人教A版2019必修第二冊高中數(shù)學(xué)同步教學(xué)題型講義-第1講 平面向量的概念及線性運(yùn)算4種題型【含答案】

人教A版2019必修第二冊高中數(shù)學(xué)同步教學(xué)題型講義-第1講平面向量的概念及線性運(yùn)算4種題型【考點(diǎn)分析】考點(diǎn)一：向量的基本概念①定義：既有大小又有方向的量叫做向量．②向量的模：向量的大小，也就是向量的長度，叫做向量的模，記作．③零向量：長度為0的向量，其方向是任意的．④單位向量：長度等于1個單位的向量．⑤平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共線向量．規(guī)定：0與任一向量平行．⑥相等向量：長度相等且方向相同的向量．⑦相反向量：長度相等且方向相反的向量．考點(diǎn)二：向量的線性運(yùn)算和向量共線定理①向量的線性運(yùn)算運(yùn)算定義法則（或幾何意義）運(yùn)算律加法求兩個向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則①交換律②結(jié)合律減法求與的相反向量的和的運(yùn)算叫做與的差三角形法則數(shù)乘求實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算(1)(2)當(dāng)時，與的方向相同；當(dāng)時，與的方向相同；當(dāng)時，考點(diǎn)三：向量共線定理①如果且，則；反之且，則一定存在唯一一個實(shí)數(shù)，使．推論：②三點(diǎn)，，共線，共線（功能：證明三點(diǎn)共線）；③向量，，中三個向量的終點(diǎn)，，共線存在實(shí)數(shù)，使得，且④，．【題型目錄】題型一：平面向量的概念題型二：平面向量的加法、減法題型三：平面向量的線性運(yùn)算與共線定理題型四：由平面向量的性質(zhì)判斷圖形的形狀【典型例題】題型一：平面向量的概念【例1】給出下列說法：①零向量是沒有方向的；②零向量的長度為0；③零向量的方向是任意的；④單位向量的模都相等.其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【例2】下列命題中正確的是（

）A．兩個有共同起點(diǎn)且相等的向量，其終點(diǎn)必相同B．兩個有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量C．兩個有共同起點(diǎn)且共線的向量，其終點(diǎn)必相同D．若與是共線向量，則點(diǎn)A，B，C，D必在同一條直線上【例3】有下列結(jié)論：①表示兩個相等向量的有向線段，若它們的起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同；②若，則，不是共線向量；③若，則四邊形是平行四邊形；④若，，則；⑤有向線段就是向量，向量就是有向線段.其中，錯誤的個數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【例4】設(shè)為單位向量，①若為平面內(nèi)的某個向量，則＝||；②若與平行，則＝||；③若與平行且||＝1，則＝．上述命題中，假命題的個數(shù)是A．0B．1C．2D．3【例5】下列命題中，正確的個數(shù)是（

）①單位向量都相等；②模相等的兩個平行向量是相等向量；③若滿足，且與同向，則④若兩個向量相等，則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別重合；⑤若，則A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【例6】（多選題）下面關(guān)于向量的說法正確的是（

）A．單位向量：模為的向量B．零向量：模為的向量，零向量沒有方向C．平行共線向量：方向相同或相反的向量D．相等向量：模相等，方向相同的向量【例7】（多選題）下列敘述中錯誤的是（

）A．若，則 B．若，則與的方向相同或相反C．若，，則 D．對任一非零向量，是一個單位向量【題型專練】1.下列命題正確的是（）A．向量與是相等向量 B．共線的單位向量是相等向量 C．零向量與任一向量共線 D．兩平行向量所在直線平行2.下列命題中正確的個數(shù)是（

）①若向量與是共線向量，則A、B、C、D必在同一直線上；②若向量與向量平行，則，方向相同或相反；③若非零向量與是共線向量，則它們的夾角是0°或180°；④若，則，是相等向量或相反向量.A．0 B．1 C．2 D．33.給出下列命題:①共線向量一定在同一條直線上;②若A,B,C,D是不共線的四點(diǎn),則是四邊形為平行四邊形的充要條件;③的充要條件是且.其中正確命題的序號是_______.4.把所有單位向量的起點(diǎn)平移到一點(diǎn),則其終點(diǎn)構(gòu)成的圖形是_____________.5.（多選題）下列說法中正確的是（

）A．若為單位向量，則 B．若與共線，則或C．若，則 D．是與非零向量共線的單位向量6．（多選題）下列說法中正確的是（

）A．力是既有大小，又有方向的量，所以是向量B．若向量，則C．在四邊形中，若向量，則該四邊形為平行四邊形D．速度、加速度與位移的合成與分解，實(shí)質(zhì)上就是向量的加減法運(yùn)算7．（多選題）下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則“”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件D．“”的充要條件是“且”8．（多選題）下列結(jié)論中正確的是（

）A．與是否相等與，的方向無關(guān) B．零向量相等，零向量的相反向量是零向量C．若，都是單位向量，則 D．向量與相等題型二：平面向量的加法、減法【例1】等于（

）A． B． C． D．【例2】化簡下列各式：(1)；(2).【例3】正方形的邊長為1，則為（

）A．1 B． C．3 D．【例4】在中，M是的中點(diǎn)，則等于（

）A． B． C． D．【例5】如圖為正八邊形ABCDEFGH，其中O為正八邊形的中心，則（

）A． B． C． D．【例6】設(shè)M是平行四邊形ABCD的對角線的交點(diǎn)，O為平面上任意一點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【例7】若，則的取值范圍是（

）A．[3，7] B． C． D．【例8】已知為正三角形，則下列各式中成立的是___________.（填序號）①；②；③；④.【題型專練】1.（

）A． B． C． D．2．下列能化簡為的是（

）A． B． C． D．在四邊形中，若，則（

）A．四邊形是矩形 B．四邊形是菱形C．四邊形是正方形 D．四邊形是平行四邊形在平面四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，則下列向量與不相等的是（

）A． B． C． D．5．在四邊形ABCD中，給出下列四個結(jié)論，其中一定正確的是（

）A． B．C． D．6．在四邊形ABCD中，，若，則四邊形ABCD是（

）A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不確定7．（多選題）在中，D，E，F(xiàn)分別是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)G為的重心，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．B．C．D．8．如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是梯形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，化簡下列各式：(1)；(2).題型三：平面向量的線性運(yùn)算與共線定理【例1】[多選題]下列命題是真命題的是（

）．A．若A，B，C，D在一條直線上，則與是共線向量B．若A，B，C，D不在一條直線上，則與不是共線向量C．若向量與是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)必在一條直線上D．若向量與是共線向量，則A，B，C三點(diǎn)必在一條直線上【例2】已知向量，，且，，，則一定共線的三點(diǎn)是（

）A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D【例3】（多選題）下列說法正確的是（

）A．與是非零向量，則與同向是的必要不充分條件B．是互不重合的三點(diǎn)，若與共線，則三點(diǎn)在同一條直線上C．與是非零向量，若與同向，則與反向D．設(shè)為實(shí)數(shù)，若，則與共線【例4】“”是“A，B，C，D四點(diǎn)共線”的________條件．【例5】設(shè)向量不平行，向量與平行，則實(shí)數(shù)=___．【例6】已知P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，若，其中λ∈R，則點(diǎn)P一定在（）A．AC邊所在的直線上 B．BC邊所在的直線上C．AB邊所在的直線上 D．△ABC的內(nèi)部【例7】在△中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則A． B．C． D．【例8】在中，為邊上的中線，E為的中點(diǎn)，且，則________，_________．【例9】在中，，為上一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值（）A． B． C． D．【例10】在中，點(diǎn)滿足，過點(diǎn)的直線與、所在的直線分別交于點(diǎn)、，若，，則的最小值為（）A． B． C． D．【例11】已知M為的邊的中點(diǎn)，N為內(nèi)一點(diǎn)，且，則（）A． B． C． D．【題型專練】1.已知，則下列結(jié)論中成立的是（

）A．A，B，C三點(diǎn)共線 B．A，B，D三點(diǎn)共線C．A，D，C三點(diǎn)共線 D．D，B，C三點(diǎn)共線2.已知向量，是兩個不共線的向量，且，，，若，，三點(diǎn)共線，則（）A．1 B． C．2 D．3.設(shè)是兩個不共線的向量，若向量（）與向量共線，則A． B． C． D．4.在中，是邊上的中點(diǎn)，則（）A． B． C． D．5.在中，點(diǎn)P為中點(diǎn)，點(diǎn)D在上，且，則()A． B．C． D．6.設(shè)分別為的三邊的中點(diǎn)，則()A． B． C． D．7.設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),若,則_____.8.如圖，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線分別交直線，于不同的兩點(diǎn)，若，，則（）A．1 B． C．2 D．39.在中，，，，為邊上的高，為的中點(diǎn)，若，則（）A． B． C． D．10.已知是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，為邊中點(diǎn)，且，那么（）A． B． C． D．11．設(shè)分別是的三邊上的點(diǎn)，且，則與（

）A．反向平行 B．同向平行C．互相垂直 D．既不平行也不垂直題型四：由平面向量的性質(zhì)判斷圖形的形狀【例1】若O是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則的形狀為____【例2】若，且，則四邊形ABCD是（

）A．平行四邊形 B．菱形 C．等腰梯形 D．不等腰的梯形【題型專練】1．在四邊形中，對角線與交于點(diǎn)O，若，則四邊形一定是（

）A．矩形 B．梯形 C．平行四邊形 D．菱形2．四邊形中，，，，若、不共線，則四邊形為（

）A．平行四邊形 B．矩形C．梯形 D．菱形3．在四邊形中，若，則（

）A．四邊形是矩形 B．四邊形是菱形C．四邊形是正方形 D．四邊形是平行四邊形4．（多選題）下列有關(guān)四邊形ABCD的形狀判斷正確的是（

）A．若，則四邊形ABCD為平行四邊形B．若，則四邊形ABCD為梯形C．若，且，則四邊形ABCD為菱形D．若，且，則四邊形ABCD為正方形參考答案與解析【考點(diǎn)分析】考點(diǎn)一：向量的基本概念①定義：既有大小又有方向的量叫做向量．②向量的模：向量的大小，也就是向量的長度，叫做向量的模，記作．③零向量：長度為0的向量，其方向是任意的．④單位向量：長度等于1個單位的向量．⑤平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共線向量．規(guī)定：0與任一向量平行．⑥相等向量：長度相等且方向相同的向量．⑦相反向量：長度相等且方向相反的向量．考點(diǎn)二：向量的線性運(yùn)算和向量共線定理①向量的線性運(yùn)算運(yùn)算定義法則（或幾何意義）運(yùn)算律加法求兩個向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則①交換律②結(jié)合律減法求與的相反向量的和的運(yùn)算叫做與的差三角形法則數(shù)乘求實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算(1)(2)當(dāng)時，與的方向相同；當(dāng)時，與的方向相同；當(dāng)時，考點(diǎn)三：向量共線定理①如果且，則；反之且，則一定存在唯一一個實(shí)數(shù)，使．推論：②三點(diǎn)，，共線，共線（功能：證明三點(diǎn)共線）；③向量，，中三個向量的終點(diǎn)，，共線存在實(shí)數(shù)，使得，且④，．【題型目錄】題型一：平面向量的概念題型二：平面向量的加法、減法題型三：平面向量的線性運(yùn)算與共線定理題型四：由平面向量的性質(zhì)判斷圖形的形狀【典型例題】題型一：平面向量的概念【例1】給出下列說法：①零向量是沒有方向的；②零向量的長度為0；③零向量的方向是任意的；④單位向量的模都相等.其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)零向量及單位向量的概念即可求解.【詳解】解：對①：零向量的方向是任意的，故①錯誤；對②：零向量的長度為0，故②正確；對③：零向量的方向是任意的，故③正確；對④：單位向量的模都等于1，故④正確.故選：C.【例2】下列命題中正確的是（

）A．兩個有共同起點(diǎn)且相等的向量，其終點(diǎn)必相同B．兩個有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量C．兩個有共同起點(diǎn)且共線的向量，其終點(diǎn)必相同D．若與是共線向量，則點(diǎn)A，B，C，D必在同一條直線上【答案】A【分析】根據(jù)向量相等與共線的概念即可解決.【詳解】兩個相等的向量方向相同且長度相等，因此起點(diǎn)相同時終點(diǎn)必相同，故A正確；兩個有公共終點(diǎn)的向量，可能方向不同，也可能模長不同，故B錯誤；兩個有共同起點(diǎn)且共線的向量可能方向不同，也可能模長不同，終點(diǎn)未必相同，故C錯誤；與是共線向量，也可能是AB平行于CD，故D錯誤.故選：A【例3】有下列結(jié)論：①表示兩個相等向量的有向線段，若它們的起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同；②若，則，不是共線向量；③若，則四邊形是平行四邊形；④若，，則；⑤有向線段就是向量，向量就是有向線段.其中，錯誤的個數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】由向量的定義、有關(guān)性質(zhì)逐項(xiàng)判定可得答案.【詳解】對于①，表示兩個相等向量的有向線段，若它們的起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同，①正確；對于②，若也有可能，長度不等，但方向相同或相反，即共線，②錯誤；對于③，若，則，不一定相等，所以四邊形不一定是平行四邊形，③錯誤；對于④，若，，則，④正確；對于⑤，有向線段不是向量，向量可以用有向線段表示，⑤錯誤.綜上，錯誤的是②③⑤，共3個.故選：B.【例4】設(shè)為單位向量，①若為平面內(nèi)的某個向量，則＝||；②若與平行，則＝||；③若與平行且||＝1，則＝．上述命題中，假命題的個數(shù)是A．0B．1C．2D．3【答案】D【詳解】單位向量的模為1，方向可以是不同方向，所以①錯；若與平行，則兩個向量可以同向，也可以反向，方向不一定相同，所以②錯；③錯因此選D【例5】下列命題中，正確的個數(shù)是（

）①單位向量都相等；②模相等的兩個平行向量是相等向量；③若滿足，且與同向，則④若兩個向量相等，則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別重合；⑤若，則A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】A【分析】根據(jù)平面向量的基本概念，對選項(xiàng)中的命題進(jìn)行分析、判斷正誤即可.【詳解】單位向量的大小相等，但方向不一定相同，故①錯誤；模相等的兩個平行向量是相等向量或相反向量，故②錯誤；向量有方向，不能比較大小，故③錯誤；向量是可以自由平移的矢量，當(dāng)兩個向量相等時，它們的起點(diǎn)與終點(diǎn)不一定相同，故④錯誤；當(dāng)時，可滿足，但與不一定平行，故⑤錯誤；綜上，正確的個數(shù)是0，故選：A．【例6】下面關(guān)于向量的說法正確的是（

）A．單位向量：模為的向量B．零向量：模為的向量，零向量沒有方向C．平行共線向量：方向相同或相反的向量D．相等向量：模相等，方向相同的向量【答案】ACD【分析】根據(jù)平面向量的基本定義逐個辨析即可.【詳解】根據(jù)向量的定義可得，模為的向量為單位向量，模為的向量為零向量，零向量的方向是任意的，方向相同或相反的向量為共線向量，模相等，方向相同的向量為相等向量，ABCD均正確，故選：ACD．【例7】下列敘述中錯誤的是（

）A．若，則 B．若，則與的方向相同或相反C．若，，則 D．對任一非零向量，是一個單位向量【答案】ABC【分析】對于A，根據(jù)向量的概念判斷，對于BCD，舉例判斷.【詳解】因?yàn)槭羌扔写笮∮钟蟹较虻牧?，所以向量不能比較大小，故A錯誤；由于零向量與任意向量共線，且零向量的方向是任意的，故B錯誤；對于C，若為零向量，則與可能不是共線向量，故C錯誤；對于D，對任一非零向量，表示與同向的單位向量，故D正確．故選：ABC【題型專練】1.下列命題正確的是（）A．向量與是相等向量 B．共線的單位向量是相等向量 C．零向量與任一向量共線 D．兩平行向量所在直線平行【答案】C【詳解】A選項(xiàng)方向不同，所以錯；B選項(xiàng)共線向量是方向相同或者相反，所以錯；C選項(xiàng)，規(guī)定零向量的方向是任意的，所以C對；D選項(xiàng)向量共線可以在一條直線上，直線平行不能共線，所以D錯2.下列命題中正確的個數(shù)是（

）①若向量與是共線向量，則A、B、C、D必在同一直線上；②若向量與向量平行，則，方向相同或相反；③若非零向量與是共線向量，則它們的夾角是0°或180°；④若，則，是相等向量或相反向量.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】對于①，根據(jù)共線向量的定義，由向量為自由向量，可得答案；對于②，由零向量的定義和性質(zhì)，可得答案；對于③，根據(jù)向量的數(shù)量積的性質(zhì)，可得答案；對于④，根據(jù)模長的定義，可知方向不確定，可得答案.【詳解】①錯誤，平行向量又叫共線向量，向量與是共線向量，則與平行或共線；②錯誤，與至少有一個為零向量時，結(jié)論不成立；由向量的夾角可知③正確；④錯誤，由，只能說明，的長度相等，確定不了方向.故選：B.3.給出下列命題:①共線向量一定在同一條直線上;②若A,B,C,D是不共線的四點(diǎn),則是四邊形為平行四邊形的充要條件;③的充要條件是且.其中正確命題的序號是_______.【答案】②【詳解】①不正確,共線向量不一定在同一條直線上,也可能在兩條平行直線上;②正確∵,∴且,又A,B,C,D是不共線的四點(diǎn),∴四邊形為平行四邊形.反之,若四邊形為平行四邊形,則且,∴;③不正確,當(dāng)且方向相反時,,但不能得到,故且不是的充要條件,而是必要不充分條件.故答案為：②4.把所有單位向量的起點(diǎn)平移到一點(diǎn),則其終點(diǎn)構(gòu)成的圖形是_____________.【答案】以O(shè)為圓心的單位圓設(shè)終點(diǎn)為，則，則終點(diǎn)構(gòu)成的圖形是以為圓心的單位圓.故答案為：以為圓心的單位圓.5.下列說法中正確的是（

）A．若為單位向量，則 B．若與共線，則或C．若，則 D．是與非零向量共線的單位向量【答案】CD【分析】根據(jù)向量的基本概念，以及零向量和單位向量的定義，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對于A中，向量的方向不一定相同，所以A錯誤；對于B中，向量與的長度不一定相等，所以B錯誤；對于C中，由，根據(jù)零向量的定義，可得，所以C正確；對于D中，由，可得與向量同向，又由的模等于，所以是與非零向量共線的單位向量，所以D正確.故選：CD.6．下列說法中正確的是（

）A．力是既有大小，又有方向的量，所以是向量B．若向量，則C．在四邊形中，若向量，則該四邊形為平行四邊形D．速度、加速度與位移的合成與分解，實(shí)質(zhì)上就是向量的加減法運(yùn)算【答案】AD【分析】根據(jù)向量的定義，共線向量的定義，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對于A中，根據(jù)向量的定義，力是既有大小，又有方向的量，所以是向量，所以A正確；對于B中，向量，則或與共線，所以B錯誤；對于C中，在四邊形中，若向量、則只有一組對邊平行，不一定是平行四邊形，所以C錯誤；對于D中，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得速度、加速度與位移的合成與分解，實(shí)質(zhì)上就是向量的加減法運(yùn)算，所以D正確.故選：AD.7．下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則“”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件D．“”的充要條件是“且”【答案】BC【分析】根據(jù)平面向量的性質(zhì)、平行的性質(zhì)與充分必要條件的定義逐個辨析即可.【詳解】對于A，兩個向量的長度相等.但它們的方向不一定相同；對于B，由平面向量相等可得B正確；對于C，若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則當(dāng)時，且，故四邊形ABCD為平行四邊形；當(dāng)四邊形ABCD為平行四邊形時，且，故且同向，故，故C正確；對于D，當(dāng)且方向相反時，即使，也不能得到，故D錯誤；故選：BC8．下列結(jié)論中正確的是（

）A．與是否相等與，的方向無關(guān) B．零向量相等，零向量的相反向量是零向量C．若，都是單位向量，則 D．向量與相等【答案】AB【分析】由向量的模、零向量、單位向量、相等向量的定義判斷各選項(xiàng)．【詳解】對于C，單位向量的模相等，但方向不一定相同，故兩個單位向量不一定相等；對于D，向量與互為相反向量，由向量模的定義，零向量的定義AB正確．故選：AB．題型二：平面向量的加法、減法【例1】等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平面向量加法的運(yùn)算律計算可得；【詳解】解：故選：B【例2】化簡下列各式：(1)；(2).【答案】(1)；(2)【分析】（1）由向量的加法法則與減法法則求解即可；（2）由向量的加法法則與減法法則求解即可；（1）；（2）【例3】正方形的邊長為1，則為（

）A．1 B． C．3 D．【答案】B【分析】利用向量加法運(yùn)算及向量的摸的定義，結(jié)合勾股定理即可求解.【詳解】在正方形中，如圖所示,根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，,又因?yàn)檎叫蔚倪呴L為1，所以，故選：B.【例4】在中，M是的中點(diǎn)，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的加法法則計算．【詳解】如圖，作平行四邊形，因?yàn)镸是的中點(diǎn)，所以M也是的中點(diǎn)，則.故選：C.【例5】如圖為正八邊形ABCDEFGH，其中O為正八邊形的中心，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平面向量的概念及加法的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【詳解】由平面向量的運(yùn)算法則，可得.故選：A.【例6】設(shè)M是平行四邊形ABCD的對角線的交點(diǎn)，O為平面上任意一點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分別在OAC和OBD中，根據(jù)M是平行四邊形ABCD的對角線的交點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解.【詳解】解：在OAC中，因?yàn)镸是平行四邊形ABCD的對角線的交點(diǎn)，所以，即．在OBD中，因?yàn)镸是平行四邊形ABCD的對角線的交點(diǎn)，所以，即．所以．故選：A．【例7】若，則的取值范圍是（

）A．[3，7] B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的減法的幾何意義，確定向量共線時取得最值，即可求得答案.【詳解】由題意知，且,當(dāng)同向時，取得最小值，；當(dāng)反向時，取得最大值，；當(dāng)不共線時，取得最小值，，故的取值范圍是，故選：C【例8】已知為正三角形，則下列各式中成立的是___________.（填序號）①；②；③；④.【答案】①②③【分析】設(shè)分別為的中點(diǎn)，根據(jù)平面向量的加法和減法的運(yùn)算法則逐一判斷即可得出答案.【詳解】對于①，，故①成立；對于②，設(shè)分別為的中點(diǎn)，則，，，所以，故②成立；對于③，，所以，故③正確；對于④，，故④不成立.故答案為：①②③.【題型專練】1.（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確化簡，即可求解.【詳解】由向量的運(yùn)算法則，可得．故選：A.2．下列能化簡為的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)向量運(yùn)算對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，，D選項(xiàng)錯誤.故選：ABC在四邊形中，若，則（

）A．四邊形是矩形 B．四邊形是菱形C．四邊形是正方形 D．四邊形是平行四邊形【答案】D【分析】根據(jù)平面向量加法的運(yùn)算法則及向量相等的充要條件判斷即可；【詳解】解：，，，且，四邊形是平行四邊形．故選：D．在平面四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，則下列向量與不相等的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的加減法法則結(jié)合已知條件逐個分析判斷即可【詳解】因?yàn)樵谄矫嫠倪呅蜛BCD中，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所?所以A正確，因?yàn)?，所以，所以B正確，因?yàn)?，所以，所以C正確，因?yàn)?，所以D錯誤，故選：D5．在四邊形ABCD中，給出下列四個結(jié)論，其中一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由向量加法的三角形法則可判斷AD，由向量減法的運(yùn)算法則可判斷B，由向量加法的平行四邊形法則可判斷C.【詳解】根據(jù)三角形法則可得，所以A錯誤；根據(jù)向量減法的運(yùn)算法則可得，所以B錯誤；四邊形ABCD不一定是平行四邊形，所以不一定有，C錯誤；根據(jù)三角形法則可得正確，所以D正確.故選：D.6．在四邊形ABCD中，，若，則四邊形ABCD是（

）A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不確定【答案】B【分析】由，可得四邊形ABCD為平行四邊形，又，從而即可求解.【詳解】解：在四邊形ABCD中，因?yàn)?，所以四邊形ABCD為平行四邊形，又，即，所以平行四邊形ABCD為矩形，故選：B.7．在中，D，E，F(xiàn)分別是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)G為的重心，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】由向量的線性運(yùn)算結(jié)合三角形的重心的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖：對于選項(xiàng)A，，即選項(xiàng)A錯誤；對于選項(xiàng)B，點(diǎn)為的重心，則，即選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)C，，即選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D，，即，即選項(xiàng)D正確，故選：BCD．8．如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是梯形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，化簡下列各式：(1)；(2).【答案】(1)；(2).【分析】（1）（2）根據(jù)圖形中相關(guān)線段的位置關(guān)系，結(jié)合向量加法的幾何意義化簡目標(biāo)式.（1）；（2）.題型三：平面向量的線性運(yùn)算與共線定理【例1】[多選題]下列命題是真命題的是（

）．A．若A，B，C，D在一條直線上，則與是共線向量B．若A，B，C，D不在一條直線上，則與不是共線向量C．若向量與是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)必在一條直線上D．若向量與是共線向量，則A，B，C三點(diǎn)必在一條直線上【答案】AD【分析】向量平行與共線是同一個概念，對四個命題依次判斷即可．【詳解】A項(xiàng)為真命題，A，B，C，D在一條直線上，則向量，的方向相同或相反，因此與是共線向量；B項(xiàng)為假命題，A，B，C，D不在一條直線上，則，的方向不確定，不能判斷與是否共線；C項(xiàng)為假命題，因?yàn)椋瑑蓚€向量所在的直線可能沒有公共點(diǎn)，所以A，B，C，D四點(diǎn)不一定在一條直線上；D項(xiàng)為真命題，因?yàn)?，兩個向量所在的直線有公共點(diǎn)A，且與是共線向量，所以A，B，C三點(diǎn)共線．故選：AD．【例2】已知向量，，且，，，則一定共線的三點(diǎn)是（

）A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D【答案】A【分析】由已知，分別表示出選項(xiàng)對應(yīng)的向量，然后利用平面向量共線定理進(jìn)行判斷即可完成求解.【詳解】因?yàn)椋?，，選項(xiàng)A，，，若A，B，D三點(diǎn)共線，則，即，解得，故該選項(xiàng)正確；選項(xiàng)B，，，若A，B，C三點(diǎn)共線，則，即，解得不存在，故該選項(xiàng)錯誤；選項(xiàng)C，，，若B，C，D三點(diǎn)共線，則，即，解得不存在，故該選項(xiàng)錯誤；選項(xiàng)D，，，若A，C，D三點(diǎn)共線，則，即，解得不存在，故該選項(xiàng)錯誤；故選：A.【例3】下列說法正確的是（

）A．與是非零向量，則與同向是的必要不充分條件B．是互不重合的三點(diǎn)，若與共線，則三點(diǎn)在同一條直線上C．與是非零向量，若與同向，則與反向D．設(shè)為實(shí)數(shù)，若，則與共線【答案】ABC【分析】A選項(xiàng)：根據(jù)相等向量的定義即可判斷；B選項(xiàng)：根據(jù)向量共線的性質(zhì)，可知A、B、C三點(diǎn)共線；C選項(xiàng)：與同向，則與反向，顯然正確;D選項(xiàng)：如果，則無法得知與共線.【詳解】與同向，但不一定與相等，，若，則與同向，且有=，與同向是的必要不充分條件，A正確.與共線，則有=，故一定有三點(diǎn)在同一條直線上，B正確.與同向，則與反向，C正確.時，與不一定共線，D錯誤.故選：ABC【例4】“”是“A，B，C，D四點(diǎn)共線”的________條件．【答案】必要不充分【分析】根據(jù)向量平行的定義結(jié)合充分性、必要性的定義判斷即可.【詳解】當(dāng)時，直線AB與CD的位置關(guān)系有可能是平行或共線，當(dāng)二者平行時A，B，C，D四個點(diǎn)分別位于兩條平行線上而不是四點(diǎn)共線，則“”無法推出“A，B，C，D四點(diǎn)共線”；當(dāng)A，B，C，D四點(diǎn)共線時，直線AB與CD的位置關(guān)系為重合，此時，，則“A，B，C，D四點(diǎn)共線”可以推出“”，因此“”是“A，B，C，D四點(diǎn)共線”的必要不充分條件．故答案為：必要不充分.【例5】設(shè)向量不平行，向量與平行，則實(shí)數(shù)=___．【答案】【解析】因向量與平行，所以，所以，解得【例6】已知P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，若，其中λ∈R，則點(diǎn)P一定在（）A．AC邊所在的直線上 B．BC邊所在的直線上C．AB邊所在的直線上 D．△ABC的內(nèi)部【答案】A【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算整理可得，再結(jié)合向量共線分析即可.【詳解】∵，∴，則，則∴∴P點(diǎn)在AC邊所在直線上．故選：A．【例7】在△中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則A． B．C． D．【答案】A【解析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得，所以，故選A.【例8】在中，為邊上的中線，E為的中點(diǎn)，且，則________，_________．【答案】【解析】如下圖所示：為的中點(diǎn)，則，為的中點(diǎn)，所以，，因此，，即，.故答案為：；.【例9】在中，，為上一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，則，，由于為上一點(diǎn)，則，設(shè)，則，所以，解得.【例10】在中，點(diǎn)滿足，過點(diǎn)的直線與、所在的直線分別交于點(diǎn)、，若，，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如下圖所示：，即，，，，，，，、、三點(diǎn)共線，則.，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因此，的最小值為，故選：B.【例11】已知M為的邊的中點(diǎn)，N為內(nèi)一點(diǎn)，且，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，所以∥，又因?yàn)镸為邊的中點(diǎn)，所以點(diǎn)到的距離等于點(diǎn)到的距離，所以,【題型專練】1.已知，則下列結(jié)論中成立的是（

）A．A，B，C三點(diǎn)共線 B．A，B，D三點(diǎn)共線C．A，D，C三點(diǎn)共線 D．D，B，C三點(diǎn)共線【答案】C【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算可得，從而可求解.【詳解】解：,所以A，D，C三點(diǎn)共線.故選:C.2.已知向量，是兩個不共線的向量，且，，，若，，三點(diǎn)共線，則（）A．1 B． C．2 D．【答案】A【解析】法一：，，因，，三點(diǎn)共線，所以與共線，所以，所以，解得法二：由三點(diǎn)共線，得，故解得．3.設(shè)是兩個不共線的向量，若向量（）與向量共線，則A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)橄蛄浚ǎ┡c向量共線，所以存在實(shí)數(shù)，使得，所以有，因此，解得.4.在中，是邊上的中點(diǎn)，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】：5.在中，點(diǎn)P為中點(diǎn)，點(diǎn)