廣東省中山市高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試題

中山市高三級20172018學(xué)年度第一學(xué)期期末統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，若，則的值為（）A.2B.1C.1或2D.2或【答案】A【解析】解：由題意可知：，則滿足題意時，.本題選擇C選項.2.若復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則實數(shù)的值為（）A.2B.C.D.2【答案】A【解析】由題意，令，則，則解得，故選A3.已知實數(shù)，，，則的大小關(guān)系是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】因為，所以，..所以.故選D.4.閱讀如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果的值為（）A.0B.C.D.【答案】B【解析】執(zhí)行循環(huán)得，結(jié)束循環(huán)，輸出，選B.點睛：算法與流程圖的考查，側(cè)重于對流程圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的考查.先明晰算法及流程圖的相關(guān)概念，包括選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、偽代碼，其次要重視循環(huán)起點條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件，更要通過循環(huán)規(guī)律，明確流程圖研究的數(shù)學(xué)問題，是求和還是求項.5.若滿足，若，則的最大值是（）A.1B.4C.6D.8【答案】C【解析】作可行域如圖，則直線過點A(2,2)時取最大值6，選C.6.李冶（11921279），真實欒城（今屬河北石家莊市）人，金元時期的數(shù)學(xué)家、詩人，晚年在封龍山隱居講學(xué)，數(shù)學(xué)著作多部，其中《益古演段》主要研究平面圖形問題：求圓的直徑、正方形的邊長等.其中一問：現(xiàn)有正方形方田一塊，內(nèi)部有一個圓形水池，其中水池的邊緣與方田四邊之間的面積為13.75畝，若方田的四邊到水池的最近距離均為二十步，則圓池直徑和方田的邊長分別是（注：240平方步為1畝，圓周率按3近似計算）（）A.10步，50步B.20步，60步C.30步，70步D.40步，80步【答案】B【解析】設(shè)圓池的半徑為步，則方田的邊長為步，由題意，得＝，解得或（舍），所以圓池的直徑為20步，方田的邊長為60步，故選B．點睛：求解數(shù)學(xué)文化試題主要分三步完成：（1）理解數(shù)學(xué)文化背景，挖掘出包含的數(shù)學(xué)意義；（2）聯(lián)想相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，將數(shù)學(xué)文化背景中的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為純數(shù)學(xué)問題；（3）利用數(shù)學(xué)知識求解，并回答求解的問題7.若二項式中所有項的系數(shù)之和為，所有項的系數(shù)的絕對值之和為，則的最小值為（）A.2B.C.D.【答案】B【解析】試題分析：令，可求得；令，可求得；所以，令，所以，故應(yīng)選.考點：1.二項式定理；2、函數(shù)的最值；視頻8.已知函數(shù)與的圖像如圖所示，則函數(shù)的遞減區(qū)間為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】試題分析：，令即，由圖可得，故函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為，故選D.考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.9.已知身穿紅、黃兩種顏色衣服的各有兩人，身穿藍(lán)顏色衣服的有一人，現(xiàn)將這五人成一行，要求穿相同顏色衣服的人不能相鄰，則不同的排法共有（）A.48種B.72種C.78種D.84種【答案】A【解析】試題分析：先將穿紅衣服的兩人排定有種排法；再將穿黃衣服的兩人插空有種排法；最后將穿藍(lán)衣服的人插入有四種插法,由分布計數(shù)原理共有種排法,應(yīng)選A.考點：排列組合數(shù)公式及兩個計數(shù)原理的運用.視頻10.在正方體中，是棱的中點，是側(cè)面內(nèi)的動點，且平面，則與平面所成角的正切值構(gòu)成的集合是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】軌跡為線段MN,其中M，N分別為中點，所以與平面所成角的正切值范圍為,選D.11.已知，函數(shù)的零點分別為，函數(shù)的零點分別為，則的最小值為（）A.1B.C.D.3【答案】B【解析】試題分析：由題意知：，，，，∴，，∴，又，∴，∴，∴的最小值為.考點：函數(shù)零點.12.已知函數(shù)，其周期為，，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】其中，所以，因為，所以，選D.點睛：三角函數(shù)求值的三種類型(1)給角求值：關(guān)鍵是正確選用公式，以便把非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù).(2)給值求值：關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異.①一般可以適當(dāng)變換已知式，求得另外函數(shù)式的值，以備應(yīng)用；②變換待求式，便于將已知式求得的函數(shù)值代入，從而達(dá)到解題的目的.(3)給值求角：實質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，確定角.二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.已知，則__________．【答案】【解析】14.已知，，則__________．【答案】【解析】【答案】6【解析】n為18+12+6=36的正約數(shù)，因為18：12：6=3：2：1，所以n為6的倍數(shù)，因此因為當(dāng)樣本容量為時，若采用系統(tǒng)抽樣法，則需要剔除1個個體，所以n+1為35的正約數(shù)，因此.....................【答案】【解析】因為，所以實數(shù)的取值范圍是點睛：不等式有解問題，不等式的恒成立問題，此兩類問題都可轉(zhuǎn)化為最值問題，即恒成立?，恒成立?.三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.設(shè)等差數(shù)列的前項和，且.（1）求的通項公式；（2）若不等式對所有的正整數(shù)都成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】試題分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列通項公式以及求和公式將條件化為關(guān)于首項與公差的方程組，解得．(2)先化簡不等式：，再分奇偶討論：當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時，，最后根據(jù)基本不等式以及數(shù)列單調(diào)性確定實數(shù)的取值范圍.試題解析：（Ⅰ）設(shè)公差為，則，∴．∴的通項公式為．（Ⅱ），，；則原不等式等價于對所有的正整數(shù)都成立．∴當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時，恒成立又∵，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以當(dāng)為奇數(shù)時，的最小值為7，當(dāng)為偶數(shù)時，時，的最小值為，∴不等式對所有的正整數(shù)都成立時，實數(shù)的取值范是18.如圖，在中，，，點在線段上.（1）若，求的長；（2）若，的面積為，求的值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】試題分析：（Ⅰ）首先利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求得的值，然后利用正弦定理即可求得的長；（Ⅱ）首先三角形面積間的關(guān)系求得，然后利用三角形面積公式結(jié)合余弦定理即可求得的值．試題解析：（I）在三角形中，∵，∴．………………2分在中，由正弦定理得，又，，．∴．………………5分（II）∵，∴，，又，∴，………………7分∵，∴，∵，，，∴，………………9分在中，由余弦定理得．∴，∴．………………12分考點：1、正弦定理與余弦定理；2、三角形面積公式；3、同角三角形函數(shù)間的基本關(guān)系．19.某單位擬建一個扇環(huán)形狀的花壇（如圖所示），該扇環(huán)面是由以點為圓心的兩個同心圓弧和延長后通過點的兩條直線段圍成，按設(shè)計要求扇環(huán)面的周長為30米，其中大圓弧所在圓的半徑為10米，設(shè)小圓弧所在圓的半徑為米，圓心角為（弧度）.（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）已知在花壇的邊緣（實線部分）進(jìn)行裝飾時，直線部分的裝飾費用為4元/米，弧線部分的裝飾費用為9元/米，設(shè)花壇的面積與裝飾總費用的比為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求出為何值時，取得最大值？【答案】(1)，(2)見解析【解析】試題分析：（1）根據(jù)已知條件，將周長米為等量關(guān)系可以建立滿足的關(guān)系式，再由此關(guān)系式進(jìn)一步得到函數(shù)解析式：，即可解得；（2）根據(jù)題意及（1）可得花壇的面積為，裝飾總費用為，因此可得函數(shù)解析式，而要求的最大值，即求函數(shù)的最大值，可以考慮采用換元法令，從而，再利用基本不等式，即可求得的最大值：，當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號，此時，，因此當(dāng)時，花壇的面積與裝飾總費用的比最大.試題解析：（1）扇環(huán)的圓心角為，則，∴，3分（2）由（1）可得花壇的面積為，6分裝飾總費用為，8分∴花壇的面積與裝飾總費用的，10分令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號，此時，，12分答：當(dāng)時，花壇的面積與裝飾總費用的比最大．13分考點：1.扇形公式的運用；2.利用基本不等式函數(shù)求極值.20.某市小型機動車駕照“科二”考試中共有5項考查項目，分別記作①，②，③，④，⑤.（1）某教練將所帶10名學(xué)員“科二”模擬考試成績進(jìn)行統(tǒng)計（如表所示），并計算從恰有2項成績不合格的學(xué)員中任意抽出2人進(jìn)行補測（只測不合格的項目），求補測項目種類不超過3（）項的概率.（2）“科二”考試中，學(xué)員需繳納150元的報名費，并進(jìn)行1輪測試（按①，②，③，④，⑤的順序進(jìn)行）；如果某項目不合格，可免費再進(jìn)行1輪補測；若第1輪補測中仍有不合格的項目，可選擇“是否補考”；若補考則需繳納300元補考費，并獲得最多2輪補測機會，否則考試結(jié)束；每1輪補測都按①，②，③，④，⑤的順序進(jìn)行，學(xué)員在任何1輪測試或補測中5個項目均合格，方可通過“科二”考試，每人最多只能補考1次，某學(xué)院每輪測試或補考通過①，②，③，④，⑤各項測試的概率依次為，且他遇到“是否補考”的決斷時會選擇補考.①求該學(xué)員能通過“科二”考試的概率；②求該學(xué)員繳納的考試費用的數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)見解析【解析】試題分析：（1）共有5名學(xué)員恰有兩項不合格，從中任意抽出2人，列出所有可能，共10種，其中有6種情況補測項數(shù)不超過3，最后根據(jù)古典概型概率公式求概率(2)①先計算順利完成每1輪測試(或補測)的概率，再根據(jù)獨立重復(fù)試驗得能通過“科二”考試的概率為4次實驗中至少成功一次②先確定隨機變量取法，再依次計算對應(yīng)概率，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求期望試題解析：(1)根據(jù)題意，學(xué)員(1)，(2)，(4)，(6)，(9)恰有兩項不合格，從中任意抽出2人，所有可能的情況如下：由表可知，全部10種可能的情況中，有6種情況補測項數(shù)不超過3，故所求概率為(2)由題意可知，該學(xué)員順利完成每1輪測試(或補測)的概率為1×1×1××①由題意，該學(xué)員無法通過“科二”考試，當(dāng)且僅當(dāng)其測試與3次補測均未能完成5項測試，相應(yīng)概率為故學(xué)員能通過“科二”考試的概率為1②根據(jù)題意，當(dāng)且僅當(dāng)該學(xué)員通過測試，或未通過測試但通過第1輪補測時X=150，其他情況時均有X=450而P(X=150)=×，故X的分布列為故E(X)=150×450×126+72=198(元)點睛：求解離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式(常見的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨立事件的概率積公式，以及對立事件的概率公式等)，求出隨機變量取每個值時的概率；第三步是“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值，對于有些實際問題中的隨機變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布(如二項分布)，則此隨機變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式()求得.因此，應(yīng)熟記常見的典型分布的期望公式，可加快解題速度.21.如圖，在四棱錐中，底面是菱形，且，點是棱的中點，平面與棱交于點.（1）求證：；（2）若，且平面平面，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.【答案】（1）見解析（2）．【解析】試題分析：（1）推導(dǎo)出，從而平面，由此能證明．

（2）取中點，連接，，以為原點，、、所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面與平面所成的二面角的余弦值．試題解析：（1）證明：∵是菱形，∴，又平面，平面，∴平面，∵四點共面，且面面，∴.（2）解：取中點，連接，，∵，∴，∵平面平面，平面平面，∴面，∴，在菱形中，∵，，是中點，∴，如圖，以為原點，、、所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，由得，，，，，，.又∵，點是棱中點，∴點是棱中點，∴，，，設(shè)平面的法向量為，則有，，取，則.∵平面，∴是平面的一個法向量，，二面角的余弦值為，∴平面與平面所成的二面角的余弦值為.22.已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值；（3）若，正實數(shù)滿足，證明：.【答案】（1）（2）2（3）見解析【解析】試題分析：（1）由求出的值，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）分離出變量，令，只要，利用導(dǎo)數(shù)求出令的最大值即可；（3）由，即，令，則由，利用導(dǎo)數(shù)法求得，從而可得所以，解得即可．試題解析：（1）因為，所以，此時，，，由，得，又，所以，所以的單調(diào)減區(qū)間為．（2）由恒成立，得在上恒成立，問題等價于在上恒成立，令，只要，因為，令，得．設(shè)，因為，所以在上單調(diào)遞減，不妨設(shè)的根為，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以，因為，，所以，此時，即，所以，即整數(shù)的最小值為2．（3）當(dāng)時，，由，即