專題3.1 導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算（解析版）-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練寶典（新高考專用）

第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用專題3.1導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1.了解導(dǎo)數(shù)的概念、掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù).2.通過函數(shù)圖象，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.3.能夠用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)(形如f(ax＋b))的導(dǎo)數(shù)．考點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算考點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)求切線方程考點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)知識(shí)梳理1．三種函數(shù)模型的性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長(zhǎng)速度越來越快越來越慢相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值的變化而各有不同2．常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)反比例函數(shù)模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b為常數(shù)，k≠0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)對(duì)數(shù)函數(shù)模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)冪函數(shù)模型f(x)＝axα＋b(a，b，α為常數(shù)，a≠0，α≠0)第一部分核心典例題型一導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，則．故選：D2．，則（

）A．4 B． C．-4 D．【答案】D【詳解】，所以．故選：D．3．函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】∵，∴，∴．故選：B．4．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則（

）A． B． C．1 D．【答案】B【詳解】由，可得，所以，則.故選：B.5．已知函數(shù)，那么（

）A． B．2 C． D．【答案】A【詳解】由題意，，所以.故選：A.題型二利用導(dǎo)數(shù)求切線方程6．函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率是（

）A． B． C．2 D．1【答案】D【詳解】因?yàn)?，所以函?shù)在點(diǎn)處的切線的斜率是.故選：D7．函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得，所以，即函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線斜率為2，所以函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為，即.故選：A8．過點(diǎn)且與曲線相切的直線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由，則，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線的斜率，切線方程為，由切線過點(diǎn)，代入切線方程解得，則切線方程為，即.故選：B9．曲線在處的切線方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】的導(dǎo)數(shù)為，在點(diǎn)處的切線斜率為，即有在點(diǎn)處的切線方程為，即.故選：C10．函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意得，則，，，則所求切線方程為，即，故選：C題型三利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)11．若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則的值為（

）A． B． C． D．1【答案】A【詳解】由題設(shè)，知處的切線的斜率為，又因?yàn)?，所以，解?故選：A.12．已知直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A． B． C．0 D．2【答案】A【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，易知，則，解之得，故選：A13．已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則（

）A． B． C． D．0【答案】B【詳解】，故，故圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為，所以即，故選：B14．函數(shù)與的圖像有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C．或 D．或或【答案】C【詳解】∵過定點(diǎn)，且在上，又∵，則，∴在處的切線斜率為，結(jié)合圖象可得：當(dāng)時(shí)，與的圖像有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則符合題意；當(dāng)時(shí)，與的圖像有兩個(gè)公共點(diǎn)，則不符合題意；當(dāng)時(shí)，與的圖像有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則符合題意；當(dāng)時(shí)，與的圖像有兩個(gè)公共點(diǎn)，則不符合題意；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為或.故選：C.15．已知與曲線相切，則a的值為（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【詳解】由題意，設(shè)切點(diǎn)為，所以，，所以，所以，則.故選：B.第二部分課堂達(dá)標(biāo)一、單選題1．設(shè)函數(shù)在處存在導(dǎo)數(shù)為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由，則.故選：C2．曲線在處切線的斜率為（

）A．2 B． C．1 D．【答案】B【詳解】，當(dāng)時(shí)，，即曲線在處切線的斜率為.故選：B.3．函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】∵，∴，∴，，∴所求的切線方程為，即.故選：D4．已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線平行，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題設(shè)且，則.故選：A5．過函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)作函數(shù)圖象的切線，則切線的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】依題意，，則，即切線的斜率的取值范圍是，所以傾斜角的取值范圍是.故選：B6．已知函數(shù)，在點(diǎn)處的切線方程為，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由，得，又在點(diǎn)處的切線方程為，則，解得，故選：A.7．如圖，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線是，則（

）A． B． C．2 D．1【答案】D【詳解】由題可得函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，則切線，即.所以，，，.故選：D．8．形如的函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)常見的函數(shù)模型之一，因其圖象上半部分像極了老師批閱作業(yè)所用的“√”，所以也稱為“對(duì)勾函數(shù)”．研究證明，對(duì)勾函數(shù)可以看作是焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的雙曲線繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，即對(duì)勾函數(shù)的圖象是雙曲線，直線是它的一條漸近線．點(diǎn)是雙曲線上任意一點(diǎn)，在點(diǎn)處作雙曲線的切線，交漸近線于兩點(diǎn)，已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為（

）A． B． C． D．2【答案】D【詳解】因?yàn)椋O(shè)，則處切線的斜率，所以切線方程為，令，可得，即，則；令，可得，即，則；故面積為．故選：D

二、多選題9．下列命題正確的是（

）A．B．C．，函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程是D．若有解，則函數(shù)必有極值點(diǎn)【答案】ABC【詳解】A選項(xiàng)，，所以正確；B選項(xiàng)，令，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故而有，故，B正確；C選項(xiàng)，，所以切線方程是，所以C正確；D選項(xiàng)，不妨設(shè)，則，令，解得，滿足有解，但在兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)均為正，所以函數(shù)無極值，所以命題錯(cuò)誤.故選：ABC.10．已知函數(shù)，則（

）A．為其定義域上的增函數(shù) B．為偶函數(shù)C．的圖象與直線相切 D．有唯一的零點(diǎn)【答案】AD【詳解】由題意，在中，定義域?yàn)椋?，∴為上的增函?shù)，A正確；，∴為奇函數(shù)，B錯(cuò)誤；∵當(dāng)時(shí)，解得：，此時(shí)，∴斜率為0的切線為，不可能為直線，∴C錯(cuò)誤；為上的增函數(shù)，，∴有唯一的零點(diǎn)，D正確.故選：AD.三、填空題11．設(shè)函數(shù)，則在處的切線方程為．【答案】【詳解】函數(shù)，在處的切點(diǎn)坐標(biāo)為，，則在處的切點(diǎn)斜率為，所以切線方程為，即.故答案為：.12．請(qǐng)根據(jù)圖中的函數(shù)圖象，將下列數(shù)值按從小到大的順序排列：．

①曲線在點(diǎn)處切線的斜率；

②曲線在點(diǎn)處切線的斜率；③曲線在點(diǎn)處切線的斜率；

④割線的斜率；⑤數(shù)值；

⑥數(shù)值．【答案】③⑤②④⑥①【詳解】由圖象可知：曲線在點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率大于的變化率，則曲線在點(diǎn)處的切線斜率；曲線在點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率為正且小于的變化率，則曲線在點(diǎn)處的切線斜率；曲線在點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率為負(fù)，則曲線在點(diǎn)處的切線斜率；割線的斜率為正且小于的變化率，則割線的斜率；又曲線在點(diǎn)處的切線斜率小于割線的斜率，；綜上所述：按照從小到大的順序排列為③⑤②④⑥①.故答案為：③⑤②④⑥①.四、解答題13．已知函數(shù)，點(diǎn)在曲線上.(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求曲線過點(diǎn)的切線方程.【詳解】（1）由題意，故，所以，而，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2）令所求切線在曲線上的切點(diǎn)為，則，所以切線方程為，又在切線上，故或，所以切線方程為或.14．氡氣是一種由地表自然散發(fā)的無味的放射性氣體．如果最初有氫氣，那么t天后，氫氣的剩余量為．（參考數(shù)值，）(1)氡氣的散發(fā)速度是多少？(2)的值是什么（精確到0.1）？它表示什么意義？【詳解】（1）解：氡氣的散發(fā)速度就是剩留量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，，．（2）解：因?yàn)?，所以．它表示在?天附近，氡氣大約以25.5克天的速度自然散發(fā)．15．已知一罐汽水放入冰箱后的溫度x（單位：）與時(shí)間t（單