專題4.4 正弦定理和余弦定理及其應(yīng)用（原卷版）-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練寶典（新高考專用）

第四章三角函數(shù)、解三角形專題4.4正弦定理和余弦定理及其應(yīng)用1.掌握正弦定理、余弦定理及其變形.2.理解三角形的面積公式并能應(yīng)用.3.能利用正弦定理、余弦定理解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題．考點(diǎn)一利用正弦定理、余弦定理解三角形考點(diǎn)二正弦定理、余弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用知識(shí)梳理1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC變形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinCcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)2．三角形解的判斷A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解3．三角形中常用的面積公式(1)S＝eq\f(1,2)aha(ha表示邊a上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA；(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r為三角形的內(nèi)切圓半徑)．常用結(jié)論在△ABC中，常有以下結(jié)論：(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.(2)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．(3)a>b?A>B?sinA>sinB，cosA<cosB.(4)sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sin

eq\f(A＋B,2)＝cos

eq\f(C,2)；cos

eq\f(A＋B,2)＝sin

eq\f(C,2).(5)三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.(6)三角形中的面積S＝eq\r(pp－ap－bp－c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p＝\f(1,2)a＋b＋c)).第一部分核心典例題型一利用正弦定理、余弦定理解三角形1．記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，，則（

）A． B． C． D．2．在中，已知，則角為（

）A． B． C． D．3．在中，邊長(zhǎng)，，，則邊長(zhǎng)（

）A． B． C． D．4．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知，，則外接圓的半徑為（

）.A． B． C． D．35．在中，，，，則的面積為（

）A． B． C． D．題型二正弦定理、余弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用6．的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.(1)求A；(2)若，求面積的最大值.7．如圖，在中，的垂直平分線交邊于點(diǎn)．（1）求的長(zhǎng)；（2）若，求的值．8．在中，角所對(duì)的邊分別為.(1)求；(2)若為銳角三角形，且，求的最大值.9．在中，，，．(1)求；(2)若角為鈍角，求的周長(zhǎng)．10．已知，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊，且．(1)求的值；(2)若面積為，求邊上的高的最大值．第二部分課堂達(dá)標(biāo)一、單選題1．中，，則b等于（

）A． B． C． D．2．在中，角對(duì)邊為，且，則的形狀為（

）A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形3．設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，，則（

）A． B． C． D．4．的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．冬奧會(huì)會(huì)徽以漢字“冬”（如圖1甲）為靈感來(lái)源，結(jié)合中國(guó)書(shū)法的藝術(shù)形態(tài)，將悠久的中國(guó)傳統(tǒng)文化底蘊(yùn)與國(guó)際化風(fēng)格融為一體，呈現(xiàn)出中國(guó)在新時(shí)代的新形象?新夢(mèng)想.某同學(xué)查閱資料得知，書(shū)法中的一些特殊畫(huà)筆都有固定的角度，比如彎折位置通常采用30°，45°，60°，90°，120°，150°等特殊角度.為了判斷“冬”的彎折角度是否符合書(shū)法中的美學(xué)要求.該同學(xué)取端點(diǎn)繪制了△ABD（如圖乙），測(cè)得，若點(diǎn)C恰好在邊BD上，請(qǐng)幫忙計(jì)算sin∠ACD的值（

）

A． B． C． D．6．在平行四邊形ABCD中，，，則該平行四邊形的面積為（

）A． B． C． D．7．在中，已知，，若有唯一值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．已知中，若，，的面積為，為邊的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)度是（

）A． B． C．1 D．2二、多選題9．平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，則（

）A． B．銳角三角形C．的面積為 D．的外接圓半徑大于210．已知在中，角A，B，所對(duì)的邊分別為且，，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．或 B．C． D．該三角形的面積為三、填空題11．正四面體中，O為的重心，則．12．在中，，，則的形狀為