2025屆高考數(shù)學(xué)解三角形十類題型（解析版）

解三角形十類題型匯總

近4年考情(2021-2024)

考題統(tǒng)計(jì)考點(diǎn)分析考點(diǎn)要求

2024年I卷第15題，13分

2024年H卷第15題，13分

2024年甲卷第11題，5分高考對(duì)本節(jié)的考查不會(huì)有大的變(1)正弦定理、余弦定理及

化，仍將以考查正余弦定理的基本其變形

2023年I卷H卷第17題，10分

使用、面積公式的應(yīng)用為主.從近(2)三角形的面積公式并能

2023年甲卷第16題，5分五年的全國(guó)卷的考查情況來看，本應(yīng)用

節(jié)是高考的熱點(diǎn)，主要以考查正余(3)實(shí)際應(yīng)用

2023年乙卷第18題，12分

弦定理的應(yīng)用和面積公式為主.(4)三角恒等變換

2022年I卷II卷第18題，12分

2021年I卷II卷第20題，12分

模塊一L熱點(diǎn)題型解讀(目錄)

【題型1】拆角與湊角......................................................................2

類型一出現(xiàn)了3個(gè)角(拆角)..............................................................2

類型二湊角...............................................................................4

類型三拆角后再用輔助角公式合并求角.....................................................6

類型四通過誘導(dǎo)公式統(tǒng)一函數(shù)名............................................................8

【題型2】利用余弦定理化簡(jiǎn)等式...........................................................9

類型一出現(xiàn)了角或邊的平方...............................................................9

類型二出現(xiàn)角的余弦(正弦走不通).......................................................12

【題型3】周長(zhǎng)與面積相關(guān)計(jì)算............................................................14

類型一面積相關(guān)計(jì)算.....................................................................14

類型二周長(zhǎng)的相關(guān)計(jì)算...................................................................17

【題型4】倍角關(guān)系......................................................................21

類型一倍角關(guān)系的證明和應(yīng)用.............................................................21

類型二擴(kuò)角降賽.........................................................................24

類型三圖形中二倍角的處理..............................................................25

【題型5】角平分線相關(guān)計(jì)算..............................................................29

【題型6］中線相關(guān)計(jì)算..................................................................34

【題型7】高線線相關(guān)計(jì)算................................................................40

【題型8】其它中間線....................................................................43

【題型9】三角形解的個(gè)數(shù)問題...........................................................52

【題型10］解三角形的實(shí)際應(yīng)用...........................................................55

類型一距離問題.........................................................................56

類型二高度問題.........................................................................58

模塊二核心題型?舉一反三（講與練）

【題型1］拆角與湊角

（1）正弦定理的應(yīng)用

①邊化角，角化邊oa:/?:c=sinA:sin6:sinC

②大邊對(duì)大角大角對(duì)大邊

a>>oA>BosinA>sin3ocosAvcosB

4人、，a+b+ca+bb+ca+cabc

③合分比：-----------------=-----------=-----------=-----------=-----=-----=-----

sinA+sinB+sinCsinA+sinBsinB+sinCsinA+sinCsinAsinBsinC

(2)AABC內(nèi)角和定理(結(jié)合誘導(dǎo)公式)：A+B+C=TI

①sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBoc=QCOS5+Z?cosA

同理有：a=bcosC-^-ccosB,b=ccosA-^-acosC.

②一cosC=cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB；

tanA+tanB

③斜三角形中-tanC=tan(A+B)=otanA+tan5+tanC=tanA?tan5?tanC

1-tanA-tanB

④sin也馬=cos-；cos(小烏=sin-

2222

類型一出現(xiàn)了3個(gè)角（拆角）

,.,2b—13ccosCa_

1.在&4BC中，一件—=-----，求A的值

J3acosA

71

【答案】一

6

.2b73ccosC?4er2sin8一百sinCcosC

【訐解】因?yàn)橐籔—=--------,所以由正弦定理可得......—-------=------

,3acosAV3sinAcosA

2sinBcosA=^3sinAcosC+退sinCcosA=石sin(A+C)=6sinB

因?yàn)閟inBwO,所以COSA=3,因?yàn)锳e(0,兀)，所以A=〃.

【鞏固練習(xí)1】ZiABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且6=2csin[A+?],求C.

n

【答案】一

6

兀

解：因?yàn)閎=2csin(An——),在aABC中，由正弦定理得，

6

sinB=2sinCsin(A+—),又因?yàn)閟inB=sin{n-A-C)=sin(A+C),

6

71

所以sin(A+C)=2sinCsin(AH——),

6

展開得sinAcosC+cosAsinC=2sinC-^-sinA+—cosA

[22J

sinAcosC-百sinCsinA=0

因?yàn)閟inAWO,故cosC=6sinC,tanC=^^

3

TC

又因?yàn)镃w(o，兀)，所以c=—

6

【鞏固練習(xí)2】(湛江一模)在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為〃，b,c,已知,=2cos],-C

求A.

IT

【答案】A=y

6

【詳解】2cos(g-c]=2coscosC+2sinysinC=cosC+sinC,

所以2二cosC+石sinC,ikb=y/3asinC+acosC.

a

由正弦定理得sinB=^3sinAsinC+sinAcosC,又5=兀一(A+C),

所以$1115=$111[兀一(4+(7)]=5111(24+0)=石$1117151110+511124?05(7,

故sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+^3sinAsinC,

CG(0,兀),sinCW0,所以cosA=sinA,即tanA=,A￡(0,7i),故A=q.

類型二湊角

c

2.在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為“，b,,已知20cosA?cos3+6cos2A=gc-b,求角A

【答案】(1)A=T

6

【詳解】因?yàn)?acosA?cos5+bcos2A=,

所以2QCOSAcosb+Z?(cos2A+l)=>/§c,

即2acosAcosB+2bcos2A=百c,

由正弦定理得2sinAcosAcosB+2sin5cos2A=y/3sinC,

2cosA(sinAcosB+sinBcosA)=^3sinC,

2cosAsin(A+B)=V3sinC,即2cosAsinC=GsinC,JLsinC>0,

所以cosA=/,AG(O,7T),則A=,

【鞏固練習(xí)11(2024屆?廣州?階段練習(xí))已知“1BC中角A,B,C的對(duì)邊分別為“，b,c,滿足

ch

—cosB+—cosC=3cosC,求sinC的值

aa

【答案】巫

3

【分析】已知等式利用正弦定理邊化角，或利用余弦定理角化邊，化簡(jiǎn)可求sinC的值；

rh

【詳解】(1)解法一：由一cos5+—cosC=3cosC,得ccos5+/?cosC=3〃cosC.

aa

nhc

由正弦定理^--=-——=得sinCeosB+sinBcosC=3sinAcosC,

sinAsinBsinC

所以sin(B+C)=3sinAcosC,

由于A+3+C=TI,所以sin(B+C)=sin(;i-A)=sinA,則sinA=3sinAcosC.

因?yàn)镺VAVTI,所以sinAwO,cos。=；?

因?yàn)?<C<7T,所以sinC=Jl-cos2c=￥.

cb

解法二：由一cosB+—cosC=3cosC,ccosB+ftcosC=3acosC.

aa

〃2?「2_A-22z_2_2

所以由余弦定理得c+b=3acosC,

2ac2ab

化簡(jiǎn)得Q=3d!COSC,即COSC=；,

因?yàn)镺<C<7I,所以sinC=Jl-cos2c

3

【鞏固練習(xí)2】在41BC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為凡氏c,且一二+三=三+—求

cosBcosCcosAcosBcosC

tanBtanC.

【答案】tanBtanC=—

2

bca3a

【詳解】因?yàn)?----1-----------1---------

cosBcosCcosAcosBcosC

bcosC+ccosB_acosBcosC+3acosA

即(ZTCOSC+ccosB)COSA=a(cosBcosC+3cosA),

cosBcosCcosAcosBcosC

由正弦定理得(sinBcosC+sinCcosB)cosA=sinA(cosBcosC+3cosA),

所以sin(B+C)cosA=sinA(cosBcosC+3cosA),

即sinAcosA=sinA(cosBcosC+3cosA),

0vAv兀，則sinA>0,故cosBcosC+2cosA=0,

即cosBcosC-2cos(B+C)=0,也即cosBcosC-2cosBcosC+2sinBsinC=0,/.2sinBsinC=cosBcosC,

所以tanBtanC=g.

【鞏固練習(xí)316asin-A--+--JB=csinA,求角C的大小.

2

2兀

【答案】——

3

也asin"+'=csinA=>布sinAsin|---|=sinCsinA=^>A^COS—=sinC

21222

A/3COS—=2sin—cos—=百=2sin—sin—=也nC7i-2兀

——=_nc=—

222222233

【鞏固練習(xí)4】已知△A3C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且百bcos=csin5,求C

【答案】（1）C=；JT

【詳解】由正弦定理---=-...,得gsinBcos-----=sinCsinB,

sinBsinC2

因?yàn)?￡（0,兀），則sinBwO,所以百cos.=sinC,

A+B71C.c

因?yàn)锳+3+C=?r,所以COS=cos=sin—.

22-T2

所以石sinC=2sin—cos—.

222

因?yàn)椤?0,冗),則可得singwO,所以cos(=^^,

則1=2，所以C=§.

Zo3

【鞏固練習(xí)5】在“IBC中，內(nèi)角A,B,。所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a,b,c,且滿足bcos---=asinB,求A.

2%

【答案】A=—

3

了、*相〃'6+C7iA.A

【評(píng)解】cos---=cos(萬一萬)=sin耳，

A

所以bsin^=Qsin5,

A

由正弦定理得：sinBsin—=sinAsinB,

A

?.?sin3w0,/.sin—=sinA,

2

.A..AA人(c\\A

/.sin—=2sm—cos—,,/AG(0,7I),—Gsin—0,

222v722，

fAlA7i427r

得cos—=—,即一=一,/.A=—

22233

類型三拆角后再用輔助角公式合并求角

3.（深圳一模）記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,已知b+c=2〃sin[C+,求A.

,TC

【答案】A=一點(diǎn)評(píng)：拆角+輔助角公式

3

【解析】(1)由已知得，b+c=y/3asinC+(2cosC,

由正弦定理可得，sinB+sinC=>/3sinAsinC+sinAcosC,

因?yàn)锳+5+C=%，所以sinj?二sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC.代入上式，整理得cosAsinC

+sinC=A/3sinAsinC，

又因?yàn)閟inCwO,所以J^sinA—cosA=l,即五口1人-2)=5.

717157c，,71717C

而---<A4----<—,所以A4-----=一,A4=一

666663

4.在VABC中，V3sinC+cosC=sing+sinC,求人

sinA

71

【答案】A=-

3

【詳解】在VABC中，瓜inC+cosC=sm'+sm0,

sinA

整理得石sinCsinA+sinAcosC=sinB+sinC=sin(A+C)+sinC,即

石sinCsinA+sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC+sinC,于是

所以6sinCsinA=cosAsinC+sinC,

因?yàn)閟inCwO,所以GsinA—cosA=1,即

V3.141

222

.(1,A兀

所以sinAA---=一,又因?yàn)镺VAVTT,所以A—G

V6J26

jr-rrJT

所以A--=-,解得A=—.點(diǎn)評(píng)：拆角+輔助角公式

663

【鞏固練習(xí)1】銳角AAZ?C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知acosC+J§csinA=b+c,求A

【答案】A=]

【詳解】acosC+V3csinA=b+cnsinAcosC+v3sinCsinA=sinB+sinC

=sinAcosC+在sinCsinA=sin(A+C)+sinC=6sinCsinA=sinC(cosA+l)

*/B、Ce10微卜sinCwOnA^sinA-cosA=1=2sin]A-看

【鞏固練習(xí)2】已知a,b,c分別為zABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，＞acosC+73asinC=b+c,求角A

的大小;

【答案】4

【詳解】由acosC+J§6zsinC=Z?+c及正弦定理，

得sinAcosC+GsinAsinC=sinB+sinC

即sinAcosC+A^sinAsinC=sin[TI—(A+C)]+sinC,

V3sinAsinC=cosAsinC+sinC,

因?yàn)閟inCwO

所以"sinA=cos4+l,即sin^A-^=^-.

上兀，兀5兀2、，4兀兀,71

由于0<4<兀,——<A——<一,所以A——,A=~.

666663

類型四通過誘導(dǎo)公式統(tǒng)一函數(shù)名

5.在"IBC中，內(nèi)角A尻。所對(duì)的邊分別為。也c.已知asin3=bcos|A—弓），求A的值

71

【答案】一

3

【詳解】因?yàn)閍sinB=Z?cos（A—弓］,所以由正弦定理可得:sinAsinB=sinBcos^A-^

在三角形4WC中，4B、Ce（O,兀），顯然sinfiwO,所以sinA=cos〔A—巳

/兀4）/4兀、，兀,

所以cosI——AI=cosIA——L又因?yàn)?—AE

所以巴—A=A—3或工—A+A—工=0（顯然不成立），所以A=?

26263

【鞏固練習(xí)1】已知AABC中，角A,B,。所對(duì)邊分別為。，b,C,若滿足

?(sin2A—cosBcosC)+bsinAsinC=0,求角A的大小.

【答案】g

2

【詳解】(1)由正弦定理知，sinA(sin2A—cosBcosC)+sinBsinAsinC=09

*.*AG(0,71),sinAwO,

sin2A—cosBcosC+sinBsinC=0,

化簡(jiǎn)得sin2A=cosBcosC-sin3sinC=cos(B+C)=cos(^r-A)=sin^A-^J,

VAG(0,7L),/.2A+A-^=7U(其中2A=A—舍去)，即人=曰.

【鞏固練習(xí)2】在AABC中，內(nèi)角A,8,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知asinB=6cos（A-看），/7cosc=ccos3,

求A的值.

IT

【答案】y

【詳解】因?yàn)閍sinB=bcos（A-^J,所以由正弦定理可得:sinAsinB=sin8cos]A-￡

在三角形AABC中，A、B、Ce（O,兀），顯然sinBwO,所以sinA=cos（A-j,

所以cos5"=cos卜飛,又因?yàn)?一十不切，

所以四-A=A-二或工一A+A-烏=0（顯然不成立）,所以A=4

26263

【題型2】利用余弦定理化簡(jiǎn)等式

核心?技巧

余弦定理

[2=人2+。2_2)cCOSA;

公式b2=(^+a2-2accosB;

/=a?+/_2abcosC.

b2+c2-a2

cosA=----------;

2bc

「C2+O2~b2

常見變形cosB=----------；

2ac

Ca2+b2-c2

cosC=----------.

lab

類型一出現(xiàn)了角或邊的平方

6.已知AABC內(nèi)角AB,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a1,c,2伍2COSB+62=2a5cosC+/+c2,求反

解:⑴由余弦定理得2&a2cos8+。2=〃+/-/+片+/,lyflcTcosB=2a~，

所以cosB=,,又5e（O,兀），則3=?.

7.（2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）在AABC中，內(nèi)角A民c所對(duì)的邊分別為“小。，若3=1,b2=^ac,

則sinA+sinC=（）

A2屈R而「an3而

A.----D.----C.---U.----

1313213

【答案】C

【解析】因?yàn)?=工,。2=2"則由正弦定理得sinAsinC=—sin?5=L

3493

9

由余弦定理^可得:/=a?+，—CLC=—UC,

4

131313

即:/+/=—a。，根據(jù)正弦定理得sin2A+sin2C=—sinAsinC=—,

4412

7

所以（sinA+sin=sin2A+sin2C+2sinAsinC=—,

因?yàn)锳,C為三角形內(nèi)角,則sinA+sinC>0,則sinA+sinC=且.

2

8.記的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,已知儲(chǔ)=3〃+c2,則但絲=_____

tanC

【答案】-2

【解析】因?yàn)椤?3必+02,所以6+廿一°2=462,所以巴二￡—J=空,

2aba

門-2Z??、e—e—2sinB

即cosC=一,由正弦定理可付cosC=--------,

asinA

所以sinAcosC=2sinB,所以sinAcosC=2sin（A+C）,

所以sinAcosC=2sinAcosC+2sinCcosA,

即sinAcosC=-2sinCcosA,

tan

因?yàn)閏osAcosCwO,所以tanA=-2tanC,所以----=一2.

tanC

【鞏固練習(xí)11(2023年北京高考數(shù)學(xué)真題)在AABC中，(a+c)(sinA-sinC)=Z?(sinA-sin5),則/。=()

71712兀5兀

A.B.C.—D.

633~6

【答案】B

［解析］因?yàn)?a+c)(sinA-sinC)=b(sinA-sinB),

所以由正弦定理得(。+。)(。一。)=僅［一力，即/一/=〃。一/,

/—C2Clb1

貝Ua2+b2-c2=ab,故cosC=

lablab2

71

又0＜。＜兀，所以C=§

【鞏固練習(xí)2］在AABC中，角A,8,C的對(duì)邊分別為。，》，c,已知c=2有

、

2asinCcosB=asmA-bsinB-\--7-5Z?sinC，求)；

2

【答案】4

解：(1)因?yàn)?asinCcosB=asinA-Z?sinB+bsinC由正弦定理得2。。cosB=a1-b2+^—bc

22

由余弦定理得2aL片+/*=魯+&be

2ac2

所以c=^-b

a

又因?yàn)椤?2b,所以b=4

2024屆?湖南四大名校團(tuán)隊(duì)模擬沖刺卷（一）

【鞏固練習(xí)3】在△ABC中，內(nèi)角ABC所對(duì)的邊分別為已知“RC的面積為S,

lcc/sinCsinA、/2,2、.?、->>><-

且2S(-----F----)=Ca2+b2)sinA,求C的值

sinBsinC

【答案】(嗚;

【詳解】在&4BC中，由三角形面積公式得:S=gbcsinA,

由正弦定理得：2x；6csi+=(a2+Z?2)sinA,

〃21z_2_214

整理得：a2+b2-c2^ab,由余弦定理得：cosC=又0<。<乃，故C=—.

2ab23

2024?廣東省六校高三第四次聯(lián)考

【鞏固練習(xí)4】已知AABC的角A,B,C的對(duì)邊分別為。，。，c,且

sinA(ccosB+bcosC)-csinB=csinC+/?sinB,求角A

【答案】A=j2n

〃2*2_i2^272_2

［詳解］由余弦定理得ccos5+6cosC=ex---------+Z?x----------=a,

2aclab

所以sinA(ccosB+Z?cosC)-csinB=csinC+Z?sini5,

可化為asmA—csmB=csmC-^-bsinB,

再由正弦定理得/一仍=。2+匕2,得02+)2一々2=一兒,

所以cosA=23衛(wèi)=一;，因?yàn)锳e(0,7i),所以4=(兀

【鞏固練習(xí)6】記AA5c的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為“，b,c.已知心心步求鵠的值

【詳解】由余弦定理可得廿=，+〃2-2〃OCOS5,

代入一々2=2c2,得至+片—Zaccosg）—/=2/,化簡(jiǎn)得/+2Q8OS5=0,

即c+2^cosB=0.由正弦定理可得sinC+2sinAcosB=0,

即sin（A+5）+2sinAcosB=0,展開得sinAcosB+cosAsinB+2sinAcosB=0,

an

即3sinAcosB=—cosAsin^,所以，'=-3

tanA

類型二出現(xiàn)角的余弦（正弦走不通）

9.記AABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為〃、b＞已知Z?cosA—acos5=〃—c,求A.

7T

【解答】A=-

3

解：因?yàn)??cosA-4zcosi5=Z?-c,

b2+c2-a2a1+C1-b1

由余弦正理可付b-------------a............-b7—c,

2bclac

*：2_2i

化簡(jiǎn)可得加+C2一4=入c,由余弦定理可得COSA=——=-,

2bc2

7T

因?yàn)?＜4＜兀，所以，A=-.

10.已知a,b,c分別為AABC三個(gè)內(nèi)角A,3,C的對(duì)邊,且sin（A-3）=2sinC,ffiHB：?2=b2+2c2.

【詳解】（1）由sin（A—3）=2sinC=2sin（A+3）,

得sinAcos3-cosAsin3=2sinAcosB+2cosAsin5,

則sinAcosB+3cosAsinB=0,

〃22_72*2_2

由正弦定理和余弦定理得a??+3b-=0,

lac2bc

化簡(jiǎn)得〃2=萬+2C2

【鞏固練習(xí)1】在中，內(nèi)角A氏C的對(duì)邊分別為。，"c,c=2b,2sinA=3sin2C,求sinC.

【答案】叵

4

【詳解】因?yàn)?sinA=3sin2C,

所以2sinA=6sinCcosC,

所以2〃=6ccosC,

即〃=3ccosC,

所以cosC=—,

3c

由余弦定理及c=2Z?得:

cosC/"a2+b2-4b2a2-3b2

2ab2ab2ab

又cosC=—=—,

3c6b

所以0一的=土=2也=明

2ab6b

即。=逑》，

2

3A/2,

所以「a

cosC=——70,

6b6b

V14

所以sinC=JI-cos2C

~7~

【鞏固練習(xí)2】記AABC的內(nèi)角A,民C的對(duì)邊分別為〃也c,B=—,且(sinA+sinB)sinC+cos2c=1,求

證5。=3c

【詳解】證明：,/(sinA+sinB)sinC+cos2C=l

(sinA+sinB)sinC+l-2sin2C=1

,(sinA+sin_B)sinC=2sin2c

,/sinCw0

*e-sinA+sinB=2sinC,a+b=2c

〃2上〃2_h2

由余弦定理得cosB=

lac22ac

(2(?Q)2

2-2ac

整理可得5。=3c.

4-「2

【鞏固練習(xí)3】已知AABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為〃、b、c,sin(A-B)tanC=sinAsinB,求?

b

【答案】3

【詳解】因?yàn)閟in(A-B)tanC=sinAsin8,

所以sin(A-B)s'",=sinAsin5,所以sin(A-B)sinC=sinAsinBcosC,

cosC

即sinAcosBsinC-cosAsinBsinC=sinAsinBcosC,

由正弦定理可得accosB-bccosA=abcosC,

a2+C2-b2,b2+c2-a2.a1+b2-c2

由余弦定理可得ac----------be---------=ab---------

2ac2bclab

所以Q2+_〃2_/2_02+Q2=Q2+〃2_02,

即a2+c2=3b2,

。2+02

所以=3.

b2

【鞏固練習(xí)4】AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知（。一c）sinB=Z?sin（A—C）,求角A.

TT

【答案】A=-

3

【詳解】

（b-c）sinB=Z?sin（A-C）,所以伍一c）sinB=Z?（sinAcosC-cosAsinC）,

,,,?,.a2+b2-c2b2+c2-a12

所以b2—be=abcosC-bccosA=----------------------=a2—c,

22

^a2=b2+c2-2ZJCCOSA,所以cosA=」，

2

因?yàn)锳e（0,萬），所以A=..

【題型3】周長(zhǎng)與面積相關(guān)計(jì)算

核心?技巧

設(shè)計(jì)周長(zhǎng)和面積的相關(guān)計(jì)算一般會(huì)用到余弦定理還有可能需要用到完全平方公式

對(duì)于完全平方公式：（a+b）2=a2+）2+2"，其中兩邊之和a+b對(duì)應(yīng)周長(zhǎng)，兩邊平方和"十〃在余弦定理

中，兩邊之積次?在面積公式和余弦定理中都會(huì)出現(xiàn)

類型一面積相關(guān)計(jì)算

11.已知AABC中角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,sinC=R2,a=b+阻，c=3叵,求&4BC

3

的面積.

【答案】40

【分析】已知條件結(jié)合余弦定理求出威）,由公式S=；a6sinC求AABC的面積.

i2

【詳解】由余弦定理/=a?+）2—2Q）COSC,及c=3，^,cosC=§,得。之+〃—=18,

94l4

即（Q—b）+—ob—18,又a=b+2+—ab=18,所以aZ?=12.

所以AABC的面積S=L°6sinC=Lxl2xRI=4j^

223

12.（2024新高考一卷?真題）記VA3C的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sinC=0cos3，

〃2+人2_/=y/^ab

（1）求&（2）若VABC的面積為3+退，求c

【答案】（1）8=1

⑵20

【分析】（1）由余弦定理、平方關(guān)系依次求出cosC,sinC,最后結(jié)合已知sinC=0cos3得cosB的值即可；

（2）首先求出A,B,C,然后由正弦定理可將4,人均用含有c的式子表示，結(jié)合三角形面積公式即可列方程

求解.

【詳解】（1）由余弦定理有『+從-C2=2"COSC,對(duì)比已知a2+〃_c2=&a6,

—P'百ci~+-c°\[^abs^2.

丐仔cosC=----------=-----=---,

2ab2ab2

因?yàn)椤?0㈤，所以sinC>0,

從而sinC=A/1-COS2C=

又因?yàn)閟inC=^2cosB,即cosB=-f

注意到Be（0,7i）,

71

所以3=—.

3

⑵由⑴可得24,cosC=%”0㈤，從而C弋71715兀

A=?！?/p>

3412

名旦也xL—

而sinA=sin

22224

abc

由正弦定理有.5兀.兀.71,

sm-sin-sm—

1234

nr-a+A/2nV3+17rrA/6

從而〃=------------72c=--------c,b=----42c=——c,

4222

由三角形面積公式可知，VABC的面積可表示為

s說，…aS2二

hABC222228

由已知VA3c的面積為3+相，可得士芭。2=3+退

8

【鞏固練習(xí)1】記AASC的內(nèi)角A,%c的對(duì)邊分別為a,b,c,B=—,且5a=3c,若AASC的面積為

15也,求。

【答案】10.

【詳解】由a=3j故44BC的面積為S=」℃$也8=工、3*￡?2乂?^=156

5AABC2252

得。2=100,解得c=10或。=一10（舍），故c=10.

【鞏固練習(xí)2】在△/笈中，內(nèi)角/,8,。的對(duì)邊分別為a,b,c,已知A=g的面積為更，

62

b=2,求a.

【答案】a=y/13

5.=—focsinA=—x2cx—=,所以c=3\^.

A△ABsCr2222

由余弦定理可得/=62+c2—2bccosA=4+27-2x2x37^x41=13,

2

所以。=也

【鞏固練習(xí)3】記AABC的內(nèi)角力,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知3=24,當(dāng)。=4,》=6時(shí)，求

國(guó)C的面積S.

15手

【答案】

4

【詳解】由題意可得:

------=,-------=---------,?/7T>A>0,sinAw0,

sinAsinB------sinAsin2A

,3.J73J7\

..cosA=—sinA.——,sinB=-----,cosB=一,

4f488

.?「_?(A"一幣13^3_56

..sinC=sin(A+8)=x—i------x—=------,

'7488416

mIs_1〃?1二/5占_156

“J3Anr——basinC——x6x4x--------------

“ABC22164

【鞏固練習(xí)4]2024屆?廣東省六校第二次聯(lián)考

已知“BC中角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,sinC=32,a=b+^2,c=3上,求AABC

3

的面積.

【答案】40

【分析】已知條件結(jié)合余弦定理求出"，由公式S=：a6sinC求44BC的面積.

12

【詳解】由余弦定理，=/+從-2aZ?cosC,及c=