2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：概率（四大考向） 專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

2025高考數(shù)學(xué)考二輪專題復(fù)習(xí)-第十一講-概率(四大考向)-專項(xiàng)訓(xùn)練

一：考情分析

命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)

2022?新高考□卷，

1.高考對(duì)概率的考查，重點(diǎn)是5

古典概型

2024?新高考□卷，

(1)理解古典概型及其概率

計(jì)算公式；14

2024?新高考□卷，

(2)會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件所

9

包含的樣本點(diǎn)及事件發(fā)生的概正態(tài)分布

率；2022?新高考□卷，

13

(3)理解隨機(jī)事件的獨(dú)立性

2023?新高考□卷，

和條件概率的關(guān)系，會(huì)利用全

概率公式計(jì)算概率；7

2023?新高考□卷，

(4)理解兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分獨(dú)立事件的乘法公式

12

布、超幾何分布的概念，能解

2024?新高考□卷，

決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題；

18

(5)借助正態(tài)分布曲線了解

2022?新高考口卷，

正態(tài)分布的概念，并進(jìn)行簡(jiǎn)單

20

應(yīng)用。條件概率、全概率公式

2022?新高考□卷，

19

二：2024高考命題分析

2024年高考新高考口卷考查了與排列組合綜合的古典概型問題，這也是高考?？?/p>

點(diǎn)之一。同時(shí)在多選題中考查了正態(tài)分布及其應(yīng)用?？诰砜疾榱霜?dú)立事件的乘法公

式，體現(xiàn)在大題中。從今年的考題來看，概率大題已經(jīng)不是必考了，而且可以用來作

填空的壓軸題。這需要大家引起重視，對(duì)于概率難題要適當(dāng)?shù)木毩?xí)，說不定在19題中

也會(huì)出現(xiàn)它的影子。預(yù)計(jì)2025年高考還是主要考查古典概型和求隨機(jī)變量的分布列與

數(shù)學(xué)期望。建議大家要留意一下全概率公式，它將會(huì)是一個(gè)新的出題點(diǎn)，思維難度會(huì)

略大。

三：試題精講

一、多選題

1.（2024新高考口卷-9）為了解推動(dòng)出口后的畝收入（單位：萬元）情況，從該種植

區(qū)抽取樣本，得到推動(dòng)出口后畝收入的樣本均值元=2.1,樣本方差$2=o,oi,已知該種

植區(qū)以往的畝收入X服從正態(tài)分布假設(shè)推動(dòng)出口后的畝收入y服從正態(tài)

分布貝U（）（若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布

P（Z<〃+b）a0.8413）

A.P（X>2）>0.2B.P（X>2）<0.5

C.P（r>2）>0.5D.P（r>2）<0.8

二、填空題

2.（2024新高考□卷44）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，甲的

卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1,3,5,7,乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2,4,6,8,兩人進(jìn)行四

輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張，并比較所選卡片

上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡

片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概

率為.

三、解答題

3.（2024新高考□卷T8）某投籃比賽分為兩個(gè)階段，每個(gè)參賽隊(duì)由兩名隊(duì)員組成，比

賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊(duì)中一名隊(duì)員投籃3次，若3次都未投中，則該隊(duì)

被淘汰，比賽成員為0分；若至少投中一次，則該隊(duì)進(jìn)入第二階段，由該隊(duì)的另一名

隊(duì)員投籃3次，每次投中得5分，未投中得。分.該隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)榈诙A段的得分總

和.某參賽隊(duì)由甲、乙兩名隊(duì)員組成，設(shè)甲每次投中的概率為0,乙每次投中的概率為

q,各次投中與否相互獨(dú)立.

（1）若p=0.4,q=0.5,甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)不少于5分

的概率.

⑵假設(shè)o<p<g,

(i)為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)?5分的概率最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比

賽？

(ii)為使得甲、乙，所在隊(duì)的比賽成績(jī)的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比

賽？

高考真題練

一、單選題

1.(2022新高考口卷5)從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互

質(zhì)的概率為()

A.-B.-C.1D.-

6323

二、多選題

2.(2023新高考口卷T2)在信道內(nèi)傳輸0,1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立.發(fā)送0

時(shí)，收到1的概率為收到0的概率為l-a；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為

"。收到1的概率為1-6.考慮兩種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽腿蝹鬏?單次

傳輸是指每個(gè)信號(hào)只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次.收到的信號(hào)需

要譯碼，譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未蝹鬏敃r(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信

號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼(例如，若依次收到1,0,1,則譯碼為1).

A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為

(l-a)(l-^)2

B.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則依次收到1,0,1的概率為￡(1-￡)2

C.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為夕(1-02+(1_03

D.當(dāng)0<c<0.5時(shí)，若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次

傳輸方案譯碼為0的概率

三、填空題

3.(2022新高考□卷T3)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,"),且

P(2<X<2,5)=0.36,貝!JP(X>2.5)=.

四、解答題

4.(2022新高考口卷-20)一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生

習(xí)慣(衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類)的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查

了100例(稱為病例組)，同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人(稱為對(duì)照

組)，得到如下數(shù)據(jù)：

不夠良好良好

病例組4060

對(duì)照組1090

(1)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？

(2)從該地的人群中任選一人，/表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，8表示事件

“選到的人患有該疾病”.得S與需粵的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患該疾病風(fēng)

P(B|A)P(B|A)

險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R

P(A|B)P(A|B)

證明:

(H)P(A|B)P(A|B)

(□)利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出尸(A|3),P(A|皮的估計(jì)值，并利用(口)的結(jié)果給出R的

估計(jì)值.

n(ad-be)?

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

5.（2023新高考□卷21）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中

則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對(duì)方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的

命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1

次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

（1）求第2次投籃的人是乙的概率；

（2）求第i次投籃的人是甲的概率；

（3）已知：若隨機(jī)變量X,服從兩點(diǎn)分布，且P（X，=1）=1-P（X,=O）=西=1,2,…則

E1之X,]=記前"次（即從第1次到第"次投籃）中甲投籃的次數(shù)為乙求

Vi=lJz=l

召（。

6.（2022新高考□卷T9）在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患

者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

頻率

0.023

0.020

0.017

0102030405060708090年齡(歲)

(1)估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代

表)；

(2)估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間［20,70)的概率；

(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于區(qū)間［40,50)的人口占該地區(qū)

總?cè)丝诘?6%.從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間［40,50),求此人患這種疾

病的概率.(以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的

概率，精確到0.0001).

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一、古典概型

(1)定義

一般地，若試驗(yàn)E具有以下特征：

□有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；

口等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.

稱試驗(yàn)￡為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型.

(2)古典概型的概率公式

一般地，設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間。包含“個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含其中的k個(gè)樣

本點(diǎn)，則定義事件A的概率尸(A)=：=卷.

二、概率的基本性質(zhì)

(1)對(duì)于任意事件A都有：04P(4)41.

(2)必然事件的概率為1,即P(Q)=1;不可能事概率為0,即尸(0)=0.

(3)概率的加法公式：若事件A與事件8互斥，則P(A3)=尸(A)+P(B).

推廣：一般地，若事件A，4，…，4彼此互斥，則事件發(fā)生(即4，4，4

中有一個(gè)發(fā)生)的概率等于這〃個(gè)事件分別發(fā)生的概率之和，即:

P(4+4+…+A“)=P(A)+尸⑷)+...+P(A“).

(4)對(duì)立事件的概率：若事件A與事件5互為對(duì)立事件，則尸0)=1-尸(3),

P(B)=1-P(A),且尸(AB)=P(A)+P(B)=1.

(5)概率的單調(diào)性：若A=則P(A)4P(B).

(6)若A,8是一次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中的兩個(gè)事件，則尸(AlB)=P(A)+P(B)-P(AB).

三、條件概率

(-)定義

一般地，設(shè)A,3為兩個(gè)事件，且尸(A)>0,稱尸(21A)=曳辿為在事件A發(fā)生的條件

P(A)

下，事件5發(fā)生的條件概率.

注意：(1)條件概率P(B|A)中“門后面就是條件；(2)若P(A)=O,表示條件A不可能

發(fā)生，此時(shí)用條件概率公式計(jì)算P(BIA)就沒有意義了，所以條件概率計(jì)算必須在

P(A)>0的情況下進(jìn)行.

(二)性質(zhì)

(1)條件概率具有概率的性質(zhì)，任何事件的條件概率都在0和1之間，即

0<P(B|A)<1.

(2)必然事件的條件概率為1,不可能事件的條件概率為0.

(3)如果3與C互斥,則:(8C\A)=P(B\A)+P(C\A).

注意：(1)如果知道事件A發(fā)生會(huì)影響事件5發(fā)生的概率，那么尸(2)看尸(3|A)；

(2)已知A發(fā)生，在此條件下B發(fā)生，相當(dāng)于鈣發(fā)生，要求尸(例㈤，相當(dāng)于把A看

n(AB)

作新的基本事件空間計(jì)算4?發(fā)生的概率，即「(2|4)=跳1=坐!=誓”.

n(A)n(A)P(A)

〃(。)

四、相互獨(dú)立與條件概率的關(guān)系

(-)相互獨(dú)立事件的概念及性質(zhì)

(1)相互獨(dú)立事件的概念

對(duì)于兩個(gè)事件A,B,如果P(3|A)=PCB),則意味著事件A的發(fā)生不影響事件B發(fā)生

的概率.設(shè)P(A)>0,根據(jù)條件概率的計(jì)算公式，p?)=p(B|A)=C黑，從而

P(AB)=P(A)P(B).

由此我們可得：設(shè)A,8為兩個(gè)事件，若P(AB)=P(A)P(3),則稱事件A與事件8相互

獨(dú)立.

(2)概率的乘法公式

由條件概率的定義，對(duì)于任意兩個(gè)事件A與8,若尸(A)>0,則

P(AB)=P(A)P(B|A).我們稱上式為概率的乘法公式.

(3)相互獨(dú)立事件的性質(zhì)

如果事件A，8互相獨(dú)立，那么A與月，Z與3,Z與否也都相互獨(dú)立.

(4)兩個(gè)事件的相互獨(dú)立性的推廣

兩個(gè)事件的相互獨(dú)立性可以推廣到〃(〃>2,〃eN*)個(gè)事件的相互獨(dú)立性，即若事件A,

A,4相互獨(dú)立，則這〃個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率尸(AAA)=P(A)(4)P(4).

(-)事件的獨(dú)立性

(1)事件A與3相互獨(dú)立的充要條件是P(AB)=P(A)-P(B).

(2)當(dāng)尸(2)>0時(shí)，A與3獨(dú)立的充要條件是尸(加8)=尸(4).

(3)如果尸(A)>0,A與8獨(dú)立，則尸(例A)=°(AB)=尸(A)?—=尸(為成立.

P(A)P(A)

五、全概率公式

(一)全概率公式

(1)P(B)=尸(A)尸(21A)+P(A)P(B|A)；

(2)定理1若樣本空間。中的事件4,4,…，滿足：

□任意兩個(gè)事件均互斥，即AA,=0,i,j=1,2,,n,iHj；

□4+4++4=0；

□P(4)>0,z=l,2,,n.

則對(duì)。中的任意事件B,者陌3=%+%++時(shí),且

P(B)=XP(%)=EP(A)P(BIA).

z=li=l

注意：(1)全概率公式是用來計(jì)算一個(gè)復(fù)雜事件的概率，它需要將復(fù)雜事件分解成若

干簡(jiǎn)單事件的概率計(jì)算，即運(yùn)用了“化整為零”的思想處理問題.

(2)什么樣的問題適用于這個(gè)公式？所研究的事件試驗(yàn)前提或前一步驟試驗(yàn)有多種可

能，在這多種可能中均有所研究的事件發(fā)生，這時(shí)要求所研究事件的概率就可用全概

率公式.

(二)貝葉斯公式

(1)一般地，當(dāng)O<P(A)<1且P(B)>0時(shí)，有

⑶=尸(A)P(8|A)=P(A)P⑷,_

1-尸(B)-P(A)P(B|A)+P(A)P(BIA)

(2)定理2若樣本空間。中的事件A，4,,4滿足：

□任意兩個(gè)事件均互斥，即A,Aj=0,z,j=l,2,,n,i^j；

□A+4++4=。；

□O<P(4)<1>i=l,2,,n.

則對(duì)。中的任意概率非零的事件3,都有3=班+%++%,,

且「(A,⑻=…⑻A)=…⑻4)

JP(4)P(BIA)

Z=1

注意：(1)在理論研究和實(shí)際中還會(huì)遇到一類問題，這就是需要根據(jù)試驗(yàn)發(fā)生的結(jié)果

尋找原因，看看導(dǎo)致這一試驗(yàn)結(jié)果的各種可能的原因中哪個(gè)起主要作用，解決這類問

題的方法就是使用貝葉斯公式.貝葉斯公式的意義是導(dǎo)致事件3發(fā)生的各種原因可能

性的大小，稱之為后驗(yàn)概率.

(2)貝葉斯公式充分體現(xiàn)了尸(川2),P(A),P(B),P(B\A),P(B|A),尸(AB)之間

的轉(zhuǎn)關(guān)系，即P(A|B)=今篙，P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B\A)P(A),

尸(B)=尸(A)P(B|A)+P(A)P(B摩)之間的內(nèi)在聯(lián)系.

六、離散型隨機(jī)變量的分布列

1、隨機(jī)變量

在隨機(jī)試驗(yàn)中，我們確定了一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，使得每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果都用一個(gè)確定的數(shù)字

表示.在這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系下，數(shù)字隨著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化.像這種隨著試驗(yàn)結(jié)果變

化而變化的變量稱為隨機(jī)變量.隨機(jī)變量常用字母X,Y,〃，…表示.

注意：(1)一般地，如果一個(gè)試驗(yàn)滿足下列條件：口試驗(yàn)可以在相同的情形下重復(fù)進(jìn)

行；口試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)；□每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這

些可能結(jié)果中的一個(gè)，但在一次試驗(yàn)之前不能確定這次試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果.這種試

驗(yàn)就是隨機(jī)試驗(yàn).

(2)有些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果雖然不具有數(shù)量性質(zhì)，但可以用數(shù)來表示.如擲一枚硬幣，

X=0表示反面向上，X=1表示正面向上.

(3)隨機(jī)變量的線性關(guān)系：若X是隨機(jī)變量，Y=aX+b,a,匕是常數(shù)，則Y也是隨

機(jī)變量.

2、離散型隨機(jī)變量

對(duì)于所有取值可以一一列出來的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量.

注意：(1)本章研究的離散型隨機(jī)變量只取有限個(gè)值.

(2)離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系：□如果隨機(jī)變量的可能取值是

某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量；口離散型隨機(jī)變量與連續(xù)

型隨機(jī)變量都是用變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，但離散型隨機(jī)變量的結(jié)果可以按一定的

次序一一列出，而連續(xù)型隨機(jī)變量的結(jié)果不能一一列出.

3、離散型隨機(jī)變量的分布列的表示

一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為再，%,，匕，.，%,X取每一個(gè)值看

(2=1,2,,〃)的概率尸(X=%)=p,,以表格的形式表示如下：

Xx2%Xn

PP1PiPiPn

我們將上表稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列，簡(jiǎn)稱為X的分布列.有時(shí)為了簡(jiǎn)單

起見，也用等式尸(X=%)=口，i=\,2,，〃表不X的分布列.

4、離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)

根據(jù)概率的性質(zhì)，離散型隨機(jī)變量的分布列具有如下性質(zhì)：

(1)/?,>0>i=l,2,,n;(2)R+必+.+q=1.

注意：

口性質(zhì)(2)可以用來檢查所寫出的分布列是否有誤，也可以用來求分布列中的某些參

數(shù).

□隨機(jī)變量J所取的值分別對(duì)應(yīng)的事件是兩兩互斥的，利用這一點(diǎn)可以求相關(guān)事件的概

率.

七、離散型隨機(jī)變量的均值與方差

1、均值

若離散型隨機(jī)變量X的分布列為

X%%Xn

PPl，2PiPn

稱E(X)=%巧+々必+?+%~++七0"=1為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了

離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.

注意：(1)均值E(X)刻畫的是X取值的“中心位置”，這是隨機(jī)變量X的一個(gè)重要特

征；

(2)根據(jù)均值的定義，可知隨機(jī)變量的分布完全確定了它的均值.但反過來，兩個(gè)不

同的分布可以有相同的均值.這表明分布描述了隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律，從而也決定了隨機(jī)

變量的均值.而均值只是刻畫了隨機(jī)變量取值的“中心位置”這一重要特征，并不能完

全決定隨機(jī)變量的性質(zhì).

2、均值的性質(zhì)

(1)E(C)=C(。為常數(shù)).

(2)^Y=aX+b,其中a,6為常數(shù)，則V也是隨機(jī)變量，且E(aX+6)=aE(X)+6.

(3)E(X1+Xz)=夙XJ)+E(X2).

(4)如果X],X2相互獨(dú)立,則反用二2)=4乂).夙乂2).

3、方差

若離散型隨機(jī)變量X的分布列為

X%XiXn

pPlPlPiPn

則稱D(X)=￡(Xj-E(X)yPj為隨機(jī)變量x的方差，并稱其算術(shù)平方根JO(X)為隨機(jī)

Z=1

變量X的標(biāo)準(zhǔn)差.

注意：(1)(%_￡底))2描述了可0=1,2,,”)相對(duì)于均值E(X)的偏離程度，而D(X)

是上述偏離程度的加權(quán)平均，刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度.隨機(jī)

變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差均反映了隨機(jī)變量取值偏離于均值的平均程度.方差或標(biāo)準(zhǔn)差越

小，則隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度越?。?/p>

(2)標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量有相同的單位，而方差的單位是隨機(jī)變量單位的平方.

4、方差的性質(zhì)

(1)^Y^aX+b,其中a,6為常數(shù)，則Y也是隨機(jī)變量，且。(aX+b)="O(X).

(2)方差公式的變形：D(X)=E(X2)-[￡(X)]2.

八、兩點(diǎn)分布

1、若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，即其分布列為

X01

PP

其中0<p<l,則稱離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布.其中P(x=l)稱為成

功概率.

注意：

(1)兩點(diǎn)分布的試驗(yàn)結(jié)果只有兩個(gè)可能性，且其概率之和為1;

(2)兩點(diǎn)分布又稱。-1分布、伯努利分布，其應(yīng)用十分廣泛.

2、兩點(diǎn)分布的均值與方差：若隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布，則

E(X)=lxp+Ox(l-p)=p,D(X)=/?(1-P)?

九、"次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)

1、定義

一般地，在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為"次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).

注意：獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的條件：□每次試驗(yàn)在同樣條件下進(jìn)行；□各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立

的；□每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果，即事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生.

2、特點(diǎn)

(1)每次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率是相同的；

(2)每次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的，其實(shí)質(zhì)是相互獨(dú)立事件的特例.

十、二項(xiàng)分布

1、定義

一般地，在〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A

發(fā)生的概率為p,不發(fā)生的概率4=1-p,那么事件A恰好發(fā)生左次的概率是

P(X=k)=C：pkq…(左=0,1,2,…，n)

于是得到X的分布列

X01kn

ck_k-n—k一〃

PC〃pqCcl〃p1q1CnPQc“pq~0

由于表中第二行恰好是二項(xiàng)式展開式

(q+p)"=C°?p°qn+C；p["T+…+C：pl""+.,+C：pnq°各對(duì)應(yīng)項(xiàng)的值，稱這樣的離散

型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為w,p的二項(xiàng)分布，記作X?并稱p為成功概率.

注意：由二項(xiàng)分布的定義可以發(fā)現(xiàn)，兩點(diǎn)分布是一種特殊的二項(xiàng)分布，即”=1時(shí)的二

項(xiàng)分布，所以二項(xiàng)分布可以看成是兩點(diǎn)分布的一般形式.

2、二項(xiàng)分布的適用范圍及本質(zhì)

(1)適用范圍：

□各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的；

□每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果：事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生；

□隨機(jī)變量是這〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù).

(2)本質(zhì)：二項(xiàng)分布是放回抽樣問題，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是相同的.

3、二項(xiàng)分布的期望、方差

若X?B(n,p),則E(X)=〃p,D(X)=np(l-p).

H^一■、超幾何分布

1、定義

在含有加件次品的N件產(chǎn)品中，任取〃件，其中恰有X件次品，則事件｛X=%｝發(fā)生的

概率為尸(X=%)=￥^,k=0,i,,

2m,其中m=min,n],且〃WN,

MWN,n,M,NeN*,稱分布列為超幾何分布列.如果隨機(jī)變量X的分布列為超

幾何分布列，則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.

X01m

「〃一1^n-m

P

瑪

2、超幾何分布的適用范圍件及本質(zhì)

(1)適用范圍：

□考察對(duì)象分兩類；

□已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；

門從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考察某類個(gè)體個(gè)數(shù)y的概率分布.

(2)本質(zhì)：超幾何分布是不放回抽樣問題，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是不相

同的.

十二、正態(tài)曲線

1、定義：我們把函數(shù)0"(x)=e20-2,xe(F),+co)(其中〃是樣本均值，o■是

樣本標(biāo)準(zhǔn)差)的圖象稱為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線.正態(tài)曲線呈鐘形，即中

間高，兩邊低.

2、正態(tài)曲線的性質(zhì)

(1)曲線位于x軸上方，與x軸不相交；

(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線對(duì)稱；

(3)曲線在x=〃處達(dá)到峰值(最大值)二:；

(4)曲線與無軸之間的面積為1；

（5）當(dāng)b一定時(shí)，曲線的位置由〃確定，曲線隨著〃的變化而沿x軸平移，如圖甲所

不：

（6）當(dāng)〃一定時(shí)，曲線的形狀由b確定.b越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越

集中；b越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖乙所示：：

甲乙

十三、正態(tài)分布

1、定義

隨機(jī)變量乂落在區(qū)間（4,切的概率為/）（4<*46）=［以式；0及，即由正態(tài)曲線，過點(diǎn)

（a,0）和點(diǎn)3,0）的兩條x軸的垂線，及無軸所圍成的平面圖形的面積，如下圖中陰影

部分所示，就是X落在區(qū)間（a,句的概率的近似值.

一般地，如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)a,b{a<b）,隨機(jī)變量X滿足P（a<X4，）=/%。0）及，

則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布.正態(tài)分布完全由參數(shù)〃，b確定，因此正態(tài)分布常記

作"（〃，/）.如果隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則記為X

其中，參數(shù)〃是反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本的均值去估計(jì)；

。是衡量隨機(jī)變量總體波動(dòng)大小的特征數(shù)，可以用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì).

2、3b原則

若XN（/j,a2）,則對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a>0,尸。<X4〃+a）=『："b"（尤）改為下圖

中陰影部分的面積，對(duì)于固定的〃和。而言，該面積隨著。的減小而變大.這說明。越

小，X落在區(qū)間(4-a,〃+a］的概率越大，即X集中在〃周圍的概率越大

特另U地，有P(H-b<X4〃+cr)=0.6826；P(〃-2b<X44+2。)=0.9544；

尸(〃一3。<X4〃+3cr)=0.9974.

由尸(〃-3cr<XW〃+3b)=0.9974,知正態(tài)總體幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間("-3cr,"+3cr)之

內(nèi).而在此區(qū)間以外取值的概率只有0.0026,通常認(rèn)為這種情況在一次試驗(yàn)中幾乎不

可能發(fā)生，即為小概率事件.在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N(〃，/)的隨

機(jī)變量X只取(〃-3cr,〃+3cr)之間的值，并簡(jiǎn)稱之為3cr原則.

【概率常用結(jié)論】

一、古典概型

1、解決古典概型的問題的關(guān)鍵是：分清基本事件個(gè)數(shù)〃與事件A中所包含的基本事件

數(shù).

因此要注意清楚以下三個(gè)方面：

(1)本試驗(yàn)是否具有等可能性；

(2)本試驗(yàn)的基本事件有多少個(gè)；

(3)事件A是什么.

2、解題實(shí)現(xiàn)步驟：

(1)仔細(xì)閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；

(2)判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A；

(3)分別求出基本事件的個(gè)數(shù)〃與所求事件A中所包含的基本事件個(gè)數(shù)%；

(4)利用公式尸⑷=4包:經(jīng)?蔓告1個(gè)數(shù)求出事件A的概率.

3、解題方法技巧:

(1)利用對(duì)立事件、加法公式求古典概型的概率

(2)利用分析法求解古典概型.

□任一隨機(jī)事件的概率都等于構(gòu)成它的每一個(gè)基本事件概率的和.

□求試驗(yàn)的基本事件數(shù)及事件/包含的基本事件數(shù)的方法有列舉法、列表法和樹狀圖

法.

二、隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望

1、超幾何分布和二項(xiàng)分布的區(qū)別

(1)超幾何分布需要知道總體的容量，而二項(xiàng)分布不需要；

(2)超幾何分布是“不放回”抽取，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是不相同的；

而二項(xiàng)分布是“有放回”抽取(獨(dú)立重復(fù))，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是相同的.

2、在解決有關(guān)問題時(shí)，通常認(rèn)為服從正態(tài)分布N(〃,4)的隨機(jī)變量x只取

(〃-3b,〃+3b)之間的值.如果服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的某些取值超出了這個(gè)范圍

就說明出現(xiàn)了意外情況.

3、求正態(tài)變量x在某區(qū)間內(nèi)取值的概率的基本方法：

(1)根據(jù)題目中給出的條件確定〃與。的值.

(2)將待求問題向(〃-cr,〃+cr],(〃-2cr,〃+2cr],(〃-3cr,〃+3bl這三個(gè)區(qū)間進(jìn)

行轉(zhuǎn)化；

(3)利用x在上述區(qū)間的概率、正態(tài)曲線的對(duì)稱性和曲線與x軸之間的面積為1求出

最后結(jié)果.

4、假設(shè)檢驗(yàn)的思想

(1)統(tǒng)計(jì)中假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想：根據(jù)小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生的原

則和從總體中抽測(cè)的個(gè)體的數(shù)值，對(duì)事先所作的統(tǒng)計(jì)假設(shè)作出判斷：是拒絕假設(shè)，還

是接受假設(shè).

(2)若隨機(jī)變量。服從正態(tài)分布則。落在區(qū)間(〃-3b,〃+3日內(nèi)的概率為

0.9974,亦即落在區(qū)間（〃-3b,〃+3cr］之外的概率為0.0026,此為小概率事件.如果

此事件發(fā)生了，就說明彳不服從正態(tài)分布.

（3）對(duì)于小概率事件要有一個(gè)正確的理解：

小概率事件是指發(fā)生的概率小于3%的事件.對(duì)于這類事件來說，在大量重復(fù)試驗(yàn)中，

平均每試驗(yàn)大約33次，才發(fā)生1次，所以認(rèn)為在一次試驗(yàn)中該事件是幾乎不可能發(fā)生

的.不過應(yīng)注意兩點(diǎn)：一是這里的“幾乎不可能發(fā)生”是針對(duì)“一次試驗(yàn)”來說的，如果

試驗(yàn)次數(shù)多了，該事件當(dāng)然是很可能發(fā)生的；二是當(dāng)我們運(yùn)用“小概率事件幾乎不可能

發(fā)生的原理”進(jìn)行推斷時(shí)，也有3%犯錯(cuò)的可能性.

名校模擬練

一、單選題

1.（2024?內(nèi)蒙古?三模）三人被邀請(qǐng)參加一個(gè)晚會(huì)，若晚會(huì)必須有人去，去幾人自行決

定，則恰有一人參加晚會(huì)的概率為（）

A.1B.-C.-D.-

2738

2.（2024?河北保定?三模）某火鍋店在每周的周一、周三、周五、周日會(huì)安排員工跳舞

蹈“科目三”，已知某人在一周的七天中，隨機(jī)選擇兩天到該店吃火鍋，則該人能欣賞

到舞蹈“科目三”的概率為（）

A.-B.-C.-D.-

7777

3.（2024?湖南長(zhǎng)沙?三模）已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布且

尸（X<2—Q=P（X>2+6=0.3,左>0,貝I］尸（2<XV2+Q=（）

A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8

4.（2024?安徽?三模）已知正方體的棱長(zhǎng)為1,若從該正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任取4個(gè),

則這4個(gè)點(diǎn)可以構(gòu)成體積為g的四面體的概率為（）

A.上B.Ac.2D.A

35353535

5.（2024?山東日照?三模）從標(biāo)有1,2,3,4,5的5張卡片中有放回地抽取三次，每

次抽取一張，則出現(xiàn)重復(fù)編號(hào)卡片的概率是（）

A.—B.—C.—D.—

25252525

6.（2024?河南?三模）已知

P^JU-CT<X<〃+cr）=0.6827,尸（〃-2cr4X<〃+2cr）=0.9545,P（〃-3crWX<〃+3cr）=

0.9973.某體育器材廠生產(chǎn)一批籃球，單個(gè)籃球的質(zhì)量F（單位：克）服從正態(tài)分布

N（600,4）,從這一批籃球中隨機(jī)抽檢300個(gè)，則被抽檢的籃球的質(zhì)量不小于596克的

個(gè)數(shù)約為（）

A.286B.293C.252D.246

7.（2024?江西鷹潭?三模）拋擲一枚骰子兩次，將得到的點(diǎn)數(shù)分別記為貝普涉,6能

構(gòu)成三角形的概率是（）

A.—B.—C.-D.-

121233

8.（2024?四川內(nèi)江?三模）文明是一座城市最靚麗的底色，也是一座城市最暖的名

片.自內(nèi)江市開展“讓文明出行成為甜城靚麗風(fēng)景”文明實(shí)踐日活動(dòng)以來，全市廣大學(xué)

子以實(shí)際行動(dòng)提升城市文明形象，助力全國(guó)文明城市創(chuàng)建工作.在活動(dòng)中，甲、乙兩

名同學(xué)利用周末時(shí)間到交通路口開展文明勸導(dǎo)志愿服務(wù)工作，他們可以從4瓦C,。四

個(gè)路口中隨機(jī)選擇一個(gè)路口，設(shè)事件M為“甲和乙至少有一人選擇了A路口”，事件N

為“甲和乙選擇的路口不相同”，則P（N|M）=（）

9.（2024?貴州畢節(jié)?三模）某學(xué)生的。。密碼是由前兩位是大寫字母，第三位是小寫字

母，后六位是數(shù)字共九個(gè)符號(hào)組成.該生在登錄QQ時(shí)，忘記了密碼的最后一位數(shù)

字，如果該生記住密碼的最后一位是奇數(shù)，則不超過兩次就輸對(duì)密碼的概率為（）

10.（2024?四川眉山?三模）四名同學(xué)參加社會(huì)實(shí)踐，他們中的每個(gè)人都可以從A,B,C

三個(gè)項(xiàng)目中隨機(jī)選擇一個(gè)參加，且每人的選擇相互獨(dú)立.這三個(gè)項(xiàng)目中恰有一個(gè)項(xiàng)目沒

有被任何人選擇的概率為（）

11.（2024?江西景德鎮(zhèn)?三模）六位爸爸站在幼兒園門口等待接六位小朋友放學(xué)，小朋

友們隨機(jī)排成一列隊(duì)伍依次走出幼兒園，爸爸們也隨機(jī)分兩列隊(duì)伍依次排隊(duì)站在幼兒

園門口的兩側(cè)，每列3人廁爸爸們不需要通過插隊(duì)就能接到自己家的小朋友的概率為

（）

A.-B.—C.—D.

63672108

12.（2024?河南南陽?三模）甲袋中有3個(gè)紅球，3個(gè)白球和2個(gè)黑球；乙袋中有2個(gè)紅

球，2個(gè)白球和4個(gè)黑球.先從甲袋中隨機(jī)取出一球放入乙袋，分別以A,B,C表示

事件“取出的是紅球”、“取出的是白球”、“取出的是黑球“；再從乙袋中隨機(jī)取出一球，

以D表示事件“取出的是白球“，則下列結(jié)論中不正確的是（）

A.事件A,B,C是兩兩互斥的事件B.事件A與事件。為相互獨(dú)立事件

19

C-P(0A)=|D.P(D)=—

72

13.（2024?四川涼山?三模）涼山地區(qū)學(xué)生中有50%的同學(xué)愛好羽毛球，60%的同學(xué)愛

好乒乓球，70%的同學(xué)愛好羽毛球或乒乓球.在涼山地區(qū)的學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一位同

學(xué)，若該同學(xué)愛好羽毛球，則該同學(xué)也愛好乒乓球的概率為（）

A.0.4B.0.5C.0.8D.0.9

14.（2024?安徽馬鞍山?三模）甲、乙等5名學(xué)生參加學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)志愿者服務(wù)，每個(gè)人

從“檢錄組”“計(jì)分組”“宣傳組”三個(gè)崗位中隨機(jī)選擇一個(gè)崗位，每個(gè)崗位至少有一名志愿

者，則甲、乙兩人恰選擇同一崗位的概率為（）

二、多選題

15.(2024?浙江紹興?三模)已知隨機(jī)變量XN(4,2),若尸(X>6)=“,

P(4<X<6)=6,貝I」()

A.a+b=—B.P(X<2)=a

2

C.E(2X+1)=4D.D(2X+1)=8

16.（2024?湖南長(zhǎng)沙?三模）某校在運(yùn)動(dòng)會(huì)期間進(jìn)行了一場(chǎng)“不服來戰(zhàn)”對(duì)抗賽，由籃球

專業(yè)的1名體育生組成甲組，3名非體育生的籃球愛好者組成乙組，兩組進(jìn)行對(duì)抗比

賽.具體規(guī)則為甲組的同學(xué)連續(xù)投球3次，乙組的同學(xué)每人各投球1次.若甲組同學(xué)和乙

組3名同學(xué)的命中率依次分別為不個(gè)口，貝U（）

3256

13

A.乙組同學(xué)恰好命中2次的概率為卷

B.甲組同學(xué)恰好命中2次的概率小于乙組同學(xué)恰好命中2次的概率

C.甲組同學(xué)命中次數(shù)的方差為g

D.乙組同學(xué)命中次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為II

17.（2024?云南昆明?三模）在一個(gè)有限樣本空間中，事件A3,C發(fā)生的概率滿足

P（A）=P（B）=P（C）=|,尸（A/與C互斥，則下列說法正確的是（）

/一\1

A.P（AC）=-B./與8相互獨(dú)立

1Q

C.P（ABC）^—D.P（AB_c）＜-

18.（2024?山東青島?三模）某新能源車廠家2015-2023年新能源電車的產(chǎn)量和銷量

數(shù)據(jù)如下表所示

年份201520162017201820192020202120222023

產(chǎn)量（萬臺(tái)）3.37.213.114.818.723.736.644.343.0

銷量（萬臺(tái)）2.35.713.614.915.015.627.129.731.6

記“產(chǎn)銷率”=^>xlOO%,2015-2023年新能源電車產(chǎn)量的中位數(shù)為加，則（）

A.根=18.7

B.2015-2023年該廠新能源電車的產(chǎn)銷率與年份正相關(guān)

2

C.從2015-2023年中隨機(jī)取1年，新能源電車產(chǎn)銷率大于100%的概率為§

D.從2015-2023年中隨機(jī)取2年，在這2年中新能源電車的年產(chǎn)量都大于的

條件下，這2年中新能源電車的產(chǎn)銷率都大于70%的概率為!

O

19.（2024?福建三明?三模）假設(shè)甲袋中有3個(gè)紅球和2個(gè)白球，乙袋中有2個(gè)白球和

2個(gè)紅球.現(xiàn)從甲袋中任取2個(gè)球放入乙袋，混勻后再從乙袋中任取2個(gè)球.下列選項(xiàng)正

確的是（）

3

A.從甲袋中任取2個(gè)球是1個(gè)紅球1個(gè)白球的概率為:

B.從甲、乙兩袋中取出的2個(gè)球均為紅球的概率為主

C.從乙袋中取出的2個(gè)球是紅球的概率為3奇7

D.已知從乙袋中取出的是2個(gè)紅球，則從甲袋中取出的也是2個(gè)紅球的概率為

18

方

20.（2024?河南?二模）現(xiàn)有編號(hào)分別為A1=1,2,3）的三個(gè)盒子，其中A盒中共20個(gè)小

球，其中紅球6個(gè)，4盒中共20個(gè)小球，其中紅球5個(gè)，4盒中共30個(gè)小球，其中

紅球6個(gè).現(xiàn)從所有球中隨機(jī)抽取一個(gè)，記事件A：“該球?yàn)榧t球”，事件4：“該球出自

編號(hào)為4?=1,2,3）的盒中”，則下列說法正確的是（）

A.尸（人田）=歷

B尸⑷屋

D.若從所有紅球中隨機(jī)抽取一個(gè)，則該球來自4盒的概率最小

三、填空題

21.（2024?上海?三模）將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲6次，得到的點(diǎn)數(shù)分別為1,

2,4,5,6,x,則這6個(gè)點(diǎn)數(shù)的中位數(shù)為4的概率為.

22.（2024?上海閔行?三模）3名男生和2名女生排成一排，則女生互不相鄰的排法的概

率為.

23.（2024?山東濟(jì)寧?三模）甲和乙兩個(gè)箱子中各裝有6個(gè)球，其中甲箱子中有4個(gè)紅

球、2個(gè)白球，乙箱子中有2個(gè)紅球、4個(gè)白球，現(xiàn)隨機(jī)選擇一個(gè)箱子，然后從該箱子

中隨機(jī)取出一個(gè)球，則取出的球是白球的概率為.

24.（2024?北京?三模）在統(tǒng)計(jì)調(diào)查中，對(duì)一些敏感性問題，要精心設(shè)計(jì)問卷，設(shè)法消

除被調(diào)查者的顧慮，使他們能夠如實(shí)回答問題.否則，被調(diào)查者往往會(huì)拒絕回答，或

不提供真實(shí)情況.某中學(xué)為了調(diào)查本校中學(xué)生某不良習(xí)慣/的發(fā)生情況，對(duì)隨機(jī)抽出

的200名中學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查.調(diào)查中設(shè)置了兩個(gè)問題：

問題1：你的陽歷生日日期是否偶數(shù)？問題2：你是否有/習(xí)慣？

調(diào)查者準(zhǔn)備了一個(gè)不透明袋子，里面裝有大小、形狀和質(zhì)量完全一樣的5個(gè)白球和5

個(gè)紅球.每個(gè)被調(diào)查者隨機(jī)從袋中摸出1個(gè)球（摸出的球再放回袋中并攪拌均勻），摸

到白球的學(xué)生如實(shí)回答第一個(gè)問題，摸到紅球的學(xué)生如實(shí)回答第二個(gè)問題，回答“是”

的人往一個(gè)盒子中放一個(gè)小石子，回答“否”的人什么都不做.已知調(diào)查結(jié)束后，盒子

里共有55個(gè)小石子.據(jù)此估計(jì)此中學(xué)學(xué)生中有習(xí)慣力的人數(shù)的百分比為.

25.（2024?天津?yàn)I海新?三模）隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展越來越好，外出旅游的人越來越多，

現(xiàn)有兩位游客慕名來天津旅游，他們分別從天津之眼摩天輪、五大道風(fēng)景區(qū)、古文化

街、意式風(fēng)情街、海河觀光游船、盤山風(fēng)景區(qū)，這6個(gè)隨機(jī)選擇1個(gè)景點(diǎn)游玩，兩位

游客都選擇天津之眼摩天輪的概率為.這兩位游客中至少有一人選擇天津之

眼摩天輪的條件下，他們選擇的景點(diǎn)不相同的概率.

26.（2024?廣東廣州?三模）在一個(gè)抽獎(jiǎng)游戲中，主持人從編號(hào)為L(zhǎng)2,3,4的四個(gè)外觀相

同的空箱子中隨機(jī)選擇一個(gè)，放入一件獎(jiǎng)品，再將四個(gè)箱子關(guān)閉，也就是主持人知道

獎(jiǎng)品在哪個(gè)箱子里，當(dāng)抽獎(jiǎng)人選擇了某個(gè)箱子后，在箱子打開之前，主持人先隨機(jī)打

開了另一個(gè)沒有獎(jiǎng)品的箱子，并問抽獎(jiǎng)人是否愿意更改選擇以便增加中獎(jiǎng)概率.現(xiàn)在

已知甲選擇了1號(hào)箱，用4表示i號(hào)箱有獎(jiǎng)品（7=1,2,3,4）,用及表示主持人打開i號(hào)箱

子（，=2,3,4）,則尸（國(guó)A）=，若抽獎(jiǎng)人更改了選擇，則其中獎(jiǎng)概率為.

27.（2024?河北張家口?三模）甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，每局比賽11分制，若比分

打到10:10時(shí)，需要一人比另一人多得兩分，比賽才能結(jié)束.已知甲贏得每一分的概率

為:，在兩人的第一局比賽中，兩人達(dá)到了10:10,此局比賽結(jié)束時(shí)，兩人的得分總和

4

為n,則此時(shí)的概率尸伽）=.

四、解答題

28.（2024?重慶九龍坡?三模）在一場(chǎng)乒乓球賽中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠軍.比賽

采用“雙敗淘汰制”，具體賽制為：首先四人抽簽兩兩對(duì)陣，勝者進(jìn)入“勝區(qū)”，敗者進(jìn)

入“敗區(qū)”；接下來，“勝區(qū)”的兩人對(duì)陣，勝者進(jìn)入最后決賽；“敗區(qū)”的兩個(gè)對(duì)陣，敗者

直接淘汰出局并獲得第四名；緊接著“敗區(qū)”的勝者和“勝區(qū)”的“敗者”對(duì)陣，勝者晉級(jí)到

最后的決賽，敗者獲得第三名：最后，剩下的兩人進(jìn)行最后的冠軍決賽，勝者獲得冠

軍，敗者獲得第二名.甲對(duì)陣乙、丙、丁獲勝的概率均為且不同對(duì)陣結(jié)果

相互獨(dú)立.

（1）若。=0.4,第一輪由甲對(duì)陣乙，丙對(duì)陣丁.

□求甲獲得第四名的概率；

□求甲在“雙敗淘汰制”下參與對(duì)陣的比賽場(chǎng)數(shù)的數(shù)學(xué)期望.

（2）除“雙敗淘汰制”外，也經(jīng)常采用“單敗淘汰制”：四人抽簽決定兩兩對(duì)陣，兩場(chǎng)比賽

的勝者晉級(jí)到冠軍決賽，敗者參加三、四名比賽，哪種賽制對(duì)甲奪冠有利？請(qǐng)說明理

由.

29.（2024?新疆喀什?三模）某企業(yè)監(jiān)控汽車零件的生產(chǎn)過程，現(xiàn)從汽車零件中隨機(jī)抽

取100件作為樣本，測(cè)得質(zhì)量差（零件質(zhì)量與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量之差的絕對(duì)值）的樣本數(shù)據(jù)如

下表：

質(zhì)量差（單位：mg）5458606364

件數(shù)（單位：件）52545205

⑴求樣本質(zhì)量差的平均數(shù)K假設(shè)零件的質(zhì)量差X其中/=4,用輸作為

〃的近似值,求尸（62<XW64）的值；

（2）已知該企業(yè)共有兩條生產(chǎn)汽車零件的生產(chǎn)線，其中第1條生產(chǎn)線和第2條生產(chǎn)線生

產(chǎn)的零件件數(shù)比是3:1.若第1、2條生產(chǎn)線的廢品率分別為0.004和0.008,且這兩條

生產(chǎn)線是否產(chǎn)出廢品是相獨(dú)立的.現(xiàn)從該企業(yè)生產(chǎn)的汽車零件中隨機(jī)抽取一件.

（口）求抽取的零件為廢品的概率；

（□）若抽取出的零件為廢品，求該廢品來自第1條生產(chǎn)線的概率.

參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量XN出吟,貝1」尸（〃—b<XW〃+b）”0.6827,

P（/J-2CT<X<〃+2cr）a0.9545,P（〃-3cr<XV〃+3cr卜0.9973

30.（2024?安徽合肥?三模）在2024年高考前夕，合肥一六八中學(xué)東校區(qū)為了舒展年級(jí)

學(xué)子身心，緩解學(xué)子壓力，在一周內(nèi)（周一到周五）舉行了別開生面“舞動(dòng)青春，夢(mèng)想

飛揚(yáng)”的競(jìng)技活動(dòng)，每天活動(dòng)共計(jì)有兩場(chǎng)，第一場(chǎng)獲勝得3分，第二場(chǎng)獲勝得2