第五章 導數(shù)及其應用（壓軸題專練）（原卷版）

第五章導數(shù)及其應用（壓軸題專練）題型一實際問題中的平均變化率【例1】物體的運動方程為S＝eq\r(t＋1)(位移單位：m；時間單位：s)，求物體在t＝1s到t＝(1＋Δt)s這段時間內(nèi)的平均速度．思維升華平均變化率問題在生活中隨處可見，常見的有求某段時間內(nèi)的平均速度、加速度、膨脹率、經(jīng)濟效益等．分清自變量和因變量是解決此類問題的關鍵．鞏固訓練1．已知某物體運動的位移s是時間t的函數(shù)，且s(t)＝5t2．(1)求這個物體t從3秒到3．1秒的平均速度；(2)求這個物體t從3秒到3．01秒的平均速度．2．在高臺跳水運動中，運動員相對于水面的高度h(單位：m)與起跳后的時間t(單位：s)之間的函數(shù)關系式為h(t)＝－4．9t2＋6．5t＋10．(1)求運動員在第一個0．5s內(nèi)的平均速度；(2)求運動員在1≤t≤2這段時間內(nèi)的平均速度．題型二平均變化率的意義【例2】已知氣球的體積V(單位：L)與半徑r(單位：dm)之間的函數(shù)關系是V(r)＝eq\f(4,3)πr3．(1)求半徑r關于體積V的函數(shù)r(V)；(2)比較體積V從0L增加到1L和從1L增加到2L半徑r的平均變化率；哪段半徑變化得快(精確到0．01)？此結論可說明什么意義？思維升華函數(shù)的平均變化率在實際的生產(chǎn)生活中有著廣泛的應用，如求平均速度、平均勞動生產(chǎn)率、面積和體積的變化率等．解決這類問題的關鍵是能從實際問題中引出數(shù)學模型并列出函數(shù)關系式，需注意是相對什么量變化的．鞏固訓練1．巍巍泰山為我國的五岳之首，有“天下第一山”之美譽，登泰山在當?shù)赜杏谩熬o十八，慢十八，不緊不慢又十八”的俗語來形容爬十八盤的感受，下面是一段登山路線圖．同樣是登山，從A處到B處會感覺比較輕松，而從C處到D處會感覺比較吃力．試用數(shù)學語言給出解釋．2．路燈距地面8m，一個身高為1．6m的人以84m/min的速度在地面上從路燈在地面上的射影C點處沿直線勻速離開路燈．(1)求身影的長度y(單位：m)與人距C點的距離x(單位：m)之間的關系式；(2)求人離開C點10s內(nèi)身影長度的平均變化率．題型三瞬時速度及瞬時加速度【例3】一物體做直線運動，其位移s(單位：m)與時間t(單位：s)的關系是s(t)＝5t－t2，則該物體在t＝3s時的瞬時速度是()A．－1m/s B．1m/sC．2m/s D．6m/s思維升華1．求運動物體瞬時速度的步驟(1)求時間的改變量Δt和位移的改變量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；(2)求平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt)；(3)求瞬時速度，當Δt無限趨近于0時，eq\f(Δs,Δt)無限趨近于的常數(shù)v即為瞬時速度，即v＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)．2．求運動物體瞬時加速度的步驟與求其瞬時速度的步驟相仿，不同的是求瞬時速度時函數(shù)值的改變量是位移s(t)的改變量，而求其瞬時加速度時，函數(shù)值的改變量是速度v(t)的改變量．鞏固訓練1．若小球自由落體的運動方程為s(t)＝eq\f(1,2)gt2(g為常數(shù))，該小球在t＝1到t＝3的平均速度為eq\x\to(v)，在t＝2的瞬時速度為v2，則eq\x\to(v)和v2關系為()A．eq\x\to(v)>v2 B．eq\x\to(v)<v2C．eq\x\to(v)＝v2 D．不能確定2．一物體沿斜面自由下滑，測得下滑的位移s與時間t之間的函數(shù)關系為s＝3t3，則當t＝1時，該物體的瞬時加速度為()A．18 B．9C．6 D．3題型四導數(shù)的簡單綜合應用【例4】已知直線l：2x－y＋4＝0與拋物線y＝x2相交于A，B兩點，O是坐標原點，試求與直線l平行的拋物線的切線方程，并在弧上求一點P，使△ABP的面積最大．思維升華導數(shù)的綜合應用的解題技巧(1)導數(shù)的幾何意義為導數(shù)和解析幾何的溝通搭建了橋梁，很多綜合問題我們可以數(shù)形結合，巧妙利用導數(shù)的幾何意義即切線的斜率建立相應的未知參數(shù)的方程來解決，這是解決問題的關鍵所在．(2)導數(shù)作為重要的解題工具，常與函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、不等式等知識結合出現(xiàn)綜合大題．遇到一些與距離、面積相關的最值、不等式恒成立等問題，可以結合導數(shù)的幾何意義分析．鞏固訓練1．以正弦曲線y＝sinx上一點P為切點得切線為直線l，則直線l的傾斜角的范圍是()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)) B．[0，π)C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))2．點P是曲線y＝－x2上任意一點，則點P到直線y＝x＋2的最小距離為()A．1 B．eq\f(7\r(2),8)C．eq\f(5\r(2),8) D．eq\r(3)題型五復合函數(shù)導數(shù)的應用【例5】設f(x)＝ln(x＋1)＋eq\r(x＋1)＋ax＋b(a，b∈R，a，b為常數(shù))，曲線y＝f(x)與直線y＝eq\f(3,2)x在(0,0)點相切．求a，b的值．思維升華有了復合函數(shù)的求導法則，可以求導的函數(shù)類型更加豐富了．在求有關切線的問題中，先要準確求出函數(shù)的導數(shù)，然后注意切線的定義、導數(shù)的幾何意義以及直線方程的求法的綜合應用．鞏固訓練1．設曲線y＝eax在點(0,1)處的切線與直線x＋2y＋1＝0垂直，則a＝________．該切線與坐標軸圍成的面積為________．2．設函數(shù)f(x)＝x＋ln(x－5)，g(x)＝ln(x－1)，f′(x)，g′(x)分別為f(x)，g(x)的導函數(shù)，解不等式f′(x)＞g′(x)．題型六判斷和證明函數(shù)的單調(diào)性【例6】已知函數(shù)f(x)＝ax3－3x2＋1－eq\f(3,a)，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性．思維升華1．利用導數(shù)判斷或證明函數(shù)單調(diào)性的思路2．含有參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性的解題技巧討論含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，通常歸結為求含參不等式的解集問題，而對含有參數(shù)的不等式要針對具體情況進行分類討論，但要始終注意定義域以及分類討論的標準．含參數(shù)的二次不等式問題，一般從最高次項的系數(shù)、判別式Δ及根的大小關系等方面進行討論．鞏固訓練1．已知函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(a,x)－2lnx，a∈R，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性．題型七由極值求參數(shù)的值或取值范圍【例7】(1)若函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處取得極值10，則a＝________，b＝________．(2)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋blnx在x＝1處有極值eq\f(1,2)．①求a，b的值；②判斷f(x)的單調(diào)區(qū)間，并求極值．思維升華已知函數(shù)的極值求參數(shù)的方法(1)對于已知可導函數(shù)的極值求參數(shù)的問題，解題的切入點是極值存在的條件：極值點處的導數(shù)值為0，極值點兩側的導數(shù)值異號．[提醒]求出參數(shù)后，一定要驗證是否滿足題目的條件．(2)對于函數(shù)無極值的問題，往往轉(zhuǎn)化為其導函數(shù)的值非負或非正在某區(qū)間內(nèi)恒成立的問題，即轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0或f′(x)≤0在某區(qū)間內(nèi)恒成立的問題，此時需注意不等式中的等號是否成立．鞏固訓練1．設x＝1與x＝2是函數(shù)f(x)＝alnx＋bx2＋x的兩個極值點．(1)試確定常數(shù)a和b的值；(2)判斷x＝1，x＝2是函數(shù)f(x)的極大值點還是極小值點，并說明理由．2．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m為常數(shù))在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)有兩個極值點，求實數(shù)m的取值范圍．題型八由函數(shù)的最值確定參數(shù)的值【例8】已知函數(shù)f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值為3，最小值為－29，求a，b的值．思維升華已知函數(shù)最值求參數(shù)的步驟(1)求出函數(shù)在給定區(qū)間上的極值及函數(shù)在區(qū)間端點處的函數(shù)值；(2)通過比較它們的大小，判斷出哪個是最大值，哪個是最小值；(3)結合已知求出參數(shù)，進而使問題得以解決．鞏固訓練1．如果函數(shù)f(x)＝x3－eq\f(3,2)x2＋a在[－1,1]上的最大值是2，那么f(x)在[－1,1]上的最小值是________．2．設f(x)＝－eq\f(1,3)x3＋eq\f(1,2)x2＋2ax．當0<a<2時，f(x)在[1,4]上的最小值為－eq\f(16,3)，求f(x)在該區(qū)間上的最大值．題型九與最值有關的恒成立問題【例9】設函數(shù)f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0)．(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)<－2t＋m對t∈(0,2)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．思維升華已知不等式恒成立求參數(shù)的方法(1)分類討論(求最值)法將恒成立問題轉(zhuǎn)化為利用導數(shù)求函數(shù)的最值問題．求解時要確定一個函數(shù)，看哪一個變量的范圍已知，即所要確定的函數(shù)是以已知范圍的變量為自變量的函數(shù)．(2)分離參數(shù)法在不等式中，參數(shù)只出現(xiàn)一次或出現(xiàn)的參數(shù)只是一次的形式，可以對不等式進行變形，把參數(shù)分離到一邊，而另一邊則是關于自變量x的表達式，這樣的恒成立問題可用分離參數(shù)法來解．一般地，λ≥f(x)恒成立?λ≥f(x)max；λ≤f(x)恒成立?λ≤f(x)min．鞏固訓練1．若將本例的條件改為“存在t∈[0,2]，使h(t)<－2t＋m成立”，則實數(shù)m的取值范圍如何求解？2．若將本例的條件改為“對任意的t1，t2∈(0,2)，都有h(t1)<－2t2＋m”，則實數(shù)m的取值范圍如何求解？題型十幾何中的最值問題【例10】有一塊邊長為a的正方形鐵板，現(xiàn)從鐵板的四個角各截去一個相同的小正方形，做成一個長方體形的無蓋容器．為使其容積最大，截下的小正方形邊長應為多少？思維升華幾何中最值問題的求解思路面積、體積(容積)最大，周長最短，距離最小等實際幾何問題，求解時先設出恰當?shù)淖兞浚瑢⒋蠼庾钪档膯栴}表示為變量的函數(shù)，再按函數(shù)求最值的方法求解，最后檢驗．鞏固訓練1．要做一個圓錐形的漏斗，其母線長為20cm，要使其體積最大，則高為________cm．2．將一段長為100cm的鐵絲截成兩段，一段彎成正方形，一段彎成圓，問如何截可使正方形與圓面積之和最??？題型十一成本最低(費用最省)問題【例11】如圖，某工廠擬建一座平面圖為矩形且面積為200m2的三級污水處理池，由于地形限制，長、寬都不能超過16m，如果池外周壁建造單價為每米400元，中間兩條隔墻建造單價為每米248元，池底建造單價為每平方米80元(池壁厚度忽略不計，且池無蓋)．(1)寫出總造價f(x)(元)與污水處理池長x(m)的函數(shù)關系式，并指出其定義域；(2)污水處理池的長和寬各為多少時，污水處理池的總造價最低？并求出最低總造價．思維升華(1)用料最省、成本最低問題是日常生活中常見的一類問題，解決這類問題要明確自變量的意義以及最值問題所研究的對象．正確書寫函數(shù)表達式，準確求導，結合實際做答．(2)利用導數(shù)的方法解決實際問題．當在定義區(qū)間內(nèi)只有一個點使f′(x)＝0時，如果函數(shù)在這點有極大(小)值，那么不與端點值比較，也可以知道在這個點取得最大(小)值．鞏固訓練1．甲、乙兩地相距400千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過100千米/時，已知該汽車每小時的運輸成本P(元)關于速度v(千米/時)的函數(shù)關系是P＝eq\f(1,19200)v4－eq\f(1,160)v3＋15v．(1)求全程運輸成本Q(元)關于速度v的函數(shù)關系式．(2)為使全程運輸成本最少，汽車應以多大速度行駛？并求此時運輸成本的最小值．題型十二利潤最大問題【例12】某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，已知該產(chǎn)品的月生產(chǎn)量x(噸)與每噸產(chǎn)品的價格P(元/噸)之間的關系式為P＝24200－eq\f(1,5)x2，且生產(chǎn)x噸的成本為R＝50000＋200x(元)．問該工廠每月生產(chǎn)多少噸產(chǎn)品才能使利潤達到最大？最大利潤是多少？(利潤＝收入－成本)思維升華利潤最大問題是生活中常見的一類問題，一般根據(jù)“利潤＝收入－成本”建立函數(shù)關系式，再利用導數(shù)求最大值．求解時要注意：①價格要大于成本，否則就會虧本；②銷量要大于0，否則不會獲利．鞏固訓練1．某汽車生產(chǎn)企業(yè)上年度生產(chǎn)一品牌汽車的投入成本為10