2024年中考數(shù)學(xué)題型突破：二次函數(shù)與線段有關(guān)的問(wèn)題27題（專項(xiàng)訓(xùn)練）

類(lèi)型二二次函數(shù)與線段有關(guān)的問(wèn)題（專題訓(xùn)練）

1.（2023?重慶?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=+云+。與x

"4

軸交于點(diǎn)A,B,與y軸交于點(diǎn)C,其中3（3,0）,C（0,-3）.

⑴求該拋物線的表達(dá)式;

（2）點(diǎn)P是直線AC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作PDLAC于點(diǎn)求的最大值及此時(shí)

點(diǎn)尸的坐標(biāo);

⑶在（2）的條件下，將該拋物線向右平移5個(gè)單位，點(diǎn)E為點(diǎn)尸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，平移后的拋物

線與>軸交于點(diǎn)尸，。為平移后的拋物線的對(duì)稱軸上任意一點(diǎn).寫(xiě)出所有使得以為腰的

△QEF是等腰三角形的點(diǎn)。的坐標(biāo)，并把求其中一個(gè)點(diǎn)。的坐標(biāo)的過(guò)程寫(xiě)出來(lái).

【答案】（1）了=：尤2+5一3；（2）如取得最大值為:；（3）。點(diǎn)的坐標(biāo)為［|,一1

或或

【分析】（1）待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可求解；

3

（2）直線AC的解析式為y=-7％-3,過(guò)點(diǎn)尸作尸石，了軸于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)。，設(shè)

4

尸“，”，3）,則則PD=gpQ,進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解;

（3）根據(jù)平移的性質(zhì)得出>［一竺,對(duì)稱軸為直線x=￡,點(diǎn)尸,2,鼻向右平

4（2）16

移5個(gè)單位得到小3,-F（0,2）,勾股定理分別表示出E尸,QE'Q尸，進(jìn)而分類(lèi)討論即

可求解.

【詳解】（1）解：將點(diǎn)3（3,0）,C（0,-3）.代入y=+bx+c得,

19

-X32+3Z?+C=0

4

c=-3

b=—

解得：4,

c=-3

?，?拋物線解析式為：>=：尤2+9犬-3,

44

（2）：y尤?+!無(wú)一3與x軸交于點(diǎn)A,B,

44

當(dāng)y=0時(shí)，-X2+-X-3=0

44

解得：工1=一4,工2=3,

???A（-4,0）,

???C（0,-3）.

設(shè)直線AC的解析式為y=kx-3,

：.4—3=0

解得：k=--3

4

3

???直線AC的解析式為y=-3,

4

如圖所示，過(guò)點(diǎn)尸作PE*_Lx軸于點(diǎn)石，交AC于點(diǎn)

%

,貝1JQ”,一，

設(shè)

22

...Pe="|?_3_Qt+-t-3\=--t-tf

4J4

?.?ZAQE=ZPQD,ZAEQ=NQDP=90。,

：./OAC=/QPD,

?.?OA=4,OC=3,

???AC=5,

PDAO4

：.cosZQPD=—=cosZOAC=-----=—,

AC5

44(1>14124

,-.PD=-PQ=-\-「2-2'+2)+5,

411115

???當(dāng)―2時(shí)，如取得最大值為:，/+/-3=小-2)9+丁(-2)-3=-天

(3)?.?拋物線y=；x2+[x-3=￥"]

44

將該拋物線向右平移5個(gè)單位，得至叮=工1尤一2］一”，對(duì)稱軸為直線x=g,

-4(2)162

點(diǎn)尸12,一野向右平移5個(gè)單位得到《3,-11

:平移后的拋物線與〉軸交于點(diǎn)尸，令x=0,則丁=工、［2［一竺=2,

??”(0,2),

117

EF-=32+

：。為平移后的拋物線的對(duì)稱軸上任意一點(diǎn).

則。點(diǎn)的橫坐標(biāo)為會(huì)9

設(shè)嗚

"2=(|-3)+(*]，。b=[|)+C

當(dāng)QF=EF時(shí)，^|J+(m-2)2=^,

解得：機(jī)=-1或機(jī)=5,

當(dāng)QE=Qp時(shí)，(|-3)+(*)=(|)+(

7

解得：m=-

綜上所述，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為[|,T)或||，5]或

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問(wèn)題，解直角三角形，待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的

平移，線段周長(zhǎng)問(wèn)題，特殊三角形問(wèn)題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.(2023?四川涼山?統(tǒng)考中考真題)如圖，已知拋物線與x軸交于A(L0)和3(-5,0)兩點(diǎn)，

與y軸交于點(diǎn)C.直線'=-3*+3過(guò)拋物線的頂點(diǎn)尸.

(1)求拋物線的函數(shù)解析式；

(2)若直線x=m(-5<m<0)與拋物線交于點(diǎn)E,與直線BC交于點(diǎn)F.

①當(dāng)所取得最大值時(shí)，求機(jī)的值和EF的最大值；

②當(dāng)EFC是等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

【答案】(1)>=-/一?+5；⑵①當(dāng)機(jī)=-；時(shí)，所有最大值,最大值為??；②(—3,8)或(-4,5)

或(&-5,6&-2)

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)①先求出C(0,5),進(jìn)而求出直線BC的解析式為)^=尤+5,則

E[m,-nr-4/7?+5),F^m,m+5),進(jìn)一步求出EF=-去由此即可利用二次

函數(shù)的性質(zhì)求出答案；②設(shè)直線x="與x軸交于"先證明是等腰直角三角形，得

到/EFC=ZBFH=45°；再分如圖3-1所示，當(dāng)EC=FC時(shí)，如圖3-2所示，當(dāng)EF=EC時(shí),

如圖3-3所示，當(dāng)瓦=CF時(shí)，三種情況利用等腰三角形的定義進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)解：???拋物線與x軸交于A(1,O)和川-5,0)兩點(diǎn)，

拋物線對(duì)稱軸為直線x=言1=-2,

在y=-3x+3中，當(dāng)x=-2時(shí)，＞=9,

拋物線頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2,9),

設(shè)拋物線解析式為y=a(尤+2)2+9,

/?a(l+2)2+9=0,

??Cl——1,

???拋物線解析式為y=-(X+2)2+9=一尤2—4x+5

(2)解：①：拋物線解析式為、=-必-4x+5,點(diǎn)C是拋物線與y軸的交點(diǎn)，

C(0,5),

設(shè)直線BC的解析式為y=履+仿，

..5人+4=0

5=5，

[%b=15，

直線BC的解析式為y=X+5,

直線元=rn(-5<m<0)與拋物線交于點(diǎn)E,與直線5c交于點(diǎn)F

E^mj-m2-4m+5),F(m,m+5),

EF=—m2—4m+5—(m+5)

=—m2—5m

V-l<0,

525

???當(dāng)2一泮,所有最大值,最大值為不

/.BH=m+5,HF=m+5,

???BH=HF,

???二亞/是等腰直角三角形，

/.ZEFC=ZBFH=45°；

如圖3-1所示，當(dāng)EC=FC時(shí),

過(guò)點(diǎn)C作CG，砂于G,則G（m,5）

.,.點(diǎn)G為所的中點(diǎn)，

由（2）得E（m,-〃z2-4〃z+5）,F（rn,m+5）,

.-m2-4m+5+m+5

??=5,

2

m2+3m=0,

解得機(jī)=-3或機(jī)=0（舍去），

/.E（-3,8）；

如圖3-2所示，當(dāng)砂=EC時(shí)，則；跳。是等腰直角三角形,

AZF￡F=90°,即CEJL￡F,

???點(diǎn)七的縱坐標(biāo)為5,

—m2—4m+5=5,

解得機(jī)=7■或機(jī)=0(舍去),

???石(-4,5)

如圖3-3所示，當(dāng)EF=CF時(shí)，過(guò)點(diǎn)。作。6，歷于6,

同理可證4CFG是等腰直角三角形，

:.FG=CG=—m,

?*-CF=CcG=-yfim，

—m2-5m=-y/2m，

m2+(5-虛)相=0,

解得加=0-5或加=。(舍去)，

AEF=CF=-V2X(V2-5)=5A/2-2,HF=y[2,

?*-HE=6版-2,

網(wǎng)0-5,6夜-2)

綜上所述，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-3,8)或(-4,5)或(立-5,6五-2)

圖3-3

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判斷，一次函

數(shù)與幾何綜合，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等等，利用分類(lèi)討論的思想求解是解題的關(guān)鍵.

3.小聰設(shè)計(jì)獎(jiǎng)杯，從拋物線形狀上獲得靈感,在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出截面示意圖，如圖1,

杯體ACB是拋物線的一部分，拋物線的頂點(diǎn)C在y軸上，杯口直徑A3=4,且點(diǎn)A,B關(guān)

于y軸對(duì)稱，杯腳高CO=4,杯高。。=8,杯底MN在x軸上.

(1)求杯體ACB所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式(不必寫(xiě)出x的取值范圍).

(2)為使獎(jiǎng)杯更加美觀，小敏提出了改進(jìn)方案，如圖2,杯體4CB'所在拋物線形狀不變,

杯口直徑A5'//A5,杯腳高CO不變，杯深C。'與杯高之比為0.6,求A3'的長(zhǎng).

【答案】⑴y=Y+4；(2)2娓

【分析】

(1)確定B點(diǎn)坐標(biāo)后，設(shè)出拋物線解析式，利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)利用杯深CD'與杯高0D'之比為0.6,求出0D'，接著利用拋物線解析式求出

B'或A'橫坐標(biāo)即可完成求解.

【詳解】

解：(1)設(shè)y+4,

:杯口直徑AB=4,杯高D0=8,

：.5(2,8)

將x=2,y=8代入，得。=1,

j=x2+4.

CD'

=0.6,

(2)OD7

CD'

=0.6,

4+CD'

:.Ciy=6,OD'=10,

當(dāng)y=l。時(shí)，10=/+4,

玉=&或羽=-A/6,

A'B'=2屈，

即杯口直徑A?的長(zhǎng)為2前.

【點(diǎn)睛】

本題考查了拋物線的應(yīng)用，涉及到待定系數(shù)法求拋物線解析式、求拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)等內(nèi)

容，解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意，找出相等關(guān)系列出等式等.

4.（2023?浙江金華?統(tǒng)考中考真題）如圖，直線y=^x+6與x軸，》軸分別交于點(diǎn)A,8,

拋物線的頂點(diǎn)P在直線A8上，與x軸的交點(diǎn)為CD,其中點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2,0）.直線與

直線尸。相交于點(diǎn)E.

⑴如圖2,若拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)0.

①求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；②求等的值.

EC

（2）連接PC,NCPE與/BAO能否相等？若能，求符合條件的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不能，試說(shuō)明

理由.

【答案】（1）①y=尤2+3&x；②（2）能，6或;或或——.

233/3

【分析】（1）①先求頂點(diǎn)的坐標(biāo)，然后待定系數(shù)法求解析式即可求解；

②過(guò)點(diǎn)E作團(tuán)，0C于點(diǎn)//.設(shè)直線BC為>=區(qū)+石，把C(2,0)代入，得0=2上+?,

解得人=-手，直線2(^為>=-*龍+石.同理，直線。尸為y=^x.聯(lián)立兩直線解析

式得出E：,竽，根據(jù)團(tuán)〃30,由平行線分線段成比例即可求解；

(亞M

(2)設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為t,^-t+s/5,則點(diǎn)。的坐標(biāo)為⑵-2,0).①如圖2-1,當(dāng)"2時(shí)，

I2)

存在NCPE=N&4O.記NC尸石=NB4O=a,NAPC=/?,則乙4尸。=。+￡.過(guò)點(diǎn)尸作尸尸，了

AP2

軸于點(diǎn)/，則AF=1+2.在Rt八。/中，COS/3AO=7^=￡，進(jìn)而得出點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為6.②

/Ilj

如圖2-2,當(dāng)0</V2時(shí)，存在NCPE=ZBAO.記NCPE=/BAD=a,ZAPD=尸.過(guò)點(diǎn)p作

AF2

軸于點(diǎn)尸，則AF=t+2.在RtA小中，cos/BAO=/—=w，得出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)

f\rJ

o

為③如圖2-3,當(dāng)一2</<0時(shí)，存在NCPE=4L4O.記N54O=a.過(guò)點(diǎn)尸作PFLx

軸于點(diǎn)/，則AF=t+2.在RtAP/中，M=COS/BAO=],得出點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為-。.④

如圖2-4,當(dāng)/W-2時(shí)，存在NCPE=NBAO.記/54O=a.過(guò)點(diǎn)尸作Px軸于點(diǎn)尸，

AF214

則/S=f-2.在RtAP尸中，—=cosZPAF=~,得出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-1.

【詳解】(1)解：@'：OC=2,

.??頂點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為1.

.?.當(dāng)X=1時(shí)，y=@x+^=還，

22

點(diǎn)P的坐標(biāo)是[1，—

設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=—1)2+半，把(0,0)代入，

得0=。+3下,

2

解得〃=-35.

2

???該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-乎(x-1)?+孚,

即y=+3^5x.

②如圖1,過(guò)點(diǎn)E作EHLOC于點(diǎn)H.

設(shè)直線5C為y=+把。（2,0）代入，得0=2左+?,

解得上=_或，

2

?,?直線5C為尸—S+氐

2

同理，直線OP為y=±叵x(chóng).

2

一旦+后

y=

2

由＜

3A/5

y=-------X.

2

244

?:EH//BO,

.BEOH

*HC-3

、

（2）設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為6,則點(diǎn)。的坐標(biāo)為（2—2,0）.

7

①如圖2—1,當(dāng)/>2時(shí)，存在NCPE=Na4O.

記NCPE=NBAO=a,ZAPC=0,則ZAP￡)=a+4.

??,nPCD為△P4C的外角，

.../PCD=a+B.

?:PC=PD.

.?.APDC=APCD=a+(3.

:.ZAPD=ZADP.

：.AP=AD=2t.

過(guò)點(diǎn)月作軸于點(diǎn)尸，貝i」A/=，+2.

AF2

在RtAPF中，cos/BAO=——=-,

AP3

??.tf+2=：2,解得f=6.

2t3

記ZCPE=/BAD=a,ZAPD=J3.

???NPDC為二上4。的夕卜角，

:./PDC=cc+/3.

：./PCD=/PDC=a+(3

：.ZAPC=ZACP.

：.AP=AC=4.

過(guò)點(diǎn)尸作尸尸，1軸于點(diǎn)尸，貝IJA尸=1+2.

4/79

在尸中,cosZBAO=——=—,

AP3

.￡+222

’?丁一3解得/=1.

7

點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為

圖2-2

③如圖2-3,當(dāng)一2</(0時(shí)，存在NCPE=ZBAO.記NS4O=i.

?.?PC=PD,

：.ZPDC=/PCD=-ZCPE=-a.

22

???ZAPD=ZBAO-ZPDC=a--=-a.

22

:.ZAPD=ZPDA.

?**AD=AP=-2t.

過(guò)點(diǎn)尸作P尸，1軸于點(diǎn)尸，則A尸=r+2.

A/72

在Rt-AP歹中，——=cos/3Ao=—,

AP3

,/+22々刀/日6

.?一--=—,解傳t=.

-It37

點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-g.

④如圖2-4,當(dāng)tW—2時(shí)，存在/CPE=/BAO.記N54O=a.

?；PC=PD,

：.ZPCD=ZPDC=-NCPE=-a.

22

???ZAPC=ZBAO-/PCD=a--a=-a.

22

???PA=CA=4.

過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)/，則AF=V—2.

AF2

在Rt-AP尸中，一=cos/PAF=—,

一AP3

.??點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-5.

綜上，點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，解直角三角形，平行線分線段成比例，熟練掌握以

上知識(shí)，分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵.

5.如圖1,隧道截面由拋物線的一部分AED和矩形ABCD構(gòu)成，矩形的一邊BC為12米，另

一邊AB為2米.以BC所在的直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐

標(biāo)系xOy,規(guī)定一個(gè)單位長(zhǎng)度代表1米.E(0,8)是拋物線的頂點(diǎn).

(2)在隧道截面內(nèi)(含邊界)修建“m”型或“R”型柵欄，如圖2、圖3中粗線段所

示，點(diǎn)A,A在X軸上,MN與矩形的一邊平行且相等.柵欄總長(zhǎng)1為圖中粗線段64，

pp,EE,MN長(zhǎng)度之和.請(qǐng)解決以下問(wèn)題：

(i)修建一個(gè)“E”型柵欄，如圖2,點(diǎn)尸2，B在拋物線AED上.設(shè)點(diǎn)片的橫坐標(biāo)為

m(O<?77<6),求柵欄總長(zhǎng)1與m之間的函數(shù)表達(dá)式和1的最大值；

(ii)現(xiàn)修建一個(gè)總長(zhǎng)為18的柵欄，有如圖3所示的修建“E”型或“R”型柵型

兩種設(shè)計(jì)方案，請(qǐng)你從中選擇一種，求出該方案下矩形月E月《面積的最大值，及取最大值

時(shí)點(diǎn)片的橫坐標(biāo)的取值范圍(A在巴右側(cè)).

【答案】(1)丫=一：(+8

0

(2)(i)l=-1m2+2m+24,1的最大值為26；(ii)方案一：-回+9WP1橫坐標(biāo)W而；

Q

方案二：-西+5WP1橫坐標(biāo)W0T

【分析】(1)通過(guò)分析A點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；

(2)(i)結(jié)合矩形性質(zhì)分析得出P2的坐標(biāo)為(m,-^2+8),然后列出函數(shù)關(guān)系式，利

0

用二次函數(shù)的性質(zhì)分析最值；

(ii)設(shè)PR=n,分別表示出方案一和方案二的矩形面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)分析最值，

從而利用數(shù)形結(jié)合思想確定取值范圍.

(1)由題意可得：A(—6,2),D(6,2),

XVE(0,8)是拋物線的頂點(diǎn)，

設(shè)拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為丫=儆2+8,將A(-6,2)代入，

(—6)—+8=2,解得：a=——,

6

...拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=-JX?+8；

O

(2)(i)??,點(diǎn)Pi的橫坐標(biāo)為m(0VniW6),且四邊形PF2P3P4為矩形，點(diǎn)P2,P3在拋物線AED

上，

二?P2的坐標(biāo)為(H1,~IR2+8),

6

12.

.?.PR=P3P4=MN=--m2+8,P2P3=2m,

6

.*.1—3(—m2+8)+2m=—m24_2m4-24——(m-2)2+26,

622

V-1<0,.?.當(dāng)m=2時(shí)，1有最大值為26,

即柵欄總長(zhǎng)1與m之間的函數(shù)表達(dá)式為l=-1m2+2m+24,1的最大值為26；

(ii)方案一：設(shè)P2Pi=n,則P2P,=18-3n,

矩形PEP3P4面積為C18-3n)n=-3n2+18n=-3(n-3)2+27,

V-3<0,

.?.當(dāng)n=3時(shí)，矩形面積有最大值為27,

此時(shí)P2Pl=3,P?P3=9,令-,X"+8=3,解得：x=±730,

6

此時(shí)Pi的橫坐標(biāo)的取值范圍為-回+9WPi橫坐標(biāo)W同，

方案二：設(shè)BP尸n,則P2P3=9—n,

Q81

；?矩形PiP2P3P4面積為(9—n)n=—n2+9n=—(n—-)2+—,

24

???一IVO,???當(dāng)n=J9時(shí)，矩形面積有最大值為8二1，

24

QQ1Q(_

止匕時(shí)P2Pl=展，P2P3=77,令一］X2+8=；；,解得：X=±0T，

2262

...此時(shí)Pl的橫坐標(biāo)的取值范圍為-q+1WPi橫坐標(biāo)W國(guó)■

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，準(zhǔn)確識(shí)圖，確定關(guān)鍵點(diǎn)

的坐標(biāo)，利用數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵.

6.(2023?江西?統(tǒng)考中考真題)綜合與實(shí)踐

問(wèn)題提出：某興趣小組開(kāi)展綜合實(shí)踐活動(dòng)：在中，ZC=90°,。為AC上一點(diǎn)，

CD=42,動(dòng)點(diǎn)尸以每秒1個(gè)單位的速度從C點(diǎn)出發(fā)，在二角形邊上沿C―區(qū)fA勻速運(yùn)

動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止，以。尸為邊作正方形DPEF設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為招，正方形DPEF的

而積為S,探究S與f的關(guān)系

⑴初步感知：如圖1,當(dāng)點(diǎn)尸由點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8時(shí)，

①當(dāng)r=l時(shí)，S—.

②S關(guān)于t的函數(shù)解析式為.

（2）當(dāng)點(diǎn)尸由點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)S是關(guān)于/的二次函數(shù)，并繪制成如圖2所示

的圖象請(qǐng)根據(jù)圖象信息，求S關(guān)于f的函數(shù)解析式及線段AB的長(zhǎng).

⑶延伸探究：若存在3個(gè)時(shí)刻4名名（4<：2<4）對(duì)應(yīng)的正方形DP即的面積均相等.

①…2=;

②當(dāng)g=44時(shí)，求正方形DPEF的面積.

34

【答案】⑴①3；②S=r+4;（2）s=r2-8r+18（2<r<8）,AB=6；（3）①4；②至

【分析】（1）①先求出CP=1,再利用勾股定理求出。尸=有，最后根據(jù)正方形面積公式求

解即可；②仿照（1）①先求出CP=t,進(jìn)而求出。尸2=尸+2,則5=。產(chǎn)=產(chǎn)+2；

（2）先由函數(shù)圖象可得當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到2點(diǎn)時(shí)，S=DP2=6,由此求出當(dāng)t=2時(shí)，5=6,

可設(shè)S關(guān)于r的函數(shù)解析式為S=OQ-4）2+2,利用待定系數(shù)法求出S=r—87+18,進(jìn)而求

出當(dāng)S=/—8f+18=18時(shí)，求得f的值即可得答案；

（3）①根據(jù)題意可得可知函數(shù)S=（/4）2+2可以看作是由函數(shù)S=r+2向右平移四個(gè)單位

得到的，設(shè)尸（州，〃），。（利,〃）（“>叫）是函數(shù)S=?+2上的兩點(diǎn)，則（叫+4,71）,

（“4+4，九）是函數(shù)S=（f-4y+2上的兩點(diǎn)，由此可得叫+叫=0，ml<m2<ml+4<m2+4,

則+叫+4=4,根據(jù)題意可以看作乙L=叫+4,J=恤+4,則4+芍=4；②由（3）

4

①可得G=%+4,再由，3=為，得至繼而得答案.

【詳解】（1）解：???動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度從C點(diǎn)出發(fā)，在三角形邊上沿C-

勻速運(yùn)動(dòng)，

...當(dāng)/=1時(shí)，點(diǎn)尸在8C上，且CP=1,

VZC=90°,CD=y/2,

*'-DP=y/CP2+CD2=y/3，

/-s=DP2=3,

故答案為：3；

②???動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度從C點(diǎn)出發(fā)，在BC勻速運(yùn)動(dòng)，

:.CP=t,

-：ZC=90°,CD=五,

DP?=CP2+CD2=干+2,

：■S=DP2=t2+2；

（2）解：由圖2可知當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，S=。產(chǎn)=6,

；?r+4=6,

解得f=2,

二.當(dāng)/=2時(shí)，S=6,

由圖2可知，對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4,2）,

.??可設(shè)S關(guān)于f的函數(shù)解析式為5=。（/-4『+2,

把（2,6）代入S=a（/-4y+2中得：6=4（2-4?+2,

解得a=l,

關(guān)于f的函數(shù)解析式為5=<—4。+2="一8t+18（2MT8）,

在S=/-8+18中，當(dāng)S=/-8f+18=18時(shí)，解得/=8或t=0,

AB=8—2=6；

（3）解：①：點(diǎn)尸在8C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，S=r+2,點(diǎn)尸在A3上運(yùn)動(dòng)時(shí)S=（"4y+2,

???可知函數(shù)S=。-4）2+2可以看作是由函數(shù)S=/+2向右平移四個(gè)單位得到的，

設(shè)尸（犯，〃），。（〃少〃乂利〉：4）是函數(shù)S=r+2上的兩點(diǎn)，則（/+4,（g+4,〃）是

函數(shù)S=（"4）2+2上的兩點(diǎn)，

m[+m2=0,<m2<ml+4<m2+4,

m2+mj+4=4,

;存在3個(gè)時(shí)刻公芍也（乙<，2<G）對(duì)應(yīng)的正方形DPEF的面積均相等.

可以看作％=t2=m1+4,t3=m2+4,

.?.%+=4,

故答案為：4；

②由（3）①可得^=6+4,

t3=4?；,

%=4+4,

「3’

.,.S=/+2=0+2=y.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)與圖形運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理等

等，正確理解題意利用數(shù)形結(jié)合的思想求解是解題的關(guān)鍵.

7.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知拋物線y=—x?+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(—1,0)和點(diǎn)B(0,3),

頂點(diǎn)為C,點(diǎn)D在其對(duì)稱軸上，且位于點(diǎn)C下方，將線段DC繞點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。，

點(diǎn)C落在拋物線上的點(diǎn)P處.

(1)求拋物線的解析式；

(2)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)將拋物線平移，使其頂點(diǎn)落在原點(diǎn)0,這時(shí)點(diǎn)P落在點(diǎn)E的位置,在y軸上是否存在點(diǎn)M,

使得MP+ME的值最小，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)y=-f+2x+3

⑵尸(2,3)

⑶存在，M(0,1)

【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)A,3的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可得；

(2)先求出拋物線的對(duì)稱軸，再設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為。(1,。)(。＜4),則CD=4-a,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的

性質(zhì)可得NCDP=90o,PD=CD=4-。，從而可得尸(5-a,a),將點(diǎn)尸代入拋物線的解析式求

出。的值，由此即可得；

(3)先根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)的平移規(guī)律求出點(diǎn)風(fēng)1,-1),作點(diǎn)E關(guān)于，軸的對(duì)稱點(diǎn)笈，連接PE'，從

而可得PE'與丁軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)M，再利用待定系數(shù)法求出直線PE'的解析式，由此

即可得出答案.

[—1—b+c=0

(1)解：將點(diǎn)4-1,0),3(0,3)代入丫=一/+法+0得：。，

c=3

b=2

解得

c=3

貝1J拋物線的解析式為y=-x2+2x+3.

(2)解：拋物線y=-x2+2x+3=-(x-l)2+4的對(duì)稱軸為直線x=l,其頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為C(l,4),

設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為。＜4),則CD=4-a,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：ZCDP=9Q°,PD=CD=4-a,

P(1+4-a,a),即P(5-a,a),

將點(diǎn)尸(5—a,a)代入y=—(x—1)"+4得：—(5—fl—I)2+4=A,

解得。=3或4=4(舍去)，

當(dāng)a=3時(shí)，5—a=5—3=2,

所以點(diǎn)尸的坐標(biāo)為P(2,3).

⑶解：拋物線y=-x2+2x+3的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為C(l,4),

則將其先向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度恰好落在原點(diǎn)。,

這時(shí)點(diǎn)尸落在點(diǎn)E的位置，且尸(2,3),

￡(2-1,3-4),即E(1,T),恰好在對(duì)稱軸直線x=l上，

由兩點(diǎn)之間線段最短可知，PE'與y軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)此時(shí)MP+ME,的值最小,

即MP+ME1的值最小，

由軸對(duì)稱的性質(zhì)得：碼-1,-1),

設(shè)直線PE'的解析式為>=履+"，

f2k+722=3

將點(diǎn)尸(2,3),E(-1,T)代入得：~,

Ui

3

解得:，

m=—

I3

41

則直線PE'的解析式為＞=§%+］，

當(dāng)x=o時(shí)，＞=g，

故在y軸上存在點(diǎn)M,使得MP+ME的值最小，此時(shí)點(diǎn)"的坐標(biāo)為M(o,g).

【點(diǎn)睛】本題考查了求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、點(diǎn)坐標(biāo)的

平移規(guī)律等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握待定系數(shù)法和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

8.(2023?甘肅武威?統(tǒng)考中考真題)如圖1,拋物線＞=-丁+灰與x軸交于點(diǎn)A,與直線y=r

交于點(diǎn)B(4,T),點(diǎn)C(0,-4)在y軸上.點(diǎn)p從點(diǎn)3出發(fā)，沿線段3。方向勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)

到點(diǎn)。時(shí)停止.

圖1圖2

(1)求拋物線y=*+bx的表達(dá)式；

(2)當(dāng)3尸=20時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D1中過(guò)點(diǎn)尸作尸。，。4交拋物線于點(diǎn)。，連接PC,OD,判斷

四邊形OCPD的形狀，并說(shuō)明理由.

(3)如圖2,點(diǎn)尸從點(diǎn)B開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)。從點(diǎn)。同時(shí)出發(fā)，以與點(diǎn)尸相同的速度沿x軸正方

向勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng).連接8Q,PC,求CP+BQ的最小值.

【答案】(l)y=-Y+3x；(2)四邊形OCPD是平行四邊形，理由見(jiàn)解析；(3)4指

【分析】(1)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；

(2)作尸交拋物線于點(diǎn)。，垂足為連接尸C,OD,由點(diǎn)尸在〉=-%上，可知

OH=PH,ZPOH=45。,連接BC,得出02=4應(yīng)，則?！?尸〃=4。尸=與X26=2,

當(dāng)x0=2時(shí)，。//=%=-4+3*2=2,進(jìn)而得出PD=OC,然后證明尸￡>〃OC,即可得出

結(jié)論；

(3)由題意得，BP=OQ,連接2C.在上方作OMQ,使得/MOQ=45。，OM=BC,

證明△CBWAMOQgAS),根據(jù)CP+BQ=MQ+BQ>MB得出CP+BQ的最小值為MB,

利用勾股定理求得MB，即可得解.

【詳解】(1)解：：拋物線、=-丁+樂(lè)過(guò)點(diǎn)B(4,T),

-16+劭=4

:.b=3,

..y=-x~+3元；

(2)四邊形OCPD是平行四邊形.

理由：如圖1,作Pr>_L(M交拋物線于點(diǎn)。，垂足為7/,連接PC,0D.

:點(diǎn)p在y=-x上，

/.OH=PH,NPOH=45°,

連接BC,

OC=BC=4,

,,OB=4A/2,

3尸=2&，

OP=OB-BP=,

OH=PH^—OP=—x2y/2=2,

22

當(dāng)=2時(shí)，DH=yD=-4+3x2=2,

/.PD=DH+PH=2+2=4,

,??C(O,T),

OC=4,

PD=OC,

：OC_Lx軸，軸，

PD//OC,

???四邊形OCPD是平行四邊形；

(3)如圖2,由題意得，BP=OQ,連接8C.

在OA上方作一。使得/MOQ=45。，OM=BC,

oc=BC=4,BC±OC,

：.NCBP=45。,

ZCBP=ZMOQ,

VBP=OQ,ZCBP=NMOQ,BC=OM,

：.△CBWAMOQ(SAS),

CP=MQ,

：.CP+BQ=MQ+BQ>MB(當(dāng)Q,B三點(diǎn)共線時(shí)最短)，

/.CP+BQ的最小值為MB,

??NMOB=NMOQ+Z.BOQ=45°+45°=90°,

MB=yJOM2+OB2="+(4夜J=4A/3,

即CP+8。的最小值為4G.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法，平行四邊形的性質(zhì)與判定，勾股定

理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線、=/一2尤一3與x軸相交于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的

左側(cè))，與y軸相交于點(diǎn)C,連接AC,8c.

(1)求線段AC的長(zhǎng)；(2)若點(diǎn)P為該拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)上4=PC時(shí)，求點(diǎn)P的

坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)M為該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng),3CW為直角三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

【答案】⑴師⑵(1，T)⑶(1,-4)或(—2,5)或

【分析】(1)根據(jù)解析式求出A,B,C的坐標(biāo)，然后用勾股定理求得AC的長(zhǎng)；(2)求出對(duì)

稱軸為x=l,設(shè)P(1,t),用t表示出PA?和PC?的長(zhǎng)度，列出等式求解即可；(3)設(shè)點(diǎn)M

(m,m2-2m-3),分情況討論，CM2+BC2=BM2,BM2+BC2=CM2,BM2+CM2=BC2

分別列出等式求解即可.

(1)

y=x2-2x-3與x軸交點(diǎn):

令y=0,解得占=-1,無(wú)2=3,

即A(-1,0),B(3,0),

y=x2-2x-3與y軸交點(diǎn)：

令x=0,解得y=-3,

即C(0,-3),

.*.AO=1,CO=3,

?*-AC=^AO^+CO1=回；

(2)拋物線y=f-2x-3的對(duì)稱軸為：x=l,

設(shè)P(1,t),

/.PA2=(1+1)2+?-0)2=4+產(chǎn)，PC2=(1—0)2+(r+3)2=l+Q+3)2,

4+?2=l+(r+3)

t=-l,

:.p(1,-1);

(3)設(shè)點(diǎn)M(m,m2-2m-3),

BM2=(m—3)2+(m2-2m—3—0)=(m-3)2+(^m2-2m—3),

CM2=(m-0)2+^m2—2m-3+3)=m2+[rri1—2m^,

3c2=(3—0)2+(0+3)2=18,

①當(dāng)。河2+5。2=剛〃時(shí)，

m2+(m2—2m\+18=(m—3)2+fm2-2m—3),

解得，叫=0(舍)，m2=l,

AM(1,-4)；

②當(dāng)=c“時(shí)，

(m—3)2+(m2—2m-3)+18=m2+fm2-2m),

解得，叫二一2,?=3(舍)，

AM(-2,5)；

③當(dāng)=叱時(shí)，

(m-3)2+(m2-2m-3)+m2+(m2-2m)=18,

解得，m='土布,

2

?J1+&*5+A/5_p,f1—,\/55—y/5

..M---，——--或一--，----；

綜上所述：滿足條件的M為。,-4）或（-2,5）或［，叵，-生里］或口^后，一

【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了與坐標(biāo)軸交點(diǎn)、線段求值、存在直角三角形等知識(shí),

解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)分類(lèi)討論的思想，屬于中考?jí)狠S題.

10.（2023?四川樂(lè)山?統(tǒng)考中考真題）已知（&%）,（程％）是拋物￡：丫=-；尤2+法（6為常數(shù)）

上的兩點(diǎn)，當(dāng)王+%=。時(shí)，總有為=%

⑴求6的值;

（2）將拋物線G平移后得到拋物線C2:y=-根）2+l（m>0）.

探究下列問(wèn)題：

①若拋物線G與拋物線C,有一個(gè)交點(diǎn)，求相的取值范圍；

②設(shè)拋物線C?與無(wú)軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,拋物線G的頂點(diǎn)為點(diǎn)E,ABC外

接圓的圓心為點(diǎn)月如果對(duì)拋物線G上的任意一點(diǎn)P，在拋物線C?上總存在一點(diǎn)Q,使得

點(diǎn)尸、。的縱坐標(biāo)相等.求所長(zhǎng)的取值范圍.

7Q

【答案】（1）0;（2）①2W7Z1V2+2應(yīng)②

【分析】（1）根據(jù)必=一；彳；+如,%=-；/+公2，且西+苫2=。時(shí)，總有%=%，變形后即

可得到結(jié)論；

（2）按照臨界情形，畫(huà)出圖象分情況討論求解即可.

【詳解】（1）解：由題可知：M=—+如,%=-*尤；+。無(wú)2

士+弓=0時(shí)，總有％=%,

12,12,

..——Xj+bx^=——%2+bx2.

貝（無(wú)2+元1）（馬一占）一6（%-%）=。，

「?（馬—玉）1（馬+項(xiàng)）-b=0,

???一—玉）=?？偝闪?，且％2—玉W0，

:.b=0；

（2）①注意到拋物線。2最大值和開(kāi)口大小不變，相只影響圖象左右平移下面考慮滿足題意

的兩種臨界情形：

（0當(dāng)拋物線G過(guò)點(diǎn)（0,0）時(shí)，如圖所示,

綜上，2<m<2+2y/2,

②同①考慮滿足題意的兩種臨界情形:

(0當(dāng)拋物線C2過(guò)點(diǎn)(0,-1)時(shí)，如圖所示,

（拓）當(dāng)拋物線G過(guò)點(diǎn)（2,0）時(shí)，如圖所示,

止匕時(shí)，x=2,y=—，（2—根）2+1=0,解得機(jī)=4或0（舍）.

4

綜上20<m<4，

如圖，由圓的性質(zhì)可知，點(diǎn)后、尸在線段A5的垂直平分線上.

:.HB=m+2-m=2,

FB=FC,

:.FH2-^-HB2=FG2+GC2,

沒(méi)FH=t,

.2c2（療Y

t+2=I—1-1I+in2,

,m>20,

2

my八

------1w0,

4

加22

Rnm3

二.——2/+3=0,即/=——+-,

482

2^2<m<4.

57即5上WWW7，,

2222

EF=FH+1,

79

:.-<EF<-

22

【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、垂徑定理、解一元二次方程等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合

和分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵.

11.如圖，已知拋物線L-.y=^+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,-5),5(5,0).

（1）求"c的值;

（2）連結(jié)AB,交拋物線L的對(duì)稱軸于點(diǎn)M.

①求點(diǎn)M的坐標(biāo);

②將拋物線L向左平移網(wǎng)加＞0）個(gè)單位得到拋物線右.過(guò)點(diǎn)M作MN//y軸，交拋物線乙于

點(diǎn)N.P是拋物線右上一點(diǎn)，橫坐標(biāo)為—1,過(guò)點(diǎn)P作PE//X軸，交拋物線L于點(diǎn)E,點(diǎn)E

在拋物線L對(duì)稱軸的右側(cè).若PE+MV=10,求m的值.

【答案】（1）T,—5；（2）①（2,—3）；②1或T+病

2

【分析】

（1）直接運(yùn)用待定系數(shù)法求解即可;

（2）①求出直線AB的解析式，拋物線的對(duì)稱軸方程，代入求解即可；②根據(jù)拋物線的平移

方式求出拋物線右的表達(dá)式，再分三種情況進(jìn)行求解即可.

【詳解】

解：（1）把點(diǎn)40,—5）,8（5,0）的坐標(biāo)分別代入｝;=必+笈+。，

b=-4,

得.解得《

25+5Z?+c=0.c——5.

「?4c的值分別為-4,-5.

（2）①設(shè)A5所在直線的函數(shù)表達(dá)式為丁=履+〃（左wO）,

n=—5

把A（O,—5）,5（5,0）的坐標(biāo)分別代入表達(dá)式，得L'八

5k+n=Q.

^=1,

解得4「

n=-5.

AB所在直線的函數(shù)表達(dá)式為y=x-5.

由（1）得，拋物線L的對(duì)稱軸是直線x=2,

當(dāng)x=2時(shí)，y=x—5=-3.

...點(diǎn)M的坐標(biāo)是（2,—3）.

②設(shè)拋物線L］的表達(dá)式是丁=（x—2+機(jī)）2—9,

-MN//y軸，

二點(diǎn)N的坐標(biāo)是（2,“2—9）.

?.?點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為—1,

/.點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-1,nr-6時(shí)，

設(shè)交拋物線乙于另一點(diǎn)Q,

?；拋物線L］的對(duì)稱軸是直線％=2—PE//x軸，

根據(jù)拋物線的軸對(duì)稱性，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（5-2狐相2-6"）.

(i)如圖1,當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M下方，即0<〃zwJ3時(shí),

PQ=5—2m—(―1)=6—2m,

ACV=-3-(m2-9)=6-m2,

由平移性質(zhì)得QE=〃，

PE=6-2m-\-m=6—m

QPE+MN=10,

6—m+6—m2=10，

解得叫=-2(舍去)，m2=1.

(ii)圖2,當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M上方，點(diǎn)Q在點(diǎn)P右側(cè)，

即^6<機(jī)<3時(shí)，PE=6-m,MN=m2-6,

QPE+MN=10,

/.6—m+m2—6=10，

匕叵(舍去).

解得叫=1+(舍去)，m2=

2

(iii)如圖3,當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M上方，點(diǎn)Q在點(diǎn)P左側(cè),

即機(jī)＞3時(shí)，

PE=m,MN=m2-6,

QPE+MN=10,

/.m+m2—6=10，

解得叫=J(舍去)，七r

綜上所述，m的值是1或-1+而.

2

【