2025年江西省初中名校聯(lián)盟九年級(jí)學(xué)習(xí)效果監(jiān)測(cè)（一）數(shù)學(xué)（原卷版+解析版）

2025年江西省初中名校聯(lián)盟九年級(jí)學(xué)習(xí)效果檢測(cè)（一）數(shù)學(xué)2025年江西省初中名校聯(lián)盟九年級(jí)學(xué)習(xí)效果檢測(cè)（一）數(shù)學(xué)說明：1．本試卷滿分120分，考試時(shí)間為120分鐘．2．請(qǐng)按試題序號(hào)在答題卡相應(yīng)位置作答，答在試題卷或其他位置無效．一、單項(xiàng)選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）1.對(duì)于一元二次方程，若變形后二次項(xiàng)系數(shù)為2，則一次項(xiàng)系數(shù)為（）A.0 B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的一般形式，能熟記一元二次方程的一般形式是解此題的關(guān)鍵，注意：一元二次方程的一般形式是（a、b、c為常數(shù)，）．先把方程化成一元二次方程的一般形式，并變形后二次項(xiàng)系數(shù)為2，再找出一次項(xiàng)系數(shù)即可．【詳解】解：，，若變形后二次項(xiàng)系數(shù)為2，可得：所以一次項(xiàng)系數(shù)是，故選：B．2.下列樂譜符號(hào)，是中心對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查的是中心對(duì)稱圖形的概念，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)度后與原圖重合．根據(jù)中心對(duì)稱圖形的概念：把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形，逐一判斷即可．【詳解】解：A、繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，不能夠與原圖形重合，不是中心對(duì)稱圖形，故不符合題意；B、繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，不能夠與原圖形重合，不是中心對(duì)稱圖形，故不符合題意；C、繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，不能夠與原圖形重合，不是中心對(duì)稱圖形，故不符合題意；D、繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，能夠與原圖形重合，是中心對(duì)稱圖形，故符合題意；故選：D．3.已知是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】此題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解即可，解題的關(guān)鍵是熟記：一元二次方程的兩個(gè)根為，，則，．【詳解】解：∵，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴．故選：A．4.若是雙曲線上一點(diǎn)，則下列各點(diǎn)，不在該雙曲線上的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了求反比例函數(shù)解析式，熟練掌握反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征——“橫縱坐標(biāo)之積”是解題的關(guān)鍵．先求出反比例函數(shù)解析式，即的值，然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征——“橫縱坐標(biāo)之積”逐項(xiàng)分析判斷即可．【詳解】解：是雙曲線上一點(diǎn)，，即：，A.，該點(diǎn)在雙曲線上，故選項(xiàng)不符合題意；B.，該點(diǎn)在雙曲線上，故選項(xiàng)不符合題意；C.，該點(diǎn)不在雙曲線上，故選項(xiàng)符合題意；D.，該點(diǎn)在雙曲線上，故選項(xiàng)不符合題意；故選：．5.火星和地球的赤道可以近似地看作一個(gè)圓，其中火星赤道的半徑是地球的，若把它們的半徑都增加，則赤道周長增加更多的是（）A.地球 B.火星 C.一樣多 D.無法確定【答案】C【解析】【分析】本題的解題關(guān)鍵是認(rèn)識(shí)到圓的周長公式中，周長的增加量僅與半徑的增加量有關(guān)，而與原始半徑的具體大小無關(guān)．這意味著，只要兩個(gè)圓的半徑增加相同的量，無論它們?cè)镜陌霃酱笮∪绾?，周長的增加量將是一樣的．【詳解】解：地球赤道半徑增加后的周長增加量為．火星赤道半徑增加后的周長增加量為．從計(jì)算結(jié)果來看，無論地球還是火星，只要半徑增加相同的量，周長的增加量是相同的，都等于．故選：C．6.已知四點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，這4個(gè)點(diǎn)中的3點(diǎn)可確定拋物線，若要使最大，則該拋物線所經(jīng)過的三點(diǎn)是（）A.點(diǎn)和 B.點(diǎn)和 C.點(diǎn)和 D.點(diǎn)和【答案】D【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性，得到二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)和或點(diǎn)和或點(diǎn)和，根據(jù)值最大，則為正數(shù)，得到拋物線的開口向上，且開口大小最大，則拋物線對(duì)稱兩點(diǎn)的距離最小，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：由題意，拋物線的圖象經(jīng)過點(diǎn)和或點(diǎn)和或點(diǎn)和，當(dāng)拋物線的圖象經(jīng)過點(diǎn)和時(shí)，兩點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)橫軸對(duì)稱，∵m+3>m+2，n>n-1，拋物線的圖象開口向下，此時(shí)；當(dāng)拋物線的圖象經(jīng)過點(diǎn)和時(shí)，兩點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)橫軸對(duì)稱，∵m+4>m+3，n>n-1，拋物線的圖象開口向上，此時(shí)，且關(guān)于拋物線對(duì)稱的兩點(diǎn)之間的距離為：；當(dāng)拋物線圖象經(jīng)過點(diǎn)和時(shí)，兩點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)橫軸對(duì)稱，∵m+4>m+3，n>n-1，拋物線的圖象開口向上，此時(shí)，且關(guān)于拋物線對(duì)稱的兩點(diǎn)之間的距離為：；∵，拋物線對(duì)稱兩點(diǎn)的距離越小，a的值越大；要使最大，該拋物線所經(jīng)過的三點(diǎn)是和，故選：D．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）7.若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值為___________．【答案】4【解析】【分析】本題考查了一元二次方程，掌握根的判別式與一元二次方程的根的情況是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程根的判別式的正負(fù)判斷即可．【詳解】解：原方程可變形為，由題意可得：解得：故答案為：4．8.小賢同學(xué)要測(cè)量圖中不規(guī)則圖案（恐龍）的面積，采用的辦法是：先用邊長為的正方形將該圖案圍起來，再向正方形區(qū)域內(nèi)擲點(diǎn)，通過大量的重復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)落在不規(guī)則圖案部分的頻率穩(wěn)定在附近，請(qǐng)你根據(jù)小賢同學(xué)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，得出該不規(guī)則圖案（恐龍）的面積為___________．【答案】【解析】【分析】本題考查了用頻率估計(jì)概率，熟練掌握用頻率估計(jì)概率的方法是解題的關(guān)鍵．用頻率和概率之間的關(guān)系解答即可．【詳解】解：點(diǎn)落在圖案部分的頻率穩(wěn)定在左右，此不規(guī)則圖案的面積大約為，故答案為：．9.若點(diǎn)都在反比例函數(shù)圖象上，則的值為___________．【答案】【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)解析式的確定，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)解析式與點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵點(diǎn)都在反比例函數(shù)的圖象上，∴，即，∴，∴，∴故答案為：．10.如圖，是的內(nèi)接三角形，是它的一個(gè)外角，若，則的度數(shù)為___________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查圓周角定理和圓的內(nèi)接四邊形，圓周角定理，掌握?qǐng)A的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是關(guān)鍵．如圖所示，在上取點(diǎn)E，連接，，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出，然后根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)求出，再根據(jù)圓周角定理進(jìn)而求解即可．【詳解】解：如圖所示，在優(yōu)弧上取點(diǎn)E，連接，，∵是它的一個(gè)外角，，∴ ，∵四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，∴，即，∴．故答案為：．11.定義：若線段上有一點(diǎn)滿足或，則稱點(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn)．在如圖所示的五角星圖案中，已知點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，若，則線段的長為___________．【答案】##【解析】【分析】本題考查的是黃金分割的概念，熟記線段的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)黃金分割的定義可得，繼而由求出，再由線段和差計(jì)算即可求解．【詳解】解：由題意得，，∴，∴，故答案為：．12.如圖，在中，是斜邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將點(diǎn)繞著點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角度得到點(diǎn)，若點(diǎn)落在中位線所在直線上，則點(diǎn)到的距離為___________．【答案】1或或【解析】【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，過點(diǎn)D作于點(diǎn)G，連接，根據(jù)題意，分點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，三種種情況討論，畫出示意圖，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)結(jié)合中位線的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，過點(diǎn)D作于點(diǎn)G，連接，∵點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)，∴都是的中位線，∴，∵在中，是斜邊的中點(diǎn)，∴，∴，∴，當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)，則，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，∴；當(dāng)和點(diǎn)在直線上時(shí)，∵，，∴，∴，∴；當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)，過點(diǎn)F作于點(diǎn)H，則（平行線間距離相等），∵，∴；綜上，點(diǎn)落在中位線所在直線上，則點(diǎn)到的距離為1或或，故答案為：1或或．三、解答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）13.（1）解方程：；（2）已知，求的值．【答案】（1），；（2）2【解析】【分析】本題考查了解一元二次方程，比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的解法：直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法等．（1）利用直接開方法解一元二次方程即可；（2）根據(jù)題意得到，，然后代入整體化簡即可．【詳解】解：（1），，解得，；（2）∵，∴，，∴．14.為引導(dǎo)學(xué)生好讀書，讀好書，書讀好，近期，某中學(xué)臨江校區(qū)開展“好書推薦”系列活動(dòng)，某班班主任準(zhǔn)備從本班的甲、乙、丙、丁名同學(xué)中隨機(jī)抽取名同學(xué)擔(dān)任第一期的“好書推薦官”．（1）事件“抽取的名同學(xué)，一定有戊同學(xué)”是事件；（2）請(qǐng)用畫樹狀圖法或列表法，求甲、乙名同學(xué)被抽到的概率．【答案】（1）不可能（2）【解析】【分析】本題考查的是事件的含義，利用畫樹狀圖或列表法求解隨機(jī)事件的概率，熟記事件的概念與分類以及畫樹狀圖或列表的方法是解本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)事件的分類解答即可；（2）先畫樹狀圖得到所有可能的情況數(shù)與符合條件的情況數(shù)，再利用概率公式計(jì)算即可．【小問1詳解】解：事件“抽取的名同學(xué)，一定有戊同學(xué)”是不可能事件，故答案為：不可能；【小問2詳解】畫樹狀圖為：

共有種等可能的結(jié)果，其中選中的兩名同學(xué)恰好是甲、乙的結(jié)果數(shù)為，選中的兩名同學(xué)恰好是甲，乙的概率為．15.小明設(shè)計(jì)了一個(gè)魔術(shù)盒，當(dāng)任意實(shí)數(shù)對(duì)進(jìn)入其中時(shí)，會(huì)得到一個(gè)新的實(shí)數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求得到的新實(shí)數(shù)；（2）現(xiàn)將實(shí)數(shù)對(duì)放入其中，得到新實(shí)數(shù)，求的值．【答案】（1）6（2）【解析】【分析】本題主要考查新定義，一元二次方程的求解，理解新定義的運(yùn)算法則，掌握因式分解法求一元二次方程的解的方法是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)新定義，代入求值即可；（2）根據(jù)題意得到一元二次方程，因式分解法求解即可．【小問1詳解】解：∵當(dāng)任意實(shí)數(shù)對(duì)進(jìn)入其中時(shí)，會(huì)得到一個(gè)新的實(shí)數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，原式；【小問2詳解】解：根據(jù)題意，將實(shí)數(shù)對(duì)放入其中得到，∴，整理得，，解得，．16.圖1是某城市一座造型獨(dú)特的橋梁，該橋因索塔為圓形而被稱為“戒指橋”，圖2是該橋索塔示意圖，已知橋面在圓形索塔上的部分，為的中點(diǎn)，為圓心，連接．（1）求證：；（2）經(jīng)測(cè)量，到的距離為，求該的半徑．【答案】（1）見解析（2）的半徑為【解析】【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握吹經(jīng)定理．（1）設(shè)與交于點(diǎn)，由為的中點(diǎn)，可得，推出，即可證明；（2）連接，由題意可得：，根據(jù)垂徑定理可得，設(shè)的半徑為，則，在中，根據(jù)勾股定理求解即可．【小問1詳解】證明：設(shè)與交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，，；【小問2詳解】連接，由題意可得：，，，設(shè)的半徑為，則，，中，由勾股定理可得：，即，解得：，的半徑為．17.如圖，是由繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，若，，請(qǐng)僅用無刻度的直尺按下列要求畫圖．（1）在圖1中作的角平分線；（2）在圖2中畫以為邊的菱形．【答案】（1）線段即所求（2）菱形即為所求【解析】【分析】本題主要考查作圖，角平分線的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)等知識(shí)；（1）連接，交于點(diǎn)，即為所求；（2）過點(diǎn)作，延長與交于點(diǎn)，畫出即可求出．【小問1詳解】解：連接，交于點(diǎn)，即為所求，，，，由旋轉(zhuǎn)可得：，，，，，即平分；【小問2詳解】解：過點(diǎn)作，延長與交于點(diǎn)，如下圖：∵∴∵∴為平行四邊形，又∵∴為菱形，且以為邊的菱形．四、解答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）18.如圖，是半圓的直徑，為半圓上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），射線與直徑的垂線相交于點(diǎn)，連接，已知．（1）當(dāng)時(shí)，分別求線段和的長．（2）判斷與的乘積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．【答案】（1），（2）與的乘積是定值，該定值為．【解析】【分析】本題考查了圓周角定理，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．（1）根據(jù)題意可得：，根據(jù)勾股定理可求出，證明，得到，即可求出；（2）由（1）知，，得到，推出，即可判斷．【小問1詳解】解：是半圓的直徑，為半圓上任意一點(diǎn)，，，，，由題意可知，，又，，，即，；【小問2詳解】與的乘積是定值，由（1）知，，，，與的乘積是定值，該定值為．19.【課本再現(xiàn)】（1）如圖1，線段，相交于點(diǎn)，，．求證：①；②；【遷移應(yīng)用】（2）如圖2，在四邊形中，，，分別是邊，的中點(diǎn)，連接，猜想，，三條線段的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）①見解析；②見解析；（2），證明見解析【解析】【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理，勾股定理：（1）①證明，即可得出結(jié)論；②由得，再由平行線的判定即可證明；（2）連接，取的中點(diǎn)，連接，利用三角形的中位線定理，結(jié)合勾股定理即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）①，，，，；②由①知，，，；（2），證明如下：連接，取的中點(diǎn)，連接，∵，分別是邊，的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．20.某教育測(cè)量專家研究初中生在數(shù)學(xué)課堂上聽課注意力指標(biāo)數(shù)與上課時(shí)間的函數(shù)關(guān)系時(shí)，用如下表格和圖象來表示這兩個(gè)變量的變化規(guī)律．上課時(shí)間02468101214161820243240指標(biāo)數(shù)28.833.638.443.24848484848484030（1）由表格和圖象可知，當(dāng)時(shí)，是的函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是的函數(shù)；（填“一次”“二次”或“反比例”）（2）求的值并補(bǔ)全圖象；（3）科學(xué)研究表明，當(dāng)注意力指標(biāo)數(shù)不低于30時(shí)，學(xué)生學(xué)習(xí)解綜合題的效果會(huì)更好．為了了解一線教育的真實(shí)情況，該教育測(cè)量專家到一線聽了某老師上的一節(jié)解題課，聽完后，該專家對(duì)這堂課進(jìn)行了點(diǎn)評(píng)：“這堂課剛開始進(jìn)行了3分鐘預(yù)熱，然后開始剖析數(shù)學(xué)綜合題，上到31分鐘時(shí)，結(jié)束對(duì)數(shù)學(xué)綜合題的探究，這段時(shí)間，學(xué)生注意力較集中，學(xué)生學(xué)習(xí)解綜合題的效果很顯著．”請(qǐng)你根據(jù)圖表中給出的信息，結(jié)合測(cè)量學(xué)，解釋該教育專家點(diǎn)評(píng)的合理性．【答案】（1）一次，反比例（2）（3）見詳解【解析】【分析】本題主要考查一次函數(shù)，反比例函數(shù)的運(yùn)用，理解表格信息，函數(shù)圖象信息，掌握一次函數(shù)，反比例函數(shù)的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)表格，函數(shù)圖象分析即可；（2）運(yùn)用待定系數(shù)法求解即可；（3）根據(jù)函數(shù)解析式，分別求出時(shí)的時(shí)間，進(jìn)行比較即可求解．【小問1詳解】解：根據(jù)表格信息可得，當(dāng)時(shí)，是的一次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是的反比例函數(shù)，故答案為：一次，反比例；【小問2詳解】解：當(dāng)時(shí)，是的一次函數(shù)，設(shè)解析式為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，解得，，∴一次函數(shù)解析式為，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，是的反比例函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，∴設(shè)反比例函數(shù)解析式為，∴，解得，，∴反例函數(shù)解析式為，當(dāng)時(shí)，；綜上所述，，補(bǔ)全圖形如下，；【小問3詳解】解：當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)解析式為，當(dāng)時(shí)，，解得，，∵這堂課剛開始進(jìn)行了3分鐘預(yù)熱，∴符合學(xué)生聽課注意力指標(biāo)數(shù)與上課時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，合理；當(dāng)時(shí)，反例含解析式為，當(dāng)時(shí)，，解得，，∵上到31分鐘時(shí)，結(jié)束對(duì)數(shù)學(xué)綜合題的探究，∴這段時(shí)間，學(xué)生注意力較集中，學(xué)生學(xué)習(xí)解綜合題的效果很顯著；綜上所述，該教育專家點(diǎn)評(píng)的合理．五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）21.項(xiàng)目主題設(shè)計(jì)一本書的封面項(xiàng)目要求1．封面長，寬；2．正中央是一個(gè)與整個(gè)封面長、寬比例相同的矩形；3．四周的白色邊襯所占面積是封面總面積的；4．上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬項(xiàng)目任務(wù)（1）求上、下邊襯與左，右邊襯的寬度之比；（2）設(shè)上、下邊襯寬均為，請(qǐng)你列出關(guān)于的方程，并分別求上、下邊襯和左，右邊襯的寬．項(xiàng)目反思（3）用上面設(shè)未知數(shù)的方法列方程，解方程進(jìn)行解題較復(fù)雜，請(qǐng)你換一種設(shè)未知數(shù)的方法，更簡單地解決上面的問題．【答案】（1）；（2）上、下邊襯的寬為，左、右邊襯的寬為；（3）見解析【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確找出等量關(guān)系．（1）根據(jù)題意可得：封面的長寬之比為，則中央矩形的長寬之比也是，設(shè)中央矩形的長、寬分別是，，即可求解；（2）設(shè)上、下邊襯的寬均為，左、右邊襯的寬為，則中央矩形的長為、寬為，由題意可得：中央矩形的面積是封面總面積的，據(jù)此列方程即可求解；（3）設(shè)中央矩形的長為、寬為，根據(jù)題意列出方程，求出，最后根據(jù)：上、下邊襯的寬均為，左、右邊襯的寬為，即可求解．【詳解】解：（1）封面長，寬，封面的長寬之比為：，中央矩形的長寬之比也是：，設(shè)中央矩形的長、寬分別是，，上、下邊襯與左，右邊襯的寬度之比為：；（2）設(shè)上、下邊襯的寬均為，左、右邊襯的寬為，則中央矩形的長為、寬為，四周的白色邊襯所占面積是封面總面積的，則中央矩形的面積是封面總面積的，，整理得：，解得：，，當(dāng)時(shí)，上、下邊襯的寬為，左、右邊襯的寬為，不符合實(shí)際意義；當(dāng)時(shí)，上、下邊襯的寬為，左、右邊襯的寬為，符合實(shí)際意義；綜上所述，上、下邊襯的寬為，左、右邊襯的寬為；（3）設(shè)中央矩形的長為、寬為，根據(jù)題意得：，解得：，（舍去），上、下邊襯的寬均為，左、右邊襯的寬為．22.綜合與實(shí)踐根據(jù)以下素材，完成探究任務(wù)．城墻建多高才能抵御敵方的進(jìn)攻？【素材1】圖1是古代一種攻城器械“發(fā)石車”，其投出去的石塊運(yùn)動(dòng)軌跡是拋物線的一部分．【素材2】如圖2，防守方的護(hù)城墻垂直于地面，墻高，進(jìn)攻方把“發(fā)石車”放置在距處的處，石塊從處豎直方向上的處被投出，當(dāng)石塊在空中飛行到與的水平距離為時(shí)，石塊離地面的高度最高，最高高度為．【解決問題】（1）當(dāng)時(shí)．①建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求拋物線（石塊運(yùn)動(dòng)軌跡）的解析式；②進(jìn)攻方的石塊能飛進(jìn)防守方的城墻嗎？若能，城墻應(yīng)加建多高以上，才能讓進(jìn)攻方的石塊飛不進(jìn)防守方城墻；若不能，請(qǐng)說明理由．（2）問：石塊初發(fā)點(diǎn)與的距離在什么范圍內(nèi)，防守方無須加高城墻？【答案】（1）①拋物線的解析式為；②進(jìn)攻方的石塊能飛進(jìn)防守方的城墻，城墻應(yīng)加建以上（2）當(dāng)時(shí)，防守方無須加高城墻【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．（1）①以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，則，設(shè)拋物線的解析式為，利用待定系數(shù)法求解即可；②令，求出值，即可判斷進(jìn)攻方石塊能飛進(jìn)防守方的城墻，用求出的值減去城墻高度即可得到城墻應(yīng)加建多高；（2）設(shè)拋物線的解析式為，，則，得到，拋物線的解析式為，根據(jù)題意可得：當(dāng)時(shí)，，即可求解．【小問1詳解】①以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，，，，設(shè)拋物線的解析式為，將代入得：，解得：，拋物線的解析式為；②進(jìn)攻方的石塊能飛進(jìn)防守方的城墻，，，，令，則，，進(jìn)攻方的石塊能飛進(jìn)防守方的城墻，，城墻應(yīng)加建以上；【小問2詳解】設(shè)拋物線的解析式為，，則，將代入拋物線解析式得：，，拋物線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，解得：，當(dāng)時(shí)，防守方無須加高城墻．六、解答題（本大題共12分）23.綜合與實(shí)踐如圖1，在中，點(diǎn)分別在直線和上，直線相交于點(diǎn)，某數(shù)學(xué)興趣小組在探究四條線段的比例關(guān)系時(shí)，經(jīng)歷了如下過程：【特例感知】（1）①如圖2，當(dāng)時(shí)，若，則；②如圖3，當(dāng)時(shí)，若，則．【猜想證明】（2）猜想四條線段的比例關(guān)系，并結(jié)合圖1進(jìn)行證明．（備注：從圖1中的①或②選擇一個(gè)證明即可）【拓展應(yīng)用】（3）如圖4，在四邊形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)，若，試求邊的長．【答案】[特例感知]（1）①；②；[猜想證明]（2）四條線段的比例關(guān)系為：，理由見詳解[拓展應(yīng)用]（3）【解析】【分析】（1）①當(dāng)時(shí)，平行四邊形是正方形，可證，得到，由此即可求解；②當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形，則，，，可證，得到，由此即可求解；（2）選擇圖1中的①：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，且，可證，得到，，再證明，得到，即，由此即可求解；選擇圖1中的②：證明方法同上；（3）如圖所示，過作交于，則，，設(shè)，則，，設(shè)，，先證明，得到，解得，，再證明，得到，求出，，最后根據(jù)和列方程求解即可．【詳解】解：[特例感知]（1）四邊形是平行四邊形，①當(dāng)時(shí)，平行四邊形是正方形，如圖所示，∴，∵∴，即，∵，∴，在和中，，∴，∴，故答案為：；②當(dāng)時(shí)，如圖所示，∴四邊形是矩形，∴，，∴，∴∴，∴，∴，∵，即，∴，故答案為：；[猜想證明]（2），理由如下，選擇圖1中的①，四邊形是平行四邊形，點(diǎn)在線段上，，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，，∴，且，∴，∴，，∵，∴，∴，且，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴；圖1中的②：四邊形是平行四邊形，點(diǎn)在直線上，，同理，四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，，∴，且，∴，∴，，∵，∴，∴，且，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴；綜上所述，四條線段的比例關(guān)系為：；[拓展應(yīng)用]（3）如圖所示，過作交于，∴，∵，∴，∴設(shè)，則，，∵，∴∵，∴設(shè)，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，解得，，∵，，∴，∴，∴，∴，，∵，∴，去分母得，整理得，∵中，，∴，整理得，∴，解得或（舍去），∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，解一元二次方程等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是證明相似．說明：1．本試卷滿分120分，考試時(shí)間為120分鐘．2．請(qǐng)按試題序號(hào)在答題卡相應(yīng)位置作答，答在試題卷或其他位置無效．一、單項(xiàng)選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）1.對(duì)于一元二次方程，若變形后二次項(xiàng)系數(shù)為2，則一次項(xiàng)系數(shù)為（）A.0 B.1 C. D.2.下列樂譜符號(hào)，是中心對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.3.已知是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為（）A. B. C. D.4.若是雙曲線上一點(diǎn)，則下列各點(diǎn)，不在該雙曲線上的是（）A. B. C. D.5.火星和地球的赤道可以近似地看作一個(gè)圓，其中火星赤道的半徑是地球的，若把它們的半徑都增加，則赤道周長增加更多的是（）A.地球 B.火星 C.一樣多 D.無法確定6.已知四點(diǎn)坐標(biāo)分別為，這4個(gè)點(diǎn)中的3點(diǎn)可確定拋物線，若要使最大，則該拋物線所經(jīng)過的三點(diǎn)是（）A.點(diǎn)和 B.點(diǎn)和 C.點(diǎn)和 D.點(diǎn)和二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）7.若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值為___________．8.小賢同學(xué)要測(cè)量圖中不規(guī)則圖案（恐龍）的面積，采用的辦法是：先用邊長為的正方形將該圖案圍起來，再向正方形區(qū)域內(nèi)擲點(diǎn)，通過大量的重復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)落在不規(guī)則圖案部分的頻率穩(wěn)定在附近，請(qǐng)你根據(jù)小賢同學(xué)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，得出該不規(guī)則圖案（恐龍）的面積為___________．9.若點(diǎn)都在反比例函數(shù)圖象上，則的值為___________．10.如圖，是的內(nèi)接三角形，是它的一個(gè)外角，若，則的度數(shù)為___________．11.定義：若線段上有一點(diǎn)滿足或，則稱點(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn)．在如圖所示的五角星圖案中，已知點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，若，則線段的長為___________．12.如圖，在中，是斜邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將點(diǎn)繞著點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角度得到點(diǎn)，若點(diǎn)落在中位線所在直線上，則點(diǎn)到的距離為___________．三、解答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）13.（1）解方程：；（2）已知，求的值．14.為引導(dǎo)學(xué)生好讀書，讀好書，書讀好，近期，某中學(xué)臨江校區(qū)開展“好書推薦”系列活動(dòng)，某班班主任準(zhǔn)備從本班的甲、乙、丙、丁名同學(xué)中隨機(jī)抽取名同學(xué)擔(dān)任第一期的“好書推薦官”．（1）事件“抽取的名同學(xué)，一定有戊同學(xué)”是事件；（2）請(qǐng)用畫樹狀圖法或列表法，求甲、乙名同學(xué)被抽到的概率．15.小明設(shè)計(jì)了一個(gè)魔術(shù)盒，當(dāng)任意實(shí)數(shù)對(duì)進(jìn)入其中時(shí)，會(huì)得到一個(gè)新的實(shí)數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求得到的新實(shí)數(shù)；（2）現(xiàn)將實(shí)數(shù)對(duì)放入其中，得到新實(shí)數(shù)，求的值．16.圖1是某城市一座造型獨(dú)特的橋梁，該橋因索塔為圓形而被稱為“戒指橋”，圖2是該橋索塔示意圖，已知橋面在圓形索塔上的部分，為的中點(diǎn)，為圓心，連接．（1）求證：；（2）經(jīng)測(cè)量，到的距離為，求該的半徑．17.如圖，是由繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，若，，請(qǐng)僅用無刻度的直尺按下列要求畫圖．（1）在圖1中作的角平分線；（2）在圖2中畫以為邊的菱形．四、解答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）18.如圖，是半圓的直徑，為半圓上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），射線與直徑的垂線相交于點(diǎn)，連接，已知．（1）當(dāng)時(shí)，分別求線段和的長．（2）判斷與的乘積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．19.【課本再現(xiàn)】（1）如圖1，線段，相交于點(diǎn)，，．求證：①；②；【遷移應(yīng)用】（2）如圖2，在四邊形中，，，分別是邊，的中點(diǎn)，連接，猜想，，三條線段的數(shù)量關(guān)系，并證明．20.某教育測(cè)量專家研究初中生在數(shù)學(xué)課堂上聽課注意力指標(biāo)數(shù)與上課時(shí)間的函數(shù)關(guān)系時(shí)，用如下表格和圖象來表示這兩