2025屆高考數(shù)學(xué)專題十等差數(shù)列與等比數(shù)列精準培優(yōu)專練理

PAGEPAGE1培優(yōu)點十等差數(shù)列與等比數(shù)列一、等差、等比數(shù)列的基本運算一、等差、等比數(shù)列的基本運算例1：等比數(shù)列的前項和為，已知，且與的等差中項為，則等于（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得．又，所以，所以，所以，所以，故選B．例2：是公差不為0的等差數(shù)列，滿意，則該數(shù)列的前項和等于（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，得，即，即，又因為，所以，則該數(shù)列的前項和．故選C．例3：已知遞增數(shù)列對隨意均滿意，，記，則數(shù)列的前項和等于（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以，若，那么沖突；若，那么成立；若，那么沖突，，，又有，，于是得到，即，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以前項和為，故選D．二、等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用二、等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用例4：已知數(shù)列，滿意，，其中是等差數(shù)列，且，則等于（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵數(shù)列，滿意，，其中是等差數(shù)列，∴數(shù)列是等比數(shù)列，由，可得，即，∴，∴．例5：各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項和為，若，，則等于（）A． B． C．或 D．或【答案】B【解析】∵數(shù)列為等比數(shù)列且數(shù)列的前項和為，∴，，也構(gòu)成等比數(shù)列，∴，∵，，各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，∴，∴．故選B．例6：等比數(shù)列的首項為，公比為，前項和為，則當時，的最大值與最小值之和為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意得，．當為奇數(shù)時，隨著的增大而減小，，隨著的增大而增大，；當為偶數(shù)時，隨著的增大而增大，，隨著的增大而增大，．因此的最大值與最小值分別為、，其最大值與最小值之和為，故選C．三、等差、等比數(shù)列的綜合問題三、等差、等比數(shù)列的綜合問題例7：已知等差數(shù)列的公差為，且．（1）求數(shù)列的通項公式與前項和；（2）將數(shù)列的前項抽去其中一項后，剩下三項按原來依次恰為等比數(shù)列的前項，記的前項和為，若存在，使對隨意，總有恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）由，得，∴，∴，從而．（2）由題意知，，，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，∴，隨增加而遞減，∴為遞增數(shù)列，得．又，故，若存在，使對隨意總有，則，得，即實數(shù)的取值范圍為．四、數(shù)列與其他四、數(shù)列與其他學(xué)問的交匯例8：已知等差數(shù)列的項和為，若，且，，三點共線(該直線不過點)，則等于（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，、三點共線∴，∴，，又∵，∴，，∴，∴，∴故選B．對點對點增分集訓(xùn)一、選擇題1．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，，則等于（）A． B． C． D．【答案】C【解析】等差數(shù)列的前項和為，∵，，，解得，，∴．故選C．2．等比數(shù)列中，，，則數(shù)列的前項和等于（）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵等比數(shù)列中，，，∴，∴數(shù)列的前項和，故選D．3．在正項等比數(shù)列中，已知，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】在正項等比數(shù)列中，∵，∴，∴，當且僅當時取等號，∴的最小值為，故選C．4．在等比數(shù)列中，是方程的兩根，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，是方程的兩根，∴，，∵為等比數(shù)列，又，，同號，∴，∴，∴．故選A．5．一個等比數(shù)列的前三項的積為，最終三項的積為，且全部項的積為，則該數(shù)列的項數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列為，其前項積為，由已知得，，可得，，∵，∴，∴．6．若是等差數(shù)列，首項，，，則使前項和成立的最大正整數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，，，所以，，，所以，，所以使前項和成立的最大正整數(shù)是，故選C．7．在數(shù)列中，若，且對隨意正整數(shù)，，總有，則的前項和等于（）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意得，即有，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，，，故選C．8．記為正項等比數(shù)列的前項和，若，且正整數(shù)，滿意，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵是等比數(shù)列，設(shè)的公比為，∴，，∴，解得(負值舍去)．又，∴，∴，∴，當且僅當，即，時等號成立，∴的最小值是，故選C．9．數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，數(shù)列滿意，，，數(shù)列滿意，，，若為等比數(shù)列，則等于（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意知，當時，不是等比數(shù)列，所以．由，則，得，要使為等比數(shù)列，必有，得，，故選B．10．在我國古代聞名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》里有一段敘述：今有良馬與駑馬發(fā)長安至齊，齊去長安一千一百二十五里，良馬初日行一百零三里，日增一十三里；駑馬初日行九十七里，日減半里；良馬先至齊，復(fù)還迎駑馬，二馬相逢．問：幾日相逢？（）A．日 B．日 C．日 D．日【答案】B【解析】由題可知，良馬每日行程構(gòu)成一個首項為，公差的等差數(shù)列，駑馬每日行程構(gòu)成一個首項為，公差為的等差數(shù)列，則，，則數(shù)列與數(shù)列的前項和為，又∵數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，，整理得，即，解得：或(舍)，即九日相逢．故選B．11．在由正數(shù)組成的等比數(shù)列中，若，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，即，所以．二、填空題12．數(shù)列的通項，其前項和為，則________．【答案】【解析】由題意可知，，若，則；若，則；若，則，∴，，∴．13．已知數(shù)列滿意，且，，則________．【答案】【解析】由，得，于是，．又，∴數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，故，∴．14．數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，其中，且．設(shè)，若中的每一項恒小于它后面的項，則實數(shù)的取值范圍為________．【答案】【解析】由題意得，則，∴，即數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，，要使對一切恒成立，即對一切恒成立；當時，，對一切恒成立；當時，，對一切恒成立，只需．∵單調(diào)遞增，∴當時，取得最小值，即，∴，且，∴．綜上，．15．艾薩克·牛頓(1643年1月4日-1727年3月31日)英國皇家學(xué)會會長，英國聞名物理學(xué)家，同時在數(shù)學(xué)上也有很多杰出貢獻，牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)的零點時給出一個數(shù)列滿意，我們把該數(shù)列稱為牛頓數(shù)列．假如函數(shù)有兩個零點，，數(shù)列為牛頓數(shù)列，設(shè)，已知，，則的通項公式________．【答案】【解析】∵函數(shù)有兩個零點，，∴，解得，∴，則．則，∴，則數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，又∵，∴數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，則．三、解答題16．已知數(shù)列的前項和為，且．（1）求，，的值；（2）是否存在常數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列？若存在，求出的值和通項公式；若不存在，請說明理由．【答案】（1），，；（2）存在，，．【解析】（1）當時，由，得；當時，由，可得；當時，由，得．（2）令，即，解得，由及，兩式相減，得．由以上結(jié)論得，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，因此存在，使得數(shù)列為等比數(shù)列，所以，．17．已知數(shù)列的前項和為，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列滿意，若對于隨意正整數(shù)都成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由已知得，令，得，又，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以．（2）由，得，所以，所