2025廣東中考數(shù)學(xué)專項練習(xí) 第五章 四邊形（教用）

2025廣東版數(shù)學(xué)中考專題

第五章四邊形

5.1多邊形與平行四邊形

基礎(chǔ)練

L[2024吉林長春，]在剪紙活動中，小花同學(xué)想用一張矩形紙片剪出一個正五邊形，其

中正五邊形的一條邊與矩形的邊重合，如圖所示，則za的大小為（）

A.54°B.60°C.70°D.72°

【答案】D

2.[2024東莞三模，]如圖，4B、C、。為一個正多邊形的頂點，。為正多邊形的中心.若

UDB=20°,則這個正多邊形的邊數(shù)為（）

【答案】C

【解析】連接04,OB,

???4、B、C、D為一個正多邊形的頂點，0為正多邊形的中心，

???點A、B、C、D在以點。為圓心，。4為半徑的圓上，

?:乙ADB=20°,

乙AOB=2AADB=40°,

???這個正多邊形的邊數(shù)=黑=9.

40

3.[2024重慶A卷，]如果一個多邊形的每一個外角都是40。，那么這個多邊形的邊數(shù)為

【答案】9

4.[2024佛山三模，]如圖，中國古建筑中的亭、臺、樓、閣、塔很多都采用六邊形結(jié)構(gòu).

六邊形的內(nèi)角和為一

【答案】720

5.[2024山東濟(jì)寧，]如圖，四邊形2BCD的對角線ZC,BD相交于點。，。4=OC,請補(bǔ)

充一個條件：，使四邊形2BCD是平行四邊形.

一

BC

【答案】OB=OD（答案不唯一）

【解析】OA=OC,OB=OD,

???四邊形2BCD是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）.

6.[2024廣州二模，]已知的對角線AC,BD相交于點。，△02B是等邊三角形，

AB=4,則回ZBCD的面積等于.

【答案】16V3

【解析】???△aoB是等邊三角形，

:.OA=OB=AB=4,

???四邊形是平行四邊形，

AC=2。4BD=20B,

:.AC-BD,

???平行四邊形2BCD是矩形.

^ABC=90°,

,:OA=AB=4,AC=20A=8,

在RtZk/BC中，由勾股定理得

BC=y/AC2—AB2=V82—42=48，

???S⑦ABCD=AB?BC=4x4\/3=16V3.

7.[2024湖北武漢，]如圖，在團(tuán)ZBCD中，點E,尸分別在邊BC,2。上，AF=CE.

(1)求證：XABE三XCDF.

(2)連接EF.請?zhí)砑右粋€與線段相關(guān)的條件，使四邊形2BEF是平行四邊形.(不需要說

明理由)

【答案】(2)AF=BE.(答案不唯一)

【解析】

(1)證明：?.?四邊形2BCD是平行四邊形，：.AB=CD,AD=BC,ZB=乙D,-：AF=CE,

AB=CD,

AD-AF=BC-CE,即DF=BE,在△ABE與△CDF中，ZB=ZD,ABE

BE=DF,

CDF(SAS).

(2)詳解：???四邊形ABC。是平行四邊形，???4D〃BC,即"〃BE,當(dāng)■=BE時，四

邊形2BEF是平行四邊形.

8.[2024湖南，]如圖，在四邊形4BCD中，AB//CD,點E在邊上，.

請從“①NB=UED；②ZE=BE,AE=CD”這兩組條件中住造：組作為已知條件，填

在橫線上(填序號)，再解決下列問題：

(1)求證：四邊形BCDE為平行四邊形；

(2)^AD1AB,AD=8,BC=10,求線段ZE的長.

【解析】

(1)選擇①的證明：?.?NB=NZED,BC〃。瓦???ZB”。。，.?.四邊形BCDE為平行四

邊形.

選擇②的證明：???AEBE,AE=CD,；.BE=CD,-：AB//CD,四邊形BCDE為平行

四邊形.

(2)由(1)可知，四邊形BCDE為平行四邊形，DE=BC=10,vAD1ZB,.?.乙4=90°,

???AE=y/DE2—AD2=V102—82=6,即線段4E的長為6.

提升練

9.[2023珠海一模，]如圖，已知點。、E、F、G、H、/分別在△力的三邊上，如果六

邊形OEFGH/是正六邊形,下列結(jié)論中不正確的是（)

A.乙4=60°

CC六邊形DEFGHI3CS六邊形DEFGHI2

C.----------------=-D.-------------=-

CRABC5S^ABC3

【答案】c

【解析】:六邊形。EFG”/是正六邊形,.3IDE=乙DEF=120°,

???乙ADE=Z-AED=60°,

即△力DE是等邊三角形，

???Z.A=60°,

故A選項中結(jié)論正確，不符合題意；

同理得出NB=ZC=ABHI=乙CGF=60°,

即△ABC,ABHI,ZkCGF均為等邊三角形，

???HI=GH=GF,ABH=GH=CG,

r.GH1

即n一=",

BC3

???DE=GH,

.DE_1

?*,——9

BC3

故B選項中結(jié)論正確，不符合題意；

,六邊形DEFGHI_6_2

CLABC93'

故C選項中結(jié)論不正確，符合題意；

S六邊形DEFGHI_6_2

S&ABC93'

故D選項中結(jié)論正確，不符合題意.

10.[2023湖南衡陽，]如圖，用若干個全等的正五邊形排成圓環(huán)狀，圖中所示的是其中3

個正五邊形的位置.要完成這一圓環(huán)排列，共需要正五邊形的個數(shù)是

【答案】10

【解析】如圖，???正五邊形的外角2122=灣=72。,

^AOB=180°—72°X2=36°,

???要完成這一圓環(huán)排列，共需要正五邊形的個數(shù)為攀=10.

36

11.[2024惠州聯(lián)考，]如圖，在正八邊形4BCDEFG”中，將EF繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到

EP,連接ZE,AP,若4B=2,則AZPE的面積為.

【答案】1+

【解析】如圖，連接2F,PF,作PS12F,HMLAF,GN1AF,

由正八邊形性質(zhì)得2F〃”G,AF1EF,

???將EF繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)60。得至UEP,；.EF=PE,ZPEF=60。,

??.△PEF為等邊三角形，

乙PFE=60°,A2PFA=30°,

,:EF—AB—2,

PF=2,PS=1,

由正八邊形性質(zhì)得乙4”G=135。，

易知乙=45°,

?:AH=2,

???AM=2-sin45°=V2,

同理FN=V2,

???AF=2+2V2,

S〉PAE^^AEF~S>PEF—SAPAF

^EF-AF-^-IAF-PS

=Ix2x(2+2V2)-yX22-|x(2+2V2)x1

—1+V2—V3.

12.[2024廣州一模,]如圖，在平行四邊形ABC。中，ZB=4cm,A￡>=8cm,/.ABC=60°,

點P為線段ZD的中點.動點E從點Z開始沿邊2。以1cm/s的速度運(yùn)動至點P,動點F從點C

開始沿邊CB以2cm/s的速度運(yùn)動至點B.點E、F同時出發(fā)，當(dāng)其中一個動點到達(dá)終點時，

另一個動點也隨之停止運(yùn)動.作點C關(guān)于直線EF的對稱點。，在點E從點2運(yùn)動到點P的過

程中，點C'的運(yùn)動路徑長為cm.

【答案】胃n

【解析】連接AC,BP,CP,延長B4CP,交于點T,設(shè)AC,EF交于點。，如圖,

???在平行四邊形ZBCD中，AB=4cm,AD=8cm,^ABC=60。，點P為線段2。的中點,

ZB=2P=4,DP=DC=4,乙D=^ABC=60°,PCD為等邊三角形，

PC=PA=PD=4,乙PCD=60°,

易知乙4CD=90°,

vAB!ICD,AC1AB,

AC=BC-sin60°=8x—=4V3.

2

vABIICD,^ABC=60°,

乙BCD=120°,又；乙PCD=60°,

Z.PCB=60°=乙ABC,

??.△TBC是等邊三角形，

???動點E從點2開始沿邊以1cm/s的速度運(yùn)動至點P,動點F從點C開始沿邊CB以

2cm/s的速度運(yùn)動至點B,

,AE_1

?,——.

CF2

?：AE//CF,

???△AEOCFO,

AO_AE_1

??CO-CF-2’

CO=-AC=-x4V3=—,

333

VAB^AP,Z-BAD=120°,

乙ABP=30°,

Z.TBP=乙CBP=30°,

???BP1TC,BP過點。，

???點。是△TBC的外心，

連接T。，

Z.TOC=2乙TBC=120°,

連接。C',???點C關(guān)于直線EF的對稱點為點L,

OC=OC=也,

3

???當(dāng)點E運(yùn)動到點P時，點F運(yùn)動到點B,此時EF與BP重合，點廠與點T重合，

???點C'的運(yùn)動軌跡為CBT,

???點C’的運(yùn)動路徑長為魯ITX卓=爭TT.

13.[2023佛山模擬，]如圖，在四邊形2BCD中，Z.BCD=90°,對角線AC,BD相交于點

N.點M是對角線80的中點，連接AM,CM.AM=DC,AB1AC,^AB=AC.

A

AD

M

(1)求證：四邊形2MCD是平行四邊形；

(2)求tanNDBC的值.

【解析】

(1)證明：?.?點M是BD的中點，乙BCD=90。，CM=BM=MD=^BD,又AB=AC,

AM=AM,AMBZMC(SSS),???^BAM=^CAM,■：AB1AC,：.^BAC=90°,

^MAC=45。，又???ABAC,：.乙4cB=^ABC=45。，；.^DCA=乙DCB-乙4cB=45°,

Z.DCA=/.MAC,:.AM"CD,XvAMDC,四邊形4MCD為平行四邊形.

(2)如圖，延長AM交BC于點E,

A

vAB=AC,^BAC=90°,^BAM=^CAM,：.AE1BC,且點E為BC的中點，又???點M是

BD的中點，時后是^BCD的中位線，CD=2ME,又：AM=CD,AM=2ME,；.ME=

評,在RtUBE中，v=45°,AE=BE,AME=^BE,.：tanzDBC=^=1

14.[2024廣州二模，]如圖，在團(tuán)ZBCD中，AB=5,AD=3?=45°.

（1）尺規(guī)作圖：將12aBe。沿著經(jīng)過a點的某條直線翻折，使點B落在CD邊上的點E處,

請作出折痕，折痕與BC的交點為F.（不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）若折痕4F與DC的延長線交于點G.

①求EG的長度；

②求點G到直線4E的距離.

【解析】

（1）如圖所示.

CG

（2）①由作圖得4G平分ZB4E,2E=4B=5,LEAG=^GAB,???四邊形ZBCD是

平行四邊形，CD//AB,A/.EGA=/.GAB,：.Z.EAG=/.EGA,EG=ZE=5.

②過點。作1AB于H,則。”=AD-sin^BAD=3A/2xy=3,4G平分ZB4E,點

G到直線4E的距離等于點G到所在直線的距離，也等于?！钡拈L，.??點G到直線2E的距

離為3.

5.2特殊的平行四邊形

基礎(chǔ)練

1.[2024江蘇鹽城，]矩形相鄰兩邊長分別為&cm、V5cm,設(shè)其面積為Scm2,貝US在

哪兩個連續(xù)整數(shù)之間()

A.1和2B.2和3C.3和4D.4和5

【答案】C

【解析】s=&X遍=眄<舊<存，3<m<4,即S在3和4之間.

2.[2024湖北武漢，]小美同學(xué)按如下步驟作四邊形4BCD：(1)畫ZM4V;(2)以點2為

圓心，1個單位長為半徑畫弧，分別交AM,AN于點B,D-(3)分別以點B,。為圓心,

1個單位長為半徑畫弧，兩弧交于點C；(4)連接BC,CD,8。.若乙4=44。，貝UzCBD的

大小是()

A.64°B.66°C.68°D.70°

【答案】C

【解析】由作圖過程可得ZB=AD=BC=DC,

???四邊形ABC。是菱形，

:.Z-CBD—Z.ABD=Z.ADB.

???Z,A=44°,

11

乙CBD=1(180°-乙4)=1(180°-44°)=68°.

3.[2024山東濟(jì)寧，]如圖，菱形ZBCD的對角線AC,BD相交于點。，E是的中點，連

接。E.若。E=3,則菱形的邊長為()

A.6B.8C.10D.12

【答案】A

【解析】由菱形的性質(zhì)得乙4OB=90。,

???E是的中點,

：?AB=2OE=6,

菱形的邊長為6.

4.[2024福建，]如圖，正方形ZBCD的面積為4,點E,F,G,”分別為邊AB,BC,CD,

的中點，則四邊形EFG”的面積為

【答案】2

【解析】???點E,F,G,”分別是正方形2BCD的邊AB,BC,CD,的中點,

???四邊形EFGH是正方形，連接EG、HF,則EG=AB,

11o1

???S正方形EFGH=^EG.HF=3AB2，X4=2.

5.[2023深圳二模,]如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點。,AB=4,BD:AD=3:2,

則ac

【答案】2小

【解析】在菱形ZBCD中，ZD=4B=4,OB=：BD,OA=^AC,AC1BD,

vBD\AD=3:2,

??.BD=6,OB=3,

OA=y/AB2-OB2=V42-32=夕,

AC-20A-2v7.

6.[2023珠海一模，]如圖，在RtZkABC中，乙4BC=90。.

IH

(1)作圖：在ZC上方作射線2E,使ZC4E=乙4CB,在射線2E上截取2。，使2。=BC,

連接CD；(用尺規(guī)作圖，要求保留作圖痕跡，不寫作法)

(2)在(1)的條件下，證明四邊形2BCD是矩形.

【解析】

(1)如圖所示.

(2)證明：???/.CAE=^ACB,BC//AD,???=BC,.?.四邊形4BCD是平行四邊形，

???LABC=90°,是矩形.

7.[2024廣州一模，]先化簡，再求值：27,+(l+f其中a的值為菱形的

a2-2a+l'a-ly

面積，已知在菱形ZBCD中，乙4=60。，AB=2.

【解析】如圖，過點B作BE14。于E,

???四邊形4BCD為菱形,

:.AD=AB=2,

在Rtz\ZBE中，乙4=60。，AB=2,

則BE=AB-sin4=2xJ=g,

菱形ABC。的面積為?BE=2X百=2V3,即a=2V3,

原式=』+(二+」7)

(a-1)2a-1a-1

_aa

(a-1)2a-1

_aa-1

(a-1)2a

_1_1

一a-1一273-1

2V3+1

=▼.

8.[2024重慶A卷,]在學(xué)習(xí)了矩形與菱形的相關(guān)知識后，智慧小組進(jìn)行了更深入的研究，

他們發(fā)現(xiàn)，過矩形的一條對角線的中點作這條對角線的垂線，與矩形兩邊相交的兩點和

這條對角線的兩個端點構(gòu)成的四邊形是菱形，可利用證明三角形全等得到此結(jié)論.根據(jù)他

們的想法與思路，完成以下作圈和填與

(1)如圖，在矩形ZBCD中，點。是對角線2C的中點.用尺規(guī)過點。作2C的垂線，分別

交AB,CD于點E,F,連接力F,CE(不寫作法，保留作圖痕跡).

(2)已知：矩形2BCD,點E,F分別在ZB,CD上，EF經(jīng)過對角線2C的中點。，且EF1AC.

求證：四邊形2ECF是菱形.

證明：???四邊形ABC。是矩形，

AB//CD.

.??①,乙FCO二Z.EAO.

???點。是2C的中點，

.?.②.

CFOW2\aEO(AAS).

???③.

又?:OA=OC,

???四邊形2ECF是平行四邊形.

???EF1AC,

四邊形2ECF是菱形.

進(jìn)一步思考，如果四邊形2BCD是平行四邊形呢?請你模仿題中表述，寫出你猜想的結(jié)論:

④

【解析】

(1)如圖.

(2)ZCFO=^AEO-,0C=0A-,OF=0E；過平行四邊形的一條對角線的中點作這條

對角線的垂線，與平行四邊形兩邊相交的兩點和這條對角線的兩個端點構(gòu)成的四邊形是

菱形.

9.[2024河源一模，]課本再現(xiàn)

思考

我們知道，矩形的對角線相等.反過來，對角線相等的平行四邊形是矩形嗎？

可以發(fā)現(xiàn)并證明矩形的一個判定定理：對角線相等的平行四邊形是矩形.

(1)為了證明該定理，小亮同學(xué)畫出了圖形，并寫出了“已知”和“求證”，請你幫助他

完成證明過程.

已知：如圖所示，已知回4BCD,對角線AC,BD相交于點。，且AC=BD.求證：囿4BCD是

矩形.

(2)利用尺規(guī)作乙4。。的平分線，交邊2。于點E(要求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡，

不寫作法，標(biāo)明字母).

(3)在(2)的條件下，延長E。交BC于點F.若ZE=2E。，求證：四邊形4BFE是正方

形.

【解析】

(1)證明：???四邊形4BCD是平行四邊形，AC=BD,：.OA=OB=OD=OC,：.乙OAB=

乙OBA,Z-DAO-匕ODA,?；Z.OAB+Z.OBA+Z-DAO+乙ODA-180°,Z.OAB+Z.DAO-

90°,/.DAB=90°,團(tuán)ABC。是矩形.

(2)如圖所示，OE即為所求.

(3)證明：???四邊形4BCD是矩形，0A=0D,乙EAB=^ABF=90°,vOE平分NA。。，

AEED,OE1AD,：.^AEF=90°,四邊形ZBFE是矩形，vAE=20E,易知EF=

2OE,AE=EF,矩形ZBEE是正方形.

提升練

10.[2024廣州一模，]如圖，點E為矩形ZBCD的邊CD的中點，點F為邊BC上一點，且

AFAE=LEAD,若BF=8,FC=2,則2F的長為（）

A.10B.4V5C.12D.2V41

【答案】C

【解析】如圖，過點E作EG12F于點G,連接EF,

???四邊形ABC。是矩形，BF=8,FC=2,

ND="=90°,AD=BC=BF+CF=10,

在△2DE和中，

(Z.EAD-Z.FAE,

Z￡)=^AGE=90°,

[AE=AE,

:.XADEWZkaGE(AAS),

.?.ED=EG,AD=AG=10,

???點E為CD的中點，

:.CE=DE=EG,

在Rt△ECF和Rt△EGF中，

cEF=EF,

ICE=EG,

Rt△ECF=RtAEGF(HL),

???FG=CF=2,

???AF=AG+FG=10+2=12.

11.[2024佛山一模，]如圖，矩形ABC。中，AB=4,BC=3,將矩形ABC。繞點2逆時

針旋轉(zhuǎn)得到矩形當(dāng)點C、L三點共線時，交DC于點E,則DE的長度是

()

【答案】A

【解析】如圖，連接AC,AC,

???四邊形ABC。為矩形，

/.ABC=^ADC=90°,BC=AD=3,DCAB4,

由旋轉(zhuǎn)可知，BC=B'C'=3,AC^AC,^ABC=^AB'C=90°,ZB'==4,

又???點C、B'、C'三點共線，

??.△ZCC'是等腰三角形，且4B'1CC,

B'C=B'C=3,

:.AD-B'C-3,

在△2?！?和4CB'E中，

f^AED=

\^ADE=乙CB'E,

{AD=B'C,

:.XADECB'E(AAS),

AE=CE,DE=B'E,

設(shè)ZE=x,則B'E=4—久=DE,

在中，DE2+AD2=AE2,

：.(4—%)2+32=%2,

解得％=個，

o

7

???DE=4—x=-.

8

12.[2023深圳模擬，]如圖，四邊形4BCD和四邊形2EFG均為正方形，點。為EF的中點,

若=2而，連接BF,則BF的長為()

A.4V5B.2V15C.5V3D.2V17

【答案】D

【解析】連接2F,將△2DF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到△口/,連接EP,

???四邊形2BCD和四邊形2EFG均為正方形，點D為EF的中點,

^AED=90°,4E=EF=2DE,4。==2通，^EAF=^AFE=45°,

DE=DF=2,AE=EF=2DE=4,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得ZR4F'=90。，AF^AF',LAF'B=^AFE=45°,BF'=DF=2,

：.Z.EAF'=45°=^EAF,

AE-AE,

EAF'三△EAF(SAS),

^AEF'=Z.AEF=90°,EF=EF'=4,^AF'E="FE=45°,

AFEF'=^AEF'+^AEF=180°,

???點F、E、尸三點共線，

v^AF'E=45°,^AF'B=45°,

乙BF'F=^AF'E+乙AF'B=90°,

???BF,=2,FF'=EF+EF'=8,

BF=422+82=2V17.

13.[2024東莞三模，]如圖，已知矩形(MCB在平面直角坐標(biāo)系中，4(10,0),B(0,6),點

P為BC邊上的動點，將AOBP沿0P折疊得至UAODP,連接CD、2D.則下列結(jié)論：①當(dāng)

NBOP=45。時，四邊形OBPD為正方形；②當(dāng)ZBOP=30。時，△04。的面積為15；③

點P在運(yùn)動過程中，CD長度的最小值為2后-6；④當(dāng)。。12。時，BP=2.其中正確的

結(jié)論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【解析】①???四邊形。2CB是矩形，

乙OBC=90°,

?.?將△OBP沿。P折疊得至1」4ODP,

；.OB=0D,乙PDO=AOBP=9?！?ABOP=ADOP,

當(dāng)乙BOP=45°時，

Z.DOP=Z.BOP=45°,

Z.BOD=90°,

Z.BOD=乙OBP=乙ODP=90°,

???四邊形OBPD是矩形，

???OB=0D,

四邊形OBPD為正方形，故①正確；

②過點D作?！?04于4，

???4(10,0),B(0,6),

:.OA-10,OB-6,

:.OD—OB—6,

當(dāng)乙BOP=Z.DOP=30。時，

Z.DOA=30°,

1

DH—2OD=3,

???△04。的面積為[。2?=]x3x10=15,故②正確;

③連接OC,

則。。+CD>0C,；0。的長度為定值，

.??當(dāng)。。+CD=0C,即。，D,C三點共線時，CD的長度取最小值,

vAC=OB=6,OA=10,

OC=^JOA2+AC2=V102+62=2V34,

:.CD=OC-OD=2V34-6,

即CD長度的最小值為2例-6,故③正確;

④當(dāng)。。12。時，

乙ADO=90°,

?:乙ODP=乙OBP=90°,

乙ADP=180°,

-.P,D,A三點共線，

???OA//CB,

：.乙OPB-Z-POA,

???乙OPB-乙OPD,

Z.OPA-Z.POA,

:.AP-OA-10,

"AC=6,

CP=V102-62=8,

BP=BC—CP=10—8=2,故④正確.

14.[2024廣州一模，汝口圖，點E為菱形2BCD的邊2。上一點，且2E=3,DE=2,點F為

對角線2C上一動點，若ADEF的周長的最小值為6,則sinNBCD=.

【答案】：

【解析】如圖，連接BF、BE,

???四邊形ABC。是菱形，AE=3,DE=2,

：.=4。=5,點。和點B關(guān)于AC對稱，乙BCD=乙BAD,

BF=DF,

???EF+DF=EF+BF>BE,

???△DEF的周長=DE+EF+DF>2+BE,

???△DEF的周長的最小值為6,

:.BE-4,

???AE2=9,BE2=16,AB2=25,

：.AE2+BE2AB2,??.△ABE是直角三角形，NZEB=90。，

■Ar-xBE4

**?s\xiZ-BAD=—=—f

AB5

4

???smZ-BCD=

5

15.[2024佛山二模,]如圖，在矩形4BCD中，點、M為CD中點，將△MBC沿BM翻折至△MBE,

若ZL4ME=15°,則NZBE=.

【答案】40°

【解析】：四邊形ZBCD是矩形,

ND=ZC=90°,AD=BC,

???點M為CD中點，

DM=MC,

.-.AADMBCM(SAS),

AM=BM,

Z.MAB-/.MBA,

???△時呂后由^MBC翻折得到，

:.乙CBM=LEBM,ZE=9O°,

設(shè)ZCBM=x,則ZEBM=x,^ABM=90°—光,

Z.MAB-90°-x,

^AMB=180°—^MAB-^ABM=2x,

在AMBE中，vZE=90°,

乙EMA+LAMB+乙EBM=90°,

即15°+2%+%=90°,%=25°,

^ABE=90°—2%=40°.

16.[2023深圳二模，]如圖，正方形4BCD的邊長為8,對角線AC,BD相交于點。，點M,

N分別在邊BC,C。上，且NMON=90。，連接MN交。C于P,若BM=2,則。P?OC=_

【答案】20

【解析】如圖，過點。作。E1BC于點E,

???四邊形2BCD為邊長為8的正方形,

OB=OC=OD,BC=8,BD1AC,

：.乙BOC=乙COD=90°,乙OBC=乙OCB=乙OCD=45°,

?:乙BOC=乙BOM+乙COM=90°,

AMON=乙COM+乙CON=90°,

Z.BOM=乙CON,

在^。8時和4OCN中，

乙BOM=ACON,

OB=OC,

，OBM=乙OCN,

OBMOCN(ASA),

OM=ON,

??.△MON為等腰直角三角形，

乙OMN=乙ONM=45°,

乙OMP=NOCM=45°,

,:乙POM-乙MOC,

???△OMP-AOCM,

OM_OP

OC-OM

AOP-OC=OM2,

???Z.BOC=90°,OB=OC,OE1BC,

1

?,.OE=BE=-BC=4,

2

：.ME=BE-BM=2,

在Rt^OME中，DM2=OE?+ME2=42+22=20,OP-OC20.

17」2024山東威海，］將一張矩形紙片（四邊形ZBCD）按如圖所示的方式翻折，使點C落

在上的點C'處，折痕為MN,點。落在點。處，交2。于點E.若BM=3,BC'=4,

AC=3,則。N=

【答案】I

【解析】???四邊形2BCD為矩形,

:，AD—BC,AB—CD,NZ=ZB=ZC=ZD=90°,

由翻折可知DN=D'N,CD=CD',ZC=^D'C'M=90°,=N。'=90。,

易證乙D'EN=^AEC=Z-BC'M,

在RtABC'M中，BM=3,BC'=4,

MC=^BM2+BC'2=5,

QQ

???siPBC'M=?ta’BC'M=?

在RtAZEL中,

ACrQ

siSC'=MC'M=Q=g

ACr

?."上=際%=5,

又???CD'=CD=AB=BC+AC=7,

ED'=CD'-C'E=2.

在Rtz\NE?中，

tan乙D'EN=tanNBC'M=/=三，

ED'4

???ND'=-EDr=-,

42

■2

DN=D'N=

2

18.[2024佛山一模，]綜合與實踐

數(shù)學(xué)活動課上，同學(xué)們用尺規(guī)作圖法探究在菱形內(nèi)部作一點，使其到該菱形三個頂點的

距離相等.

【動手操作】如圖，已知菱形2BCD,求作點E,使得點E到三個頂點4D,C的距離相

等.小紅同學(xué)設(shè)計如下作圖步驟：

①連接BD；

②分別以點4。為圓心，大于之2。的長為半徑分別在2。的上方與下方作弧，上方兩

弧交于點M,下方兩弧交于點N,作直線MN交BD于點E；

③連接ZE,EC,則瓦4=ED=EC.

（1）根據(jù)小紅同學(xué)設(shè)計的尺規(guī)作圖步驟，在圖中完成作圖（要求：用尺規(guī)作圖并保留

作圖痕跡）；

【證明結(jié)論】

（2）證明：E2=ED=EC；

【拓展延伸】

（3）當(dāng)乙4BC=72。時，求△EBC與△￡4。的面積比.

【解析】

（1）作圖如圖所示.

(2)證明：?.?四邊形2BCD為菱形，NZDE=乙CDE,AD=DC,在△4。后和^CDE中，

(AD=DC,

\^ADE=ACDE,ADECDE(SAS),AE=EC,由作圖知MN垂直平分4。，AE=

WE=DE,

DE,???AE=DE=EC.

(3)?在菱形ZBCD中，乙ABC=72。，乙ABD=乙DBC=36°,?:AD〃BC,：.zADB=

乙DBC=36°,Z.DAB=180°-^ABC=108°,?；AE=DE,Z,EAD=^ADB=36°,:.

LEAD=乙ABD,???^ADE=ZBDA,；.△ADE-ABDA,.?.處=竺，即人。2=BD?DE,

BDAD

???乙BAE=乙BAD-^EAD=72°,匕BEA=Z.EAD+^ADE=72°,?,?4BAE=ABEA,:.

2

BE=AB,設(shè)力3=x=BE=AD,DE=a(%>0,a>0),貝!J/=(%+a)-a,A%—ax—

a2=0,解得％=上且a或％=上空a(舍去)，???絲=如與又<△ADE=△CDE,S^EBC=

22DE2S^EAD

SAEBC_￡￡_絲_1+遮

S^EDCDEDE2

19.[2024云南，]如圖，在四邊形ABC。中，點E、F、G、”分別是各邊的中點，^.AB//CD,

AD/IBC,四邊形EFG”是矩形.

(1)求證：四邊形2BCD是菱形；

(2)若矩形EFG”的周長為22,四邊形2BCD的面積為10,求的長.

【解析】

(1)證明：VAB//CD,AD//BC,???四邊形2BCD為平行四邊形.如圖，連接AC、BD,

???￡\”分另|為48、2。的中點，；.EH//BD,???四邊形EFGH是矩形,EF1EH,.-.EF1BD,

?；E、F分別為ZB、BC的中點，EF〃2C,???BD12C,???平行四邊形2BCD為菱形.

(2)???￡1、”分別為AB、2D的中點，E”=390,同理FG=：BD,EF^^AC,HG=

?矩形EFG”的周長為22,???4C+BD=22,???四邊形2BCD為菱形，；.s菱形ABCD=

IAC-BD=10,AC-BD^20,v(AC+BD)2=AC2+2AC-BD+BD2,：.AC2+

BD2=444,如圖，設(shè)AC與BD交于點。，；.AO2+BO2=111,???BD1AC,AB2=AO2+

BO2=111,.-.AB=VTTl.

20.[2024山西，]綜合與探究

問題情境：如圖b四邊形4BCD是菱形，過點2作4E1BC于點E,過點C作CF1于

點F.

H

圖1圖2

猜想證明：

(1)判斷四邊形2ECF的形狀，并說明理由.

深入探究：

(2)將圖1中的AZBE繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△ZHG,點E,B的對應(yīng)點分別為點G,

H.

①如圖2,當(dāng)線段2”經(jīng)過點C時，G”所在直線分別與線段ZD,CD交于點M,M猜想線

段C”與MD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

②當(dāng)直線GH與直線CD垂直時，直線GH分別與直線2。，CD交于點M,N,直線2”與線

段CD交于點Q.若=5,BE=4,直接寫出四邊形4WVQ的面積.

【答案】(2)②［或個.

44

【解析】

(1)四邊形2ECF為矩形.理由如下:?.?ZE1BC,CF1AD,44EC=90。，乙4FC=90°.v

四邊形ABCD為菱形，AD//BC.：.^AFC+乙ECF=180°.乙ECF=180°—^AFC=

90。.；.四邊形曲/為矩形.

(2)①CH=MD.理由如下：

證法一：???四邊形ZBCD為菱形，??.AB=AD,LB=■將△4BE旋轉(zhuǎn)得至1」4AHG,AB=

AH,ZB=ZH..-.AH=AD,=zD.v^HAM=Z.DAC,HAMDAC.：.AM=AC.：.

AH-ACAD-AM..-.CH=MD.

證法二：如圖，連接

???四邊形2BCD為菱形，AB=AD,ZB=NTWCJ.?將△4BE旋轉(zhuǎn)得至1」4AHG,AB=AH,

ZB=^AHM.：,AH=AD,AAHM=^ADC.：?^AHD=^ADH.：?^AHD-^AHM=

^ADH-^ADC.：.乙MHD=乙CDH;；DH=HD,CDHMHD.：.CH=MD.

②詳解：在Rt△ABE中，ZE=yjAB2-BE2=3.vGH1CD,AB//CD,GH1AB,

又???乙46月=90。，.??點B,A,G三點共線.當(dāng)點“在4G的下方時，如圖1,

圖1

???AEIBC,AD//BC,???AE1AD,:.乙BAE+^MAG=90°,■:乙B+Z.BAE=90°,:.

AMMCIAdAM

AMAG=ZB=ZZ),???乙AEB=NG=90°,??.△AMG-△BAE,—=—=.?.—=

ABAEBE5

MG3159971

344444“以"2

1721

-X-X3=—,???S栗樂=BC?AE=CD?NG,：,NG=AE=3,??.NH=4-3=l.v

248麥形ABC。

ZB=ZH,ZAEB=乙QNH=90°,AEB-AQNH,：.翳=慌,二/=詈，;QN=：，

S&QNH-|QN-NH=|X|X1=I，S四邊形4MNQ=SAAMH-S^QNH=￡一|='當(dāng)"在

4G的上方時，如圖2,

4G=ZE=3,BG=5-3=2,?:ZB=,ZAGH=乙BGN=90°,AGH-△OGB,

冷標(biāo)q=1,A0G=1?易知GN=AE=3,.-.ON=GN~OG=3-l=l，.-.ON=

OG乙BOG=乙CON，乙BGO=乙ONC=90°,???△OBGOCN,??.CN=BG=2,?:

“，”rcHGAG43Rs21〃TTKT121.,―、

AGNQ,：.—=—,*,?—=—，:、NQ=—?*,*SkNOH=一NQ,HN=一X—X(z4+3)=

//yHNNQ4+3NQ“42y24vJ

3

BG.5__2_

個"="乙BGOjHND=90。：?4BGOSDNM,A—

MNDN'一MN-5+2

2121711721

c_c_C_14721_63

"3四邊形AMNQ一、ANQH-、AAHM一百一元二丁

21.[2024佛山二模，]綜合探究

已知點E是邊長為2的正方形4BCD內(nèi)部一個動點，始終保持乙4ED=90°.

【初步探究】

(1)如圖1,延長DE交邊BC于點F,當(dāng)點F是BC的中點時，求籌的值;

BFC

□

AD

圖1

【深入探究】

(2)如圖2,連接CE并延長，交邊2。于點M,當(dāng)點M是2D的中點時，求啜的值;

AE

BC

匚

AMD

圖2

【延伸探究】

(3)如圖3,連接BE并延長，交邊CD于點G,當(dāng)。G取得最大值時，求啜的值.

圖3

【解析】

(1)如圖1,???四邊形ZBCD為正方形，^AED=LADC=NC=90°,AB=BC=CD=

AD=2,：.Z2==90°-Z3,

圖1

.-.tanz2=tanzl,桑???點F是BC的中點…冷圻1

2

（2）延長DE交邊BC于點F,如圖2,

圖2

當(dāng)點M是2。的中點時，?"ED=9。。，MM=MD=ME=|aD=L”二人在

Rt△MDC中，MC=VMD2+CD2=Vl2+22=逐，CE=MC—ME=小—L???在

正方形2BC。中，AD//BC,Z2=Z4,???Z1=乙3,Z1=22,Z4=Z3,CF=CE=

V5-1,同⑴可得"="=更二.

AECB2

(3)延長DE交邊BC于點F,如圖3,

圖3

???2。=2,乙4ED=90。，.??點E在以4。為直徑的半圓（不含2、。點）上運(yùn)動，取的

中點。,連接。E,OB,???當(dāng)BE與半圓相切時，DG有最大值.???NBZD=90。且。4為半徑，

??.B4為半圓的切線，ZB=BE,.?.點B在線段4E的垂直平分線上，同理，點。在線段2E

的垂直平分線上，??.OB是線段2E的垂直平分線，.??乙1=NZED=90。，BO〃FD,又

???BC//4D,.?.四邊形BODF是平行四邊形..??。。=BE=1,FC=BC—BF=1.同（1）

微專題六矩形的折疊

1.[2023佛山一模]如圖，在矩形2BCD中，AB=4,BC=6,點E為BC的中點，WAABE

沿2E折疊，使點B落在矩形內(nèi)的點尸處，連接CF,貝UCF的長為（）

A.-B.-C.-D.-

5555

【答案】D

【解析】如圖，過E作EG1CF于G,

???將△4BE沿2E折疊，使點B落在矩形內(nèi)的點F處，點E為BC的中點，EB=EF=EC,

.?.△CEF是等腰三角形，

???G是CF的中點，EG平分ZCEF,又???EZ平分NBEF,

2乙4EF+24GEF=180°,

^AEF+ZGEF=90°,

即ZE1EG,

Z.BAE+Z-BEA=Z-BEA+Z.GEC—90°,:.乙BAE—乙GEC,

?:ZB=Z-EGC=90°,

.?.△ABE?△EGC,.?.殷=些，

ECGC

在矩形ABC。中，AB=4,BC=6,點E為BC的中點，即BE=CE=jx6=3,

在Rt△ABE中，AE=<AB2+BE2=V42+32=5,

53cc今

———9CG=一

3CG5

918

?"=2CG,.?"=2Xg-

2.如圖，把某矩形紙片2BCD沿EF,G”折疊（點E,”在2。邊上，點F,G在BC邊上），

使點B和點C落在邊上同一點P處，4點的對應(yīng)點為4,。點的對應(yīng)點為。，若4FPG=

90°,S^A,EP=8,SAD，PH=2，則矩形ABC。的邊的長為（）

Ar

R*GC

A.6V5+10B.6V10+5V2

C.3V5+10D.3V10+5V2

【答案】D

【解析】由折疊可得Z4PF=NB=90。，ZZTPG=ZC=90。，=NZ=90。，乙D'二

乙D=90°,

???Z.FPG=90°,^A'PD'=90°,

^A'PE+乙D'PH=乙4'PE+^A'EP=90°,:.^A'EP=乙D'PH,

又?:=z￡),=90°,

；.AAEP-△D'PH,

???四邊形ABC。是矩形,

???AB=CD,AD=BC,

設(shè)43=CD=%(%>0),

由折疊可知PA=AB=x,PDr=CD=x,

???S—，EP=8,S"PH=2，且4A'EP—△DrPH,

：.A'P'.D'H=A'E-,D'P=2,

?r

vPA!—x,?.DH=-2x,

_11_

,,ScbD’PH_3,%?5%—2Q,

%=2V2（舍去負(fù)值）.

AB=CD=A'P=D'P=2V2,AA'E=ZE=4伍D'H=DH=五,

：.PE=J(2//+(4V2)2=2V10,

PH=J(V2)2+(2V2)2=V10,

AD=4V2+2V10+V10+V2=5V2+3V10.

3.[2023深圳模擬]如圖，已知正方形ABC。的邊長為4,E是ZB延長線上一點，BE=2,

產(chǎn)是邊上一點，將ACEF沿CF翻折，使點E