統(tǒng)計規(guī)律課件

多粒子體系的熱運動

§19.2

近獨立子系的統(tǒng)計規(guī)律一.研究對象：大量近獨立粒子組成的體系子系：體系內(nèi)的粒子經(jīng)典描述量子描述近獨立：不計入相互作用勢能但粒子間微弱相互作用可以使系統(tǒng)實現(xiàn)平衡難點：近獨立子系的最概然分布經(jīng)典粒子：麥克斯韋-玻爾茲曼分布費米子：費米-狄拉克分布玻色子：玻色-愛因斯坦分布了解子系模型經(jīng)典粒子：用確定的描述其運動狀態(tài)彼此可以區(qū)分量子粒子：用全同波函數(shù)描述其運動狀態(tài)彼此不可以區(qū)分（例：勢阱中粒子）費米子玻色子（例：電子）自旋為半整數(shù)，遵從泡利不相容原理（例：光子）自旋為整數(shù)，不遵從泡利不相容原理§19.3

M-B

統(tǒng)計在理想氣體中的應(yīng)用重點：將M-B統(tǒng)計應(yīng)用于理想氣體得出的幾個統(tǒng)計規(guī)律理想氣體壓強公式：為分子平均平動動能式中理想氣體溫度公式由得

實際上，每個分子的速率可以具有從零到無限大之間任意可能的值。

個別分子的速率是偶然的，大量分子的速率是有一定分布規(guī)律的。

對給定氣體，當(dāng)溫度恒定時方均根速率也是恒定的.一、麥克斯韋分子速率分布定律條件：理想氣體，平衡態(tài)（熱動平衡）宏觀：微觀：各分子不停運動且頻繁碰撞，1.內(nèi)容：平衡態(tài)下，無外力場作用時，理想氣體分子速率在v—

v

+dv

間的概率為:分布函數(shù)：分子速率在

v

附近單位速率區(qū)間的概率

處在溫度為T

的平衡態(tài)下的氣體，處于v

附近的單位速率區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率（百分比）。2.麥克斯韋速率分布曲線討論:

1）氣體分子速率可取的一切值，但v很小和v很大的分子所占比率小，具有中等速率分子所占比率大。令數(shù)量級：Ovf(v)vp物理意義：Ovf(v)vp若將分為相等的速率間隔，則在包含的間隔中的分子數(shù)最多。最概然速率是速率分布曲線極大值所對應(yīng)的速率。問：是不是速率恰好等于最概然速率的分子數(shù)最多？與總分子數(shù)的百分比是多少？解：速率分布是連續(xù)的，談?wù)撍俾是『脼槟骋恢档姆肿訑?shù)或概率都是毫無意義的。零窄條：分子速率在v——v+dv

區(qū)間內(nèi)的概率部分：

2)

曲線下的面積討論：vvf(v)OOf(v)v+dvOvvf(v)v1v2總面積：歸一化條件Ovf(v)v+dvvf(v)vf(v)OOvv1v2練習(xí)：的物理意義?單位體積內(nèi)，處于速率間隔內(nèi)的分子數(shù)；附近速率間隔內(nèi)的分子數(shù)m一定,3)分布曲線隨m,T

變化討論：曲線峰值右移，總面積不變，曲線變平坦

T一定,曲線峰值左移，總面積不變，曲線變尖銳。3.分子速率的三種統(tǒng)計平均值一般情況：Ovf(v)vp2vp1m1m2>m1T一定同理：1）平均速率2）方均根速率3）最概然速率（最可幾速率)三者關(guān)系：Ovf(v)vp④練習(xí):①②③(1)下列答案中正確的是：Ovf(v)v0SASB解：因為

由題意說明Ovf(v)v0SASB（2）解一：解二：哪一種解法對？解：區(qū)間的分子數(shù)為該區(qū)間內(nèi)分子速率之和為所以該區(qū)間分子的平均速率為4.實驗驗證（高真空技術(shù)的發(fā)展促進(jìn)驗證精度的提高）教材:1955年密勒.庫什實驗介紹:1934年葛正權(quán)實驗不同v分子到達(dá)P所用時間不等,沉淀于玻片上不同位置,用光學(xué)方法測玻片上鉍厚度分布可推知分子速率分布。實驗結(jié)果驗證了麥?zhǔn)戏肿铀俾史植级伞：鉍蒸汽源P：繞中心軸轉(zhuǎn)動的圓筒內(nèi)貼玻片O

例題處理理想氣體分子速率分布的統(tǒng)計方法可用于金屬中自由電子(“電子氣”模型),設(shè)導(dǎo)體中自由電子數(shù)為N,電子速率最大值為費米速率且已知電子速率在v—v+dv

區(qū)間概率為：①畫出電子氣速率分布曲線②③解:②由歸一化條件③①Ovf(v)vF無外力場存在時,麥?zhǔn)戏肿铀俾史植级甥準(zhǔn)戏肿铀俣确植级杀Ｊ亓鲋?，粒子不再均勻分布二、玻爾茲曼分布重力場中粒子按高度分布?guī)律粒子按勢能分布規(guī)律或：在空間小體積速度在的分子數(shù)：對所有速度積分得體積元兩點修正變量間隔改為分子數(shù)密度：重力場中，熱運動與重力作用相互影響，實現(xiàn)熱動平衡時，氣體分子數(shù)密度隨高度上升，按指數(shù)規(guī)律下降。恒溫氣壓公式高度計原理解：一般取海平面處氣壓為760mmHg討論：由該例題可以看出，當(dāng)高度上升12.4m時，氣壓平均下降1mmHg。例：測得黃山玉屏樓氣壓為625mmHg，氣溫17

C，空氣的平均摩爾質(zhì)量

=28.910-3kgmol-1，氣溫恒定求：此處海拔高度三.能均分定律理想氣體內(nèi)能各種平均能量按自由度均分1.模型的改進(jìn)推導(dǎo)壓強公式：理想氣體分子——

質(zhì)點討論能量問題：考慮分子內(nèi)部結(jié)構(gòu)——

質(zhì)點組大量分子系統(tǒng)：各種運動形式的能量分布、平均總能量均遵守統(tǒng)計規(guī)律。分子熱運動平動轉(zhuǎn)動分子內(nèi)原子間振動2.自由度確定一個物體的空間位置所需的獨立坐標(biāo)數(shù)總自由度數(shù)=平動自由度+轉(zhuǎn)動自由度+振動自由度1）質(zhì)點：只有平動，最多三個自由度受限制時自由度減少飛機t=3輪船t=2火車t=1例：決定質(zhì)心位置t=3過質(zhì)心轉(zhuǎn)軸方位剛體相對于軸的方位r=3最多6個自由度:i=t+r=6定軸剛體:i=r=12）剛體3）氣體分子單原子分子—自由質(zhì)點i=t=3質(zhì)心位置t=3雙原子分子—

輕彈簧聯(lián)系的兩個質(zhì)點xyzOCm2m1多原子分子（原子數(shù)n)最多可能自由度i=3n平動t=3轉(zhuǎn)動r=3振動s=3n-6剛性多原子分子t=3r=3s=0i=63.

能均分定律分子的平均總動能:由M-B統(tǒng)計得,在溫度T的平衡態(tài)下，物質(zhì)(固，液，氣)分子的每一個可能的自由度都有相同的平均動能定性說明：由于分子頻繁碰撞，動能在各運動形式、各自由度之間轉(zhuǎn)移，平衡時，各種平均動能按自由度均分。由能均分定律，其它各自由度上平均動能均為由溫度公式每個自由度上的平均平動動能：平均平動動能平均轉(zhuǎn)動動能平均振動動能平均總動能注意:能均分定律是統(tǒng)計規(guī)律，反映大量分子系統(tǒng)的整體性質(zhì)，對個別分子或少數(shù)分子不適用。2）理想氣體內(nèi)能：（分子數(shù)N）模型：分子間無相互作用~無分子相互作用勢能分子動能：原子振動勢能：4.理想氣體的內(nèi)能1）實際氣體的內(nèi)能：（分子數(shù)N）所有分子的動能：微振動：采用諧振動模型所有分子內(nèi)原子振動勢能：分子間相互作用勢能：與體積

有關(guān)與T,V有關(guān)模型：剛性分子~無振動自由度分子數(shù)為N

的理想氣體的內(nèi)能為對1mol剛性分子理想氣體單原子分子剛性雙原子分子剛性多原子分子溫度T的單值函數(shù)練習(xí)：P.63619.3.8；平衡態(tài)下，物質(zhì)分子每個自由度上的平均動能平衡態(tài)下，物質(zhì)分子的平均平動動能平衡態(tài)下，物質(zhì)分子的平均總動能平衡態(tài)下，1mol理想氣體內(nèi)能19.10

指出下列各量的物理意義P63919-12:剛性雙原子分子氣體1)

N=?2)3)4)四.分子碰撞的統(tǒng)計規(guī)律只能求統(tǒng)計平均值，尋求其統(tǒng)計規(guī)律。分子速率分布平均動能按自由度分布都是依賴分子間頻繁碰撞實現(xiàn)的每個分子1秒內(nèi)與其它分子相撞次數(shù)連續(xù)兩次相撞間經(jīng)過的時間間隔連續(xù)兩次相撞間通過的路程均不確定1.分子平均碰撞頻率1)

模型的改變：是否需要象計算E

那樣考慮內(nèi)部結(jié)構(gòu)？思考：是否可以象求

p那樣視為質(zhì)點？單位時間內(nèi)每個分子平均與其它分子相撞次數(shù)分析分子碰撞的過程

分子間相互作用rFOr0斥力引力合力分子間最小距離d

與分子初動能有關(guān)，其統(tǒng)計平均值—分子的有效直徑。分子相撞——視為直徑為d

的剛性小球的彈性碰撞

兩分子相碰過程（經(jīng)典模型）rFOr0斥力引力合力2)

推導(dǎo)公式：“跟蹤”一個分子A，認(rèn)為其它分子不動，A以平均相對速率相對其它分子運動。時間

t

內(nèi)，A通過的折線長以折線為軸的曲折圓柱體積圓柱內(nèi)分子數(shù)A球心軌跡：折線質(zhì)心與折線距離<d

的分子將與A相碰；質(zhì)心與折線距離>d

的分子將不與A相碰單位時間內(nèi)平均碰撞次數(shù)平均碰撞頻率一般：平均相對速率ABABAB1)

定義分子在連續(xù)兩次碰撞間通過的自由路程的平均值。2)常溫常壓下：為分子有效直徑的數(shù)百倍注意：2.分子平均自由程練習(xí)：P.63919-18在氣體放電管中，電子不斷與氣體分子碰撞。因為電子速率遠(yuǎn)大于氣體分子的平均速率，所以可以認(rèn)為氣體分子不動。設(shè)氣體分子的有效直徑為d，電子的“有效直徑”比起氣體分子來可以忽略不計，求：1.電子與氣體分子的碰撞截面2.

電子與氣體分子碰撞的平均自由程（氣體分子數(shù)密度為n）1)碰撞截面2)設(shè)氣體分子不動，電子平均速率單位時間內(nèi)與電子相碰的氣體分子數(shù)：平均自由程：練習(xí)：P.63919-184．討論理想