2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)10 一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

微專題10一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

考點精講

構(gòu)建知識體系

考點梳理

1.一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(6年4考，常在函數(shù)綜合題中涉及考查)

表達式y(tǒng)＝kx＋b(k，b為常數(shù)，且k≠0)(特別地，當(dāng)b＝0時，y＝kx為正比例函數(shù))

k＞0k＜0

b＞0b＝0b＜0b＞0b＝0b＜0

圖象

(草圖)

①畫出草圖②畫出草圖

經(jīng)過的

一、二、三一、三③④二、四二、三、四

象限

增減性y隨x的增大而⑤y隨x的增大而⑥

與坐標(biāo)軸與x軸的交點坐標(biāo)為⑦(即令y＝0)，與y軸的交點坐標(biāo)為⑧

的交點(即令x＝0)

2.一次函數(shù)表達式的確定(6年5考，常在解答題中涉及考查)

(1)方法：待定系數(shù)法

(2)步驟：①先設(shè)一次函數(shù)的解析式為y＝kx＋b(k≠0)；

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＝＋

②將圖象上的兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)代入y＝kx＋b中，得到方程組；

＝＋

?1??1?

③解方程組可得k，b的值；?2??2?

④將k，b代入所設(shè)解析式

3.一次函數(shù)圖象的平移

平移前的

平移方式(m＞0)平移后的解析式規(guī)律

解析式

向左平移m個單位y＝k(x＋m)＋b

x左加右減

y＝kx＋b向右平移m個單位y＝k(x－m)＋b

(k≠0)向上平移m個單位y＝kx＋b＋m等號右邊整

向下平移m個單位y＝kx＋b－m體上加下減

4.一次函數(shù)與方程(組)、不等式的關(guān)系(2024.10)

(1)與一元一次方程的關(guān)系

如圖①，方程kx＋b＝0的解是一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象與x軸交點(點A)的橫坐

標(biāo)

圖①

(2)與二元一次方程組的關(guān)系

＝＋

如圖②，方程組的解是一次函數(shù)y1＝k1x＋b1與y2＝k2x＋b2圖象交

＝＋

?1?1??1

點(點A)的橫縱坐?標(biāo)2的?值2??2

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圖②

(3)與一元一次不等式的關(guān)系

①從“數(shù)”上看

(ⅰ)kx＋b＞0的解集是在函數(shù)y＝kx＋b中，當(dāng)y＞0時x的取值范圍；

(ⅱ)kx＋b＜0的解集是在函數(shù)y＝kx＋b中，當(dāng)y＜0時x的取值范圍；

②從“形”上看

(ⅰ)kx＋b＞0的解集是函數(shù)y＝kx＋b的圖象位于x軸上方部分對應(yīng)的點的橫坐標(biāo)

的集合；

(ⅱ)kx＋b＜0的解集是函數(shù)y＝kx＋b的圖象位于x軸下方部分對應(yīng)的點的橫坐標(biāo)

的集合

教材改編題練考點

1.已知一次函數(shù)y＝2x－1.

(1)該函數(shù)的圖象經(jīng)過象限；

(2)該函數(shù)的圖象與x軸的交點坐標(biāo)為，與y軸的交點坐標(biāo)為；

(3)已知點A(－1，y1)，B(3，y2)在該函數(shù)的圖象上，則y1y2.(填“＞”“＝”或“＜”)

2.已知直線y＝kx(k≠0)經(jīng)過點(3，6)，則該直線的解析式為.

3.已知一次函數(shù)y＝2x－5，將該函數(shù)的圖象向左平移3個單位長度，得到的函

數(shù)表達式為.

4.如圖，已知一次函數(shù)y＝x＋1的圖象分別與x，y軸交于A，B兩點.

1

(1)方程x＋1＝0的解為2；

1

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2

(2)關(guān)于x的不等式0＜x＋1的解為.

1

2

第4題圖

高頻考點

考點1一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(6年4考)

例1已知一次函數(shù)y＝kx＋b(k，b為常數(shù)，k≠0)，請解答下列問題：

(1)若b＝3，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A，且y隨x的增大而減小，則點A的坐標(biāo)可

以為()

A.(－1，2)B.(1，－2)C.(2，3)D.(3，4)

(2)若b＝k2，則一次函數(shù)y＝kx＋k2與y＝k2x＋k的圖象可能是()

(3)若點(－2，－1)，(1，－7)是該一次函數(shù)圖象上的點，則下列各點在一次函數(shù)

圖象上的是.

①(－2，－5)，②(－1，－3)，③(0，－1)，④(1，－5)

(4)若k＞0，點A(x1，y1)，B(x2，y1－2)是一次函數(shù)圖象上兩點，則x1x2(填

“＞”“＜”或“＝”).

變式1(2024長沙)對于一次函數(shù)y＝2x－1，下列結(jié)論正確的是()

A.它的圖象與y軸交于點(0，－1)B.y隨x的增大而減小

C.當(dāng)x＞時，y＜0D.它的圖象經(jīng)過第一、二、三象限

1

變式22在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝－3x＋b和y＝bx－3(b為常數(shù)，且

b≠0)的圖象可能是()

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考點2一次函數(shù)解析式的確定(6年5考)

例2(待定系數(shù)法求解析式)已知一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖象經(jīng)過(1，－1)，(2，

1)兩點，該一次函數(shù)的解析式為.

例3(平移求解析式)已知一次函數(shù)y＝－2x＋5.

(1)將該函數(shù)的圖象向上平移4個單位長度，得到的函數(shù)圖象的解析式

為；

(2)將該函數(shù)的圖象向左平移m(m＞0)個單位后，經(jīng)過點(－1，1)，則m的值

為.

例4(利用k、b的幾何意義求解析式)如圖，已知A點坐標(biāo)為(5，0)，直線y＝x

＋b與x軸交于點C，與y軸交于點B，連接AB，α＝75°，則b的值為.

例4題圖

方法解讀

一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)中，

b的幾何意義：直線與y軸交點的縱坐標(biāo)；

k的幾何意義：k＞0時，y隨x的增大而增大；k＜0時，y隨x的增大而減小.｜k｜

＝tanα(α為直線與x軸所夾銳角).

注：直線y＝k1x＋b(k≠0)與直線y＝k2x平行，則k1＝k2.

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考點3一次函數(shù)與方程(組)、不等式的關(guān)系(2024.10)

例5(2024珠海模擬)如圖，已知直線l1：y＝3x＋1和直線l2：y＝mx＋n交于點

＝＋

P(1，b)，則關(guān)于x，y的二元一次方程組的解是.

????

?=3?+1

例5題圖

變式3為了了解關(guān)于x的不等式－x＋2＞mx＋n的解集，某同學(xué)繪制了y＝－x

＋2與y＝mx＋n(m，n為常數(shù)，m≠0)的函數(shù)圖象如圖所示，通過觀察圖象發(fā)現(xiàn)，

該不等式的解集在數(shù)軸上表示正確的是()

變式3題圖

真題及變式

命題點1一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(6年4考，常在函數(shù)綜合題中涉及考查)

拓展訓(xùn)練

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1.在正比例函數(shù)y＝(k＋2)x中，y隨x的增大而減小，則一次函數(shù)y＝(k－1)x

－k的圖象不經(jīng)過()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.(2024長春)已知直線y＝kx＋b(k、b是常數(shù))經(jīng)過點(1，1)，且y隨x的增大而

減小，則b的值可以是.(寫出一個即可)

命題點2一次函數(shù)解析式的確定(6年5考，常在解答題中涉及考查)

3.(2023廣東16(2)題5分)已知一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖象經(jīng)過點(0，1)與點(2，

5)，求該一次函數(shù)的表達式.

拓展訓(xùn)練

4.(2024陜西)一個正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A(2，m)和點B(n，－6)，若點A與點

B關(guān)于原點對稱，則這個正比例函數(shù)的表達式為()

A.y＝3xB.y＝－3xC.y＝xD.y＝－x

11

命題點3一次函數(shù)的圖象與不等式的3關(guān)系(2024.10)3

5.(2024廣東10題3分)已知不等式kx＋b＜0的解集是x＜2，則一次函數(shù)y＝kx

＋b的圖象大致是()

拓展訓(xùn)練

6.(2024通遼)如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝k1x＋b1與y＝k2x＋

b2(其中k1k2≠0，k1，k2，b1，b2為常數(shù))的圖象分別為直線l1，l2.下列結(jié)論正確的

是()

A.b1＋b2＞0B.b1b2＞0C.k1＋k2＜0D.k1k2＜0

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第6題圖

新考法

7.[真實問題情境](2024中山三模)如圖是某臺階的一部分，每一級臺階的寬度和

高度之比為2∶1，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)是(－10，1)，

若直線y＝kx＋b同時經(jīng)過點A，B，C，D，E，則k與b的乘積為()

第7題圖

A.－3B.3C.－5D.5

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考點精講

①②③一、三、四

④一、二、四⑤增大⑥減?、?－，0)

?

⑧(0，b)?

練考點

1.(1)第一、三、四(2)(，0)，(0，－1)(3)＜

1

2.y＝2x2

3.y＝2x＋1

4.(1)x＝－2(2)x＞－2

高頻考點

例1(1)B

(2)D

(3)②

(4)＞

變式1A【解析】A.令x＝0，則y＝－1，∴一次函數(shù)y＝2x－1的圖象與y

軸的交點為(0，－1)，故A選項符合題意；B.∵k＝2＞0，∴y隨x的增大而增大，

故B選項不符合題意；C.令y＝0，則2x－1＝0，解得x＝，∵k＝2＞0，∴當(dāng)x

1

＞時，y＞0，故C選項不符合題意；D.∵k＝2＞0，b＝－21＜0，∴一次函數(shù)y

1

＝2x－1的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，故D選項不符合題意.

變式2A【解析】若b＞0，則函數(shù)y＝－3x＋b的圖象過第一、二、四象限，

函數(shù)y＝bx－3的圖象過第一、三、四象限；若b＜0，則函數(shù)y＝－3x＋b的圖象

過第二、三、四象限，函數(shù)y＝bx－3的圖象過第二、三、四象限.故選項A符合

題意.

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例2y＝2x－3【解析】∵一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖象經(jīng)過(1，－1)，(2，

＋＝－，，

1)，∴解得∴一次函數(shù)的解析式為y＝2x－3.

＋，＝－，

??1?=2

例3(12)?y＝－?=2x1＋9；(2)3?.3

例4【解析】令y＝x＋b中x＝0，則y＝b，∴B(0，b)，令y＝x＋b中y

53

＝0，則3x＝－b，∴C(－b，0)，∴∠BCO＝45°，∵α＝∠BCO＋∠BAO＝75°，

∴∠BAO＝30°，∵點A(5，0)，∴OA＝5，∴OB＝b＝OA·tan∠BAO＝.

53

3

例5【解析】∵直線y＝3x＋1經(jīng)過點P(1，b)，∴b＝3＋1，解得b＝4，

?=1

＝＋

∴P(1，?4)=，4∴關(guān)于x，y的二元一次方程組的解是.

?????=1

變式3C【解析】以兩函數(shù)圖象的交點為?分=界3，?直+1線y＝mx＋?=n(m4≠0)在直線y

＝－x＋2的下方時不等式－x＋2＞mx＋n，此時x＜－1.故該不等式的解集在數(shù)軸

上表示如選項C所示.

真題及變式

1.C【解析】∵正比例函數(shù)y＝(k＋2)x中，y隨x的增大而減小，∴k＋2＜0，

即k＜－2，∴－k＞0，k－1＜－3，∴一次函數(shù)y＝(k－1)x－k的圖象經(jīng)過第一、

二、四象限，∴該一次函數(shù)圖象不經(jīng)過第三象限.

2.2(答案不唯一)【解析】∵直線y＝kx＋b(k≠0)經(jīng)過點(1，1)，∴1＝k＋b.∵y隨x

的增大而減小，∴k＜0，當(dāng)k＝－1時，1＝－1＋b，解得b＝2，∴b的值可以是

2.

3.解：將點(0，1)，(2，5)代入y＝kx＋b中，

得，解得，分

＋(4)

?=1?=2

∴該2一?次?函=數(shù)5的表達式?為=y1＝2x＋1.(5分)

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4.A【解析】∵點A和點