2024-2025學(xué)年云南省昆明八中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年云南省昆明八中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù)f(x)=xlnx，則△x→0limf(1+△x)?f(1)△x的值為A.2e B.0 C.1 D.e2.記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，若a1+aA.73 B.53 C.433.已知點(diǎn)A(1,1)，B(5,3)，則以線段AB為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(

)A.(x?2)2+(y?3)2=5 B.(x?24.天干地支紀(jì)年法源于中國，中國自古便有十天干與十二地支.十天干即：甲、乙，丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支紀(jì)年法是按順序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，…，以此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新開始，即“丙子”，…，以此類推，2025年是乙巳年，請問：在100年后的2125年為(

)A.癸未年． B.辛丑年 C.乙酉年 D.戊戌年5.已知三棱柱ABC?A1B1C1中，側(cè)面ABB1A1⊥A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件6.斜拉橋是將梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的橋，它由梁、斜拉索和塔柱三部分組成.如圖1，這是一座斜拉索大橋，共有10對永久拉索，在索塔兩側(cè)對稱排列.如圖2，已知拉索上端相鄰兩個錨的間距|PiPi+1|(i=1,2,3,…,9)約為4m，拉索下端相鄰兩個錨的間距|AiAi+1|(i=1,2,3,…,9)均為18m.最短拉索的錨P1，A1滿足|OP1|=84m，A.±13 B.±12 C.7.已知原點(diǎn)為O，橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)與直線l：x?y+1=0交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為MA.12 B.32 C.8.已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}，a1=b1=?4，aA.有且僅有1個值 B.有且僅有2個值 C.有且僅有3個值 D.有無數(shù)多個值二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.等差數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，公差為d，前n項和為Sn，滿足aA.a1<0 B.d<0

C.Sn取得最小值時，n=5 D.Sn10.已知平面內(nèi)點(diǎn)A(?1,0)，B(1,0)，點(diǎn)P為該平面內(nèi)一動點(diǎn)，則(

)A.|PA|+|PB|=4，點(diǎn)P的軌跡為橢圓

B.|PA|?|PB|=1，點(diǎn)P的軌跡為雙曲線

C.|PA|?|PB|=1，點(diǎn)P的軌跡為拋物線

D.|PA||PB|11.如圖，ABCD是邊長為2的正方形，AA1，BB1，CC1，DD1都垂直于底面ABCD，且DD1=32AAA.A1，B1，C1，D1四點(diǎn)不共面

B.該幾何體的體積為8

C.過四點(diǎn)A1，C1，B，D四點(diǎn)的外接球表面積為12π

D.截面四邊形BED1F的周長的最小值為12.曲線f(x)=x3+lnx在點(diǎn)(1,1)13.已知數(shù)列{an}滿足a1=2，a2=1，a314.已知正方形PQRS的邊長為22，兩個點(diǎn)A，B(兩點(diǎn)不重合)都在直線QS的同側(cè)(但A，B與P在直線SQ的異側(cè))，A，B關(guān)于直線PR對稱，若PA?RB=0四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

記Sn是公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項和，a1=1，且a2?1，a3?1，a4成等比數(shù)列．

(1)求an和Sn；16.(本小題12分)

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且acosB+bcosA=ac2．

(1)若A，B，C成等差數(shù)列，求△ABC的面積；

(2)若a，b，c成等比數(shù)列，求當(dāng)B取得最大值時，△ABC的周長．17.(本小題12分)

已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)過點(diǎn)A(4,?22)，且漸近線方程為y=±x．

(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程．

(2)設(shè)過點(diǎn)B(1,0)的直線l與C交于18.(本小題12分)

如圖，四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AC，PD=AB=AC=2PA．(Ⅰ)若AD=DC，求證：平面PAD⊥平面PCD；

(Ⅱ)若AD=DC，PB中點(diǎn)為E，試問在棱CD上是否存在點(diǎn)Q，使PQ⊥AE，若存在，指出點(diǎn)Q位置，若不存在說明理由；

(Ⅲ)若PA=2，PD與平面PBC成角大小30°，求DC邊長．19.(本小題12分)

對于?n∈N?，若數(shù)列{xn}滿足xn+1?xn>1，則稱這個數(shù)列為“K數(shù)列”．

(1)已知數(shù)列1，m2?1，2m是“K數(shù)列”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

(2)是否存在首項為?2的等差數(shù)列{an}為“K數(shù)列”，且其前n項和Sn使得Sn<12n2?n恒成立？若存在，求出數(shù)列{參考答案1.C

2.A

3.C

4.C

5.B

6.B

7.D

8.A

9.AD

10.AD

11.BCD

12.4x?y?3=0

13.1

14.(2,+∞)

15.解：(1)設(shè)已知數(shù)列的公差為d，因為a1=1，所以an=1+(n?1)d，

因為a2?1，a3?1，a4成等比數(shù)列，所以(a3?1)2=a4(a2?1)，

得(2d)2=d(1+3d)，即d2?d=0，

所以d=1或d=0，顯然d不為0，所以d=1，

所以16.解：(1)由acosB+bcosA=ac2及正弦定理，得sinAcosB+sinBcosA=acsinC，

所以sin(A+B)=acsinC，即sinC=acsinC，解得ac=1．

因為A，B，C成等差數(shù)列，所以A+C=2B，

所以π?B=2B，解得B=π3．

所以△ABC的面積為S=12acsinB=12×1×32=34．

(2)因為a，b，c成等比數(shù)列，所以ac=b2，結(jié)合(1)有b2=1．

17.解：(1)根據(jù)題意可得ba=116a2+8b2=1，解得a2=b2=8，

所以雙曲線C的方程為x28?y28=1；

(2)因為過點(diǎn)B(1,0)的直線l與C交于D，E兩點(diǎn)，

所以直線l的斜率存在，

設(shè)l的方程為y=k(x?1)，D(x1,y1)，E(x2,y2)，

聯(lián)立x28?y28=1y=k(x?1)，得(1?k2)x2+2k2x?18.(Ⅰ)證明：設(shè)PD=AB=AC=2PA=2a，

因為PA⊥平面ABCD，DC、AD?平面ABCD，所以PA⊥DC，PA⊥AD，

所以AD=PD2?PA2=2a=DC，

而AC=2a，所以AD2+DC2=AC2，即AD⊥DC，

又PA∩AD=A，PA、AD?平面PAD，

所以DC⊥平面PAD，

因為DC?平面PCD，所以平面PAD⊥平面PCD．

(Ⅱ)解：因為PA⊥平面ABCD，AB⊥AC，

所以AB，AC，AP兩兩垂直，

以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，P(0,0,2a)，B(2a,0,0)，C(0,2a,0)，E(a,0,22a)，D(?a,a,0)，

所以AE=(a,0,22a)，DC=(a,a,0)，PD=(?a,a,?2a)，

設(shè)DQ=λDC=(λa,λa,0)，其中λ∈[0,1]，

則PQ=PD+DQ=(?a,a,?2a)+(λa,λa,0)=(λa?a,λa+a,?2a)，

因為PQ⊥AE，

所以PQ?AE=a(λa?a)?22a×2a=(λ?2)a2=0，解得λ=2?[0,1]，

所以在棱CD上不存在點(diǎn)Q，使PQ⊥AE．

(Ⅲ)解：若PA=2，則a=2，

所以A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(22,0,0)，C(0,22,0)，

所以PB=(22,0,?2)，PC=(0,22,?2)，

設(shè)平面19.解：(1)根據(jù)題目新定義：對于?n∈N?，若數(shù)列{xn}滿足xn+1?xn>1，則稱這個數(shù)列為“K數(shù)列”，

由題意得m2?1?1>1，且2m?(m2?1)>1，解得3<m<2，

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(3,2)．

(2)不存在．理由：假設(shè)存在等差數(shù)列{an}符合要求，設(shè)公差為d，則d>1，

由a1=?2得Sn=?2n+n(n?1)2d．

由題意，得?2n+n(n?1)2d<12n2?n對?n∈N?均成立，即(n?1)d<n+2．

當(dāng)n=1時，d∈R；

當(dāng)n>1時，d<n+2n?1恒成立，

因為n+2n?1=n?1+3n?1=1+3n?1>1，所以d≤1，與d>1矛盾，

所以這樣的等差數(shù)列{an}