數(shù)學(xué)-廣東省湛江市2025年普通高考測試（一）（湛江一模）試題和答案

保密★啟用前湛江市2025年普通高考測試(一)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合A={x|x2+2x≤0},B=[-1,1],則A∩B=A.[-1,0]B.[-2,1]C.A.√3A.-567B.5674.一組數(shù)據(jù)1,3,7,9,m(m>0)的中位數(shù)不小于平均數(shù)，則m的取值范圍為A.[5,7]B.[5,15]C.[7,15]5.一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為3,圓心角的扇形，在該圓錐內(nèi)有一個(gè)體積為V的球，則該球的體積V的最大值是6.已知函數(shù)在區(qū)間(0,m)上存在唯一一個(gè)極大值點(diǎn)，則m的最大值為AA7.已知A(-1,0),B(1,0),點(diǎn)P△PAB的面積為數(shù)學(xué)試題第1頁(共4頁)A.-2025B.2025二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有逃錯約得，分，9.已知A(1,6),B(2,4),C(3,4),D(4,2),E(5,4),5亻數(shù)新的徽點(diǎn)圖如圖所示，采用一元線性回歸模型建立經(jīng)驗(yàn)網(wǎng)歸方程，經(jīng)分析確定E(5,4)為“離群點(diǎn)”,故將其去掉，將數(shù)據(jù)E(5,4)去OA.樣本相關(guān)系數(shù)r變大B.殘差平方和變小OC.決定系數(shù)R2變大D.若經(jīng)驗(yàn)回歸直線過點(diǎn)(3.5,2.8),則其經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=-1.2x+710.復(fù)數(shù)z?,zz滿足z?+zz=4,z?·zz=8,則A16)B2A3分.pSAD42)A.|z?|·|z?|=8B.|z-z2|=411.設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)和g(x),記g(x)的導(dǎo)函數(shù)為g(x),且滿足f(x)+g(x)=4,f(x-1)-g'(3-x)=4,若g(x)為奇函數(shù)，則下列結(jié)論一定成立的有A.f(2)+f(4)=8B.f(2025)=4三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為S,且滿足Szn-1=4n2-2a。-1,a=1,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為14.已知橢圓A與雙曲線B:>0)具有相同的焦點(diǎn)F?,F?,點(diǎn)P為橢圓A與雙曲線B位于第一象限的交點(diǎn)，且(0為坐標(biāo)原點(diǎn)).設(shè)橢圓A與雙曲線B的離心率分別為e?,ez,則2e2+e的最小值數(shù)學(xué)試題第2頁(共4頁)15.(本小題滿分13分)16.(本小題滿分15分)已知函數(shù)f(x)=aln(x-1)+x2-2x,其中a∈R.(1)若a=-8,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)a<-2時(shí)，試判斷f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)并證明.17.(本小題滿分15分)如圖，四棱錐S-ABCD的底面是邊長為2的正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長(2)求直線SB到平面PAC的距離.(3)請判斷在平面PAC上是否存在一點(diǎn)E,使得△ESB是以SB為底邊，為頂角數(shù)學(xué)試題第3頁(共4頁)18.(本小題滿分17分)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,A,B分別為C上的點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B上方).過點(diǎn)A,B分別作C的切線l?,l?,交于點(diǎn)P.點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)△OAB為正三(1)求拋物線C的方程；(2)若直線AB經(jīng)過點(diǎn)F,求動點(diǎn)P的軌跡以及點(diǎn)P到直線AB的距離的最小值.19.(本小題滿分17分)甲參加了一場智力問答游戲，每輪游戲均有兩類問題(難度系數(shù)較低的A類問題以及難度系數(shù)較高的B類問題)供選擇，且每輪游戲只回答兩類問題中的其中一個(gè)問●確記1分，否則記0分；甲遇到B類問題時(shí)回答正確的概率為,回答正確記2分，●否則記0分.總得分記為X分.甲回答每個(gè)問題相互獨(dú)立.(1)當(dāng)進(jìn)行完2輪游戲時(shí)，求甲的總分X的分布列與數(shù)學(xué)期望(2)設(shè)甲在每輪游戲中均回答正確且累計(jì)得分為n分的概率為G(n).(ii)求G(n)的最大值以及對應(yīng)n的值.湛江市2025年普通高考測試(一)數(shù)學(xué)參考答案及評分參考2025.3一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.【解析】因?yàn)锳={x|x2+2x≤0}={x|-2≤x≤0},B=[-1,1],所以A∩B=[-1,0],故答案為A.【解析】因?yàn)閍⊥b,所以,所以m=2,所以|b|=【解析】因?yàn)閍?·as=a2=49,所以a=±7,當(dāng)a=-7時(shí)，-7-7q2=70,q2=-11(舍去),故【解析】因?yàn)檫@組數(shù)據(jù)的平均數(shù),所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)只可能是m或7.若這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是,即5≤m≤7;若這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是7,則 ,即7≤m≤15.綜上所述，m的取值范圍為5≤m≤15,故答案為B.【解析】由題意得，扇形的弧長,所以該圓錐的底面圓的半徑1,所以該圓錐的高h(yuǎn)=√32-r2=2√2.設(shè)該圓錐內(nèi)的球的最大半徑為R,則依題意得(3+3+2)×R,所以,所以該球的體積V的最大值是,故答案為D.【解析】由題可知，,所以m的最大值為故答案為A.數(shù)學(xué)參考答案及評分參考第1頁(共9頁)為D(2,0),半徑為√3,當(dāng)直線AP與圓D相切時(shí)，∠PAB最大，則,所以,故答案為D.【解析】若a≤1,則函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，又x-|a-1|≤x,所以f(x-|a-1|)≤f(x)=-f(-x),即f(-x)+f(成立，故a≤1滿足題意，故排除選項(xiàng)A;若a>1,則a-1>0,函數(shù)f(x)在R上不單調(diào)，圖象如圖所示，又f(-x)+f(x-|a-1|)≤0,即f[x-(a-1)]≤f(x),可理解為函數(shù)f[x-(a-1)]的圖象在函數(shù)f(x)的圖象下方，所以a-1≥2Ina,即2Ina-a+1≤0,令g(a)=2Ina-a+1(a>0),則g(2025)=2ln2025-2024<0,g(3)=2lng(e2)=2lne2-e2+1=5-e2<0,故答案為D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.【解析】由圖可知，變量x與變量y是負(fù)相關(guān)，將數(shù)據(jù)E(5,4)去掉后，樣本相關(guān)系數(shù)r的絕對值變大，所以r變小，故選項(xiàng)A錯誤；由于變量x與變量y的相關(guān)性變強(qiáng)，所以殘差平方和變小，決定系數(shù)R2變大，故選項(xiàng)B,C正確；設(shè)經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=bx+a,經(jīng)計(jì)算得x=2.5,y=4,所以1.2,a=y-bx=7,所以經(jīng)驗(yàn)回歸方程是y=-1.2x+7,所以選項(xiàng)D正確，故答案為BCD.【解析】依題意得，復(fù)數(shù)z1,z2是方程x2-4x+8=0的兩個(gè)根，因?yàn)榉匠蘹2-4x+8=0的解為4,故選項(xiàng)B正確；|z1|+|z2|=2√2+2√2=4√2,故選項(xiàng)C錯誤；,故選項(xiàng)D正確.故答案為ABD.數(shù)學(xué)參考答案及評分參考第2頁(共9頁)所以g'(x-1)=-g'(3-x),即g'(x)=-g'(2-x),所以g'(x)關(guān)于(1,0)對稱，g'(1)=0.又因?yàn)間(x)是奇函數(shù)，故g'(x)是偶函數(shù)，所以g'(x)滿足條件g'(x+4)=g'(x).對于選項(xiàng)A,因?yàn)間'(4)=-g'(-2)=-g'(2),所以g'(4)+g'(2)=0,所以f(2)+f(4)=4-g'(2)+4-g'(4)=8-[g'(4)+g'(2)]=8,選項(xiàng)A正確；f(2025)=4-g'(2025)=4-g'(1)=4,選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)D,g'(4)=g'(0),但不一定為0,選項(xiàng)D錯誤.故答案為ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.【解析】設(shè){a}的公差為d,因?yàn)镾2-1=4n2-2a,-1,所以S?=4×22-2a?-1=3a2,所以a?=3,所以d=a?-a?=2.又a?=1,所以an=2n-1.,又,所以依題意有所以,當(dāng)且僅當(dāng)e2=√2e2時(shí)等號成立，數(shù)學(xué)參考答案及評分參考第3頁(共9頁)所以,所以2e2+e2的最小值為解法二：因?yàn)閨,所以.對于焦點(diǎn)三角形△F?PF?,根據(jù)橢圓的性質(zhì)可得其面積,根據(jù)雙曲線的性質(zhì)可得,所以b2=b2,所以a2-c2=c2-a2,整理可后面同解法一。四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟又因?yàn)閟inB≠0,所以√3sin∠BAC+cos∠BAC=1,3分所以.……………………4分又∠BAC∈(0,π),∴……………5分(2)因?yàn)镾△ABC=S△ABD+S△ADC,6分所,……………………7分由余弦定理得,……………………9分將①代入②得8(b+c)2-15(b+c)-8×49=0,…………11分所以△ABC的周長為a+b+c=7+8=1513分16.解：(1)由題知x>1,,………………2分當(dāng)a=-8時(shí)…………3分的單調(diào)遞增區(qū)間為(3,+～).………6分?jǐn)?shù)學(xué)參考答案及評分參考第4頁(共9頁)(2)解法一：令f'(x)=0,解得(舍去),當(dāng)a<-2時(shí),f(x?)<f(2)=0.f(1-a)=aln(-a)+a2-1=-a[-a-In(-a)]-112令g(x)=x-Inx(x≥1),故g(x)在[1,+一]上單調(diào)遞增，因?yàn)?a>2>1,所以f(1-a)=-a[-a-1n(-a)]-1>-a-1>0.易知1-a>x2,所以f(x)在(x2,+一)上存在唯一的零點(diǎn)x?,所以當(dāng)a<-2時(shí)，f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，為2和xs15分解法二：所以x=xo是f(x)的極小值點(diǎn).下證Inx≤x-1(x>0).從而g(x)≥g(1)=0,所以aln(x-1)≥ax-2a,令x?>2-a,則有x?+a-2>0,則f(x?)>0.易得當(dāng)a<-2時(shí)，2-a>xo,所以f(x)=0在(xo,+○)上有唯一解.數(shù)學(xué)參考答案及評分參考第5頁(共9頁)解法三：令f(x)=aln(x-1)+x2-2x=0,當(dāng)x=2時(shí)，f(2)=0,故2是f(x)的一個(gè)零點(diǎn).………………7分令因(洛必達(dá)法則),……11分故當(dāng)a<-2時(shí)在(2,+○)上有唯一解.……13分故當(dāng)a<-2時(shí)無解.又因?yàn)镾DC平面SBD,所以AC⊥SD4分平面PAC=PO,所以SB//PO5分易知直線SO,AC,BD兩兩垂直，如圖，以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)檎叫蜛BCD的邊長為2,所以A(0,-√2,0),CC0,√2,0),B(√2,0,0),設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量為m=(x,y,z),………………9分?jǐn)?shù)學(xué)參考答案及評分參考第6頁(共9頁)因?yàn)镾B//平面PAC,所以直線SB到平面PAC的距離等于點(diǎn)B到平面PAC的距離，BC在法向量m上的投影的模為所以直線SB到平面PAC的距離……………………10分(3)解：不存在.…………………11分理由如下：根據(jù)第(2)問可得直線SB到平面PAC的距離)又因?yàn)镾B//平面PAC,設(shè)點(diǎn)Q為SB的中點(diǎn)，所以點(diǎn)Q到平面PAC的距離……12分假設(shè)在平面PAC上存在點(diǎn)E,使得△ESB是以SB為底邊，為頂角的等腰三角形，則有………………………14分因?yàn)?所以不存在滿足條件的點(diǎn)E.…………15分18.解：(1)因?yàn)椤鱋AB為正三角形時(shí)，其面積為48√3,可得△OAB的邊長OA=8√3.………………1分根據(jù)正三角形以及拋物線的對稱性，可知點(diǎn)A,B關(guān)于x軸對稱，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(12,4√3).……………………2分將點(diǎn)A代入拋物線的方程可得48=24p,解得p=2,………3分所以拋物線C的方程為y2=4x.………………4分(2)易得F(1,0).設(shè)直線AB的方程為x=my+1,聯(lián)立直線AB與拋物線C的方程可得y2-4my-4=設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為)),根據(jù)韋達(dá)定理可得y?+y?=4m,y?y?=-4.……7分設(shè)直線l?的方程為因?yàn)閘?是拋物線C的切線，所以l?與C僅有一個(gè)交點(diǎn).