專(zhuān)題3.2 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性（解析版）-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練寶典（新高考專(zhuān)用）

第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用專(zhuān)題3.2導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性1.結(jié)合實(shí)例，借助幾何直觀了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.2.能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次).3.會(huì)利用函數(shù)的單調(diào)性判斷大小，求參數(shù)的取值范圍等簡(jiǎn)單應(yīng)用．考點(diǎn)一不含參函數(shù)的單調(diào)性考點(diǎn)二含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性考點(diǎn)三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用知識(shí)梳理1．函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系條件恒有結(jié)論函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上可導(dǎo)f′(x)>0f(x)在區(qū)間(a，b)上是增函數(shù)f′(x)<0f(x)在區(qū)間(a，b)上是減函數(shù)f′(x)＝0f(x)在區(qū)間(a，b)上是常數(shù)函數(shù)2.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟第1步，確定函數(shù)的定義域；第2步，求出導(dǎo)數(shù)f′(x)的零點(diǎn)；第3步，用f′(x)的零點(diǎn)將f(x)的定義域劃分為若干個(gè)區(qū)間，列表給出f′(x)在各區(qū)間上的正負(fù)，由此得出函數(shù)y＝f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性．常用結(jié)論1．若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增，則當(dāng)x∈(a，b)時(shí)，f′(x)≥0恒成立；若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞減，則當(dāng)x∈(a，b)時(shí)，f′(x)≤0恒成立．2．若函數(shù)f(x)在(a，b)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則當(dāng)x∈(a，b)時(shí)，f′(x)>0有解；若函數(shù)f(x)在(a，b)上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則當(dāng)x∈(a，b)時(shí)，f′(x)<0有解．第一部分核心典例題型一不含參函數(shù)的單調(diào)性1．已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．【詳解】（1），則則，又，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即（2），則，由可得或，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，.2．已知函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間【詳解】因?yàn)?，定義域?yàn)?，所以，令，得，令，得，所以函?shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.3．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【答案】的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為【詳解】，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.4．已知函數(shù).求單調(diào)區(qū)間.【答案】單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為【詳解】的定義域?yàn)镽，，令得：或，令得：，所以單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.5．已知函數(shù).求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【答案】增區(qū)間為，；減區(qū)間為.【詳解】依題意：，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為.題型二含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性6．已知函數(shù).（1）若在區(qū)間上為增函數(shù)，求a的取值范圍.（2）若的單調(diào)遞減區(qū)間為，求a的值.【答案】（1）；（2）3.【詳解】（1）因?yàn)?，且在區(qū)間上為增函數(shù)，所以在上恒成立，即在(1，+∞)上恒成立，所以在上恒成立，所以，即a的取值范圍是（2）由題意知.因?yàn)?，所?由，得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，又已知的單調(diào)遞減區(qū)間為，所以，所以，即.7．已知函數(shù).（1）若函數(shù)上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的最小值；（2）若，使（）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】由已知函數(shù)的定義域均為,且.(1)函數(shù),因f(x)在上為減函數(shù)，故在上恒成立．所以當(dāng)時(shí)，．又，故當(dāng)，即時(shí)，．所以于是，故a的最小值為．(2)命題“若使成立”等價(jià)于“當(dāng)時(shí)，有”．由（1），當(dāng)時(shí)，，．問(wèn)題等價(jià)于：“當(dāng)時(shí)，有”．當(dāng)時(shí)，由（1），在上為減函數(shù)，則=，故．當(dāng)時(shí)，由于在上為增函數(shù)，故的值域?yàn)?，即．由的單調(diào)性和值域知，唯一，使，且滿足：當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；所以，=，．所以，，與矛盾，不合題意．綜上，得．考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)公式；2.函數(shù)的單調(diào)性；3.恒成立問(wèn)題；4.函數(shù)的最值以及命題的等價(jià)變換.8．已知函數(shù)．(1)若函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若函數(shù)在單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【詳解】（1），∵函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，所以是的兩個(gè)根，所以，解得.經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)，由，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.所以.（2）∵在單調(diào)遞減∴對(duì)恒成立，即，恒成立∴.9．已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)的極值；(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求a的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，令，得，，和的變化情況如下表30遞減極小值遞增所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，無(wú)極大值（2）由（），得（），當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，由，得，，和的變化情況如下表0遞減極小值遞增因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，得，綜上，a的取值范圍為10．已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．（1）求的解析式；（2）若，且在區(qū)間上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】解：（1）設(shè)圖象上任一點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在圖象上．．，即，．（2），，在上遞減，在時(shí)恒成立，即在時(shí)恒成立．時(shí)，，，即題型三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用11．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若，求的最小值．【詳解】（1）函數(shù)定義域?yàn)镽，．當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）由得，，所以，因?yàn)?，所以，即．令，則．所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，因此，當(dāng)時(shí)取得最大值，即取得最大值，故的最小值為4．12．已知函數(shù)．已知，，求證：．【詳解】證明：由題意得，要證，，即證，即證，令，，可得，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增．所以，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以，故當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意，．13．已知函數(shù)．(1)求的極值；(2)比較的大小，并畫(huà)出的大致圖像；(3)若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，直接寫(xiě)出實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）的定義域?yàn)?，，于是時(shí)，單調(diào)遞增；時(shí)，單調(diào)遞減，又，則在處取到極小值，無(wú)極大值.（2）由（1）知，在區(qū)間上單調(diào)遞減．故．又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，故，所以．因?yàn)?，所以．結(jié)合（1）中的單調(diào)性，大致圖像如下：（3）的解的個(gè)數(shù)可以看成和直線在同一坐標(biāo)系下圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，由（2）的圖像知，當(dāng)?shù)娜≈挡恍∮谧钚≈导纯?，?4．已知函數(shù).(1)求函數(shù)在處的切線方程；(2)若函數(shù)在上嚴(yán)格遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)在處的切線方程為；（2）對(duì)任意恒成立故，解得，故的取值范圍為.15．已知函數(shù)，其圖象在點(diǎn)處的切線方程為．(1)求，的值與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對(duì)，，不等式恒成立，求的取值范圍．【詳解】（1），，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為．解得，．，令，解得或；令，解得．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）由（1）可得：，．令，則，所以當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下：，02，00單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增由表格可知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，，又．函數(shù)在上的最大值為8．由，不等式恒成立，．，解得或．的取值范圍是．第二部分課堂達(dá)標(biāo)一、單選題1．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，的導(dǎo)函數(shù)為，所以在時(shí)單調(diào)遞減，故A選項(xiàng)不符合題意；對(duì)于B選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，的導(dǎo)函數(shù)為，所以在時(shí)單調(diào)遞減，故B選項(xiàng)不符合題意；對(duì)于C選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，的導(dǎo)函數(shù)為，所以在時(shí)單調(diào)遞減，故C選項(xiàng)不符合題意；對(duì)于D選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，的導(dǎo)函數(shù)為，所以在時(shí)單調(diào)遞增，又函數(shù)的定義域?yàn)?，且，故D選項(xiàng)符合題意.故選：D.2．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】的定義域?yàn)?，，令，解得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：A3．若函數(shù)在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】函數(shù)，，若在遞增，則在恒成立，可得,解得，故選：D4．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）

A．在區(qū)間上單調(diào)遞減B．在區(qū)間上單調(diào)遞增C．當(dāng)時(shí)，>0D．當(dāng)時(shí)，=0【答案】C【詳解】由圖像可知函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，故AB正確；由單調(diào)性可知，函數(shù)在處取得極值，所以，D正確；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，C錯(cuò)誤.故選：C5．已知是定義在R上的奇函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)為，若恒成立，則的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】令函數(shù)，則，因?yàn)樗?是增函數(shù)，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，，所以的解集為，即≥的解集為；故選：D.6．已知函數(shù)的定義域是，其導(dǎo)函數(shù)為，且，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意，在函數(shù)中，，導(dǎo)函數(shù)為，，設(shè)，則.∵，∴，則是上的增函數(shù).不等式等價(jià)于，即，則解得：，故選：D.7．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，由題意可知：存在，使得，整理得，且在上單調(diào)遞減，則，可得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.8．已知函數(shù)，若為上的增函數(shù)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：由，求導(dǎo)得，因?yàn)闉樯系脑龊瘮?shù)，所以在R上恒成立，即在R上恒成立，即在R上恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，所以，所以的取值范圍為.故選：B二、多選題9．已知，下列說(shuō)法正確的是（

）A．在處的切線方程為 B．的單調(diào)遞減區(qū)間為C．在處的切線方程為 D．的單調(diào)遞增區(qū)間為【答案】BC【詳解】對(duì)于AC，，由，得，所以切線的斜率，所以在處的切線方程為，所以A錯(cuò)誤，C正確，對(duì)于BD，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，由，得，解得，由，得，解得，所以在上遞增，在上遞減，所以B正確，D錯(cuò)誤，故選：BC10．已知函數(shù)，則滿足的整數(shù)的取值可以是（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】BCD【詳解】由題意得，故為偶函數(shù)，而，當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，若，則，得，即，解得故選：BCD三、填空題11．函數(shù)的增區(qū)間為．【答案】【詳解】有題知，函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以，令，解得，故函?shù)的增區(qū)間為故答案為：12．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，，，故在上單調(diào)遞減，且，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故在處取得極大值，也是最大值，，且當(dāng)時(shí)，恒成立，畫(huà)出的圖象如下：

函數(shù)恰有一個(gè)實(shí)根，則或，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：四、解答題13．確定函數(shù)的減區(qū)間．【詳解】由題意可知：，令，即，且，解