2025高考數(shù)學解答題專練：空間向量與立體幾何（7大題型）含答案及解析

解答敢：堂同向蜃與貪體幾何

°°

題型一空間異面直線夾角的求解..........................................................1

題型二空間直線與平面夾角的求解........................................................3

題型三空間平面與平面夾角的求解........................................................5

題型四空間點、線、面間的距離求解........................................................7

題型五空間幾何體的體積求解............................................................9

題型六空間幾何體的翻折問題...........................................................11

題型七空間動點存在性問題的探究.......................................................13

必刷大題..................................................................................15

題型一空間異面直線夾角的求解

念大題典例

1.（23-24高三上?河北衡水?月考）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA，平面4BCD,底面ABCD是平

行四邊形，且△A3。是等邊三角形，Ab=2.

（1）求證：平面上4。；

（2）若APAB是等腰三角形,求異面直線PB與AC所成角的余弦值.

?M

解法指導

1、求異面直線所成角一般步驟：

⑴平移:選擇適當?shù)狞c，線段的中點或端點,平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線.

（2）證明:證明所作的角是異面直線所成的角.

（3）尋找:在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形,并解之.

（4）取舍:因為異面直線所成角。的取值范圍是（0,年］，所以所作的角為鈍角時,應取它的補角作為異面直線

所成的角.

2、可通過多種方法平移產(chǎn)生,主要有三種方法：

（1）直接平移法（可利用圖中已有的平行線）；

（2）中位線平移法；

（3）補形平移法（在已知圖形中，補作一個相同的幾何體，以便找到平行線）.

3、異面直線所成角：若周，茂分別為直線和12的方向向量，9為直線k,12的夾角，則cos。=

O變式訓練

2.（24-25高三上?江西南昌?開學考試）如圖，圓錐PO的軸截面是邊長為4的等邊三角形，。是

OB的中點，。是底面圓周上一點，等.

（1）求。。的值；

（2）求異面直線PA與。。所成角的余弦值.

3.（24-25高三上?上海?期中）如圖，在直三棱柱ABC-中，4B，AC,48=441=1.

⑴求證：4。，平面ABG；

（2）求直線A.B與AQ所成角的余弦值.

題型二空間直線與平面夾角的求解

9大題典例

4.（24-25高三上?江蘇南京?期中）如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD±平面ABCD,PA±PD,

AB±AD,PA=PD,AB=2,AD^8,AC=CD=5,

（1）求證:平面PCD±平面PAB-,

（2）求直線PR與平面PCD所成角的正弦值.

?M

解法指導

1、垂線法求線面角（也稱直接法）：

（1）先確定斜線與平面，找到線面的交點B為斜足;找線在面外的一點A,過點A向平面a做垂線，確定垂

足。；

（2）連結斜足與垂足為斜線AB在面a上的投影；投影BO與斜線之間的夾角為線面角；

（3）把投影BO與斜線歸到一個三角形中進行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。

3、公式法求線面角（也稱等體積法）：

用等體積法，求出斜線24在面外的一點P到面的距離,利用三角形的正弦公式進行求解。

公式為：sin。，其中個是斜線與平面所成的角，無是垂線段的長，Z是斜線段的長。

方法：已知平面6內一個多邊形的面積為S,它在平面a內的射影圖形的面積為S射影，

平面a和平面/?所成的二面角的大小為6,則COS6=§警.這個方法對于無棱二面角的求解很簡便。

4、直線與平面所成角：設芯是直線/的方向向量，病是平面a的法向量，直線與平面的夾角為。.則sin。

o變式訓練

5.（24-25高三上?黑龍江哈爾濱?月考）在三棱柱ABC-A^C,中，人馬=BB1=B,C=5,AB=4,

AC=6,為/。中點.

-------------71G

⑴求證：BQ±平面ABC；

（2）求直線BG與平面ABB.A,所成角的正弦值.

6.（24—25高三上?云南大理?月考）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側棱PD

±底面ABCD,「。=6=2,8。=22,/8。。=45°.點￡；是棱「。的中點，點尸為棱可上的一

點，且口口=看8P.

O

（1）求證:平面PBC±平面PCD；

（2）求直線。。與平面DE尸所成角的正弦值.

題型三空間平面與平面夾角的求解

9大題典例

7.（24-25高三上?湖北?期中）如圖，球。的半徑為R,ABC為球面上三點，若三角形ABC為直角三角

形，其中AC，BC.延長AO與球O的表面交于點D.

（1）求證：BD±平面ABC；

（2）若直線A4QC與平面ABC所成的角分別為全黃，試求二面角C-AD-B的正弦值.

?M

解法指導

1、幾何法

（1）定義法（棱上一點雙垂線法）:在二面角的棱上找一個特殊點,在兩個半平面內分別過該點作垂直于棱的

射線.

（2）三垂線法（面上一點雙垂線法）：自二面角的一個面上一點向另外一個面作垂線，再由垂足向棱作垂線得

到棱上的點（即斜足），斜足和面上一點的連線與斜足和垂足的連線所夾的角，即為二面角的平面角

（3）垂面法（空間一點垂面法）:過空間一點作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線,這兩條射線所成的角

就是二面角的平面角。

（4）射影面積法求二面角cos。="

2、向量法：若扇，茂分別為平面a,/3的法向量，9為平面的夾角，則cos。=|cosV房，范＞|=

局同

O變式訓練

8.（24-25高三上?福建南平?期中）如圖，在四棱錐P-ABCD中，點B在平面44。上射影是4PAD的

外心，且8P="，上4=PD=乙4PD=90°,E是棱上4的中點，且CD，平面2D

P

B

⑴證明：8E〃平面尸①；

（2）若CD=1,求二面角A—PB—C的正弦值.

9.（24—25高三上?北京?月考）如圖，在四棱錐P—4BCD中，底面4BCD為正方形，P4，平面

ABCD,PA=AB,河為線段PD的動點.

⑴若直線PB〃平面ACM,求證：M為PD的中點：

⑵求證:平面ABM1.平面PAD

⑶若平面E4C與平面M4C夾角的余弦值為孚，求點的值.

0IVlJ-y

題型四空間點、線、面間的距離求解

o大題典例

10.（24-25高三上?貴州貴陽?月考）如圖，OE是正三角形ABC的一條中位線，AB=2,將△4DE沿DE

折起,得到四棱錐A—BCDE.

（1）證明：441±平面ABC；

⑵若人田，CD求點B到平面EAQ的距離.

?M

解法指導

1、幾何法求點面距

(1)定義法(直接法):找到或者作出過這一點且與平面垂直的直線,求出垂線段的長度；

(2)等體積法:通過點面所在的三棱錐，利用體積相等求出對應的點線距離；

(3)轉化法:轉化成求另一點到該平面的距離，常見轉化為求與面平行的直線上的點到面的距離.

2、向量法求空間距離：

(1)點面距：已知平面a的法向量為云，A是平面a內的任一點，P是平面a外一點，過點P作則平面a

的垂線Z,交平面a于點Q,則點P到平面a的距離為PQ=^―

一同

⑵直線a與平面a之間的距離：d=J-----L，其中方是平面a的法向量。

\n\

lABml

(3)兩平行平面a，B之間的距離：d=J------L，其中Aea,8e汽，方是平面a的法向量。

\n\

O變式訓練

11.(24-25高三上?廣東廣州?月考)已知四棱柱ABC?—中，底面43co為梯形，AB〃CD,

4/，平面ABCD,4D，AB,其中=441=2,AD=DC=1.N,M分別是線段BG和線段

DDi上的動點，且喬=才話，DM=ADOl(0<A<l).

(1)求證：DrN//平面CB[M；

(2)若N到平面的距離為坐匚，求。iN的長度.

12.（24-25高三上?福建福州?月考）如圖，在直四棱柱ABCD-4BGA中，底面四邊形ABCD為梯形,

AD//BC,AB=AD=2,BD=2",BC=4.

⑴證明：4旦，4。1；

⑵若直線與平面即犯所成角的正弦值為手,求直線班到平面BQR的距離.

題型五空間幾何體的體積求解

g大題典例

13.（23-24高三上?海南海口?月考）如圖，在長方體ABCD-中，入劣=2AD=2AB=4,E,F

分別為AAi，CD的中點.

⑴證明：瓦4G；

（2）求三棱錐E—BGF的體積.

?M

解法指導

1、處理空間幾何體體積的基本思路

（1）轉:轉換底面與高，將原本不容易求面積的底面轉換為容易求面積的底面，或將原來不容易看出的高轉

換為容易看出并容易求解的高；

（2）拆:將一個不規(guī)則的幾何體拆成幾個規(guī)則的幾何體，便于計算；

（3）拼：將小幾何體嵌入一個大幾何體中，如有時將一個三棱錐復原成一個三棱柱，將一個三棱柱復原乘一

個四棱柱，還臺位錐,這些都是拼補的方法。

2、求體積的常用方法

（1）直接法:對于規(guī)則的幾何體,利用相關公式直接計算；

（2）割補法:把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體,然后進行體積計算;或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則

的幾何體,不熟悉的幾何體補成熟悉的幾何體，便于計算；

（3）等體積法:選擇合適的底面來求幾何體的體積，常用于求三棱錐的體積，即利用三棱錐的任一個面作為

三棱錐的底面進行等體積變換

S變式訓練

14.（24-25高三上?廣東深圳?月考）如圖，將長方形044。式及其內部）繞OQ旋轉一周形成圓柱，其中

OA=1,00^2,劣弧AB的長為a,4瓦為圓Q的直徑，平面AOB與平面A^B的交線為I.

⑴證明：Z〃OA；

⑵若平面與平面4。出夾角的正切值為早，求四棱錐B—O44Q1的體積.

15.（24-25高三上?河南?開學考試）如圖，四棱錐P—ABCD中，底面四邊形4BCD為凸四邊形，且PD

=AD=CD=4：,PA=PC=AC=^V2,AB=BC.

⑴證明：4C，PB；

（2）已知平面4PC與平面BPC夾角的余弦值為烏國，求四棱錐P—ABC?的體積.

題型六空間幾何體的翻折問題

大題典例

16.（23-24高三下?山東?模擬預測）如圖，在菱形ABCD中，ABAD=60°,E是AO的中點，將AABE沿

直線BE翻折使點A到達點4的位置，尸為線段4。的中點.

⑴求證：OF〃平面ABE；

（2）若平面A.BE±平面BCDE,求直線&E與平面人田。所成角的大小.

?M

解法指導

翻折問題的兩個解題策略

1、確定翻折前后變與不變的關系：畫好翻折前后的平面圖形與立體圖形，分清翻折前后圖形的位置

和數(shù)量關系的變與不變.一般地，位于"折痕"同側的點、線、面之間的位置和數(shù)量關系不變,而位于

"折痕"兩側的點、線、面之間的位置關系會發(fā)生變化;對于不變的關系應在平面圖形中處理,而對于

變化的關系則要在立體圖形中解決

2、確定翻折后關鍵點的位置:所謂的關鍵點，是指翻折過程中運動變化的點.因為這些點的位置移

動,會帶動與其相關的其他的點、線、面的關系變化，以及其他點、線、面之間位置關系與數(shù)量關系的

變化.只有分析清楚關鍵點的準確位置，才能以此為參照點，確定其他點、線、面的位置，進而進行

有關的證明與計算

s變式訓練

17.（24-25高三上?云南昆明?期中）已知在長方形4BCD中，AD=2,AB=4,點河是邊CD的中點，如

圖甲所示.將△ADW■沿AM翻折到LPAM,連接PB,PC,得到四棱錐P-ABCM，其中,

如圖乙所示.

（1）求證:平面PAM.L平面ABCM；

（2）求平面4M和平面PBC夾角的余弦值.

18.（2024?河北承德,二模）如圖1,在直角AAPB中，ZAPB=90°，。為PB中點，24=PC=1,取AC中

點。，連接PD,8D,現(xiàn)把△APC沿著/C翻折,形成三棱錐P-ABC如圖2,此時,取8C中

點E,連接PE,L?,記平面MB和平面PDE的交線為l,Q為I上異于P的一點.

（1）求證：PD±平面ABC；

（2）若直線AQ與平面PDB所成角的正弦值為耳，求PQ的長度.

題型七空間動點存在性問題的探究

大題典例

19.（24—25高三上?四川德陽?月考）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，P4±平面

為棱PD上的動點.

⑴若E為PD中點,證明：PB〃平面AEC；

（2）若/0=1,人。=3,人口=2,在線段。0上是否存在點后使得面。/場與面人￡；。夾角余弦值為

里臭，若存在,求出點E位置，若不存在，說明理由.

解法指導

借助于空間直角坐標系,把幾何對象上動態(tài)點的坐標用參數(shù)（變量）表示，將幾何對象坐標化，這樣

根據(jù)所要滿足的題設要求得到相應的方程或方程組.若方程或方程組在題設范圍內有解，則通過

參數(shù)的值反過來確定幾何對象的位置;若方程或方程組在題設范圍內無解，則表示滿足題設要求的

幾何對象不存在.

S變式訓練

20.（24-25高三上?江西南昌?月考）如圖,在矩形紙片ABCD中，4B=4,8。=2,沿入。將ZVIDC折起,

使點D到達點P的位置，且滿足平面ABP±平面BCP.

（1）求證:平面平面并求的長度；

（2）若河是線段PC上（不包括端點）的一個動點，是否存在點河，使得直線MB與平面PAC的夾角

為年？若存在，求CM的長度;若不存在，說明理由.

21.（24-25高三上?湖南?月考）如圖，側面BCCB水平放置的正三棱臺ABC-A^C^AB=2A.B,=4,

側棱長為，為棱4瓦上的動點.

B

⑴求證：441±平面BCCB；

（2）是否存在點P,使得平面人尸。與平面4AG的夾角的余弦值為噌^?若存在，求出點P；若不

OO

存在,請說明理由.

1必刷大題）

9刷模擬

22.（24-25高三上?江蘇揚州?月考）已知三棱錐A-BCD,AD±底面BCD,BC±CD,AD=4,BC=

00=2,點「是人。的中點，點。為線段3。上一動點，點河在線段。（2上.

⑴若尸“〃平面ABC,求證：河為DQ的中點；

（2）若Q為的中點,求直線DQ與平面ABC所成角的余弦值.

23.（24-25高三上?江蘇蘇州?月考）如圖，在平行四邊形ABCM中，AB=AC=3,NACM=90°,以AC

為折痕將△ACM折起，使點M到達點D的位置，且，DA.

（1）證明：平面ACD±平面ABC.

⑵Q為線段AD上一點，P為線段BC上一點，且BP=DQ=^-DA,求點P到平面ABQ的距離.

O

24.（24-25高三上?浙江寧波?模擬考試）在三棱錐P-ABC中，側面是邊長為2的等邊三角形,

（1）求證:平面平面4BC；

（2）求平面與平面PAC的夾角的余弦值.

25.（24-25高三上?黑龍江大慶?期中）在梯形ABCD中，AB〃CD,NBAD=g,AB=2AD=2CD=

o

4,P為AB的中點，線段AC與DP交于。點（如圖1）.將/\ACD沿AC折起到XACD位置，使得

DOLOP（如圖2）.

⑴求證:平面D'AC±平面ABC；

（2）線段PD上是否存在點Q,使得CQ與平面BCD'所成角的正弦值為咯?若存在，求出空的

oPD

值;若不存在,請說明理由.

26.（24—25高三上?北京?期中）如圖，在四棱錐P—4BCD中，直線AB〃平面PCD.N4BC=90°,

ADAB=ZPCB=60°,CD=1,48=3,=平面PCB_L平面ABCD,尸為線段8C的中點,

E為線段P尸上一點.

（1）證明：4B〃CD；

⑵證明：PF,AD；

\FE\

（3）是否存在點瓦使得點E到平面PAD的距離是-i1，若存在求出本才的值，若不存在請說明理由.

27.（24—25高三上?浙江?月考）在四棱錐P—4BCD中，AD.LCD,POL底面4BCD,點

O在AC上，且PB=PC.

⑴求證：e4=p。；

⑵若ZCOD=與，4B=及7,點E在上，PD〃平面EOC，求果的值；

（3）若PO=AB=BC=1,二面角P—AD—B的正切值為22,求二面角?！狝P—B的余弦值.

S刷真題

28.（2024?北京?高考真題）如圖，在四棱錐P—ABCD中，BC〃4D,4B=BC=1,4D=3,點E在AD

上，且PE，AD,PE=OE=2.

Bc

（1）若尸為線段PE中點,求證：BFII平面PCD.

（2）若48，平面E4O,求平面PAB與平面尸CD夾角的余弦值.

29.（2024.全國.高考真題）如圖，在以/,8,C,D,E,尸為頂點的五面體中，四邊形4BCD與四邊形

/EEF均為等腰梯形，EF//AD,BC//AD,AD=4,AB=BC=EF=2,ED=VI^,FB=2代，M為

的中點.

F_______￡

⑴證明：8W〃平面CDE；

（2）求二面角斤一BM—E的正弦值.

30.（2024.全國.高考真題）如圖，平面四邊形4BCD中，48=8,CD=3,AD=5^3,/4DC=90°,

ZBAD=30■，點E,戶滿足存=工歷，行存，將△/EF沿EF翻折至△PEF，使得PC=

U/

（1）證明：EFLPD；

（2）求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值.

31.（2024?廣東江蘇?高考真題）如圖，四棱錐P—4BCD中，24,底面ABCD,上4=AC=2,BC=1,

AB=y/3

B

⑴若40，P8,證明：AD〃平面PBC；

（2）若。，且二面角A—。尸一。的正弦值為42,求AD.

32.（2024.天津.高考真題）如圖，在四棱柱ABCD—中，兒4±平面ABCD,AB±AD,

AB//DC,AB^AA1=2,AD=DC^1.分別為。。的中點，

（1）求證：DXN//平面CBiM；

（2）求平面CRM與平面夾角余弦值;

（3）求點B到平面CBiM的距離.

???

解答敢：堂同向蜃與貪體幾何

°°

題型一空間異面直線夾角的求解..........................................................1

題型二空間直線與平面夾角的求解........................................................4

題型三空間平面與平面夾角的求解........................................................7

題型四空間點、線、面間的距離求解.......................................................11

題型五空間幾何體的體積求解..........................................................15

題型六空間幾何體的翻折問題..........................................................20

題型七空間動點存在性問題的探究.......................................................24

必刷大題..................................................................................28

題型一空間異面直線夾角的求解

念大題典例

1.（23-24高三上?河北衡水?月考）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA，平面4BCD,底面ABCD是平

行四邊形，且△A3。是等邊三角形，Ab=2.

⑴求證：，平面上4。；

（2）若4PAB是等腰三角形,求異面直線PB與AC所成角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）乎.

【解析】（1）因為底面48co是平行四邊形，且是等邊三角形，

所以四邊形48co是菱形，則有BD_LAC,

又R4_L平面ABCD,BDU平面ABCD,所以R4_LBD,

又24nAe=A,P4u平面R4C,ACu平面B4。,所以BD_L平面Q4C；

（2）設=

???△K4B是等腰三角形，

：.PA^AB^2,AO=OC=?

以。為坐標原點，射線OB,OC分別為工軸，y軸的正半軸建立空間直角坐標系O—xyz,

如圖，

?M

R2A

二

則P(0,一通,2),A(0,-V3,0),B(1,O,O),C(0,V3,0),

所以方=(1,遍,一2),芯=(0.2V3.0),

設PB與AC所成角為巴

所以。國?明|1XO+V3X2V3+(-2)XO|6娓

|FB|-|AC|712+(V3)2+(-2)2XVO2+(2V3)2+O22V2X2V34

即PB與AC所成角的余弦值為尊.

解法指導

1、求異面直線所成角一般步驟:

⑴平移:選擇適當?shù)狞c，線段的中點或端點,平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線.

（2）證明:證明所作的角是異面直線所成的角.

（3）尋找:在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之.

（4）取舍:因為異面直線所成角。的取值范圍是（0,字］，所以所作的角為鈍角時,應取它的補角作為異面直線

所成的角.

2、可通過多種方法平移產(chǎn)生,主要有三種方法：

⑴直接平移法（可利用圖中已有的平行線）；

（2）中位線平移法;

（3）補形平移法（在已知圖形中，補作一個相同的幾何體，以便找到平行線）.

3、異面直線所成角：若屬,定分別為直線Z2的方向向量，9為直線k,12的夾角，則cos。=

nrn

|cosV范，布=2

變式訓練

2.（24-25高三上?江西南昌?開學考試）如圖，圓錐PO的軸截面PAB是邊長為4的等邊三角形，。是

的中點是底面圓周上一點，".

(1)求。。的值；

(2)求異面直線PA與0c所成角的余弦值.

【答案】⑴，7;(2)W

【解析】(l)Z\OCD中，00=2,OC=1,等，

根據(jù)余弦定理，OC=yjoD2+OC2-2OD-OC-cos^-=V7.

⑵如圖，以點O為原點，OBQP為y軸和z軸，

過點O作Orr_L為，軸，建立空間直角坐標系，

P(0,0,2A/3),A(0,-2,0),C(O,1,O),L>(V3,-l,0),

PA—(0,—2,—,DC=(—A/3,2,0),

設異面直線Q4與。。所成角為3,

則cosJ=|cos,B4,L)c\=］藝］=—^7=-=

所以異面直線P4與。。所成角的余弦值為與.

3.(24-25高三上?上海?期中)如圖，在直三棱柱ABC-A.B.C,中，4B，AC,4B=4C=人4=1.

⑴求證：AC±平面ABCX；

(2)求直線AiB與AC.所成角的余弦值.

【答案】⑴證明見解析；⑵/

【解析】(1)由題知441_L面ABC,又ABu面AB。,所以4Ai_LAB,

又AA^AC=A,?L4i,ACu面所以4B_L面

ACC.A,,

又AQu面ACCYAX，所以AB_LAQ,

又AC=44i=1,所以四邊形ACC.A,是正方形，得到4?！繟C,,

又ABDAG=A,AB,AGU面ABG,所以AQ_L平面ABQ.

(2)如圖，建立空間直角坐標系，因為AB=AC=44i=l,

,

則A(o,o,l),A(O,O,O),B(l,O,O),C1(O,l,l),

得到乖=(1,0,—1),句=(0,1,1),

設直線AXB與AG所成角為仇

?——>■―??IAIB-ACII11

則cosd=\cosAxB,AC^=??一『=—=-y=-=—,

\AXB\-\AC^V2XV22

所以直線A.B與AC,所成角的余弦值為-j-.

題型二空間直線與平面夾角的求解

大題典例

4.(24-25高三上?江蘇南京?期中)如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD±平面ABCD,PAVPD,

AB_LAD,PA=PD,AB=2,AD=8,AC=CD=5,

⑴求證:平面PCD_L平面PAB；

(2)求直線PR與平面PCD所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2)里工

51

【解析】(1)因為平面PAD_L平面ABCD,且平面MDD平面ABCD=AD,

且AO,ABu平面ABCD,

所以AB_L平面RID,

因為PDu平面Q4O,所以

又PD_L_R4,且_R4nAB=A,_R4,ABu平面R4B,

所以PD_L平面28,

又PDu平面PAD,所以平面PCD_L平面MB；

⑵

取AD中點為O,連接CO,PO,

又因為Q4=PD,所以PO_LAD,則AO=PO=4,

因為AC=CD=5,所以CO-LAD,則CO=VAC2-AO2=3,

以。為坐標原點，分別以而，歷所在直線為①，V，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系O—xyz,

則4(0,4,0),5(2,4,0),C(3,0,0),0(0,-4,0),P(0,0,4),

PC=(3.0,-4),M=(0,—4,—4),屈=(2,4,—4),

設方={x,y,z)是平面PCD的一個法向量，

則nI。\n-.P汨C==Q。',r3f3x-—4z4=20=。'

令z=3,則力=4,g=—3，所以丘=（4,—3,3）,

設與平面PCD所成的角為仇

則sin"/里=一3=空，

\n\\PB\V34-V3651

所以PB與平面PCD所成的角的正弦值為生曜.

解法指導

1、垂線法求線面角（也稱直接法）：

（1）先確定斜線與平面，找到線面的交點B為斜足;找線在面外的一點A,過點A向平面a做垂線，確定垂

足。；

（2）連結斜足與垂足為斜線AB在面a上的投影；投影BO與斜線AB之間的夾角為線面角；

（3）把投影與斜線歸到一個三角形中進行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。

3、公式法求線面角（也稱等體積法）：

用等體積法，求出斜線上4在面外的一點P到面的距離,利用三角形的正弦公式進行求解。

公式為：sin。=*，其中。是斜線與平面所成的角，h是垂線段的長,1是斜線段的長。

方法：已知平面6內一個多邊形的面積為S,它在平面a內的射影圖形的面積為S射影，

平面a和平面B所成的二面角的大小為9,則COSB=一詈.這個方法對于無棱二面角的求解很簡便。

4、直線與平面所成角：設市是直線I的方向向量，n2是平面a的法向量，直線與平面的夾角為例則sin。

nrn

=|cos<ni,n>|=2

2局屁’

念變式訓練

5.（24-25高三上?黑龍江哈爾濱?月考）在三棱柱ABC-A.B.C,中，人用=6目=耳。=5,48=4,

AC=6,為AC中點.

（1）求證：BQ±平面ABC；

（2）求直線BG與平面ABB.A,所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）埒匚

【解析】（1）連接8。，

因為AB_L,D為人。中點，所以AD=GD=BD=]■=3,

因為481=5。=5,所以5D_LAC,所以二3=4,

又口3=5,所以B以=52=25=32+42=8。2+。比,所以5。_13。,

又BDCAC=D,BD,ACu平面ABC,所以BQ_L平面ABC-,

（2）以B為坐標原點，所在直線為⑨夕，

過B作DBi的平行線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,

因為AB_LBC,所以3。=二百=2方，

則3（0,0,0）,人（0,4,0）,瓦（0,2,4）,。（2萌,0,0）,

則說=（0,4,0）,函=（逐,2,4）,郎=（2遍,0,0）,

設平面ABBXAX的一個法向量為n={x,y,z）,

則卜上=4沙=0，令2=4弱，則夕=0,z=-5,

—V5x+2g+4z=0

所以平面ABBiA的一個法向量為元=（40,0,-5）,

又BC〃BG，所以。百=配=（2V5.0,0）,

設直線與平面所成的角為。，

則sin"亶五=

|B^|.|n|2V5XV80+2521

所以直線BiG與平面ABB14所成角的正弦值為3票.

6.（24-25高三上?云南大理?月考）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側棱PD

±底面ABCD,00=8=2,50=22,/8。。=45°.點E是棱PC的中點，點尸為棱上的一

,.I—>9—>

點，且6斤=稱口「.

O

6

c

（1）求證:平面平面尸CD；

（2）求直線。。與平面OE尸所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）空.

【解析】⑴在ABGD中，BC2=BD2+CD2-2BD-CD-cos/BDC=4,即BC=2,

叉BD=2/,CD=BC=2,則有BO+CDuBD：即BC工CD,

因為PD_L平面ABCD,BCu平面ABCD,所以PD_LBC,

又CDnPD=0,CD,PDu平面PC?,所以BC_L平面PCD,

因為BCu平面PBC,所以平面PBC_L平面PCD

（2）由（1）可知，DA±DC,DA±DP,DC1.DP,

故以。為坐標原點，DA,_DC,DP所在直線分別為a;軸，y軸，z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標系，

依題意得，8(2,2,0),C(0,2,0),0(0,0,0),F(0,0,2),石(0,1,1),

設點F(a,b,c)，由P,F,B三點共線,則有BF=々BP,

又屈=(a—2,b—2,c),而=(—2,—2,2),

(a—2,6—2,c)=(—2,—2,2),解得a=^,b=--,c=,

設平面DEF的法向量為茂=0，%z),屈=(弓,京等)，屈=(0,1,1),

ooo

由產(chǎn)巧=0,得用+梟+梟=0,即月一z,

[n-DE=0[y+z=0[y~~z

取平面DE尸的一個法向量元=（1,1,-1）,

設直線DC與平面DEF所成角為氏則》=(0,2,0),苴=(1,1,-1),

所以DC?n=0xl+2xl+0x(―1)=2,\DC\=2,|n|=V3,

\n-DC\

故sin0=|cos^n,Z?C*^|=_V3

同困3，

所以直線。。與平面DEF所成角的正弦值為普

O

題型三空間平面與平面夾角的求解

大題典例

7.（24-25高三上?湖北?期中）如圖，球O的半徑為R,ABC為球面上三點，若三角形ABC為直角三角

形，其中延長49與球。的表面交于點。.

（1）求證：BD±平面ABC；

⑵若直線。4DC與平面ABC所成的角分別為手潦，試求二面角C—AD—B的正弦值.

4O

【答案】（1）證明見解析；（2）夸.

（解析［（1）因為AD是球的直徑，所以AB_LBD,AC±CD.

因為AC_LBC,CDnBC=C,CD,BCu平面BCD,所以AC_L平面BCD,

因為u平面BCD,所以_4C_LBD,

因為ABAAC=A,AB,ACu平面ABC,所以BD_L平面ABC.

⑵因為直線DA,。。與平面ABC所成的角分別為十晝，所以==?

不妨令兄=①，則AD=2-,AB=BD=0,BC=V^,AC=2,

由題設，易知_LBC,AC_L及7_LBD,

以C為坐標原點，CB,C4所在直線為⑨沙軸，過點。作BD的平行線為z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標系，

則A(0,2,0),5(72,0,0),C(0,0,0),L>(V2,0,76).

所以為=(0,2,0),3=(2,0,0),由=(一方,2,0),助=(0.0,V6),

設平面ACD的法向量為芯=（61,%,Zi）,平面ABD法向量為甚=（62,紡,22），

士MTU/6°，取為=-1，得—(GOT)，

由

%?CD=A/2/I+，6ZI=0

可嚓產(chǎn)=°,取仇=I,得茂=(蓼,1,0),

由

電?829=<622=0

設二面角。一AD—_B的平面角為夕，則|cos例=J?”=娓—,易知sin。=￡

|ni||n2|2v322

解法指導

1、幾何法

（1）定義法（棱上一點雙垂線法）:在二面角的棱上找一個特殊點,在兩個半平面內分別過該點作垂直于棱的

射線.

（2）三垂線法（面上一點雙垂線法）：自二面角的一個面上一點向另外一個面作垂線，再由垂足向棱作垂線得

到棱上的點（即斜足），斜足和面上一點的連線與斜足和垂足的連線所夾的角，即為二面角的平面角

（3）垂面法（空間一點垂面法）:過空間一點作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線,這兩條射線所成的角

就是二面角的平面角。

（4）射影面積法求二面角cos。="

2、向量法：若扇，茂分別為平面a,/3的法向量，9為平面的夾角，則cos。=|cosV房，范＞|=

nr-n2

局同.

O變式訓練

8.（24-25高三上?福建南平?期中）如圖，在四棱錐P-ABCD中，點B在平面44。上射影是4PAD的

外心，且8P="，上4=PD=乙4PD=90°,E是棱上4的中點，且CD，平面2D

⑴證明：BE〃平面尸CD；

（2）若CD=1,求二面角A—PB—C的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）尊

6

【解析】（1）分別取PD,AD的中點為F,O,連接PO,OB,EF,延長。。至Q,使得DQ=OB,

連接BQ,FQ,如下圖：

在△4PD中，EF為中位線，則EF〃=

在Rt/\APD中，由NAPD=90°,則O為外心，即BO_L平面APD,

因為CDJ_平面R4。,所以BO〃。。，

因為。Q〃OB,DQ=OB,所以OD=BQ,OD//BQ,

改為EF〃BQ,EF=BQ,所以EB"FQ,

因為平面PCD,FQu平面PCD,所以EB〃平面PCD.

(2)在AAPD中，AP=DP,則PO±AD,

因為OB_L平面APD,AD,POu平面4PD,所以OB_LPO,OB±AD,

以O為原點，分別以OA,OB,OP所在的直線為c,y,z軸，建立空間直角坐標系，如下圖：

在Rt^APD中，AP=DP=2，則AD=y/AP2+DP2=2,PO=(AD=1,

在RtdPOB中，PB=V5,^]OB=y/PB2-PO2=2,

則A(l,0,0),P(0,0,l),B(0,2,0),C(—1,1,0),

取亞=(-1,0,1),晶=(—1,2,0),^=(1,—1,1),無=(1,1,0),

n-AP=—x-\-z=Q

設平面APB的法向量為n—(T,y,z)，則

n-AB=-x-\-2y=0

取力=2,則o=Lz=2,所以平面APB的一個法向量為日=(2,1,2);

rh-CP=a—b-\-c=0

設平面CPB的法向量為萌=(Q,b,c),則

m-CB—a-Vb—Q

取a=1,則b=—l,c=—2,所以平面CPB的一?個法向量為m=(1,—1,—2);

設二面角A—PB—C的大小為仇

3=此=^^5^=誓，

|n|-|m|V4+1+4-V1+1+46

貝寸sin。=Vl—cos20=.

6

9.(24—25高三上?北京?月考)如圖，在四棱錐F—4BCD中，底面ABCD為正方形，B4，平面

ABCD,PA=AB,河為線段PD的動點.

10

（1）若直線PB〃平面ACM,求證：M為PD的中點:

⑵求證:平面ABM±平面PAD

（3）若平面R4C與平面M4C夾角的余弦值為斗，求錯的值.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）2

【解析】（1）證明：如