2025年離散數(shù)學閉包試題及答案

離散數(shù)學閉包試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題2分，共20分）

1.設集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，則A與B的交集是（）。

A.{1,2}B.{2,3}C.{1,2,3}D.{2,3,4}

2.在集合的冪集中，基數(shù)最小的冪集是（）。

A.{?}B.{?,{1}}C.{?,{1},{2},{1,2}}D.{?,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}

3.下列哪個集合是閉集？（）

A.A={1,2,3}，A的補集是B={4,5,6}B.A={1,2,3}，A的補集是B={1,2}C.A={1,2,3}，A的補集是B={2,3,4}D.A={1,2,3}，A的補集是B={1,2,3,4}

4.設集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，C={3,4,5}，則A與B的并集再與C的交集是（）。

A.{2,3}B.{3,4}C.{2,3,4}D.{1,2,3,4,5}

5.設集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，C={3,4,5}，則A與B的對稱差集是（）。

A.{1,2,3,4,5}B.{2,3,4}C.{1,2,3}D.{1,3,5}

6.設集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，C={3,4,5}，則A與B的笛卡爾積是（）。

A.{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5)}B.{(1,2),(2,3),(3,4),(1,3),(2,4),(3,5)}C.{(1,2),(2,3),(3,4),(1,3),(2,4),(3,5),(1,4),(2,5),(3,5)}D.{(1,2),(2,3),(3,4),(1,3),(2,4),(3,5),(1,4),(2,5),(3,5),(1,5),(2,5),(3,5)}

7.設集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，C={3,4,5}，則A與B的笛卡爾積再與C的笛卡爾積是（）。

A.{(1,2,3,3,4,5),(2,3,4,3,4,5),(3,4,5,3,4,5)}B.{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,2,4),(2,3,5),(3,4,6)}C.{(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6)}D.{(1,2),(2,3),(3,4),(1,3),(2,4),(3,5),(1,4),(2,5),(3,5),(1,5),(2,5),(3,5)}

8.設集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，C={3,4,5}，則A與B的笛卡爾積再與C的笛卡爾積的笛卡爾積是（）。

A.{(1,2,3,3,4,5,3,4,5),(2,3,4,3,4,5,3,4,5),(3,4,5,3,4,5,3,4,5)}B.{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,2,4),(2,3,5),(3,4,6),(1,3,5),(2,4,6),(3,5,7)}C.{(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(1,2,4,3,4,5),(2,3,5,3,4,6),(3,4,6,3,4,7)}D.{(1,2),(2,3),(3,4),(1,3),(2,4),(3,5),(1,4),(2,5),(3,5),(1,5),(2,5),(3,5),(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,2,4),(2,3,5),(3,4,6),(1,3,5),(2,4,6),(3,5,7),(1,4,6),(2,5,7),(3,6,8)}

9.設集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，C={3,4,5}，則A與B的笛卡爾積再與C的笛卡爾積的笛卡爾積再與A的笛卡爾積是（）。

A.{(1,2,3,3,4,5,3,4,5),(2,3,4,3,4,5,3,4,5),(3,4,5,3,4,5,3,4,5)}B.{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,2,4),(2,3,5),(3,4,6),(1,3,5),(2,4,6),(3,5,7),(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(1,2,4,3,4,5),(2,3,5,3,4,6),(3,4,6,3,4,7)}C.{(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(1,2,4,3,4,5),(2,3,5,3,4,6),(3,4,6,3,4,7),(1,2,3,4,3,4,5),(2,3,4,5,3,4,6),(3,4,5,6,3,4,7)}D.{(1,2),(2,3),(3,4),(1,3),(2,4),(3,5),(1,4),(2,5),(3,5),(1,5),(2,5),(3,5),(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,2,4),(2,3,5),(3,4,6),(1,3,5),(2,4,6),(3,5,7),(1,4,6),(2,5,7),(3,6,8),(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(1,2,4,3,4,5),(2,3,5,3,4,6),(3,4,6,3,4,7),(1,3,5,3,4,5),(2,4,6,3,4,6),(3,5,7,3,4,7)}

10.設集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，C={3,4,5}，則A與B的笛卡爾積再與C的笛卡爾積的笛卡爾積再與A的笛卡爾積再與B的笛卡爾積是（）。

A.{(1,2,3,3,4,5,3,4,5),(2,3,4,3,4,5,3,4,5),(3,4,5,3,4,5,3,4,5)}B.{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,2,4),(2,3,5),(3,4,6),(1,3,5),(2,4,6),(3,5,7),(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(1,2,4,3,4,5),(2,3,5,3,4,6),(3,4,6,3,4,7),(1,2,3,4,3,4,5),(2,3,4,5,3,4,6),(3,4,5,6,3,4,7)}C.{(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(1,2,4,3,4,5),(2,3,5,3,4,6),(3,4,6,3,4,7),(1,2,3,4,3,4,5),(2,3,4,5,3,4,6),(3,4,5,6,3,4,7),(1,2,3,4,3,4,5,3,4,5),(2,3,4,5,3,4,6,3,4,5),(3,4,5,6,3,4,7,3,4,5)}D.{(1,2),(2,3),(3,4),(1,3),(2,4),(3,5),(1,4),(2,5),(3,5),(1,5),(2,5),(3,5),(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,2,4),(2,3,5),(3,4,6),(1,3,5),(2,4,6),(3,5,7),(1,4,6),(2,5,7),(3,6,8),(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(1,2,4,3,4,5),(2,3,5,3,4,6),(3,4,6,3,4,7),(1,3,5,3,4,5),(2,4,6,3,4,6),(3,5,7,3,4,7),(1,4,6,3,4,5),(2,5,7,3,4,6),(3,6,8,3,4,7)}

二、填空題（每題2分，共20分）

1.集合A={1,2,3}的補集是______。

2.集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，則A與B的并集是______。

3.集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，則A與B的交集是______。

4.集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，則A與B的差集是______。

5.集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，則A與B的對稱差集是______。

6.集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，則A與B的笛卡爾積是______。

7.集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，C={3,4,5}，則A與B的笛卡爾積再與C的笛卡爾積是______。

8.集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，C={3,4,5}，則A與B的笛卡爾積再與C的笛卡爾積的笛卡爾積是______。

9.集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，C={3,4,5}，則A與B的笛卡爾積再與C的笛卡爾積的笛卡爾積再與A的笛卡爾積是______。

10.集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，C={3,4,5}，則A與B的笛卡爾積再與C的笛卡爾積的笛卡爾積再與A的笛卡爾積再與B的笛卡爾積是______。

三、判斷題（每題2分，共20分）

1.集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，則A與B的并集是{1,2,3,4}。（）

2.集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，則A與B的交集是{2,3}。（）

3.集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，則A與B的差集是{1,2,3}。（）

4.集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，則A與B的對稱差集是{1,4}。（）

5.集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，則A與B的笛卡爾積是{(1,2,3),(2,3,4)}。（）

6.集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，C={3,4,5}，則A與B的笛卡爾積再與C的笛卡爾積是{(1,2,3,3,4,5)}。（）

7.集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，C={3,4,5}，則A與B的笛卡爾積再與C的笛卡爾積的笛卡爾積是{(1,2,3,3,4,5,3,4,5)}。（）

8.集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，C={3,4,5}，則A與B的笛卡爾積再與C的笛卡爾積的笛卡爾積再與A的笛卡爾積是{(1,2,3,3,4,5,3,4,5,1,2,3)}。（）

9.集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，C={3,4,5}，則A與B的笛卡爾積再與C的笛卡爾積的笛卡爾積再與A的笛卡爾積再與B的笛卡爾積是{(1,2,3,3,4,5,3,4,5,1,2,3,2,3,4)}。（）

10.集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，C={3,4,5}，則A與B的笛卡爾積再與C的笛卡爾積的笛卡爾積再與A的笛卡爾積再與B的笛卡爾積再與C的笛卡爾積是{(1,2,3,3,4,5,3,4,5,1,2,3,2,3,4,3,4,5)}。（）

四、簡答題（每題5分，共25分）

1.簡述集合的概念及其基本運算。

2.解釋閉包的定義，并舉例說明。

3.舉例說明集合的冪集和笛卡爾積。

4.解釋對稱差集的概念，并說明其性質。

五、論述題（10分）

論述集合的笛卡爾積在組合數(shù)學中的重要性。

六、應用題（每題10分，共20分）

1.設集合A={1,2,3,4}，B={2,3,4,5}，C={3,4,5,6}，求以下集合：

a.A與B的并集；

b.A與B的交集；

c.A與B的差集；

d.A與B的對稱差集。

2.設集合A={1,2,3,4}，B={2,3,4,5}，C={3,4,5,6}，求以下集合的笛卡爾積：

a.A與B的笛卡爾積；

b.A與B的笛卡爾積再與C的笛卡爾積。

試卷答案如下：

一、選擇題答案及解析思路：

1.B解析：交集是指兩個集合共有的元素，所以A與B的交集是{2,3}。

2.A解析：冪集是指一個集合的所有子集的集合，空集是任何集合的子集，所以基數(shù)最小的冪集只包含空集。

3.C解析：閉集是指其補集為空集的集合，所以A與B的補集是B，B為閉集。

4.B解析：并集是指兩個集合所有元素的集合，所以A與B的并集再與C的交集是{3,4}。

5.A解析：對稱差集是指兩個集合中不同時存在于兩個集合中的元素組成的集合，所以A與B的對稱差集是{1,4}。

6.C解析：笛卡爾積是指兩個集合中所有可能的有序對組成的集合，所以A與B的笛卡爾積是{(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)}。

7.B解析：A與B的笛卡爾積再與C的笛卡爾積是指將A與B的笛卡爾積中的每個元素與C中的每個元素組成新的有序對，所以結果是{(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,3),(1,3,4),(1,3,5),(2,2,3),(2,2,4),(2,2,5),(2,3,3),(2,3,4),(2,3,5)}。

8.C解析：A與B的笛卡爾積再與C的笛卡爾積的笛卡爾積是指將A與B的笛卡爾積再與C的笛卡爾積中的每個元素與A中的每個元素組成新的有序對，所以結果是{(1,2,3,1),(1,2,3,2),(1,2,3,3),(1,2,4,1),(1,2,4,2),(1,2,4,3),(1,2,5,1),(1,2,5,2),(1,2,5,3),(1,3,3,1),(1,3,3,2),(1,3,3,3),(1,3,4,1),(1,3,4,2),(1,3,4,3),(1,3,5,1),(1,3,5,2),(1,3,5,3),(2,2,3,1),(2,2,3,2),(2,2,3,3),(2,2,4,1),(2,2,4,2),(2,2,4,3),(2,2,5,1),(2,2,5,2),(2,2,5,3),(2,3,3,1),(2,3,3,2),(2,3,3,3),(2,3,4,1),(2,3,4,2),(2,3,4,3),(2,3,5,1),(2,3,5,2),(2,3,5,3)}。

9.A解析：A與B的笛卡爾積再與C的笛卡爾積的笛卡爾積再與A的笛卡爾積是指將A與B的笛卡爾積再與C的笛卡爾積的笛卡爾積中的每個元素與A中的每個元素組成新的有序對，所以結果是{(1,2,3,1,1),(1,2,3,1,2),(1,2,3,1,3),(1,2,3,2,1),(1,2,3,2,2),(1,2,3,2,3),(1,2,3,3,1),(1,2,3,3,2),(1,2,3,3,3),(1,2,4,1,1),(1,2,4,1,2),(1,2,4,1,3),(1,2,4,2,1),(1,2,4,2,2),(1,2,4,2,3),(1,2,4,3,1),(1,2,4,3,2),(1,2,4,3,3),(1,2,5,1,1),(1,2,5,1,2),(1,2,5,1,3),(1,2,5,2,1),(1,2,5,2,2),(1,2,5,2,3),(1,2,5,3,1),(1,2,5,3,2),(1,2,5,3,3),(1,3,3,1,1),(1,3,3,1,2),(1,3,3,1,3),(1,3,3,2,1),(1,3,3,2,2),(1,3,3,2,3),(1,3,3,3,1),(1,3,3,3,2),(1,3,3,3,3),(1,3,4,1,1),(1,3,4,1,2),(1,3,4,1,3),(1,3,4,2,1),(1,3,4,2,2),(1,3,4,2,3),(1,3,4,3,1),(1,3,4,3,2),(1,3,4,3,3),(1,3,5,1,1),(1,3,5,1,2),(1,3,5,1,3),(1,3,5,2,1),(1,3,5,2,2),(1,3,5,2,3),(1,3,5,3,1),(1,3,5,3,2),(1,3,5,3,3)}。

10.C解析：A與B的笛卡爾積再與C的笛卡爾積的笛卡爾積再與A的笛卡爾積再與B的笛卡爾積是指將A與B的笛卡爾積再與C的笛卡爾積的笛卡爾積再與A的笛卡爾積中的每個元素與B中的每個元素組成新的有序對，所以結果是{(1,2,3,1,2),(1,2,3,1,3),(1,2,3,2,2),(1,2,3,2,3),(1,2,4,1,2),(1,2,4,1,3),(1,2,4,2,2),(1,2,4,2,3),(1,2,5,1,2),(1,2,5,1,3),(1,2,5,2,2),(1,2,5,2,3),(1,3,3,1,2),(1,3,3,1,3),(1,3,3,2,2),(1,3,3,2,3),(1,3,4,1,2),(1,3,4,1,3),(1,3,4,2,2),(1,3,4,2,3),(1,3,5,1,2),(1,3,5,1,3),(1,3,5,2,2),(1,3,5,2,3)}。

二、填空題答案及解析思路：

1.?解析：補集是指全集減去原集合，全集是包含所有元素的集合，所以A的補集是空集。

2.{1,2,3,4}解析：并集是指兩個集合所有元素的集合，所以A與B的并集是{1,2,3,4}。

3.{2,3}解析：交集是指兩個集合共有的元素，所以A與B的交集是{2,3}。

4.{1}解析：差集是指一個集合中存在于另一個集合中的元素組成的集合，所以A與B的差集是{1}。

5.{1,4}解析：對稱差集是指兩個集合中不同時存在于兩個集合中的元素組成的集合，所以A與B的對稱差集是{1,4}。

6.{(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)}解析：笛卡爾積是指兩個集合中所有可能的有序對組成的集合，所以A與B的笛卡爾積是{(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)}。

7.{(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,3),(1,3,4),(1,3,5),(2,2,3),(2,2,4),(2,2,5),(2,3,3),(2,3,4),(2,3,5)}解析：A與B的笛卡爾積再與C的笛卡爾積是指將A與B的笛卡爾積中的每個元素與C中的每個元素組成新的有序對，所以結果是{(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,3),(1,3,4),(1,3,5),(2,2,3),(2,2,4),(2,2,5),(2,3,3),(2,3,4),(2,3,5)}。

8.{(1,2,3,1),(1,2,3,2),(1,2,3,3),(1,2,4,1),(1,2,4,2),(1,2,4,3),(1,2,5,1),(1,2,5,2),(1,2,5,3),(1,3,3,1),(1,3,3,2),(1,3,3,3),(1,3,4,1),(1,3,4,2),(1,3,4,3),(1,3,5,1),(1,3,5,2),(1,3,5,3),(2,2,3,1),(2,2,3,2),(2,2,3,3),(2,2,4,1),(2,2,4,2),(2,2,4,3),(2,2,5,1),(2,2,5,2),(2,2,5,3),(2,3,3,1),(2,3,3,2),(2,3,3,3),(2,3,4,1),(2,3,4,2),(2,3,4,3),(2,3,5,1),(2,3,5,2),(2,3,5,3)}解析：A與B的笛卡爾積再與C的笛卡爾積的笛卡爾積是指將A與B的笛卡爾積再與C的笛卡爾積中的每個元素與A中的每個元素組成新的有序對，所以結果是{(1,2,3,1),(1,2,3,2),(1,2,3,3),(1,2,4,1),(1,2,4,2),(1,2,4,3),(1,2,5,1),(1,2,5,2),(1,2,5,3),(1,3,3,1),(1,3,3,2),(1,3,3,3),(1,3,4,1),(1,3,4,2),(1,3,4,3),(1,3,5,1),(1,3,5,2),(1,3,5,3),(2,2,3,1),(2,2,3,2),(2,2,3,3),(2,2,4,1),(2,2,4,2),(2,2,4,3),(2,2,5,1),(2,2,5,2),(2,2,5,3),(2,3,3,1),(2,3,3,2),(2,3,3,3),(2,3,4,1),(2,3,4,2),(2,3,4,3),(2,3,5,1),(2,3,5,2),(2,3,5,3)}。

9.{(1,2,3,1,1),(1,2,3,1,2),(1,2,3,1,3),(1,2,3,2,1),(1,2,3,2,2),(1,2,3,2,3),(1,2,3,3,1),(1,2,3,3,2),(1,2,3,3,3),(1,2,4,1,1),(1,2,4,1,2),(1,2,4,1,3),(1,2,4,2,1),(1,2,4,2,2),(1,2,4,2,3),(1,2,4,3,1),(1,2,4,3,2),(1,2,4,3,3),(1,2,5,1,1),(1,2,5,1,2),(1,2,5,1,3),(1,2,5,2,1),(1,2,5,2,2),(1,2,5,2,3),(1,2,5,3,1),(1,2,5,3,2),(1,2,5,3,3),(1,3,3