第十七章勾股定理 考點(diǎn)分類練（含答案） 2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)下冊(cè)

第十七章勾股定理考點(diǎn)1勾股定理及其證明1．如圖1，AB＝2，∠EAF＝120°，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡可以求出BD的長(zhǎng)為()A．2eq\r(3) B．1 C．eq\r(2) D．eq\r(3)圖1圖22．【整體思想】如圖2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD，BE分別是邊BC，AC上的中線，AD＝5，BE＝eq\r(35)，則斜邊AB的長(zhǎng)為()A．2eq\r(7) B．3eq\r(5) C．4eq\r(3) D．eq\f(4\r(35),3)3．【規(guī)律探究】(2024大慶)如圖3①，直角三角形的兩個(gè)銳角分別是40°和50°，其三邊上分別有一個(gè)正方形．執(zhí)行下面的操作：由兩個(gè)小正方形向外分別作銳角為40°和50°的直角三角形，再分別以所得到的直角三角形的直角邊為邊長(zhǎng)作正方形．圖3②是1次操作后的圖形．圖3③是重復(fù)上述步驟若干次后得到的圖形，人們把它稱為“畢達(dá)哥拉斯樹”．若圖3①中的直角三角形斜邊長(zhǎng)為2，則10次操作后圖形中所有正方形的面積和為__________．圖3圖44．【分類討論】如圖4，在△ABC中，AB＝BC＝2，AO＝BO，P是射線CO上的動(dòng)點(diǎn)，∠AOC＝60°，則當(dāng)△PAB是直角三角形時(shí)，AP的長(zhǎng)為__________．5．如圖5，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度沿折線ACBA運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts(t＞0).(1)當(dāng)點(diǎn)P在AC上，且滿足PA＝PB時(shí)，求t的值；(2)當(dāng)點(diǎn)P恰好在∠BAC的平分線上時(shí)，求t的值．圖5

考點(diǎn)2勾股定理的應(yīng)用6．如圖6，某村莊A到公路l之間有一池塘相隔，村民出行都是走AB這條村級(jí)公路．在美麗鄉(xiāng)村建設(shè)過程中，為了便于村民出行，村民委員會(huì)治理了池塘并從A到公路l之間架橋新修了一條公路AC，且AC⊥l，測(cè)得CB＝2eq\r(2)km，AB＝4eq\r(2)km.(1)新修的公路AC的長(zhǎng)為__________km；(2)在后期的建設(shè)中，村民委員會(huì)在B，C之間修建了一個(gè)觀光亭D，使得觀光亭D到C的距離與觀光亭D到B的距離相等，求觀光亭D到村莊A的距離．圖67．圖7是可調(diào)節(jié)躺椅的示意圖，AE與BD交于點(diǎn)C，測(cè)得AC＝80cm，BC＝60cm.(1)若∠ACB＝90°，求AB的長(zhǎng)；(2)為躺著更加舒服，準(zhǔn)備將躺椅高度進(jìn)行調(diào)節(jié)，調(diào)整后測(cè)得∠CAB＝30°，問與(1)中AB的長(zhǎng)度相比，此時(shí)AB的長(zhǎng)度有何變化？(參考數(shù)據(jù)：eq\r(3)≈1.732，eq\r(5)≈2.236)圖7考點(diǎn)3勾股定理的逆定理及其應(yīng)用8．如圖8，在正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，P是網(wǎng)格線的交點(diǎn)，則∠PAB＋∠PBA＝__________°.圖8圖99．如圖9，∠BAC＝90°，AB＝2eq\r(2)，AC＝2eq\r(2)，BD＝12，DC＝4eq\r(10)，則∠DBA＝__________．10．【轉(zhuǎn)化思想】如圖10，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC＝10，P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B，C重合)，PE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥AC于點(diǎn)F，連接EF，則EF的最小值為()圖10A．eq\f(6,5) B．eq\f(12,5) C．eq\f(24,5) D．eq\f(9,5)11．如圖11，某社區(qū)有一塊四邊形空地ABCD，AB＝15m，CD＝8m，AD＝17m．從點(diǎn)A修了一條垂直于BC的小路AE(垂足為E)，E恰好是BC的中點(diǎn)，且AE＝12m.(1)求BC的長(zhǎng)；(2)連接AC，判斷△ADC的形狀；(3)求這塊空地的面積．圖1112．如圖12，有一臺(tái)風(fēng)中心以20km/h的速度沿東西方向由點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)B，且臺(tái)風(fēng)中心周圍260km以內(nèi)為受影響區(qū)域．已知點(diǎn)C為一海港，且AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km.(1)∠ACB＝__________°.(2)海港C會(huì)受臺(tái)風(fēng)影響嗎？若會(huì)受到影響，請(qǐng)計(jì)算海港C受臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)長(zhǎng)．圖12

考點(diǎn)4勾股數(shù)13．在我國(guó)古代，人們將直角三角形中較短的直角邊叫做勾，較長(zhǎng)的直角邊叫做股，斜邊叫做弦．古希臘哲學(xué)家柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差為2的一類勾股數(shù)，如：6，8，10；8，15，17；….若此類勾股數(shù)的勾為2m(m≥3，m為正整數(shù))，則其弦(結(jié)果用含m的式子表示)為()A．4m2－1 B．4m2＋1 C．m2－1 D．m2＋114．我們知道，能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．通過觀察常見勾股數(shù)“6，8，10”和“8，15，17”，猜想一組正整數(shù)a，b，c(a＜b＜c)，當(dāng)最小數(shù)a為偶數(shù)時(shí)，另兩個(gè)正整數(shù)b和c滿足b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))eq\s\up12(2)－1，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))eq\s\up12(2)＋1，則a，b，c是一組勾股數(shù)．(1)根據(jù)猜想，一組勾股數(shù)中，最小數(shù)a為10，則另兩個(gè)數(shù)分別是b＝__________，c＝__________；(2)請(qǐng)證明該猜想成立．15．若一個(gè)四位數(shù)M的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和恰好是M去掉個(gè)位與十位數(shù)字后得到的兩位數(shù)，則這個(gè)四位數(shù)M為“勾股和數(shù)”．如：M＝2543，∵32＋42＝25，∴2543是“勾股和數(shù)”．(1)判斷2022，2023，2024中，是“勾股和數(shù)”的是__________．(2)一個(gè)“勾股和數(shù)”M的千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個(gè)位數(shù)字為d.若c＋d＝9，c≠0，當(dāng)eq\f(|10（a－c）＋（b－d）|,3)為整數(shù)時(shí)，求M的值．第十七章勾股定理1．D2.C3.484.eq\r(7)或1或eq\r(3)5．解：(1)如答圖1，連接PB.答圖1在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，由勾股定理，得AC＝eq\r(AB2－BC2)＝8.由題意，得PA＝PB＝2t，PC＝AC－PA＝8－2t.在Rt△CBP中，由勾股定理，得CP2＋BC2＝PB2，即(8－2t)2＋62＝(2t)2.解得t＝eq\f(25,8).(2)如答圖2，過點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，連接AP.答圖2由題意，得AP平分∠BAC.∵PE⊥AB，PC⊥AC，∴PE＝PC.又PA＝PA，∴Rt△ACP≌Rt△AEP(HL).∴AE＝AC＝8.此時(shí)BP＝14－2t，PE＝PC＝2t－8，BE＝AB－AE＝10－8＝2.在Rt△BEP中，由勾股定理，得PE2＋BE2＝BP2，即(2t－8)2＋22＝(14－2t)2.解得t＝eq\f(16,3).當(dāng)t＝12時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，也符合題意．∴當(dāng)t的值為eq\f(16,3)或12時(shí)，點(diǎn)P恰好在∠BAC的平分線上．6．解：(1)2eq\r(6).(2)如答圖3，連接AD.答圖3由題意，得D為BC的中點(diǎn)．∴CD＝eq\f(1,2)CB＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)＝eq\r(2).在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD＝eq\r(AC2＋CD2)＝eq\r(（2\r(6)）2＋（\r(2)）2)＝eq\r(26)(km).答：觀光亭D到村莊A的距離為eq\r(26)km.7．解：(1)在Rt△ACB中，由勾股定理，得AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(802＋602)＝100(cm).答：AB的長(zhǎng)為100cm.(2)AB的長(zhǎng)度變長(zhǎng)了．理由如下：如答圖4，過點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，則∠CGA＝∠CGB＝90°.答圖4∵∠A＝30°，AC＝80，∴CG＝eq\f(1,2)AC＝40.∴AG＝eq\r(AC2－CG2)＝eq\r(802－402)＝40eq\r(3)，BG＝eq\r(BC2－CG2)＝eq\r(602－402)＝20eq\r(5).∴AB＝AG＋BG＝40eq\r(3)＋20eq\r(5)≈40×1.732＋20×2.236＝114(cm).∵114＞100，∴AB的長(zhǎng)度變長(zhǎng)了．8．459.45°10.C11．解：(1)∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°.在Rt△ABE中，由勾股定理，得BE＝eq\r(AB2－AE2)＝eq\r(152－122)＝9.∵E是BC的中點(diǎn)，∴BC＝2BE＝18m.(2)如答圖5，連接AC.答圖5∵AE⊥BC，E是BC的中點(diǎn)，∴AC＝AB＝15.又AD＝17，CD＝8，∴CD2＋AC2＝82＋152＝172＝AD2.∴△ADC是直角三角形．(3)S四邊形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝eq\f(1,2)BC·AE＋eq\f(1,2)AC·CD＝eq\f(1,2)×18×12＋eq\f(1,2)×15×8＝168(m2).答：這塊空地的面積為168m2.12．解：(1)90.(2)海港C會(huì)受臺(tái)風(fēng)影響．如答圖6，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D.答圖6由(1)可知，△ABC是直角三角形，∴eq\f(1,2)AC·BC＝eq\f(1,2)AB·CD，即eq\f(1,2)×300×400＝eq\f(1,2)×500·CD.∴CD＝240.∵260＞240，∴海港C會(huì)受臺(tái)風(fēng)影響．如答圖6，在AB上取點(diǎn)E，F(xiàn)，使EC＝FC＝260km，則當(dāng)臺(tái)風(fēng)從點(diǎn)E移動(dòng)到點(diǎn)F時(shí)，正好影響海港C.∵CD⊥AB，EC＝FC，∴FD＝ED＝eq\r(EC2－CD2)＝eq\r(2602－2402)＝100.∴EF＝ED＋FD＝200.200÷20＝10(h).答：海港C受影響的時(shí)長(zhǎng)為10h.13．D14．(1)解：2426.(2)證明：由題意，得a2＋b2＝a2＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))\s\up12(2)－1))eq\s\up12(2)＝eq\f(a4,16)＋eq\f(a2,2)＋1，c2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))\s\up12(2)＋1))eq\s\up12(2)＝eq\f(a4,16)＋eq\f(a2,2)＋1.∴a2＋b2＝c2.又a，b，c為正整數(shù)，∴a，b，c是一