2025年高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：平面向量中的最值與范圍問題【八大題型】解析版

重難點(diǎn)11平面向量中的最值與范圍問題【八大題型】

【新高考專用】

平面向量是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，平面向量中的最值與范圍問題是高考的熱點(diǎn)問題，也是難點(diǎn)問題，

此類問題綜合性強(qiáng)，體現(xiàn)了知識的交匯組合；從近幾年的高考情況來看，其基本題型是根據(jù)已知條件求某

個變量的范圍、最值，比如向量的模、數(shù)量積、向量夾角、系數(shù)的范圍等.

?知識梳理

【知識點(diǎn)1平面向量中的最值與范圍問題的解題策略】

1.平面向量中的最值(范圍)問題的兩類求解思路：

(1)“形化"，即利用平面向量的相關(guān)知識將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后結(jié)合平面圖

形的特征直接進(jìn)行判斷；

(2)“數(shù)化"，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方

程有解等問題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識來解決.

2.平面向量中的最值(范圍)問題的常用解題方法：

(1)定義法

①利用向量的概念及其運(yùn)算將所求問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到相應(yīng)的等式關(guān)系；

②運(yùn)用基木不等式、二次函數(shù)求其最值(范圍)問題，即可得出結(jié)論.

(2)坐標(biāo)法

①建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，把幾何圖形放在坐標(biāo)系中，就賦予了有關(guān)點(diǎn)與向量具體的坐標(biāo)；

②將平面向量的運(yùn)算坐標(biāo)化，進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算；

③運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思想方法如：二次函數(shù)、基本不等式、三角函數(shù)等思想方法來求解最值(范圍).

【知識點(diǎn)2極化恒等式】

1.極化恒等式的證明過程與幾何意義

⑴平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和：

|a+^|2+|a-S|2=2(|a|2+|^|2).

證明：不妨設(shè)在=Z,?=5,貝1|工=3+B,DB=a-b,

2

因2=宓=(￡+印管+2a-S+|zj|①,

網(wǎng)2=加=(］閩y7叫邛②,

①②兩式相加得：

|狗2+廊『=2(@+W卜2(畫2+1囹］.

(2)極化恒等式:

上面兩式相減，得：:j=+B『一--------極化恒等式

平行四邊形模式：a-b=^AC^-\DB^.

2.幾何解釋：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平

方差的

4

(1)平行四邊形模型：向量的數(shù)量積等于以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線長”與“差對角

線長”平方差的;，即:?刃一或］(如圖).

(2)三角形模型：向量的數(shù)量積等于第三邊的中線長與第三邊長的一半的平方差，即4?旅=

~AM2—應(yīng)評(W為的中點(diǎn))(如圖).

A

BMC

極化恒等式表明，向量的數(shù)量積可以由向量的模來表示，可以建立起向量與幾何長度之間的等量關(guān)系.

【知識點(diǎn)3等和(高)線定理】

1.等和(高)線定理

(1)由三點(diǎn)共線結(jié)論推導(dǎo)等和(高)線定理：如圖，由三點(diǎn)共線結(jié)論可知，若5?+〃方Q,〃eR),

則4+〃=1,由△048與A0AE相似，必存在一個常數(shù)k,k&R,使得OP'=kOP,則

OP'=kOP=kAOA+k/j.OB,又OP'=xOA+yOB(x,j?eR),.■-x+y^kX+k^k；反之也成立.

(2)平面內(nèi)一個基底｛5X3｝及任一向量蘇，OP'^^OA+^OB^eR),若點(diǎn)P在直線A8上或在平

行于42的直線上，貝~+〃=?定值)；反之也成立，我們把直線以及與直線N8平行的直線稱為等和(高)

線.

①當(dāng)?shù)群途€恰為直線48時，k=l；

②當(dāng)?shù)群途€在。點(diǎn)和直線AB之間時，住(0,1)；

③當(dāng)直線4B在。點(diǎn)和等和線之間時，在(1,+8)；

④當(dāng)?shù)群途€過。點(diǎn)時，k=0；

⑤若兩等和線關(guān)于。點(diǎn)對稱，則定值自，與互為相反數(shù)；

⑥定值k的變化與等和線到O點(diǎn)的距離成正比.

?舉一反三

【題型1定義法求最值（范圍）問題】

【例1】（2024?四川瀘州?一模）已知平面向圜=4,|赤|=3,|玩|=1,而?旗=0,則|刀+無|的最小

值是（）

3

A.1B.2C.-D.3

【解題思路】由題設(shè)AB,C分別在以。為原點(diǎn)，半徑為4,3,1的圓上運(yùn)動，且萬？1赤，數(shù)形結(jié)合及向量加法的

幾何意義確定|石？+而帕勺范圍，即可得答案.

【解答過程】由題設(shè)，45C分別在以。為原點(diǎn)，半徑為4,3,1的圓上運(yùn)動，且雨?麗=0,

所以瓦51麗，若。是的中點(diǎn)，貝lJ|0D|=/4B|=|,而|OC|=1,如下圖示，

由圖知，向+國=2而而|OQ|—|OC|W|CD|W|OD|+|OC|,Bp|<|CD|<|.

所以|石？+而|的最小值是3.

故選：D.

【變式1-1］（2024?四川內(nèi)江?三模）已知點(diǎn)/、B、C在圓久2+y2=i上運(yùn)動，且4B1BC,若點(diǎn)P的坐標(biāo)為

（0,2）,則|西+方+麗|的最大值為（）

A.3B.5C.7D.9

【解題思路】由題意可得4c為直徑，且|西+麗+麗|=|2萬+麗|,當(dāng)而，方共線且方向相同時模長最長，

即可得出答案.

【解答過程】因?yàn)锳B18C,所以4C為直徑且過原點(diǎn)，4C的中點(diǎn)為原點(diǎn)。，

所以由平行四邊形法則可得：PA+PC^2PO,

所以|港+而+元|=\2PO+~PB\,

所以當(dāng)PO,PB共線且方向相同時模長最長，即當(dāng)B運(yùn)動至IJD（O,-1）時,

\PA+~PB+~PC\=\2P0+麗|取得最大值為2x2+3=7.

故選：C.

【變式1-2]（2024?福建?模擬預(yù)測）在△4BC中，點(diǎn)。是邊BC上一點(diǎn)，若前=而，則等的最小

值為（）

A.7-2V10B.7+2V10C.-2V10D.7

【解題思路】根據(jù)給定條件，利用共線向量定理的推論求得x+y=L%>0,y>0?再利用基本不等式

“1”的妙用求出最小值.

【解答過程】在中，點(diǎn)。是邊BC上一點(diǎn)，AD^xAB+yAC,則x+y=l,x>0,y>0.

（"6+；）（x+y）=7+F+■7+2曰=7+2師

當(dāng)且僅當(dāng)?=￡,即》=手）=牛時取等號，

所以等的最小值為7+2V10.

故選：B.

【變式1-3]（2024?江西鷹潭?二模）在RSZBC中，角所對應(yīng)的邊為見瓦c/=也c=2,尸是△ZBC

外接圓上一點(diǎn)，則麗?（可+而）的最大值是（）

A.4B.2+V10C.3D.1+V10

【解題思路】先判斷△ABC外接圓圓心。是4B的中點(diǎn)，將無?（園+麗）化簡為2玩?麗，再將正分解整理

得2而2+2而,瓦，結(jié)合圖形，利用向量數(shù)量積的定義式進(jìn)行分析，即得麗?@7+而）的最大值.

【解答過程】

c

p

如圖，設(shè)RtaZBC的外心為0,則點(diǎn)。是的中點(diǎn)，

由PC?（P4+PB）=2PC-P0=2（P。+oc）-P0=2P0+2P0-0C,

因c=2,故|而|=|沆|=1,而麗?瓦=cos〈而,玩〉，

故元?（刀+麗）W2+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)而與沆同向時取等號.

故選：A.

【題型2坐標(biāo)法求最值（范圍）問題】

【例2】（2024?寧夏?一模）窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一

個正八邊形窗花隔斷，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖.如圖2,若正八邊形力BCDEFGH的邊

長為2,P是正八邊形2BCDEFGH八條邊上的動點(diǎn)，則Q-樂的最小值為（）

圖2

0C.-2V2D.-4V2

【解題思路】根據(jù)P的位置進(jìn)行分類討論，根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算求得正確答案.

【解答過程】設(shè)（而,而）=仇

當(dāng)P與4重合時，AP-AB=0；

當(dāng)P在線段4B（除4）、線段BC、線段C。，線段線段EF（除F）點(diǎn)上運(yùn)動時,

0<9<1,cos0>0,所以4P-AB=|AP|'\AB\-cos0>0,

當(dāng)p與尸重合時，e=*所以Q?而=|Q|?|說

以4為原點(diǎn)，AB,4F分別為%,y軸建立平面直角坐標(biāo)系，

根據(jù)正八邊形的性質(zhì)可知力F=2+(2Xsin?x2=2+2\[2,2cos：=V2,

則F(0,2+2V2),G(-V2,2+V2),W(-V2,V2),B(2,0),

直線GF的方程為y=x+2+2魚，直線GH的方程為x=-近，直線4H的方程為丫=-x,

當(dāng)P在線段GF(除F)上運(yùn)動時，設(shè)P(x,x+2+2&)(—&Sx<0),

所以而-AB=(x,x+2+2V2)-(2,0)=xe[-V2,0),

當(dāng)P在線段GH上運(yùn)動時，設(shè)P(-VIt)(迎WtW?+2),

所以而?AB=(-V2,t)?(2,0)=-2V2,

當(dāng)P在線段AH(除4)上運(yùn)動時，設(shè)P(x,-x)(-?Wx<0),

所以而■AB=(%,-x)-(2,0)=2xe[-272,0).

綜上所述，而?荏的最小值為-2魚.

故選：C.

【變式2-1](2024?江蘇南通?二模)如圖，點(diǎn)C在半徑為2的通上運(yùn)動，"OB4若配=mOA+nOB,則機(jī)+n

的最大值為()

A.1B.V2C.竽D.V3

【解題思路】建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)乙4OC=a,利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到加，"與a的關(guān)系，進(jìn)而得到

關(guān)于a的三角函數(shù)表達(dá)式，利用輔助角公式整理后，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求得其最大值.

【解答過程】以。為原點(diǎn)、旗的方向?yàn)閤軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，

則有訶=(2,0),OB=(1.V3).

設(shè)ZJIOC=a,貝iJOC=(2cos%2sina).

,日古上r%

由感恩可知｛f2n?l+n==2s2icnoasa

所以TH+九=cosa+手isna=^^sin(a+g),

因?yàn)閍e[o閭,所以a+今喏用,

故山+n的最大值為竽.

故選：C.

【變式2-2](2024?四川成都?三模)在矩形力BCD中，AB=5,4D=4,點(diǎn)E滿足2荏=3而，在平面4BCD

中，動點(diǎn)P滿足麗?方=0,則而?標(biāo)的最大值為()

A.V41+4B.74116C.2、13+4D.2V13-6

【解題思路】建立直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解.

【解答過程】以。為坐標(biāo)原點(diǎn)(。是BE中點(diǎn))，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，

因?yàn)樵诰匦?BCD中，AB=5,AD=4,2AE=3EB,PE-PB=0,

所以動點(diǎn)P在以。為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動，故設(shè)P(cose,sin。)，

則A(0,4),D(4,4),C(4,-l),

DP-AC=(cos0-4,sin0-4)?(4,-5)=4(cos0—4)—5(sin0-4)=V41cos(0+<p)+4,

c---?--->__

其中銳角3滿足tanR=Q故DPSC的最大值為WT+4,

故選：A.

【變式2-3](2024?北京?三模)已知點(diǎn)N在邊長為2的正八邊形442，-/8的邊上，點(diǎn)”在邊4"2上，則

ArMMiN的取值范圍是()

A.[-4-2V2,2V2]B.[-4,4+2A/2]

C.[-2V2,4+2V2]D.[-2V2,4]

【解題思路】以公為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，表示出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，計(jì)算而?而即可.

【解答過程】以心為原點(diǎn)，4遇2為工軸，4遇6為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)N(n，yi),M(%2,0)，則4也=(%2,0)4N=(均,％),

所以AM-A-^N—>

由于正八邊形的每個外角都為：；

則工26[O,2],X16[-V2,2+V2],

所以41M?&N=XiX2e[-2V2,4+2V2].

故選：C.

【題型3與平面向量基本定理有關(guān)的最值（范圍）問題】

【例3】（2024?四川遂寧?模擬預(yù)測）在△力BC中，點(diǎn)尸為線段8C上任一點(diǎn)（不含端點(diǎn)）,^AF=xAB+2y

AC（x>0,y>0）,貝葉+和勺最小值為（）

A.3B.4C.8D.9

【解題思路】先根據(jù)共線向量基本定理得到x+2y=l,利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.

【解答過程】因?yàn)辄c(diǎn)尸為線段上任一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），

所以設(shè)衣=4近，i^AF-AB-XAC-AAB,

即赤=4而+（1-4）福

又而=xAB+2yAC（x>0,y>0）,

故久+2y=1—A+A=1,

故1++今（x+2y）=l+4+孑+■5+2后g=9,

當(dāng)且僅當(dāng)孑=￡,即x=y=g時，等號成立，

故?+和勺最小值為9.

故選：D.

【變式3-1］（2024?寧夏銀川?模擬預(yù)測）在△ABC中，BD=WC,過點(diǎn)。的直線分別交直線AB、AC于點(diǎn)

E、F,5.AE=mAB,AF=nAC,其中Tn>0,n>0,則租+2九的最小值為（）

O

A.2B.V2C.3D.-

【解題思路】根據(jù)題意以4B/C為基底表示出AC,再根據(jù)E,凡。三點(diǎn)共線，利用共線定理可得聶+會=1,

再由基本不等式即可求得m+2兀的最小值為3.

【解答過程】如下圖所示：

因?yàn)檎f=2DC,易知前=AB+BD=AB+^BC=AB+|（XC-XB）=9+押,

又族=小四,左=n前，所以而=癡+|而=親族+《初，

易知E,F,D三點(diǎn)共線，利用共線定理可得++總=1,

又m>0,n>0,

所以加+2n=S+2n）（3+9="架+言+公2序器+|=2*|+|=3；

當(dāng)且僅當(dāng)票=粉，即爪=72=1時，等號成立，

所以巾+2n的最小值為3.

故選：C.

【變式3-2](2024?重慶?模擬預(yù)測)在正方形A8CD中，動點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，經(jīng)過C,D,到達(dá)4AE=XAB+n

AC,貝IM+〃的取值范圍是()

A.[-1,1]B.[0,1]C.[-1,2]D.[0,2]

【解題思路】建立平面直角坐標(biāo)系，寫成點(diǎn)的坐標(biāo)，分點(diǎn)、E在BC,CD,4。三種情況，求出2+〃的取值范圍.

【解答過程】以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,BC所在直線分別為x軸，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)48=1,則8(0,0)/(1,0>C(0,1),

當(dāng)點(diǎn)E在BC上時，設(shè)

貝1](一l,m)=4(-1,0)+〃(一1,1),即｛入/二林1，故4+4=1,

當(dāng)點(diǎn)E在CD上時,設(shè)

則(t—1,1)=4(—1,0)+火一1,1),即「圈tT，解得｛)=7，

故a+〃=1—16[o,i],

當(dāng)點(diǎn)E在4。上時，設(shè)

則即｛一丑;°，故4+〃=0

綜上，a+〃的取值范圍是a+〃w

故選：B.

【變式3-3](2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?一模)在中，。為線段4C的一個三等分點(diǎn)，MD|=2|DC|.連接

BD,在線段BD上任取一點(diǎn)E,連接4E,若族=a而+b方，則(^+廿的最小值為()

,1342

A.—Bc——D.

4-1135

【解題思路】根據(jù)E在線段8。上得到族=4前+Q-Q同，結(jié)合已知條件得到a,b和4的關(guān)系式，最后轉(zhuǎn)

化為二次函數(shù)求最小值.

【解答過程】???E在線段8。上，AE^AAD+(l-A)XB,Ae[0,1],

。為線段4c的一個三等分點(diǎn),\AD\=2\DC\,AD=^AC,

AE=—AAC+(1一=aAC-i-bAB,

由平面向量基本定理得a=|2，b=1—2,

a2+b2=^A2+(1-2)2=yA2-22+1=y(A-+,,

當(dāng)2=總時，a2+/取得最小值3

故選：C.

【題型4與數(shù)量積有關(guān)的最值(范圍)問題】

【例4】(2024?全國?模擬預(yù)測)已知圓C的半徑為1,過圓C外一點(diǎn)P作一條切線與圓C相切于點(diǎn)4

\PA\=2,Q為圓C上一個動點(diǎn)，則同?所的取值范圍為()

A.[2,4]B.[2,6]C.[0,4]D.[4,6]

【解題思路】方法一：建立合適的坐標(biāo)系，設(shè)Q(cose,sin8),根據(jù)余弦函數(shù)的范圍即可得到數(shù)量積范圍；方

法二：根據(jù)數(shù)量積與投影向量之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可.

【解答過程】方法一：不妨設(shè)圓心C(0,0),24(0-1),P(-2,-l),Q(cos0,sin0),

所以麗■PQ=(2,0)?(cos。+2,sin0+1)=2cos0+4,

因?yàn)橐?<cos3<1,

所以2W百?所W6.

方法二：如圖，過圓心C作MNIIP4,且與圓C交于點(diǎn)N,連接PM,PN,

過N分別作MG1P4NH1PA,垂足分別為G,H,過Q作QT1P4垂足為7,

則所在或方向上的投影向量為所，

則可.所=可?可而|而|=2,

又1W|而|W3,所以2W方?所W6.

故選：B.

【變式4-1](2024?海南?三模)勒洛三角形是一種典型的定寬曲線，以等邊三角形每個頂點(diǎn)為圓心，以邊

長為半徑，在另兩個頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形.在如圖所示的勒洛三

角形中，已知4B=2,尸為弧NC上的一點(diǎn)，且NPBC=*則而?麗的值為()

A.4—B.4+

C.4-2V3D.4+2V3

【解題思路】根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.

以8為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線8c為x軸，過點(diǎn)8且垂直于8c的直線為了軸，建立平面直角坐標(biāo)系，貝!]8(0,0),

C(2,0),由=?得P(乃1),所以麗=(V3.1),CP=(73-2,1),所以而-CP=V3(V3-2)+1X1=4-2

V3.

故選：C.

【變式4-2](2024?浙江?一模)如圖，點(diǎn)C在以為直徑的圓上，其中|力引=2,過4向點(diǎn)C處的切線作垂

線，垂足為P,則就?麗的最大值是()

A.2B.1C.0D.-1

【解題思路】連接BC,貝ij乙4cB=9。。,貝u有尼?麗=|無匕由RtaapcsRtaacB可得仍。|=史詈，又由

\AC\2+\CB\2=|4B|2,可得＜2,即可求出無-麗的最大值.

【解答過程】解：連接BC,貝此力CB=90。，

■：AP1PC,

.?前-TB=AC■(PC+CB)=AC-PC=(AP+JC)-JC=~PC2=\PC\2,

依題意可證Rt△力Pt>Rt△4CB,則昌=器，即|PC|=吏磬，

■.■\AC\2+\CB\2=\AB\2,

.?.|ZC|2+|C8|2=4N2|ac|￡B|,即|4C||CB|W2,當(dāng)且僅當(dāng)|4C|=|CB|時取等號,

：.\PC\<1,

：.AC-~PB=|PC|2<1,

??.樂?麗的最大值為1,

故選：B.

【變式4-3］（2024?廣東深圳?模擬預(yù)測）如圖所示，A48C是邊長為8的等邊三角形，P為NC邊上的一個

動點(diǎn)，￡廠是以8為圓心，3為半徑的圓的直徑，則而?麻的取值范圍是（）

A.[28,46]B.[32,58]C.[39,55]D.[42,60]

【解題思路】利用已知條件，把而，而用基底｛麗，而｝表示，再利用向量數(shù)量積公式可得方?而=|麗『-

|BE|2,再根據(jù)I而I的范圍便可求出而?方的取值范圍.

【解答過程】如圖可知，而=方+聲，PF=~PB+~BF,

因?yàn)锽是EF的中點(diǎn)，所以族=麗=一而，

所以而■PF=（RB+RE）-（PB+BF）,

即而-~PF=（PB+~BE}-（PB-BE},

所以麗?麗=麗2—前2=?麗前『，

由條件可得，|而|=3,|同|=|照|=|麗|=8,

因?yàn)槭瑸镹C邊上的一個動點(diǎn)，

故當(dāng)尸為NC中點(diǎn)時，|麗|最小，此時|麗|=4行，

當(dāng)尸為/或C時，|方|最大，|而|=8,

所以|麗|€[4V3.8],

所以|麗12C[48,64],又因?yàn)閨旗|=3,

所以|而『-1前『e[39,55].

故選：C.

【題型5與模有關(guān)的最值（范圍）問題】

【例5】（2024?河北保定?二模）如圖，圓01和圓。2外切于點(diǎn)P，A,B分別為圓。1和圓。2上的動點(diǎn)，己知圓

。1和圓。2的半徑都為1，且刀?麗=—1,則|您+而『的最大值為（）

【解題思路]由瓦??PB=（西+0^4）■（花+4）=1,化簡得到|日?森卜|西?（a^B-a[A）\<

|森一亞|,兩邊平方化簡可得：一1一gW日?森W-1+遮，由|而+而『=

|PO1+。送+PO2+O2B\化簡即可得到答案.

【解答過程】PA-~PB=（西+0^4）■（布+森）=西.西+西.森+m.西+亳.4

=-1+POi,（2B-0遇）+O^A?。2夕=-1,

所以|乖?森|=|西?（森一女）|<|森一女

■>------->12I?12I------>12------->------->I------>>12--->>

所以|。1/?。2回<\02B\+|。1川一2。遇?。28,即］。遇.。2司+2Oii4?O2B-2<0,

解得—1—工。遇,。2鳥m-1+V3.

\PA+ps|2=|西+0^4+西+森『=+0^|2=|o^4|2+|O1B|2+2m?森

=2+20M-02S<2+2x（-1+V3）=2V3.

故選：D.

【變式5-1］（2024?全國?模擬預(yù)測）已知向量落石滿足|五+同=3,a-b=0,若工=43+（1—4）3（2eR）,

且工?方=2?1，則?的最大值為（）

13

A.3B.2C.-D.-

【解題思路】令五=麗，b=MB=AN,根據(jù)題意作出圖形，結(jié)合圖形將已知條件轉(zhuǎn)化，得到府1麗，然

后數(shù)形結(jié)合求|可的最大值.

【解答過程】如圖:令匯=府，b=MB=AN,則a+各=病+耐=荏，故|四|=3.

因?yàn)椴涣?0,所以府1M，記AB的中點(diǎn)為。，所以點(diǎn)M在以為直徑的圓。上.

設(shè)工=而，連接MN,因?yàn)椴?疝+（1-2?,所以點(diǎn)C在直線MN上.

因?yàn)?,3="i,所以云YH—刃）=0,即而?N航=0,所以而1N疝

結(jié)合圖形可知，當(dāng)麗1卷時，|而|即?取得最大值，且伍|max=l而1=*

故選：D.

【變式5-2]（2024?河南鄭州?模擬預(yù)測）已知△力BC中，AB=AC=242,+A5C|min=2（AeR）,

AM^^MB,AP=sin2cr-AB+cos2cr-AC,a&則|麗|的取值范圍為（）

/L63」

A?照，唱B.白胡

C.圖，苧]D.曲亨]

【解題思路】根據(jù)已知可得2到BC的距離為2,△ABC為等腰直角三角形，若，E為BC的兩個四等分點(diǎn)，N

為中點(diǎn)，P在線段0E上運(yùn)動，且4V=2,數(shù)形結(jié)合求|而|的取值范圍.

【解答過程】由|樂+4麗|mm=2(4eR),結(jié)合向量加法法則知：4到BC的距離為2,

又AB=AC=2?則8C=4,^AB2+AC2=BC2,故△ABC為等腰直角三角形，

由力P=sin2a?AB+cos2a?4C,則siMa+cos2a=1,所以P,B,C共線,

又ae卜⑶，則Sin2a,cos2ae的，若0,E為BC的兩個四等分點(diǎn)，N為BC中點(diǎn)，如下圖示，

所以P在線段0E上運(yùn)動，且4N=2,BD=1,BE=3,

由圖：若MP1BC,則MP〃4N,又麗二屈,此時BP=|BN=?e[1,3],

故上述情況|而lmin=lAN=^易知ME=JMP2+(BE—BP)2=J"+會年,

由圖知：P與E重合時，I而5|max=ME=亨，

綜上，I而I的取值范圍為L字].

故選：D.

【變式5-3](24-25高三上?黑龍江大慶?期中)勒洛三角形，也稱圓弧三角形，是一種特殊三角形，在建筑、

工業(yè)上應(yīng)用廣泛.如圖所示，分別以正三角形N3C的頂點(diǎn)為圓心，以三角形/2C邊長為半徑作圓弧，由這

三段圓弧組成的曲邊三角形即為勒洛三角形.已知正三角形/8C邊長為60,點(diǎn)。，￡分別為線段/昆/C的

中點(diǎn)，點(diǎn)尸為圓弧而上的一動點(diǎn)，則|同+方+玩+方+而|的最小值為()

A

A.60-6V37B.300-30V37C.300—15歷D.60-3何

【解題思路】取三角形NBC的重心和。E中點(diǎn)，由平面向量線性運(yùn)算化簡所求向量，再又三點(diǎn)共線的逆定

理得到點(diǎn)”在平面的位置，用勾股定理求出線段S長，從而求得所求向量的最小值.

【解答過程】取中點(diǎn)R三角形4BC的重心G,

■.-PG=!?C+|PD=|?C++PA）=|（PC+PB+PA）,PF=^PD+^PE,

則方+~PB+JC+~PD+RE=3PG+2PF=+1利，

設(shè)麗=|麗+河，則可得旗=I7沛，設(shè)3c中點(diǎn)為乂

則|4M|=,602—302=30V3,\FM\|A/602-302=15g,

\MH\=\FM\-\FH\=|FM|-||FG|=|FM|-|X（|-|）|^|=15V3-3V3=12V3,CH2=MH2+CM2

=1332,

在扇形CAB中，當(dāng)C,H,P三點(diǎn)共線時，|麗|最小，所以|而|的最小值為60-V1疑=60-6例,

\PA+PB+PC+PD+技|的最小值為300—30歷.

故選：B.

【題型6平面向量中參數(shù)的最值（范圍）問題】

【例6】（23-24高一下?河南信陽?階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)C是半徑為1的扇形圓弧而上一點(diǎn)，且〃。B=g

4

若玩=拓1+、而，貝收+后的最大值是（）

C

A

OB

A.1B.孚C.V10D.4

【解題思路】以O(shè)B為x軸，過。作與OB垂直的線作為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)C（cose,sin。）,。€乎卜

根據(jù)平面向量基本定理得到，再利用輔助角公式計(jì)算可得?

如圖所示，以。B為x軸，過。作與OB垂直的線作為y軸,

???〃08=拳|明=|國=1,.??從一日，陰,5(1,0),

貝位=（_多乎）,而=（1,0）,

設(shè)C(cose,sin。),。E［仇平

一/V2V2\/V2V2\

OC=(cos^sin?)=xI——I+y(l,0)=I——x+y,—xj

Acos9=-^-x+y...rx=V2sin0

sinO=—x，ty=cosJ+sinJ，

2

???x+V2y=V2sin0+V2(cos0+sin。)=2V2sin0+V2cos0=VlOsin(0+<p),

其中tamp=Xtan(p=|<^=tanp所以0<w<也

???sin（e+卬）=L即e+0=5時，％+魚丫取得最大值，即（％+&y）max=

故選：C.

【變式6-1]（23-24高一下?河南?階段練習(xí)）已知口45。。中，點(diǎn)尸在對角線4C上（不包括端點(diǎn)4,C）,

點(diǎn)。在對角線上（不包括端點(diǎn)3,D）,若羽=九荏+的而，而=彩荏+〃2近，記2盾一〃1的最小

12

值為冽，彳+丁的最小值為力則（）

林2

.19h19

A.m=n=-B.m=n=-

oZ4Z

【解題思路】由四邊形48CD為平行四邊形，得力P=+“iBC=X1AB+4送。及冊=%且汨e（0,1）,

再通過二次函數(shù)求最小值??；由而=小同+%而及點(diǎn)0在對角線5。上，得幾2+42=1，再通過基本不

等式求最小值兀

【解答過程】因?yàn)樗倪呅?BCD為平行四邊形，所以而=冊荏+%麗=汨同+〃i而，

又點(diǎn)尸在對角線/C上（不包括端點(diǎn)/,C）,所以加=%且％6（0,1）,

貝1|2淤一出=2淤—41=2（汨一"）當(dāng)心=*時，m=-1.

同理而=而南+如而，因?yàn)辄c(diǎn)0在對角線AD上（不包括端點(diǎn)5,D）,

所以入2+42=1且入2＞。,〃2＞。，

則套+后=（/+￡）。2+〃2）=升翁+普濘+2氏弓=/

當(dāng)且僅當(dāng)而=最”2號時取得等號，所以n

故選：A.

【變式6-2］（23-24高一下?上海?期中）如圖，△48。的三邊長為|/切=3,伊。|=7,|4。=5,且點(diǎn)8C分別

在X軸，y軸正半軸上移動，點(diǎn)a在線段BC的右上方.設(shè)瓦？=久而+＞瓦Q,yeR）,記”=布?瓦

,N=x+y,分別考查M,N的所有可能結(jié)果，則（）

A.M有最小值，N有最大值B.M有最大值，N有最小值

C.M有最大值，N有最大值D.M有最小值，N有最小值

【解題思路】設(shè)NBCO=ae（01）,NaC8=S，用a,0表示出M,N,然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最值.

[解答過程】設(shè)NBC。=ae(0,^ACB=￡,

由余弦定理得cos￡==K⑼邛=J1—COS20=筆，

過4點(diǎn)作ly軸，設(shè)垂足為。，

在△BOC中，\0C\=\BC\cosa=7cosa,\0B\=\BC\sina=7sina,

所以B(7sina,0),C(0,7cosa)

在△ZDC中，

\AD\=\AC\sinzACD=5sin(a+￡),|C0=\AC\cosZ-ACD=5cos(a+/?),

所以Z(5sin(a+￡),7cosa-5cos(a+/?))

由。4=xOB+yOC

即(5sin(a+S),7cosa—5cos(a+0))=(7%sina,0)+(0,7ycosa)

,曰_5sin(a+/?)_7cosa—5cos(a+/?)

~,y=~，

7sina,7cosa

5sin(a+0)7cosa-5cos(a+0)15V3、(,15A/3

所以N=%+y--------------1-----------------------=1H------------>1H---------

7sina7cosa49sin2a49

當(dāng)且僅當(dāng)a=?時取最小值，沒有最大值.

M=0A-0C=7cosa[7cosa-5cos(a+/?)]=、+ysin(2a+y)，

其中siny=|i,cosy=等,yG(0,^),

11

因?yàn)閥<2a+yV7i+y,所以一R=sin(n+y)<sin(2a+y)<1,

所以Me(0,r],當(dāng)且僅當(dāng)sin(2a+y)=1即a=；苫時取最大值，沒有最小值.

【變式6-3](23-24高二上?上海黃浦?期中)在△ZBC中，AC=3,BC=4,4c=90。.P為△所在平面

內(nèi)的動點(diǎn)，且PC=2,^CP=ACA則給出下面四個結(jié)論：

①a+〃的最小值為T；②PA,PB的最小值為—6；

③a+〃的最大值為*④麗?麗的最大值為io.

其中，正確結(jié)論的個數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

【解題思路】建立以C為原點(diǎn)，C4cB所在的直線分別為居y軸，平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P(2cose,2sin。)，然后

C2A

一＞一＞一＞A=-cosU

表示出CP,C4cB的坐標(biāo)，得出彳.A,再逐個分析即可.

V11=-2sm6

【解答過程】

如圖，以C為原點(diǎn)，C4cg所在的直線分別為%,y軸，建立平面直角坐標(biāo)系,

則C(0,0)/(3,0)以0,4),因?yàn)镻C=2,所以設(shè)P(2cose,2sine),

則CP=(2cosa2sin。),&4=(3,0),CB=(0,4)

所以CP=ACA+林CB=(3尢4〃)，

2

而2cos8=32A=-cos0

V2

所以A+〃=|cos9+|sin8=|sin(0+(p),其中sin?=1,cos(jp=|,

所以(A+〃)min=-+〃)max=]

所以①③錯誤；

PA=(3—2cos0,—2sin0),PB=(-2cos0,4—2sin0)

.??凡廂=-2cos0(3-2cos0)-2sin6>(4-2sin0)=4-lOsin(0+a),

其中sina=|,cosa=

??.-10<-lOsin(0+a)<10,

-6<4-lOsin(0+a)<14,

-6<PA-TB<14,

所以②正確，④錯誤；

故選：A.

【題型7極化恒等式】

【例7】（23-24高一下?北京?階段練習(xí)）在直角梯形4BCD中，AD\\BC,AABC=90°,

4D=24B=2BC=2,點(diǎn)P為梯形力BCD四條邊上的一個動點(diǎn)，則西?麗的取值范圍是（）

A-[~|<4]B-[-1-2]C.[一1,4]D.

【解題思路】此題可以先證明一下極化恒等式，再使用，輕松解決此題.

【解答過程】如圖4ABP中，。為4B中點(diǎn)，

JA-PB=（而+OAy（PO+OB）=（PO+OAy（PO-OA'）=PO2-OA2（極化恒等式）

共起點(diǎn)的數(shù)量積問題可以使用.

如圖，取4B中點(diǎn)。，則由極化恒等式知，

7A-7B=PO2-OA2=PO2-^,要求麗?麗取值范圍，只需要求PM最大，最小即可.

由圖，可知2。2最大時，尸在。點(diǎn)，即P02=。。2=4。2+4。2=止匕時

4P4PB=P02—I4=4,

P02最小時，尸在。點(diǎn)，即「。2=0,止匕時麗?麗=2。2—]=一3

綜上所得，刀?而取值范圍為：[-i,4].

故選：D.

【變式7-1]（2024高三?全國?專題練習(xí)）如圖，在等腰直角三角形4BC中，斜邊4C=2,M為線段4B上的

動點(diǎn)（包含端點(diǎn)），。為4C的中點(diǎn).將線段4C繞著點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)得到線段EF,則麗?麗的最小值為（）

A

■F

BC

3

A.-2B.--

i

C?—1D.——

【解題思路】利用轉(zhuǎn)化法，將何?麗轉(zhuǎn)化為麗之—反?或何2_萍2,進(jìn)而求得標(biāo)?標(biāo)的最小值.

【解答過程】解法一：

連接MC,則何?MF=（MD+~DE）-（MD+DF）

=（MD+函?（MD-D￡）=~MD2-DE2,

當(dāng)MO148時，MC最小，即I麗Imin=￥，

結(jié)合而2=1,得靛,而的最小值為-（

解法二（極化恒等式法）：

依題意BC=VL￡?為線段EF的中點(diǎn)，

則砒+MF=2MD.ME-~MF=^ME+MF）2-（ME-MF）2]

->2i--->2

=MD--FE,

由于|麗京=￥，而之=%所以何?而的最小值為一!

故選:D.

A

BC

【變式7-2]（2024?湖北省直轄縣級單位?模擬預(yù)測）如圖直角梯形/5CD中，跖是CD邊上長為6的可

移動的線段，4。=4,AB=8V3,BC=12,則靛?市:的取值范圍為[99,148].

【解題思路】首先在BC上取一點(diǎn)G,使得BG=4,取EF的中點(diǎn)P,連接CG,BP,根據(jù)題意得到盛?麗=；

［（而+即『-（而-而H=前2一%再根據(jù)|喬|的最值求解即可.

【解答過程】在BC上取一點(diǎn)G,使得BG=4,取EF的中點(diǎn)P,連接DG,BP,

如圖所示：

則DG=88，GC=8,CO=182+（8-）2=16,

tanzSCD=啦=遮，即/BCD=60°.

8

BE-BF=*族+而）2-（旗-而）］=i［（2BP）2-FE2］=#-9,

當(dāng)BP1CD時，|而|取得最小值，此時|麗|=12xsin6（T=6V^,

所以（麗?麗）mg=（6V3）2-9=99.

當(dāng)F與。重合時，CP^13,BC=12,

貝加麗『=122+132-2X12x13x|=157,

當(dāng)E與C重合時，CP=3,BC=12,

貝加明,=122+32-2x12x3x1=117,

所以（旗?灰）max=157—9=148,即旗-加的取值范圍為［99,148］.

故答案為：［99,148］.

【變式7-3］（2024?全國?模擬預(yù)測）如圖所示，A43c是邊長為8的等邊三角形，點(diǎn)P為NC邊上的一個

動點(diǎn)，長度為6的線段斯的中點(diǎn)為點(diǎn)2,則而?兩的取值范圍是［39,55］.

APC

【解題思路】由向量的數(shù)量積公式得出而?麗=|麗『-9,求出|方|的最大值和最小值即可得出結(jié)果.

【解答過程】由線段￡尸的中點(diǎn)為點(diǎn)8,得出麗=-族.

而.丙=（而+而）.（而+麗）=（而+而）.（麗一麗）=|PF|2-|BE|2=I而--9.當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)A或點(diǎn)

C時，|麗|取最大值8.

當(dāng)點(diǎn)尸位于4C的中點(diǎn)時，|麗|取最小值，即=8sin?=4四，

???I麗|的取值范圍為[4篇8],???盛?而的取值范圍為[39,55].

故答案為：[39,55].

【題型8等和（高）線定理】

【例8】（2024?山東煙臺三模）如圖，邊長為2的等邊三角形的外接圓為圓0,P為圓。上任一點(diǎn)，若麗=》

9+y而，貝IJ2久+2y的最大值為（）

84

A.-B.2C.-D.1

【解題思路】等和線的問題可以用共線定理，或直接用建系的方法解決.

【解答過程】

作3c的平行線與圓相交于點(diǎn)P,與直線相交于點(diǎn)￡,與直線NC相交于點(diǎn)凡

設(shè)而=4族+〃而，貝!U+4=1,

.BC//EF,；.設(shè)若=爺=匕則ke[O,勺，

/itjZiC5

.■.AE=kAB,AF=kAC,AP=AAE+^AF=AkAB+[ikAC,

■?■x=A.k,y=(ik,

：.2x+2y=2(4+〃)fc=2/c<|,

故選：A.

【變式8-1](24-25高二上?浙江臺州?開學(xué)考試)如圖所示，0A,而是兩個不共線的向量(4408為銳

角)，N為線段。B的中點(diǎn)，M為線段。力上靠近點(diǎn)4的三等分點(diǎn)，點(diǎn)C在MALL,且無=乂6？+y而eR),

【解題思路】先根據(jù)三點(diǎn)共線得沆=疝而+〃而(x,yeR),且兀+〃=1,再根據(jù)平面向量基本定理得x=|

A,y=|(l-2),最后根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最值.

【解答過程】解：???點(diǎn)GMN共線，.?.存在實(shí)數(shù)尢4，使沆=2麗+〃麗(x,yeR),且4+4=1,

因?yàn)槌?話=與麗+2y而，.-.X=|A,y=)=*l-4),0<A<1.

故/+y2=(|。+1(1-2)2=融-，+1

=!!(，—段)+噌0<2<1-

當(dāng)4=葛時，%2+*取得