高考備考資料之?dāng)?shù)學(xué)人教A版全國用課件98曲線與方程

§9.8曲線與方程第九章平面解析幾何基礎(chǔ)知識(shí)

自主學(xué)習(xí)課時(shí)作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)1.曲線與方程的定義一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C(看作點(diǎn)的集合或適合某種條件的點(diǎn)的軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x，y)＝0的實(shí)數(shù)解建立如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系：知識(shí)梳理這個(gè)方程的解曲線上的點(diǎn)那么，這個(gè)方程叫做

，這條曲線叫做

.曲線的方程方程的曲線2.求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的基本步驟任意x,y所求方程1.“曲線C是方程f(x，y)＝0的曲線”是“曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要條件.2.曲線的交點(diǎn)與方程組的關(guān)系(1)兩條曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)是兩個(gè)曲線方程的公共解，即兩個(gè)曲線方程組成的方程組的實(shí)數(shù)解；(2)方程組有幾組解，兩條曲線就有幾個(gè)交點(diǎn)；方程組無解，兩條曲線就沒有交點(diǎn).【知識(shí)拓展】題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)f(x0，y0)＝0是點(diǎn)P(x0，y0)在曲線f(x，y)＝0上的充要條件.(

)(2)方程x2＋xy＝x的曲線是一個(gè)點(diǎn)和一條直線.(

)(3)到兩條互相垂直的直線距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是x2＝y(tǒng)2.(

)(4)方程y＝

與x＝y(tǒng)2表示同一曲線.(

)(5)y＝kx與x＝

表示同一直線.(

)(6)動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程和動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一樣的.(

)基礎(chǔ)自測(cè)123456√×××××幾何畫板展示題組二教材改編2.[P37T3]已知點(diǎn)

，點(diǎn)B是l上的動(dòng)點(diǎn)，若過點(diǎn)B垂直于y軸的直線與線段BF的垂直平分線交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的軌跡是A.雙曲線

B.橢圓C.圓

D.拋物線答案解析123456√解析由已知|MF|＝|MB|，根據(jù)拋物線的定義知，點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)F為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物線.3.[P35例1]曲線C：xy＝2上任一點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離之積為______.答案123456解析在曲線xy＝2上任取一點(diǎn)(x0，y0)，則x0y0＝2，該點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離之積為|x0||y0|＝|x0y0|＝2.解析2題組三易錯(cuò)自糾4.(2017·廣州調(diào)研)方程(2x＋3y－1)＝0表示的曲線是A.兩條直線

B.兩條射線C.兩條線段

D.一條直線和一條射線答案123456解析√123456即2x＋3y－1＝0(x≥3)或x＝4，故原方程表示的曲線是一條射線和一條直線.5.已知M(－1,0)，N(1,0)，|PM|－|PN|＝2，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是A.雙曲線

B.雙曲線左支C.一條射線

D.雙曲線右支解析答案123456解析由于|PM|－|PN|＝|MN|，所以D不正確，應(yīng)為以N為端點(diǎn)，沿x軸正向的一條射線.√6.已知M(－2,0)，N(2,0)，則以MN為斜邊的直角三角形的直角頂點(diǎn)P的軌跡方程是_________________.解析答案123456解析連接OP，則|OP|＝2，∴P點(diǎn)的軌跡是去掉M，N兩點(diǎn)的圓，∴方程為x2＋y2＝4(x≠±2).x2＋y2＝4(x≠±2)題型分類深度剖析解答題型一定義法求軌跡方程師生共研典例(2018·棗莊模擬)已知圓M：(x＋1)2＋y2＝1，圓N：(x－1)2＋y2＝9，動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C，求C的方程.解

由已知得圓M的圓心為M(－1,0)，半徑r1＝1；圓N的圓心為N(1,0)，半徑r2＝3.設(shè)圓P的圓心為P(x，y)，半徑為R.因?yàn)閳AP與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4>2＝|MN|.應(yīng)用定義法求曲線方程的關(guān)鍵在于由已知條件推出關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的等量關(guān)系式，由等量關(guān)系結(jié)合曲線定義判斷是何種曲線，再設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，用待定系數(shù)法求解.思維升華跟蹤訓(xùn)練

已知兩個(gè)定圓O1和O2，它們的半徑分別是1和2，且|O1O2|＝4.動(dòng)圓M與圓O1內(nèi)切，又與圓O2外切，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程，并說明軌跡是何種曲線.解答幾何畫板展示解

如圖所示，以O(shè)1O2的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，O1O2所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系.由|O1O2|＝4，得O1(－2,0)，O2(2,0).設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r，則由動(dòng)圓M與圓O1內(nèi)切，有|MO1|＝r－1；由動(dòng)圓M與圓O2外切，有|MO2|＝r＋2.∴|MO2|－|MO1|＝3<4＝|O1O2|.典例

已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)A(4,0)，且在y軸上截得弦MN的長(zhǎng)為8.(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；題型二直接法求軌跡方程師生共研解答化簡(jiǎn)得y2＝8x(x≠0).又當(dāng)O1在y軸上時(shí)，O1與O重合，點(diǎn)O1的坐標(biāo)(0,0)也滿足方程y2＝8x，∴動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程為y2＝8x.解

如圖，設(shè)動(dòng)圓圓心為O1(x，y)，由題意，知|O1A|＝|O1M|，當(dāng)O1不在y軸上時(shí)，過O1作O1H⊥MN交MN于H，證明(2)已知點(diǎn)B(－1,0)，設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，若x軸是∠PBQ的角平分線，證明：直線l過定點(diǎn).證明

由題意，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋b(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，將y＝kx＋b代入y2＝8x，得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0，其中Δ＝－32kb＋64＞0.即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，∴(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，整理得2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0，

③將①②代入到③中并化簡(jiǎn)得8(b＋k)＝0，∴k＝－b，此時(shí)Δ＞0，∴直線l的方程為y＝k(x－1)，即直線l過定點(diǎn)(1,0).直接法求曲線方程時(shí)最關(guān)鍵的就是把幾何條件或等量關(guān)系翻譯為代數(shù)方程，有建系設(shè)點(diǎn)、列式、代換、化簡(jiǎn)、證明這五個(gè)步驟，但最后的證明可以省略，求出曲線的方程后還需注意檢驗(yàn)方程的純粹性和完備性.思維升華(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；解答因此a＝3，b2＝a2－c2＝4，解答(2)若動(dòng)點(diǎn)P(x0，y0)為橢圓C外一點(diǎn)，且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點(diǎn)P的軌跡方程.幾何畫板展示解

若兩切線的斜率均存在，設(shè)過點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程是y＝k(x－x0)＋y0，即(9k2＋4)x2＋18k(y0－kx0)x＋9[(y0－kx0)2－4]＝0，Δ＝[18k(y0－kx0)]2－36(9k2＋4)[(y0－kx0)2－4]＝0，又所引的兩條切線相互垂直，設(shè)兩切線的斜率分別為k1，k2，若兩切線中有一條斜率不存在，因此，動(dòng)點(diǎn)P(x0，y0)的軌跡方程是x2＋y2＝13.典例(2017·合肥質(zhì)檢)如圖所示，拋物線E：y2＝2px(p>0)與圓O：x2＋y2＝8相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2.過劣弧AB上動(dòng)點(diǎn)P(x0，y0)作圓O的切線交拋物線E于C，D兩點(diǎn)，分別以C，D為切點(diǎn)作拋物線E的切線l1，l2，l1與l2相交于點(diǎn)M.題型三相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程師生共研解答(1)求p的值；解

由點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,2)，代入y2＝2px，解得p＝1.解答(2)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.解

由(1)知拋物線E：y2＝2x.思維升華“相關(guān)點(diǎn)法”的基本步驟(1)設(shè)點(diǎn)：設(shè)被動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，主動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x1，y1)；(2)求關(guān)系式：求出兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系式(3)代換：將上述關(guān)系式代入已知曲線方程，便可得到所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.跟蹤訓(xùn)練(2018·安陽調(diào)研)如圖，動(dòng)圓C1：x2＋y2＝t2，1<t<3與橢圓C2：

＋y2＝1相交于A，B，C，D四點(diǎn).點(diǎn)A1，A2分別為C2的左、右頂點(diǎn)，求直線AA1與直線A2B交點(diǎn)M的軌跡方程.解答幾何畫板展示設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x0，y0)，由曲線的對(duì)稱性，得B(x0，－y0)，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，(1)求拋物線與橢圓的方程；規(guī)范解答分類討論思想在曲線方程中的應(yīng)用思想方法思想方法指導(dǎo)思想方法指導(dǎo)(1)由含參數(shù)的方程討論曲線類型時(shí)，關(guān)鍵是確定分類標(biāo)準(zhǔn)，一般情況下，根據(jù)x2，y2的系數(shù)與0的關(guān)系及兩者之間的大小關(guān)系進(jìn)行分類討論.(2)等價(jià)變換是解題的關(guān)鍵：即必須分三種情況討論軌跡方程.(3)區(qū)分求軌跡方程與求軌跡問題.規(guī)范解答所以拋物線的方程為y2＝4x，其焦點(diǎn)為F(1,0)，即橢圓的右焦點(diǎn)為F(1,0)，得c＝1.可得b2＝4－1＝3，(2)設(shè)Q(x，y)，其中x∈[－2,2]，設(shè)P(x，y0)，因?yàn)镻為橢圓上一點(diǎn)，此軌跡是兩條平行于x軸的線段；

[8分]此軌跡表示實(shí)軸為y軸的雙曲線滿足x∈[－2,2]的部分；

[10分]此軌跡表示長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓滿足x∈[－2,2]的部分.[12分]課時(shí)作業(yè)基礎(chǔ)保分練12345678910111213141516答案解析1.(2017·衡水模擬)若方程x2＋

＝1(a是常數(shù))，則下列結(jié)論正確的是A.任意實(shí)數(shù)a方程表示橢圓B.存在實(shí)數(shù)a方程表示橢圓C.任意實(shí)數(shù)a方程表示雙曲線D.存在實(shí)數(shù)a方程表示拋物線√解析當(dāng)a>0且a≠1時(shí)，方程表示橢圓，故選B.2.設(shè)點(diǎn)A為圓(x－1)2＋y2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，PA是圓的切線，且|PA|＝1，則點(diǎn)P的軌跡方程是A.y2＝2x

B.(x－1)2＋y2＝4C.y2＝－2x

D.(x－1)2＋y2＝2解析答案12345678910111213141516√解析如圖，設(shè)P(x，y)，圓心為M(1,0)，連接MA，則MA⊥PA，且|MA|＝1，又∵|PA|＝1，3.(2018·湛江模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A(3,1)，B(－1,3)，若點(diǎn)C滿足

(O為原點(diǎn))，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，則點(diǎn)C的軌跡是A.直線

B.橢圓

C.圓

D.雙曲線√解析答案12345678910111213141516又λ1＋λ2＝1，∴化簡(jiǎn)得x＋2y－5＝0，表示一條直線.解析答案123456789101112131415164.(2017·宜春質(zhì)檢)設(shè)定點(diǎn)M1(0，－3)，M2(0,3)，動(dòng)點(diǎn)P滿足條件|PM1|＋|PM2|＝a＋

(其中a是正常數(shù))，則點(diǎn)P的軌跡是A.橢圓

B.線段C.橢圓或線段

D.不存在√當(dāng)|PM1|＋|PM2|＝6時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是線段M1M2；當(dāng)|PM1|＋|PM2|>6時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是橢圓，故選C.5.已知點(diǎn)P是直線2x－y＋3＝0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)M(－1，2)，Q是線段PM延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且|PM|＝|MQ|，則Q點(diǎn)的軌跡方程是A.2x＋y＋1＝0 B.2x－y－5＝0C.2x－y－1＝0 D.2x－y＋5＝0解析答案12345678910111213141516√解析由題意知，M為PQ中點(diǎn)，設(shè)Q(x，y)，則P為(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0，得2x－y＋5＝0.6.(2018·廣州模擬)如圖，斜線段AB與平面α所成的角為60°，B為斜足，平面α上的動(dòng)點(diǎn)P滿足∠PAB＝30°，則點(diǎn)P的軌跡是A.直線

B.拋物線

C.橢圓

D.雙曲線的一支√解析答案1234567891011121314151612345678910111213141516解析本題可構(gòu)造如圖圓錐.母線與中軸線夾角為30°，然后用平面α去截，使直線AB與平面α的夾角為60°，則截口為P的軌跡圖形，由圓錐曲線的定義可知，P的軌跡為橢圓.故選C.解析答案123456789101112131415167.已知兩定點(diǎn)A(－2,0)，B(1,0)，如果動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|＝2|PB|，則點(diǎn)P的軌跡所包圍的圖形的面積為________.4π解析設(shè)P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，∴3x2＋3y2－12x＝0，即x2＋y2－4x＝0.∴P的軌跡為以(2,0)為圓心，2為半徑的圓.即軌跡所包圍的圖形的面積等于4π.解析答案12345678910111213141516解析以BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，中垂線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，E，F(xiàn)分別為兩個(gè)切點(diǎn)，則|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|，解析答案123456789101112131415169.已知△ABC的頂點(diǎn)A，B坐標(biāo)分別為(－4,0)，(4,0)，C為動(dòng)點(diǎn)，且滿足sinB＋sinA＝

sinC，則C點(diǎn)的軌跡方程為________________.則|AC|＋|BC|＝10>8＝|AB|，∴滿足橢圓定義.10.如圖，P是橢圓

＝1(a>b>0)上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是它的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且

，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程是____________.解析答案1234567891011121314151612345678910111213141516解答1234567891011121314151611.(2017·廣州模擬)已知點(diǎn)C(1,0)，點(diǎn)A，B是⊙O：x2＋y2＝9上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，且滿足

＝0，設(shè)P為弦AB的中點(diǎn).(1)求點(diǎn)P的軌跡T的方程；12345678910111213141516由垂徑定理知，|OP|2＋|AP|2＝|OA|2，即|OP|2＋|CP|2＝9，設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則(x2＋y2)＋[(x－1)2＋y2]＝9，化簡(jiǎn)，得x2－x＋y2＝4.解答12345678910111213141516(2)試探究在軌跡T上是否存在這樣的點(diǎn)：它到直線x＝－1的距離恰好等于到點(diǎn)C的距離？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.12345678910111213141516∴p＝2，故拋物線方程為y2＝4x，解得x＝1或x＝－4.由x≥0，故取x＝1，此時(shí)y＝±2.故滿足條件的點(diǎn)存在，其坐標(biāo)為(1，－2)和(1,2).12.如圖，P是圓x2＋y2＝4上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸上的射影是點(diǎn)D，點(diǎn)M滿足解答12345678910111213141516(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程，并說明軌跡是什么圖形；12345678910111213141516解

設(shè)M(x，y)，則D(x,0)，∵點(diǎn)P在圓x2＋y2＝4上，∴x2＋4y2＝4，解答12345678910111213141516(2)過點(diǎn)N(3,0)的直線l與動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)A，B，求以O(shè)A，OB為鄰邊的平行四邊形OAEB的頂點(diǎn)E的軌跡方程.12345678910111213141516解設(shè)E(x，y)，由題意知l的斜率存在，得(1＋4k2)x2－24k2x＋36k2－4＝0，

(*)∴y1＋y2＝k(x1－3)＋k(x2－3)＝k(x1＋x2)－6k∵四邊形OAEB為平行四邊形，12345678910111213141516消去k，得x2＋4y2－6x＝0，由(*)中Δ＝(－24k2)2－4(1＋4k2)(36k2－4)>0，技能提升練解析答案12345678910111213141516√13.(2018·宿遷模擬)若曲線C上存在點(diǎn)M，使M到平面內(nèi)兩點(diǎn)A(－5,0)，B(5，0)距離之差的絕對(duì)值為8，則稱曲線C為“好曲線”.以下曲線不是“好曲線”的是12345678910111213141516A項(xiàng)，直線x＋y＝5過點(diǎn)(5,0)，故直線與M的軌跡有交點(diǎn)，滿足題意；B項(xiàng)，x2＋y2＝9的圓心為(0,0)，半徑為3，與M的軌跡沒有交點(diǎn)，不滿足題意；答案解析123