2024年中考數(shù)學(xué)題型突破：二次函數(shù)與面積有關(guān)的問題25題（專項訓(xùn)練）

類型三二次函數(shù)與面積有關(guān)的問題(專題訓(xùn)練)

1.(2023?湖南常德?統(tǒng)考中考真題)如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A(-LO),以5,0)兩

⑴求二次函數(shù)的表達式；

⑵求四邊形ACDB的面積；

(3)產(chǎn)是拋物線上的一點，且在第一象限內(nèi)，若ZACO=NPBC,求P點的坐標(biāo).

【答案】(1廳=++1)(萬一5)；(2)30；⑶

【分析】(1)用兩點式設(shè)出二次函數(shù)的解析式，然后求得C點的坐標(biāo)，并將其代入二次函

數(shù)的解析式，求得。的值，再將。代入解析式中即可.

(2)先將二次函數(shù)變形為頂點式，求得頂點坐標(biāo)，然后利用矩形、三角形的面積公式即可

求得答案.

(3)根據(jù)各點的坐標(biāo)的關(guān)系及同角三角函數(shù)相等的結(jié)論可以求得相關(guān)聯(lián)的函數(shù)解析式，最

后聯(lián)立一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式，求得點P的坐標(biāo).

【詳解】(1):二次函數(shù)的圖象與x軸交于A(TO)，以5,0)兩點.

???設(shè)二次函數(shù)的表達式為y=a（x+l）（x-5）

AO=1,tanZACO=1,

：.OC=5,即C的坐標(biāo)為（0,5）

則5=4（0+1）（。_5）,得a=-l

二次函數(shù)的表達式為y=-(x+l)(x-5)；

(2)y=-(x+l)(x-5)=-(x-2)2+9

..?頂點的坐標(biāo)為(2,9)

過。作于N,作DM_LOC于M,

四邊形ACDB的面積=^△AOC+S矩形OMDN-SMDM+S&DNB

(3)如圖，P是拋物線上的一點，且在第一象限，當(dāng)NACO=NP3C時,

連接尸3,過C作CEL3c交疲于E,過于歹，

?：OC=OB=5,貝LOCB為等腰直角三角形，ZOCB=45°.

由勾股定理得：CB=5母,

,:ZACO=ZPBC,

tanZACO=tan/PBC,

1CECE

即二=3=近

CE=也

由CH_L3C,得N3CE=90。,

，ZECF=180°-NBCE-Z.OCB=180°-90°-45°=45°.

aEFC是等腰直角三角形

FC=FE=l

；?E的坐標(biāo)為(1,6)

3is

所以過3、E的直線的解析式為＞=-5工++

315

y=——x-\----

令＜22

y=-(X+1)(JC-5)

1

x=—

尤=52

解得＞或J

y=on27

y=T

127

所以BE直線與拋物線的兩個交點為8(5,0),P

25T

_L27

即所求產(chǎn)的坐標(biāo)為P2JT

【點睛】本題考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)以及與坐標(biāo)系幾何圖形的綜合證明計算問題,

解題的關(guān)鍵是將所學(xué)的知識靈活運用.

2.(2023?山東東營?統(tǒng)考中考真題)如圖，拋物線過點0(0,0),E。。,。)，矩形A3CD的邊

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；

(2)當(dāng)f為何值時，矩形A3CD的周長有最大值？最大值是多少？

(3)保持f=2時的矩形ABCD不動，向右平移拋物線，當(dāng)平移后的拋物線與矩形的邊有兩個

交點G,H,且直線G"平分矩形ABCD的面積時，求拋物線平移的距離.

1541

【答案】(l)y=工f-jX;(2)當(dāng)r=l時，矩形ABCD的周長有最大值，最大值為了；(3)4

【分析】（1）設(shè)拋物線的函數(shù)表達式為y="（x-io）S*o）,求出點c的坐標(biāo)，將點c的

坐標(biāo)代入即可求出該拋物線的函數(shù)表達式；

（2）由拋物線的對稱性得==則AB=10-2f,再得出3。=-：/+二八根據(jù)矩

42

形的周長公式，列出矩形周長的表達式，并將其化為頂點式，即可求解；

（3）連接AC,8。相交于點P,連接0C,取0c的中點。，連接尸。，根據(jù)矩形的性質(zhì)和

平移的性質(zhì)推出四邊形OCHG是平行四邊形，則PQ=CH,PQ=^OA.求出f=2時，點A

的坐標(biāo)為（8,0）,則CH=（OA=4,即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的函數(shù)表達式為'=依（彳-10）（。力0）.

:當(dāng)t=2時，BC=4,

??.點C的坐標(biāo)為（2,-4）.

將點C坐標(biāo)代入表達式，得2a（2-10）=T,

解得”;

4

拋物線的函數(shù)表達式為y無2-二二

42

（2）解：由拋物線的對稱性得：AE=OB=t,

：.AB=10-2t.

當(dāng)x=/時，BC=~-t2+-t.

42

；?矩形A5CD的周長為

2（AB+BC）=2（10_2r）+]_「+|j]

1,

=——t2+t+20

2

lz241

=一?T1A）+V

V--<0,

2

41

???當(dāng)f=l時，矩形ABCD的周長有最大值，最大值為:.

（3）解：連接AC,8。相交于點尸，連接。C,取OC的中點。，連接P2.

,/直線GH平分矩形ABCD的面積，

，直線GH過點P..

由平移的性質(zhì)可知，四邊形OCHG是平行四邊形，

PQ=CH.

:四邊形ABCD是矩形，

是AC的中點.

PQ=^OA.

當(dāng)r=2時，點A的坐標(biāo)為（8,0）,

CH=-OA=4.

2

拋物線平移的距離是4.

【點睛】本題主要考查了求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平移

的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)表達式的方法和步驟，二次函數(shù)圖象

上點的坐標(biāo)特征，矩形的性質(zhì)，以及平移的性質(zhì).

3.已知二次函數(shù)y=犬+（m-2）x+加-4,其中機＞2.

（1）當(dāng)該函數(shù)的圖像經(jīng)過原點。（0,0），求此時函數(shù)圖像的頂點A的坐標(biāo);

（2）求證：二次函數(shù)）=/+（加-2）%+加-4的頂點在第三象限；

(3)如圖，在(1)的條件下，若平移該二次函數(shù)的圖像，使其頂點在直線y=-X-2上運

動,平移后所得函數(shù)的圖像與V軸的負半軸的交點為3,求..AC?面積的最大值.

【答案】(l)A(-l,-!)

(2)見解析

(3)最大值為J9

O

【分析】(1)先利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，再將二次函數(shù)解析式化為頂點式即可

得到答案；

(2—in—相2+8加一20)

(2)先根據(jù)頂點坐標(biāo)公式求出頂點坐標(biāo)為丁,-----，然后分別證明頂點坐標(biāo)

的橫縱坐標(biāo)都小于0即可；

(3)設(shè)平移后圖像對應(yīng)的二次函數(shù)表達式為y=Y+bx+c,則其頂點坐標(biāo)為，■!，&31,

然后求出點B的坐標(biāo)，根據(jù)平移后的二次函數(shù)頂點在直線y=一X一2上推出c=、+2b-8,

4

1g

過點A作03,垂足為H,可以推出SAAoB=-m(b+l)2+3,由此即可求解.

OO

(1)

解：將0(0,0)代入y=/+(加一2)元+加一4,

解得根=4.

由m>2,則機=4符合題意，

y=X2+2x=(x+l)2-1,

A（-1,-1）.

2-m-m2+8m-20

解：由拋物線頂點坐標(biāo)公式得頂點坐標(biāo)為

24

'/m>2,

/.m—2>0,

2—m<0,

..—m+8〃？-2012*?

.------------=——所4）2-l<-l<0,

44

...二次函數(shù),=/+（加-2）%+加-4的頂點在第三象限.

（3）

（A4r—力？

解：設(shè)平移后圖像對應(yīng)的二次函數(shù)表達式為y=Y+bx+c,則其頂點坐標(biāo)為「1竺廣

當(dāng)x=o時，y-c,

：.B（O,c）.

將代入y=-x-2,

解得c="+2b8.

4

,/3（o,。）在y軸的負半軸上,

c<0.

b2+2b-S

OB-—C——

4

過點A作垂足為H,

：.AH=1.

一qc1cn…1/b2+2b-8},

在中，=-OB-AH=-x\---------Ixl

=--b2--b+l

84

=--(&+l)2+-,

88

9

...當(dāng)b=T時，此時c<0,AO3面積有最大值，最大值為g.

8

【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的平移，

二次函數(shù)的最值問題，正確理解題意，熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵

4.(2023?安徽?統(tǒng)考中考真題)在平面直角坐標(biāo)系中，點0是坐標(biāo)原點，拋物線

>=加+云(0彳0)經(jīng)過點4(3,3),對稱軸為直線x=2.

⑴求6的值；

(2)已知點反C在拋物線上，點B的橫坐標(biāo)為二，點C的橫坐標(biāo)為f+1.過點3作x軸的垂線

交直線于點O,過點C作x軸的垂線交直線。4于點E.

(i)當(dāng)0<t<2時，求，與的面積之和；

3

(ii)在拋物線對稱軸右側(cè)，是否存在點8,使得以6，C,￡>,E為頂點的四邊形的面積為5?

若存在，請求出點8的橫坐標(biāo)f的值；若不存在，請說明理由.

【答案】1=4；(2)(i)2；(ii)r=|

【分析】(1)待定系數(shù)法求解析式即可求解；

(2)(i)根據(jù)題意畫出圖形，得出2”,一一+今),€:1+1,-?+1)2+4?+1)),D(Z,Z),

/、II—r+3/(0</K3)

石Q+11+1),繼而得出5。=卜9/+31八J),

t3，(t>3I

I、2/\\—/+力+2(0</<2)

CE=-(z?+l)-+3(/+l)=I>,當(dāng)o<f<2時，根據(jù)三角形的面積公式，即

IIt-I-之21

可求解.

3

(ii)根據(jù)(i)的結(jié)論，分<3和”3分別求得梯形的面積，根據(jù)四邊形的面積為不

2

建立方程，解方程進而即可求解.

9。+3。=3

【詳解】(1)解：依題意，\b,

------=2

、2a

a=-1

解得:

。二4

y=-x2+4x；

(2)(i)設(shè)直線。4的解析式為y=丘,

:4(3,3),

3=3k

解得：k=l,

???直線y=x,

如圖所示，依題意，+4f）,c[r+l,-（?+l）2+4（f+l）j,E（t+l,t+V）,

—t?+3%（0<1工3）

/.BD^\-t2+3t\=<

t2-3t（t>3）

CE=|-（r+l）2+3（/+l）|=<+/+2（0</<2)

:.當(dāng)0<f<2時，0%(與"CE的面積之和為：2Oxt+gcE(3T-l)=2,

(ii)當(dāng)點8在對稱右側(cè)時，則f>2,

CE=t2-t-2,

當(dāng)2</<3時，BD=-h3t,

$梯形皿c=萬（—產(chǎn)+3,+產(chǎn)-一2）xl=f—1,

解得：f=［，

（舍去）

【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，面積問題，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，分類討

論，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=爐+bx+c的圖像與x軸交于點.A（-1,O）,

8（3,0）,與y軸交于點C.

(1)b=，c=；

(2)若點D在該二次函數(shù)的圖像上，且SABO=2SABC，求點D的坐標(biāo)；

(3)若點P是該二次函數(shù)圖像上位于x軸上方的一點，且S.APC=SAPB，直接寫出點P的

坐標(biāo).

【答案】(1)-2,-3；(2)(1+而，6)或(1—廂，6)；(3)(4,5)

【分析】

(1)利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)先求出AABC的面積，設(shè)點D(m,m2-2m-3)，再根據(jù)S-ABD=2SABC，得到方

程求出m值，即可求出點D的坐標(biāo)；

(3)分點P在點A左側(cè)和點P在點A右側(cè)，結(jié)合平行線之間的距離，分別求解.

【詳解】

解：(1):點A和點B在二次函數(shù)y=/+法+。圖像上,

O=l-Z?+cb=-2

則4，解得:

0=9+3Z?+cc=-3

故答案為:-2,-3；

(2)連接BC,由題意可得：

A(-1,0),B(3,0),C(0,-3),y=x2-2x-3,

1,c

=

??SAABC=-x4x36,

2

,**SAABD=2SAABC,設(shè)點D(m,加2—2加一3),

；x=2x6,gp—1x4x|m2-2m-3|=2x6,

2

解得：x=l+710^1-VlO>代入丁=爐-2%-3,

可得：y值都為6,

AD(1+^0,6)或(l—屈，6)；

???點P在拋物線位于x軸上方的部分，

.\n<-l或n>3,

當(dāng)點P在點A左側(cè)時，即nV-1,

可知點C到AP的距離小于點B到AP的距離,

^/\APC<S^APB,不成乂；

當(dāng)點P在點B右側(cè)時，即n>3,

「△APC和4APB都以AP為底，若要面積相等，

則點B和點C到AP的距離相等,即BC〃AP,

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+p,

Q=3k+p\k=l

則c,解得：\,

〔-3=夕〔p=-3

則設(shè)直線AP的解析式為y=x+q,將點A(-1,0)代入，

則T+q=0,解得：q=l,

則直線AP的解析式為y=x+l,將P(n,I—2〃—3)代入,

即/—2〃-3=〃+1，

解得：n=4或n=T(舍)，

n~-2H—3=5'

...點P的坐標(biāo)為(4,5).

本題考查了二次函數(shù)綜合，涉及到待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形面積，平行線之間的距

離，一次函數(shù)，解題的難點在于將同底的三角形面積轉(zhuǎn)化為點到直線的距離.

6.(2023?湖南?統(tǒng)考中考真題)如圖，二次函數(shù)y=/+bx+c的圖象與x軸交于A,8兩點，

(1)求這個二次函數(shù)的表達式;

⑵在二次函數(shù)圖象上是否存在點尸，使得SNAC=&ABC?若存在，請求出尸點坐標(biāo)；若不存

在，請說明理由；

(3)點。是對稱軸/上一點，且點。的縱坐標(biāo)為。，當(dāng)△QAC是銳角三角形時，求。的取值范

圍.

【答案】(l)y=%2-4x+3；(2)P(2「1)或或"(3)

3+V17…，3-V17

------<a<5或_]<a<-------

22

【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；

（2）根據(jù)S“AC=SA.C，可得P到AC的距離等于8到AC的距離，進而作出兩條AC的平

行線，求得解析式，聯(lián)立拋物線即可求解；

（3）根據(jù)題意，求得當(dāng)△Q4C是直角三角形時的。的值，進而觀察圖象，即可求解，分。>0

和“<0兩種情況討論，分別計算即可求解.

【詳解】（1）解：將點3（1,0）,。（0,3）代入，=/+"+~得

Jl+Z?+c=0

[c=3

仍=一4

解得：

???拋物線解析式為y=r-4x+3；

（2）;y=X?-4%+3=（x-2）—1,

頂點坐標(biāo)為（2,1）,

當(dāng)y=0時，%2-4x+3=0

解得：玉=1,尤2=3

AA（3,0）,則。4=3

VC（0,3）,則OC=3

,AOC是等腰直角三角形，

??Q—V

?°APAC一

???P到AC的距離等于B到AC的距離，

；4（3,0）,C（0,3）,設(shè)直線AC的解析式為>=丘+3

3/+3=0

解得：k=-1

直線AC的解析式為y=-x+3,

如圖所示，過點B作AC的平行線，交拋物線于點P,

設(shè)3尸的解析式為y=-x+d,將點3（1，0）代入得，

—1+d=0

解得：d=1

二直線肝的解析式為y=-x+1,

[y=-x+l

[y=x2-4x+3

[x=l[x=2

解得：c或1

[y=o[y=-i

；PA=^（3-2）2+12=y/2,PB=,J（2-1）2+12=72,AB=3-1=2

；?P^+PB1=AB2

....AB尸是等腰直角三角形，且/AP3=90。，

如圖所示，延長上4至。，使得=過點。作AC的平行線DE,交無軸于點E,則

DA=PA,則符合題意的點P在直線DE上，

「△APB是等腰直角三角形，DE//AC,ACLPD

：.Z.DAE=ZBAP=45°PD±DE

VADE是等腰直角三角形，

AE=y[2AD=y/2AP=2

：.E（5,0）

設(shè)直線DE的解析式為y=-％+e

??—5+e=0

解得：e=5

直線DE的解析式為y=-x+5

y=-x+5

聯(lián)立

y=x2-4x+3

3-#73+V17

x=-------x=-------

后或＜2

解得：2

7+V17i-yjvi

y=2y=~^

/3-后73+V177

或

P—-P—-

綜上所述，尸（2,T）或尸］土乎,乃普）或尸［小普，上普J；

（3）①當(dāng)。＞0時，如圖所示，過點C作CGLAC交尤=2于點G,

當(dāng)點。與點G重合時，一ACQ是直角三角形，

則”（2,1）,

CH=百+（3-1『=2A/2,

,?Z.CHG=ZOCH=45°,

.?.△SG是等腰直角三角形，

:.HG=&H=邑2垃=4

G（2,5）,

設(shè)。（2應(yīng)），貝UAQ2+q2,CQ2+（q-^=/-6q+13

???AC?=32+32=18

18=q2-6q+13+F+q2

解得：?=土手（舍去）或勺=三普

V△Q&C是銳角三角形

當(dāng)4<0時，如圖所示，

同理可得AQ2+QC-=AC2

即；.18=/—64+13+12+42

解得:q丁或（舍去）

由（2）可得AMAC時，A/（2,-l）

3-717

—1<〃<

-2-

綜上所述，當(dāng)△0AC是銳角三角形時，心叵<a<5或-1<”合也

22

【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運用，面積問題，角度問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

7.(2023?四川遂寧?統(tǒng)考中考真題)在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點，拋物線

y=+bx+c經(jīng)過點。(0,0),對稱軸過點8(2,0),直線/過點C(2,-2),且垂直于

V軸.過點3的直線4交拋物線于點M、N,交直線/于點Q,其中點M、Q在拋物線對稱

（圖1）（圖2）

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,當(dāng)5M:MQ=3:5時，求點N的坐標(biāo)；

(3)如圖2,當(dāng)點。恰好在〉軸上時，尸為直線4下方的拋物線上一動點，連接尸。、PO,其

中交4于點￡,設(shè)。3的面積為PQE的面積為邑.求今的最大值.

【答案】(l)y=；V-x；(2)N(6,3)；(3)1

【分析】(1)待定系數(shù)法求解析式即可求解；

(2)過點M作=垂足為。根據(jù)已知條件得出3D:CD=BM:MQ=3:5,進而

列出方程，解方程，即可求解；

(3)先求得直線。8的解析式為y=x-2,設(shè)尸，,；〃2一“，得出直線OP的解析式為

y=[\n-\\x,聯(lián)立‘，二H"T卜得出￡―21，根據(jù)等底兩三角形的面積比等

y=x-2

于高之比，得出獸=與二生，進而得出關(guān)于〃的二次函數(shù)關(guān)系，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可

求解.

【詳解】(1)解：???拋物線y=+bx+c經(jīng)過點。(0,0),對稱軸過點5(2,0),

4

[1

-X292+2Z?+C=0

,4

c=0

\b=—1

侔得：n

[c=。

:?拋物線解析式為-x；

4

(2)解：如圖所示，過點〃作對稱軸x=2的垂線MD,垂足為。，

?：MD//QC,

：.BD:CD=BM:MQ=3:5,

???C（2,-2）,

0-|—m2-m|

（4J_3

~5

—m2

解得：m=1或m=3,

???其中點MQ在拋物線對稱軸的左側(cè).

m=lf

設(shè)直線3M的解析式為,=米+匕,

7Z3

k+b=——

4,

2k+b=0

k=>

4

解得：

73

b=——

2

33

???直線駟的解析式為廣片一5,

聯(lián)立

X=1

x=6

解得:3或

)=3

；.N（6,3）；

（3）解：依題意，點。恰好在y軸上，則。（0,-2）,

設(shè)直線QB的解析式為，=a-2,

將3(0,2)代入得2r-2=0,

解得：1=1,

直線QB的解析式為V=x-2,

設(shè)尸］一〃

,設(shè)直線OP的解析式為y=%x,

則％1=a〃—]'

%一1卜,

???直線。尸的解析式為＞=

-M-1L

y=

聯(lián)立4J

y=x-2

8

X=------

8-〃

解得：

—-2

8—〃

2

E

，S-nS-nV

__8_

.Hx-x_n~s-_^n-n2

??--=--p----E----o---n--------1

S2xE8

8-z?

---n2+n-\

8

=-i(n2-8n)-l

=一』(”-4)2+1,

8'7

當(dāng)”=4時，取得最大值為1.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，平行線分線段比例，面積問題，待定系數(shù)法求解析

式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線丁=-爐+6%+。的圖象與坐標(biāo)軸相交于A、B、C

三點，其中A點坐標(biāo)為(3,0),3點坐標(biāo)為(—1,0),連接AC、BC.動點尸從點A出發(fā)，

在線段AC上以每秒百個單位長度向點C做勻速運動；同時，動點。從點6出發(fā)，在線

段B4上以每秒1個單位長度向點A做勻速運動，當(dāng)其中一點到達終點時，另一點隨之停止

運動，連接PQ,設(shè)運動時間為/秒.

(1)求〃、c的值；

(2)在P、。運動的過程中，當(dāng)，為何值時，四邊形3"。的面積最小，最小值為多少？

(3)在線段AC上方的拋物線上是否存在點M，使」MPQ是以點P為直角頂點的等腰直

角三角形？若存在，請求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)b=2,c=3；(2)t=2,最小值為4；(3)(如47,”士姮)

48

【分析】

(1)利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)過點P作PE±x軸，垂足為E,利用S四娜BCPQ=SAABC-SAAPQ表示出四邊形BCPQ的面積，

求出t的范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值即可；

(3)畫出圖形，過點P作x軸的垂線，交x軸于E,過M作y軸的垂線，與EP交于F,證

明△PFMgaQEP,得到MF=PE=t,PF=QE=4-2t,得到點M的坐標(biāo)，再代入二次函數(shù)表達式,

求出t值，即可算出M的坐標(biāo).

【詳解】

解：(1):拋物線y=-x°+bx+c經(jīng)過點A(3,0),B(-1,0),

0=-9+3b+c

(2)由(1)得：拋物線表達式為y=-x，2x+3,C(0,3),A(3,0),

:.△0AC是等腰直角三角形，由點P的運動可知：

AP=M，過點P作PELx軸，垂足為E,

&

/.AE=PE=-j=-=t,BPE(3-t,0),

又Q(-l+t,0),

=gx4x3_gx[3_(_l+f)]f

=-t2-2t+6

2

:當(dāng)其中一點到達終點時，另一點隨之停止運動,

AC=V32+32=3A/2-AB=4,

；.0WtW3,

???當(dāng)t)；=2時，四邊形BCPQ的面積最小，即為9級-2x2+6=4；

2x22

(3)?.?點M是線段AC上方的拋物線上的點，

如圖，過點P作x軸的垂線，交x軸于E,過M作y軸的垂線，與EP交于F,

?..△PMQ是等腰直角三角形，PM=PQ,ZMPQ=90°,

.\ZMPF+ZQPE=90°,又NMPF+/PMF=90°,

：.ZPMF=ZQPE,

在△PFM和△QEP中，

ZF=ZQEP

<ZPMF=ZQPE,

PM=PQ

/.△PFM^AQEP(AAS),

；.MF=PE=t,PF=QE=4-2t,

EF=4-2t+t=4-t,又0E=3-t,

.,.點M的坐標(biāo)為(3-2t,4-t),

:點M在拋物線y=-x2+2x+3上，

4-t=_(3-2t)2+2(3-2t)+3,

解得：J-折或9+后(舍)，

88

點的坐標(biāo)為(3+后,23+舊).

48

本題考查了二次函數(shù)綜合，涉及到全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角

形面積，用方程的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵.

9.(2023?江西?統(tǒng)考中考真題)綜合與實踐

問題提出：某興趣小組開展綜合實踐活動：在Rt^ABC中，ZC=90°,。為AC上一點,

CDf,動點尸以每秒1個單位的速度從C點出發(fā)，在三角形邊上沿C->3-A勻速運

動,到達點A時停止，以。尸為邊作正方形DPEF設(shè)點P的運動時間為抬，正方形DPEF的

而積為S,探究S與f的關(guān)系

圖I

(1)初步感知：如圖1,當(dāng)點尸由點C運動到點B時,

①當(dāng)r=1時，S=

②S關(guān)于，的函數(shù)解析式為

(2)當(dāng)點尸由點3運動到點A時，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)S是關(guān)于/的二次函數(shù)，并繪制成如圖2所示

的圖象請根據(jù)圖象信息，求S關(guān)于r的函數(shù)解析式及線段48的長.

⑶延伸探究：若存在3個時刻小占^<t2<t3)對應(yīng)的正方形APEF的面積均相等.

①G+芍=

②當(dāng)G=4fl時，求正方形DPEF的面積.

34

【答案】⑴①3；②S=r+4；（2）S=Z2-8r+18（2＜r＜8）,AB=6；（3）①4；②玄

y

【分析】（1）①先求出CP=1,再利用勾股定理求出。尸=6,最后根據(jù)正方形面積公式求

解即可；②仿照⑴①先求出CP=t,進而求出。尸2=r+2,則S=O產(chǎn)=『+2;

（2）先由函數(shù)圖象可得當(dāng)點P運動到8點時，S=DP2=6,由此求出當(dāng)f=2時，5=6,

可設(shè)S關(guān)于f的函數(shù)解析式為S=a（/4y+2,利用待定系數(shù)法求出5=/一8/+18,進而求

出當(dāng)S=/一8/+18=18時，求得才的值即可得答案；

（3）①根據(jù)題意可得可知函數(shù)S=（r-4）2+2可以看作是由函數(shù)S=『+2向右平移四個單位

得到的，設(shè)P（〃4，n）,Q“巧，“乂〃"＞犯）是函數(shù)S=f+2上的兩點，貝I］（嗎+4,〃），

。4+4,"）是函數(shù)5=?—4）2+2上的兩點，由止匕可得叫+丐=0，叫＜7%〈叫+4＜加2+4,

則,%+7”1+4=4,根據(jù)題意可以看作乙=/%,芍=叫+4，％=加2+4,貝I"+芍=4；②由（3）

①可得%=%+4,再由/3='，得到4=：,繼而得答案.

【詳解】（1）解：???動點尸以每秒1個單位的速度從C點出發(fā)，在三角形邊上沿Cf3fA

勻速運動，

.?.當(dāng)r=l時，點尸在BC上，且CP=1,

VZC=90°,CD=0，

DP=VCP2+CE＞2=6，

S=DP-=3,

故答案為：3；

②：動點P以每秒1個單位的速度從C點出發(fā)，在2C勻速運動，

：.CP=t,

,：ZC=90°,CD=y/2,

；?DP2=CP2+CD-^t1+2,

，S=￡＞尸2=r+2;

⑵解：由圖2可知當(dāng)點P運動到8點時，S=DP?=6,

f2+4=6>

解得r=2,

.,.當(dāng)t=2時，S=6,

由圖2可知，對應(yīng)的二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)為(4,2),

可設(shè)S關(guān)于t的函數(shù)解析式為S=+2,

把(2,6)代入S=a(t-4)2+2中得：6=a(2-4)2+2,

解得a=l,

???S關(guān)于r的函數(shù)解析式為S=(f—4)2+2=d—8f+18(24Y8),

在S=/-8f+18中，當(dāng)5=/-8+18=18時，解得1=8或f=0,

AS=8—2=6；

(3)解：①：點P在上運動時，S=/+2,點尸在A8上運動時S=(L4>+2,

...可知函數(shù)S=(f-4)?+2可以看作是由函數(shù)S=/+2向右平移四個單位得到的，

設(shè)尸(犯，〃),”)(乙2>g)是函數(shù)￡=4+2上的兩點,則(0+4,n),(”+4,〃)是

函數(shù)S=(—4)2+2上的兩點，

工叫+機2=°，m1<m2<m1+4<m2+4,

，加2++4=4,

:存在3個時刻小芍也(乙<%<?3)對應(yīng)的正方形DPEF的面積均相等.

可以看作tx=m2,q=叫+4,t3=m2+4f

tx+12=4,

故答案為：4；

②由(3)①可得%3=%+4,

■:t3=4%,

4%=%+4,

.,4

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)與圖形運動問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理等

等，正確理解題意利用數(shù)形結(jié)合的思想求解是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ox?+Z?x-4（。w0）與x軸交于點4（一1,0）,

6（4,0）,與y軸交于點C.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）直線1為該拋物線的對稱軸，點D與點C關(guān)于直線1對稱，點P為直線AD下方拋物線

上一動點，連接PA,PD,求△24。面積的最大值；

（3）在（2）的條件下，將拋物線丁=0^+云-4（。W0）沿射線AD平移4&個單位，得

到新的拋物線外,點E為點P的對應(yīng)點，點F為%的對稱軸上任意一點，在％上確定一點

G,使得以點D,E,F,G為頂點的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點G的坐標(biāo),

并任選其中一個點的坐標(biāo)，寫出求解過程.

51525725

【答案】(1)y=x2-3x-4；(2)8；(3)，-N或Gq,―--)G(—,---),過程

見解析

【分析】

(1)將4(—1,。)，8(4,0)的坐標(biāo)代入函數(shù)式利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)先得出拋物線的對稱軸，作PE〃y軸交直線AD于E,設(shè)P(m,m2-3m-4),用m表示

出4APD的面積即可求出最大面積；

(3)通過平移距離為4&，轉(zhuǎn)化為向右平移4個單位，再向下平移4個單位，根據(jù)平移變

化得出平移后的拋物線關(guān)系式和E的坐標(biāo)，分DE為對角線、EG為對角線、EF為對角線三種

情況進行討論即可.

【詳解】

解：(1)將A(T,0),B(4,0)代入y=ax?+bx-4得

a-b-4=0<2=1

,解得：<

16a+4b-4=0b=—3’

:.該拋物線的解析式為y=x-3x-4,

(2)把x=0代入y=x?-3x-4中得:y=-4,

AC(0,-4),

3

拋物線y=x2-3x-4的對稱軸1為x=—

2

:點D與點C關(guān)于直線1對稱，

AD(3,-4),

VA(-1,0),

設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b；

3k+b=-4k=-l

解得:

-k+b=0b=-l

直線AD的函數(shù)關(guān)系式為：y=-x-l,

設(shè)P(m,m2-3m-4),

作PE〃y軸交直線AD于E,

E(m,-mT),

PE=-m-l-(m2-3m-4)=-m2+2m+3,

=—xPEx|x0—xA|=2(—m1+2m+3)=—2m1+4m+6,

S^D=_2m2+4m+6=-2(n?-1)~+8,

.,.當(dāng)m=l時，AP4D的面積最大,最大值為：8

(3)?.?直線AD的函數(shù)關(guān)系式為：y=-x-L

直線AD與x軸正方向夾角為45°,

拋物線沿射線AD方向平移平移4百個單位，相當(dāng)于將拋物線向右平移4個單位，再向下

平移4個單位，

VA(-1,O),6(4,0),平移后的坐標(biāo)分別為(3,-4),(8,-4),

設(shè)平移后的拋物線的解析式為％=必+dx+e

9+3d+e=-4d=-11

則《,解得:

64+8d+e=-4e=20

???平移后yi=x2_llx+20,

???拋物線y】的對稱軸為：,

2

VP(1,-6),

Z.E(5,-10),

..?以點D,E,F,G為頂點的四邊形是平行四邊形，分三種情況:

設(shè)G(n,n-lln+20),F(―,y),

2

①當(dāng)DE為對角線時，平行四邊形的對角線互相平分

11

5

...3+5_n+2,n=—

2

4

②當(dāng)EF為對角線時，平行四邊形的對角線互相平分

11

15

...3+n_^+y,，n=—

~2~2~2

???喈號）

③當(dāng)EG為對角線時,平行四邊形的對角線互相平分

【點睛】

本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式和最值問題，求三角形的面積，以

及平移的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)，注意分類討論的數(shù)學(xué)思想.

11.（2023?湖南永州?統(tǒng)考中考真題）如圖1,拋物線y=o?+bx+c（。，b,c為常數(shù)）經(jīng)

過點網(wǎng)0,5）,頂點坐標(biāo)為（2,9）,點尸（4%）為拋物線上的動點，PHLx軸于H,且占z|.

⑴求拋物線的表達式；

⑵如圖1,直線°P：V=Mx交即于點G,求赳迄的最大值;

玉^ABOG

⑶如圖2,四邊形03MF為正方形，R4交》軸于點E,BC交尸河的延長線于C,且

BC1BE,PH=FC,求點尸的橫坐標(biāo).

【答案】（l）y=f2+4x+5；（2）|；⑶士好

42

【分析】（1）根據(jù)頂點式坐標(biāo)公式和待定系數(shù)法分別求出。，b,。值，即可求出拋物線解

析式.

（2）利用拋物線的解析式可知道B點坐標(biāo)，從而求出直線8尸的解析式，從而設(shè)G（〃z,-加+5）,

根據(jù)直線。尸的解析式＞=且尤可推出利=色》，從而可以用占,％表達GT長度，在觀察圖

形可知》運=售-1,將其GT和尸“長度代入，即可將面積比轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的形式，

,△BOG5

根據(jù)尸橫坐標(biāo)取值范圍以及此二次函數(shù)的圖像性質(zhì)即可求出了的最大值.

、△BOG

（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)和/。=尸”可求出PT=MC,再利用EOB沿CWB相似和=

可推出OE=MC,設(shè)E（O,d）,即可求出直線AP的解析式，用。表達P點的橫縱坐標(biāo)，最后

代入拋物線解析式，求出d的值即可求出尸點橫坐標(biāo).

【詳解】（1）解：拋物線y="2+bx+c（?,b,c為常數(shù)）經(jīng)過點歹（0,5）,頂點坐標(biāo)

為（2,9）,

ubc4ac-b2

"=5,--=2,----------=9,

2。4。

b=-4a

?J20a-b2z

-----------=9

、4Q

*=T,

及4

二拋物線的解析式為：丁=-尤2+4天+5.

故答案為：y=-x2+4x+5.

（2）解：過點G作GTLx軸于點T,如圖所示,

拋物線的解析式為：y=-x2+4x+5,且與無軸交于A,3兩點,

???3(5,0),

網(wǎng)0,5),

5k+b'=Q

設(shè)直線跳■的解析式為：y^kx+b',則

直線3月的解析式為：y=-x+5.

G在直線B尸上，G（7〃,—m+5）,

G在直線OP上，。尸的解析式為：J=—

-m+5=-m,

%

%+M

玉+%

QBPG

0,BOG

PH二必二」+必

GT~5M—5

西+為

.S.BPG_PH_]=>+%_]

SBOGGT5

P(藥,一片+4石+5),

..SBPG=七+%[=玉一片+4%+5]=](工_5?5

--<0,

???當(dāng)-川匕有最大值，且最大值為一

故答案為：—.

4

（3）解3?,+5C，5E,

:.ZMBC+NMBE=90。,

二NOBE+ZMBE=90。,

:"OBE=ZMBC,

/CMB=/EOB=90°,

MB=BO,

EOB^CMB（ASA）,

設(shè)EO=d,E（O,d）,

：.PH=FC=FM+MC=5+d,

拋物線的解析式為：y=-/+4x+5,且與％軸交于A,3兩點,

,（n=d

設(shè)直線AP的解析式為：y^mx+n,貝時,

[—m+n=0

[m-d

直線AP的解析式為：y=dx+d.

,PH=d+5,尸在直線"上，

:.d+5=dx+d,

5

..x=—,

d

.1%?+4x+5=dx+d,

「.