZBOD=110°

(2)：?！?gt;平分NAOC.

/.ZAOD=ZCOD=-ZAOC,

2

:NDOE=90。,

ZCOD+ZCOE=90°,ZAOD+ZBOE=90°,

ZCOE=ZBOE=20°,

：.OE平分NBOC.

【點(diǎn)睛】本題主要考查利用互余、互補(bǔ)及角平分線進(jìn)行角的計(jì)算，靈活運(yùn)用互余、互補(bǔ)的定

義是解題的關(guān)鍵.

11.(1)45°

(2)45°

【分析】本題考查了與角平分線有關(guān)的角的計(jì)算；

(1)ON是NAOC的平分線，是23OC的平分線，則可分別求得NCON,NCO暇的度

數(shù)，由ZMON=ZCOM-ZCON即可求解；

(2)ON是NNOC的平分線，是ZBOC的平分線，ZCON=-ZAOC,

2

ZCOM=-ZBOC,由ZMON=ZCOM-ZCON即可求解.

2

【詳解】(1)解：是—AOC的平分線，ON是23OC的平分線，

又ZAOC=ZBOC+ZAOC=90°+40°=130°,

ZCON=-ZAOC=-x130°=65°,ZCOM=-ZBOC=-x40°=20°,

2222

ZMON=ZCOM-ZCON=65°-20°=45°；

(2)解：不變，理由如下：

?/ON是ZAOC的平分線，OM是NBOC的平分線，

ZCON=-ZAOC,ZCOM=-ZBOC,

22

ZMON=/COM-Z.CON

=-ZAOC--ZBOC

22

=1(ZAOC-ZBOC)

=-ZAOB

2

=45°.

12.(1)ZAOB=120°；

(2)畫圖見(jiàn)解析圖，ZDOE=ZAOC,理由見(jiàn)解析.

【分析】(1)設(shè)ZBOD=ZAOD=x,可得4OC=x+20。，?AOCx—20?,根據(jù)

ZBOC=2ZAOC,構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題；

(2)設(shè)NAOC=2y,則ZAOE=NEOC=y,ZBOC=4y,再用，表示NOOE即可解決

問(wèn)題；

本題考查了角的計(jì)算，基本作圖，角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)

點(diǎn)的應(yīng)用及學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題.

【詳解】(1)：OD平分一AO3,

ZBOD=ZAOD,

設(shè)/BOD=ZAOD=x,則/3OC=x+20。，2AOCx—20?,

,：ZBOC=2ZAOC,

.,.%+20°=2(x-20°),

解得x=60°,

:.ZAOB=2x=120°；

(2)畫圖如圖，ZDOE=ZAOC,理由,

設(shè)ZAOC=2y,貝!］幺0石=/石0。=＞，ZBOC=4yf

9：OD平分—AOB,

Z.AOD=3y,

：.ZDOE=2y=2ZAOE,

：.ZDOE=ZAOC.

13.(1)15°

(2)165°

【分析】本題考查了角的平分線，一元一次方程的應(yīng)用，余角的性質(zhì)，角的和差.

(1)根據(jù)ZAOB=ZCOD=90°得ZAOC=ZBOD,結(jié)合ZCOB=5ZBOD,設(shè)

ZAOC=ZBOD=x°,ZCOB=5x°,結(jié)合NCOS+N3Or>=NDOC=90。，列式計(jì)算即可.

(2)根據(jù)。8是/COE的平分線，NCOB=5x。=75。得到/BOE=75°,結(jié)合

ZAOE=ZAOB+Z.BOE計(jì)算即可.

【詳解】(1)VZAOB=ZCOD=90°,

：.ZAOC=ZBOD,

'：NCOB=5NBOD,

設(shè)ZAOC=ZBOD=x。,則ZCOB=5x0,

?/ZCOB+ZBOD=ZDOC=90°,

x+5x=90°,

解得x=15。，

故40。=15。

(2)：08是/COE的平分線，ZCOB=5x0=75°,

ZBOE=75°,

?/ZAOE=ZAOB+NBOE,

ZAOE=900+75°=165°.

14.(1)ZMOW=45°

⑵*

【分析】本題考查與角平分線有關(guān)的計(jì)算，理清角度之間的和差關(guān)系，是解題的關(guān)鍵.

(1)先求出NAOC的度數(shù)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，求出NCOM,NCON的度數(shù)，再用

NCOM-ZCON計(jì)算即可；

(2)同法(1)進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】(1)解：：4。8=90。,48。。=30。，

ZAOC=ZAOB+ZBOC=90°+30°=120°,

：OM平分/AOC,ON平分/BOC,

：./COM=-ZAOC=60°,ZCON=-ZBOC=15°,

22

ZMON=NCOM-Z.CON=45°；

(2)VZAOB=x°,NBOC=y。，

ZAOC=ZAOB+ZBOC=(尤+y)。，

?.?0加平分—49。，ON平分NBOC,

1111

???/COM=-ZAOC=-(x+y)°,/CON=-ZBOC=-y°,

???ZMON=/COM-ZCON=-x°；

2

故答案為

15.(1)100°

(2)/300=30。

【分析】本題主要考查了角平分線的定義.

(1)結(jié)合圖形，根據(jù)角平分線的定義以及角度之間的數(shù)量關(guān)系即可作答；

(2)根據(jù)角平分線的定義以及角度之間的數(shù)量可得NA8=5N5OD,問(wèn)題隨之得解.

【詳解】(1)vZBOD=20°,NBOC=2NBOD,

:.ZBOC=2x20°=40°,

???OC是ZAOB的平分線，

二ZAOB=2ZBOC=80°,

/.ZAOD=ZAOB+/BOD=100°；

(2)?.?OC是NAO5的平分線，

:.ZAOB=2ZBOC,

?:/BOC=2/BOD,

:.ZAOB=4ZBOD,

ZAOD=/BOD+ZAOB=5ZBOD=150。，

「48=30。.

16.(l)ZA(9E=50°

(2)/0。尸=65。

【分析】本題考查了角平分線的定義，對(duì)頂角相等，角的和差，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵.

(1)先求出NOC氏=90。，根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)得到NAOD=NBOC=40。，進(jìn)而求出

ZAOE=50°；

(2)根據(jù)角平分線的定義可得NAO尸=25。，進(jìn)而可求出NOO9的度數(shù).

【詳解】(1)解：,/^COD=180°,ZEOC=90°,

：.ZDOE=90°,

,/ZBOC=40。,

???ZAOD=ZBOC=40°f

ZAOE=50°；

(2)

解：VOF^ZAOE,

：.ZAOF=-ZAOE=25°,

2

JZDOF=ZAOD+ZAOF=40°+25°=65°.

17.(1)ZAOM=50°

(2)=45°

【分析】本題考查了角平分線的意義，互補(bǔ)，互余的意義，熟練掌握相關(guān)概念，準(zhǔn)確表示各

角和各角之間的關(guān)系，是解答本題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)余角的定義，求出NMOC,再根據(jù)角平分線的定義，求出N3OM,然后根據(jù)

ZAOM=180°-ZBOM=50°,由此得到答案.

(2)根據(jù)角的倍分關(guān)系及角平分線的定義，求出答案.

【詳解】(1)解：???NMON=90。，/CON=25。,

ZMOC=90°-ZCON=65°,

OC平分ZMOB,

ZBOM=2ZMOC=130°,

ZAOM=180°-/BOM=50°.

(2)W：vZBON=2ZNOC,OC平分

ZMOC=ZBOC=3ZNOC,

???ZMOC+ZNOC=ZMON=90°,

「?3ZM9C+ZM9C=90。，

???4ZNOC=90°,

/BON=2ZNOC=45°,

ZAOM=180?！猌MON-/BON=180?！?0°-45°=45°.

18.(1)30°

(2)22.5°

【分析】本題主要考查了幾何圖形中角度計(jì)算、角平分線、一元一次方程的應(yīng)用等知識(shí)，理

解題意，根據(jù)圖形獲得所需信息是解題關(guān)鍵.

(1)首先求得NAQV=120。，再根據(jù)角平分線的定義可得NAOC=NNOC=60。，然后結(jié)合

/MON=90°,由=NNOC即可獲得答案；

(2)設(shè)/COM=%，則ZCON=90°-x,根據(jù)角平分線的定義可得ZAOC=ZCON=90°-x,

易得NAOM=90。-2x,然后結(jié)合NAOM=2NCOM,列出一元一次方程并求解，即可獲得

答案.

【詳解】(1)解：???/H9N=60。，

JZAON=180°-ZBON=120°,

OC平分NAON,

???ZAOC=ZNOC=-ZAON=60°

2f

又「ZMON=90°f

：.Z.COM=ZMON-ZNOC=90°-60°=30°；

(2)設(shè)NCOM=x,

ZMON=90°,

：.ZCON=ZMON-Z.COM=90°-%,

OC平分NAON,

???ZAOC=ZCON=90°-x,

：.ZAOM=ZAOC-ZCOM=90°-2x,

ZAOM=2ZCOM,

90°-2x-2x,

解得x=22.5。，

/.NCOM的度數(shù)為22.5°.

19.W^BOC^ZAOD

(2)/COB=115°；

(3)2ZCOF+ZBOC=270°.理由見(jiàn)解析

【分析】本題考查了角平分線的定義，對(duì)頂角相等，角的和差，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵.

(1)利用余角的定義求解即可；

(2)先求出N4OE=50。，根據(jù)角平分線的定義可得/EOB=25。，進(jìn)而可求出/COP的度

數(shù)；

(3)設(shè)NBOC=x,求得NAOE=90。一x,根