2025高考數(shù)學(xué)專項訓(xùn)練：基本不等式及其應(yīng)用 【含答案】

2025高考數(shù)學(xué)考二輪熱點專題1-1基本不等式及其應(yīng)用-專項訓(xùn)

練

近4年考情(2020-2024)

考題統(tǒng)計考點分析考點要求

2020年天津卷：第14題，基本不等式及其應(yīng)用是是鬲

考的熱點，主要考查利用基

5分

本不等式求最值、求參數(shù)的

2021年乙卷：第8題，5

取值范圍等，常與函數(shù)結(jié)合(1)了解基本不等式的推

分

命題，題型以選擇題、填空導(dǎo)過程

2022年1卷：第12題，5題為主，也可作為工具出現(xiàn)(2)會用基本不等式解決

分在解答題中，應(yīng)適當關(guān)注利最值問題

用基本不等式大小判斷、求(3)理解基本不等式在實

最值和求取值范圍的問題；際問題中的應(yīng)用

2023年1卷：第22題，12

同時要注意基本不等式在立

分

體幾何、平面解析幾何等內(nèi)

容中的運用.

題型總覽1熱點題型解生(目錄)

\模塊一：核心題型?舉一反三

【題型1］基本不等式的直接使用.................................................2

【題型2】常規(guī)湊配法求最值....................................................3

【題型3】“1”的妙用(1):乘“1"法........................................4

【題型4】"1”的妙用(2):"1”的代換.......................................5

【題型5］二次比一次型.........................................................6

【題型6】分離常數(shù)型...........................................................6

【題型7】與指數(shù)對數(shù)結(jié)合的基本不等式問題......................................7

【題型8］利用對勾函數(shù).........................................................8

【題型9】判斷不等式是否能成立...............................................9

【題型10】換元法(整體思想)................................................10

【題型11］基本不等式的實際應(yīng)用問題..........................................12

【題型12】與a+b、平方和、融有關(guān)問題的最值(和，積，平方和互相轉(zhuǎn)化)...14

【題型131基本不等式恒成立與能成立問題.....................................15

\模塊二：學(xué)有余力拓展提升

【題型141消元法.............................................................16

【題型151因式分解型.........................................................17

【題型16】同除型（構(gòu)造齊次式）..............................................18

【題型17】萬能法........................................................19

【題型18】三角換元法（利用三角函數(shù)）........................................19

【題型19］基本不等式與其他知識交匯的最值問題..............................20

【題型20】含有根式的配湊（根式平方和為定值型）............................21

【題型21】多次運用基本不等式................................................21

模塊一1核心題型.舉一反三

【題型11基本不等式的直接使用

基礎(chǔ)知識

如果力那么一2,當且僅當”時，等號成立.其中，2叫

作°涉的算術(shù)平均數(shù)，J而叫作W的幾何平均數(shù).即正數(shù)""的算術(shù)平均數(shù)不小于

它們的幾何平均數(shù).

常用不等式：若a,beR,則/+匕匕？"，當且僅當4=匕時取等號;

a+b>4ab

基本不等式：若a，beR+,則可（或a+b2ab）,當且僅當。二%時取等

_弓_

1.若〃b>Ot且a+4〃=l,貝IJ/+16/的最小值是

25

—I—

2.若^=1°,則*，的最小值為

【鞏固練習(xí)1】若y>°,”丁，則孫的最小值為

【鞏固練習(xí)2】已知x>。，y>°,且x+2y=l,貝lj2'+4>的最小值是

【題型2】常規(guī)湊配法求最值

基礎(chǔ)知識

配湊法：加上一個數(shù)或減去一個數(shù)使和(積)為定值，然后利用基本不等式求解.

1、通過添項、拆項、變系數(shù)等方法湊成和為定值或積為定值的形式.

2、注意驗證取得條件.

常見的配湊法求最值模型

mx+—>2y/mn(jn>0,n>0)x=J—

(1)模型一：x,當且僅當V機時等號成立；

mxH——--=m(x—G)H——-——I-ma>2-Jmn+ma(m>0,〃>0)

⑵模型二：x-ax-a

f(%)—jy-|____

3.若x>2則'廠尤+2的最小值為.

4.已知a>2,貝lj2aH——的最小值是()

a—2

A.6B.8C.10D.12

4

f(x)—3x+2H-------

【鞏固練習(xí)1】函數(shù)X+1(無>。)的最小值為

13

--------1--------

【鞏固練習(xí)2】已知正數(shù)”，人滿足。+36=4,則a+1b+1的最小值為

3f+3?f

【鞏固練習(xí)3】已知/>0,則%+1的最小值為.

【題型3]"1"的妙用（1）:乘“1”法

基礎(chǔ)知識

方法總結(jié)：乘“1”法就是指湊出1,利用乘“1”后值不變這個性質(zhì)，使不等式通過

變形出來后達到運用基本不等式的條件，即積為定值.

abab

----1--------1----

主要解決形如“已知x+片立為常數(shù)），求xy的最值”的問題，先將》了轉(zhuǎn)化為

dt,再用基本不等式求最值

注意：驗證取得條件.

12

----1----

5.（2023.廣東廣雅中學(xué)校考）若正實數(shù)a,6滿足。+處=1,則。人的最小值是

6.（2024?江蘇南通二模）設(shè)尤>。，則>的最小值為（）

33rr

―/——卜<2

A.2B,2^2C,2D,3

【鞏固練習(xí)1】已知x>0，y>°且x+2y=呼，貝產(chǎn)+2y的最小值是.

92

----1----

【鞏固練習(xí)2】若且無+2>=5,則x>的最小值為

121

cx+2y=--+—

【鞏固練習(xí)3】已知x>°,且2,則*y的最小值為

【題型4】“1”的妙用（2）:“1”的代換

基礎(chǔ)知識

方法總結(jié)：通過常數(shù)“1”的代換，把求解目標化為可以使用基本不等式求最值的式

子，達到解題目的.

1a

--1--

7.已知b>。,a+b=l,則〃刀的最小值為.

21

—I---

8.已知實數(shù)乙>>°滿足》+戶1,則x盯的最小值為（）

A.6B.4+2及C.4+26D,8

1a

—I—

【鞏固練習(xí)1】若。>0,b>0、且a+46=l,貝［Ja6有最小是

1±Z+1

【鞏固練習(xí)2】正實數(shù)一,滿足x+〉=l,則xV的最小值是（）

_11

A.3+20B.2+2A/2C.5D,2

y2+x

【鞏固練習(xí)3】（2024?安徽?三模）已知工〉。，”。，且2x+y”則町的最小值為

（）

A.4B.40c.40+1D.2A/2+1

【題型5］二次比一次型

基礎(chǔ)知識

----<—苴----(tz>0,c>0)i~

2

ax+for+cax+b+—2Jac+bx=j￡

基本模型:%,當且僅當V。時等號成

立

9■已知%>0,則次薩的最小值為()

A.5B.3C.-5D.一5或3

%2+%+3/_\

y=----------(%>2)

10.函數(shù).X-2的最小值為

%2+x+4

y-

【鞏固練習(xí)1】已知x>T,則函數(shù).x+1的最小值是.

孫

【鞏固練習(xí)2】已知正數(shù)羽/滿足無+2y=3,則無+8〉的最大值為.

【鞏固練習(xí)3】已知X,"為正實數(shù)，且％+y=l,則裳生的最小值為()

A.24B.25C.6+4V2D.6近-3

【題型6】分離常數(shù)型

基礎(chǔ)知識

方法總結(jié)：對于分子分母中含有相同單一字母時，可以考慮分離常數(shù)

y=X+=X+-+i=X+—+2>4

例1：.XXXX(x>0)

y=2尤+上二=2（1）+為+71r2（x+l）+2+71T

例2:x-1

Y-jy-|----------------

11.若X>1,則函數(shù)XT的最小值為（）

A.4B.5C,7D,9

x+2y+27

2x+y=3,貝x+2+>的最小值為（）

【鞏固練習(xí)1】已知》>-2,y>0

A.4B,6C.8D.10

..2x?+3x+8

/r（x）=2

【鞏固練習(xí)2】函數(shù)x+x+4在xeR上的值域是

【題型7】與指數(shù)對數(shù)結(jié)合的基本不等式問題

方法總結(jié)：結(jié)合指數(shù)對數(shù)的計算公式變形得出積為定值或和為定值的形式，再利用基

本不等式求解

12.（多選）已知1。"=2,102〃=5則下列結(jié)論正確的是（）

71

ab<—

Aa+2Z?=lB.8

2

Cab>lg2D.a>b

13.（2020?山東?高考真題）（多選）已知a>0,b>0,且a+Z?=l,貝IJ（）

a2+b2>->-

A.2B.2

Qlog2a+log2b>-2D+\[b<

【鞏固練習(xí)1】（2023廣東廣雅中學(xué)?？迹┤粽龑崝?shù)a,6滿足。+%=1,則于+型的最

小值是______

【鞏固練習(xí)2】已知實數(shù)劉丁滿足x+3>=2,貝曠=3'+27，'+1的最小值是.

【鞏固練習(xí)3】（多選）已知3、=4〉=12,則實數(shù)，,滿足（）

A.%>，B1+”4

111

cxy2Dxy>4

【題型8】利用對勾函數(shù)

基礎(chǔ)知識

當無法取等時需要結(jié)合對勾函數(shù)圖像，利用單調(diào)性來得出最值

4

XH-----

14.當尤22時，2的最小值為.

15.已知函數(shù)/（x）=|lgx|.若0<"匕,且/（a）=FS）,則。+4。的取值范圍是（）

A（4,+oo）B4,+oo）?（5,+°°）D叵+⑼

5

【鞏固練習(xí)1】函數(shù)y=x+x+1（xN2）取得最小值時的X值為.

【鞏固練習(xí)2]已知函數(shù)/3=歸才+2,若實數(shù)a乃滿足6＞。＞0,且/⑷=/（份,

則a+2b

的取值范圍是.

【鞏固練習(xí)3】若對任意”41'2】，儂2一（九+1卜一14°恒成立，求實數(shù)加的取值范圍

【題型9】判斷不等式是否能成立

基礎(chǔ)知識

（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正數(shù),

定”指求最值時和或積為定值，“三相等”指滿足等號成立的條件.

（2）連續(xù)使用不等式要注意取得一致.

16.（多選）下列函數(shù)中，最小值為2的是（)

y=—+—+1y=yjx2+4+

A.4xB.

1

L-L(0<x<l)

y=12-x+,2+x

c.2X1-xD.

【鞏固練習(xí)1】下列不等式證明過程正確的是（）

ba、Jba.

-+->2J——=2

A若7則ab\ab

B.若x>0,y>0,則炮龍+lg”2jlg-gy

4臼十-4

XH—

C.若x<0,貝IJX

D.若x<0,則2'+2T>2萬？^=2

【鞏固練習(xí)2】（多選）下列命題中，真命題的是（）

A.VxeR,者B有爐7"-1

_4_

B,土?1，+°°）,使得尤+二一

C.任意非零實數(shù)都有"b

,、J尤2+1+/4

D.若"⑵網(wǎng)，則在+1的最小值為4

【鞏固練習(xí)3】（多選）下面結(jié)論正確的是（）

x<-2x+—^—

A.若2,則2x7的最大值是-I

：國+5

B.函數(shù)J后的最小值是2

?別）的值域是

xe

c.函數(shù).尤（

D.x＞。，、＞。且無+尸2,貝［jy+1尤的最小值是3

【題型101換元法（整體思想）

基礎(chǔ)知識

對于兩個分式的最值問題可以考慮整體法或換元法配湊

整體配湊法原理是把目標當作一個整體，然后利用基本不等式求最值.

單分母換元：當2個分母的和為定值，可以把其中一個分母進行換元

雙分母換元：當2個分母均為字母加減常數(shù)時，可以把2個分母都換元

0<?<l

17.（單分母換元）已知2,則2a1-2a的最小值是______

A.6B.8C.4D.9

a4b

------1------

18.（雙分母換元）已知正數(shù)少6滿足。+6=2,貝lja+l6+1的最大值是（）

9n7

--C-

A2B4D3

匕

—I---16-x-

19.已知z,9為正實數(shù)，則x2x+y的最小值為（）

A.6B.5C,4D,3

19

—I----

【鞏固練習(xí)1】已知4+b+c=l,其中a,b,O0,貝Ijab+c的最小值

為.

121

----1----=—

【鞏固練習(xí)2】已知實數(shù)且”+1b-23,則2a+b的最小值

是?

4a+b

【鞏固練習(xí)3】若〃>。，b>0,c>0a+b+c=2貝c的最小值

為.

11

,------1-----

【鞏固練習(xí)4】若正實數(shù)滿足。+6=1,則。+262a+b最小值為

228

—I----------1-----------------

【鞏固練習(xí)5】已知生b,c均為正實數(shù)，"+ac=4,貝［Jab+c6的最小值

是■

【題型111基本不等式的實際應(yīng)用問題

基礎(chǔ)知識。

不等式的應(yīng)用題常以函數(shù)為背景，多是解決現(xiàn)實生活、生產(chǎn)中的優(yōu)化問題，在解

題中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型是關(guān)鍵，重點培養(yǎng)數(shù)

學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

調(diào)和平均數(shù)W幾何平均數(shù)W算術(shù)平均數(shù)W平方平均數(shù)：

若a,beR+,則°石（當且僅當時取“=”）

20.數(shù)學(xué)命題的證明方式有很多種.利用圖形證明就是一種方式.現(xiàn)有如圖所示圖

形，在等腰直角三角形中，點。為斜邊的中點，點。為斜邊ZI6上異于

頂點的一個動點，設(shè)AD=,BD=b,用該圖形能證明的不等式為（）

(Q>0,b>0)2ab<\[ab(a>0,b>0)

A.2B.a+b

a+bI"+/2/x

丁氣〉

c.S°R0)Da2+b2>2\[ab^a>0,b>0)

21.小李從甲地到乙地的平均速度為J從乙地到甲地的平均速度為他往

返甲乙兩地的平均速度為匕則（）

a+b

v=------

A.2Bv=4ab

r~ra+b

7ab<v<------

C.2Db<v<'jab

【鞏固練習(xí)1】原油作為“工業(yè)血液”、“黑色黃金”，其價格的波動牽動著整個化工

產(chǎn)業(yè)甚至世界經(jīng)濟.小李在某段時間內(nèi)共加油兩次，這段時間燃油價格有升有降，現(xiàn)

小李有兩種加油方案：第一種方案是每次加油40升，第二種方案是每次加油200元，

則下列說法正確的是（）

A.第一種方案更劃算

B.第二種方案更劃算

C兩種方案一樣

D.無法確定

【鞏固練習(xí)2】《幾何原本》中的幾何代數(shù)法（用幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方

數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一方法，很多代數(shù)公理、定理都能夠通過圖形實

現(xiàn)證明，因此這種方法也被稱之為“無字證明”.如圖所示，是半圓O的直徑，點

C是上一點（不同于4B,O）,點D在半圓。上，且CDL4B,CELOD于點

E,設(shè)〃C=a,BC=b,則該圖形可以完成的“無字證明”為（）

A.V<——(?>0,b>0)

+2

B.—~2-<--—(a>0,b>0,a片垃

C.V(a>0,6>0)

D.——<V<—-2—(〃>0,b>0,a手垃

【鞏固練習(xí)3】（多選）給出下面四個結(jié)論，其中不正確的是（）

A.兩次購買同一種物品，可以用兩種不同的策略，第一種是不考慮物品價格的升降,

每次購買這種物品所花的錢數(shù)一定；第二種是不考慮物品價格的升降，每次購買這種

物品的數(shù)量一定.則若〃次（"22）購買同一物品，用第一種策略比較經(jīng)濟

8.若二次函數(shù)式2）=24&!+42-1（。#0）在區(qū)間（-1,1）內(nèi)恰有一個零點，則由零點存

在定理知，實數(shù)。的取值范圍是（-Lo）U（o,W）

824

C.已知函數(shù)/N）=|lg亂若且人〃）=/6）,則36+2〃的取值范圍是

[2>/6,+OO）

D.設(shè)矩形的周長為24,把沿ZC向△ZDC折疊，Z2折過去后

交DC于點P,設(shè)月B=z,則△月DP的面積是關(guān)于z的函數(shù)且最大值為108-70拒

【題型12]與a+b.平方和、ab有關(guān)問題的最值（和，積，平方和互相轉(zhuǎn)

化）

基礎(chǔ)知識

利用基本不等式變形求解

（a+Z?）2a2+b2

ab<----—<----

常用不等式鏈：42（主要用于和積轉(zhuǎn)換）

22.(2024?遼寧葫蘆島?二模)若a＞。，。＞。二"+。+?=3,貝"+2b的最小值是

()

V2

A.2B.1

3A/2

C.2D.2

23.（2024?重慶渝中?模擬預(yù)測）（多選）已知實數(shù)為'滿足無心-2一2孫=1,則

Ax+2y<lBX+2y>—2

Cx2+4y2<2Dx2+4y2>1

【鞏固練習(xí)1】已知實數(shù)J分茜足/+4/-必=1,則。2+4/的最大值為

3

…八a+b7-ab7=—

【鞏固練習(xí)2】（多選題）（2024?高三,海南?期末）已知。＞。力＞。，且4,

則（）

19

0<tzZ?<—ab>—

Aa-\-b>3B.4或4

(a-l)2+(fe-l)2<i1J+34-4

C.2D.ab3或ab

【鞏固練習(xí)3】（多選題）已知正數(shù)x，＞滿足1+-+丁=9,則（）

A.孫0Bx?+J26

Cx+y<2>/3Dx+y>6

【題型131基本不等式恒成立與能成立問題

基礎(chǔ)知識

YxeM,使得/0）一。，等價于/⑺加…"，YxwM,使得/（X）”。，等價于

/⑺2a

BxeMf使得f（x）..a,等價于了。）1T1ax..a,3xeMf使得了（戲，。,等價于

/(X)1nin”

__1____1—_2

24.已知x>0，y>0,且x+2y3,若x+y>療+3"恒成立，則實數(shù)機的取值范圍

是（）

A.（T6）B.（-3,。）C.I/）D.（1⑶

-L+l=2

【鞏固練習(xí)1】已知x>°，y>°,且x+2y7,若無+2+、>〃廣+5〃1恒成立，則實數(shù)

機的取值范圍是（）

A.（T7）B.（-2,7）c.（T,2）D.（—7,2）

【鞏固練習(xí)2】已知x>。，且》+”=孫，若不等式恒成立，貝|j的取

值范圍是（）

A.（-刃向B.（F」6]c.（-8,8]口,（一°°⑼

【鞏固練習(xí)3】若兩個正實數(shù)蒼y滿足"+2'=個，且存在這樣的工'使不等式

2x+y（蘇+8加有解，則實數(shù)加的取值范圍是（）

A.㈠⑼B.fl）

C（-<?,-9）u（l,+oo）D（y,-l）U（9,+℃）

【鞏固練習(xí)4】若存在x?l，3],使不等式M_2?x+a+2M。成立，則a的取值范圍

為.

模塊二1學(xué)有余力?拓展提升

【題型141消元法

基礎(chǔ)知識

消元法：當所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時，通?？紤]利用已知條件消去部分變

量后，湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式，最后利用基本不等式求最值.

25.已知x〉0,y>0,xy+2x-y-10,貝+y的最小值為

【鞏固練習(xí)1】若a>0,b>0,ab=2,則的最小值為

0^+1-----------

【鞏固練習(xí)2】（2024?浙江嘉興,二模）若正數(shù)久,y滿足好一2xy+2=0,則％+y的最

小值是（）

A.V6B.當C.2V2D.2

【鞏固練習(xí)3】（2024?重慶?模擬預(yù)測）（多選）已知%>°廣>°,且工+丫+個-3=0,則

（）

A."的取值范圍是1I⑼

B.x+y的取值范圍是［2,3）

C.'+4y的最小值是3

D.*+2》的最小值是40-3Ex+4y>3

【題型151因式分解型

基礎(chǔ)知識

含有利+勿+"肛這類結(jié)構(gòu)的式子，可以考慮因式分解配湊成（公+1）（"+1）的

結(jié)構(gòu)，再結(jié)合整體思想來求最值

26.（重慶巴蜀中學(xué)?？迹┮阎?0,且町+尤-2y=4,則2x+y的最小值是

2x+y+2xy=—_

【鞏固練習(xí)1】設(shè)x,y為正實數(shù)，若■'4,則2x+y的最小值是（）

A.4B.3C.2D.1

x2y

--------1---------

【鞏固練習(xí)2】若彳＞。，、＞。且％+丁=孫，則x-i＞T的最小值為

【鞏固練習(xí)3】（2024?江蘇南京三模）若實數(shù)無》滿足2V+盯-V=l,貝|j

x-2y

5尤2-2孫+2丁的最大值為

【題型16】同除型（構(gòu)造齊次式）

基礎(chǔ)知識

齊次化就是含有多元的問題，通過分子、分母同時除以得到一個整體，然后轉(zhuǎn)化為運

用基本不等式進行求解.

xy

27.設(shè)正實數(shù)X、）、z滿足4--3個+/一z=O,則丁的最大值為

A.0B,2C,1D,3

【鞏固練習(xí)1］已知正實數(shù)工，？滿足5/+4g-爐=1,12/+8g的最小值為

1--

【鞏固練習(xí)2】已知x>。，V>°,x3+y3=x-y,則y2的最小值是（）

A.2B.2+百C.&+2D.20+2

【題型171萬能法

求啥設(shè)啥，利用一元二次方程有實數(shù)根時ANO.

28.（2024.湖南衡陽.模擬預(yù)測）已知實數(shù)％兀滿足Y+孫+3寸=3,貝產(chǎn)+'的最大

值為（

3VTT6VTT一+1■+3

A.11B,丁C.3D.3

【鞏固練習(xí)1】若正數(shù)。，b,c滿足/+/+/_"一歷=1,貝卜的最大值是.

【鞏固練習(xí)2】（重慶巴蜀中學(xué)?？迹┮阎獙崝?shù)J'滿足=1,則的最

小值為_______

24

【鞏固練習(xí)3】已知正實數(shù)2、？滿足x+—+3y+—=10則即的取值范圍是

【題型18］三角換元法（利用三角函數(shù)）

出現(xiàn)平方和結(jié)構(gòu)（ma2+心形式，引入三角函數(shù)表示“和8

29.若x,y滿足￡+V=L則缶的最大值為

30.（多選題）若x,"滿足*+V+孫=1,則（）.

工<2也

A.3

x2+y2<-尤2+y2w2

C.2D.一3

X22-

-r+y=1萬一、，

【鞏固練習(xí)1］若x,"滿足4,則V2x+y的最大值為

【鞏固練習(xí)2】已知實數(shù)元》滿足/一2q+2y2=l,則f-2y的最大值為.

【題型191基本不等式與其他知識交匯的最值問題

基礎(chǔ)知識

利用基本不等式求最值往往交匯考查，多涉及數(shù)列、三角、向量、解析幾何、立體幾

何等問題中有關(guān)最值的求法.

片+匚1

31.（2024?寧夏銀川?二模）已知43,0）,8（-3,0）,。是橢圓2516上的任意一點，

貝『尸川"尸8|的最大值為

32.（2024.江西.模擬預(yù)測）已知圓&T>+（'T）2=l關(guān)于直線

b1+2〃

辦+辦-1=0（“>0,6>0）對稱，則ab的最小值為（）

A.3B.3+2&C,2D.2+2收

【鞏固練習(xí)1】（2024蘇錫常鎮(zhèn)二模）已知隨機變量4~陽1。2）,且

14

PC京0）=PCa）,則［+力zn<%<G）的最小值為

9

A.9B.-C.4D.6

2

［鞏固練習(xí)2］若直線依-外+2=0（a>0,6>0）被圓_?+「+以-451=0,所截得的弦

23

—I—

長為6,則。方的最小值為.

【鞏固練習(xí)3】已知過拋物線丁=4尤的焦點/的直線交拋物線于4（%，%）,W/，為）兩

點,貝1+4網(wǎng)的最小值為（）

A.4B.8C.9D.12

【題型20】含有根式的配湊（根式平方和為定值型）

基礎(chǔ)知識

對于以2+外2="，求:Jl+y2最大值

可以設(shè)C=J1+J,配好系數(shù)后的/與/可以湊出定值

2_____

33.已知羽y為正實數(shù)，且％2+］=1,求的最大值

2

【鞏固練習(xí)1］若z>0,j>0,且2丁2+《=8,則H6+2成的最大值為

【鞏固練習(xí)2】已知生b是正實數(shù)，且2d+3〃=10,求川2+廿的最大值.

【題型21】多次運用基本不等式

基礎(chǔ)知識

多次運用不等式求最值，取到最值時要注意的是每次取等的條件是否一致.

34.已知正實數(shù)a,b,滿足。+/?2/+今貝IJa+b的最小值為（）

A.5B.IC,5V2D.苧

8ab2+a16

j-------1----

【鞏固練習(xí)1】對任意的正實數(shù)a，6，c,滿足6+c=l,則bea+1的最小值

為.

5-8孫

【鞏固練習(xí)2】已知正實數(shù)X、人z滿足Y+V+Z2=1,則z的最小值是（）

A.6B,5C.4D.

參考答案與詳細解析

模塊一X核心題型?舉一反三

【題型1】基本不等式的直接使用

基礎(chǔ)知識

L,a+ba+b

n,nyjab<--------

如果那么2,當且僅當。=匕時，等號成立.其中，2叫

作°方的算術(shù)平均數(shù)，而叫作的幾何平均數(shù).即正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于

它們的幾何平均數(shù).

常用不等式：若a，bwR,則當且僅當4=6時取等號；

基本不等式：若a,beR+,則2（或。+心2而），當且僅當。=匕時取等

1.若a〉0,b>0,且a+4b=1,貝產(chǎn)2+16好的最小值是

1

【答案】2

［詳解］/+16加22x4",貝”2（4+16/”4+1662+2x4"=（4+46）2,

9?（Q+4〃）211

a+16b>---------=—a=4b=—

所以22,當且僅當2時，等號成立，

所以"+16/有最小值萬

25

—I—

2.若尤>0,y>0,孫=10,則尤丁的最小值為.

【答案】2

25c的?

【簡析】x>Y孫

【鞏固練習(xí)1】若*y，則孫的最小值為

4

【答案】25

14rrrr44

-+-=10>2—=>5>—=>25>—^xy>—

【簡析】％yN孫w孫25

【鞏固練習(xí)2】已知x>。，且x+2y=l,則2，+4,的最小值是

【答案】2夜

［詳解］由于廳>0,4>>0,所以2,+4,22jF7=2jF7=20,當且僅當天

時等號成立

【題型2】常規(guī)湊配法求最值

基礎(chǔ)知識

配湊法：加上一個數(shù)或減去一個數(shù)使和（積）為定值，然后利用基本不等式求解.

1、通過添項、拆項、變系數(shù)等方法湊成和為定值或積為定值的形式.

2、注意驗證取得條件.

常見的配湊法求最值模型

mx+—>2y[mn(m>0,n>0)元=J—

⑴模型一：元,當且僅當V機時等號成立;

mxH——--=m(x—a)-\——-——卜ma>2ylmn+ma(m>0,n>0)

(2)模型二：x~ax-a,當且僅當

時等號成立

f(%)=x----

3.若工>-2,貝|Jvx+2的最小值為.

【答案】0

x+2>0,--->0

【解析】由%2,得%+2,

f(x)=x-\——--=x+2d——---2>2.(x+2)x---2=0

所以x+2x+2Vx+1

x+2=---

當且僅當冗+2即時等號成立.

4.已知a>2,貝［|2aH—三的最小值是()

CL—Z

A.6B.8C.10D.12

【解題思路】利用基本不等式性質(zhì)求解即可.

【解答過程】因為a>2,所以a-2>0

所以2a+—=2(a-2)+—+4>2V16+4=12,

a—2a—2

當且僅當2(a-2)=』-,即a=4時，等號成立.

pa—2

所以2a+三的最小值為12.