2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專練：利用基本不等式求最值【八大題型】解析版

重難點(diǎn)01利用基本不等式求最值【八大題型】

【新高考專用】

基本不等式是每年高考的必考內(nèi)容，是?？汲Ｐ碌膬?nèi)容.從近幾年的高考情況來看，高考題型通常為選

擇題或填空題，但它的應(yīng)用范圍很廣，涉及到函數(shù)、三角函數(shù)、平面向量、立體幾何、解析幾何、導(dǎo)數(shù)等

內(nèi)容，它在高考中常用于大小判斷、求最值、求最值范圍等.在高考中經(jīng)?？疾檫\(yùn)用基本不等式求函數(shù)或代

數(shù)式的最值，具有靈活多變、應(yīng)用廣泛、技巧性強(qiáng)等特點(diǎn).在復(fù)習(xí)中切忌生搬硬套，在應(yīng)用時一定要緊扣“一

正二定三相等”這三個條件靈活運(yùn)用.

?知識梳理

【知識點(diǎn)1利用基本不等式求最值的解題策略】

1.基本不等式與最值

己知x,y都是正數(shù)，

(1)如果積肛等于定值尸，那么當(dāng)x=y時，和x+y有最小值2血;

(2)如果和x+y等于定值S,那么當(dāng)x=y時，積盯有最大值:班

溫馨提示：從上面可以看出，利用基本不等式求最值時，必須有：(l)x、>>0,(2)和(積)為定值，(3)存

在取等號的條件.

2.常見的求最值模型

(1)模型一：mx+—>2A/mn(m>0,w>0),當(dāng)且僅當(dāng)x=■時等號成立；

xVm

(2)模型二：mx-\——--=m(x-a)H——-——I-ma>2y/mn+ma(jn>0,w>0),當(dāng)且僅當(dāng)x-a=J，時等號成

x-ax-aVm

立；

(3)模型三：———=---—(a>0,c>0),當(dāng)且僅當(dāng)x=[5時等號成立；

ax+fcr+cCl入?iuA?￡ac+bVa

X

/人士首開iirni/、冽x(〃一加x)/lmx+n—mx、2n2,八八八〃、也口n□-+

(4)模型四：x(n-mx)=------<—?(----------)=——(m>0,n>0,0<x<—),當(dāng)且僅當(dāng)x=——時

mm24mmIm

等號成立.

3.利用基本不等式求最值的幾種方法

(1)直接法：條件和問題間存在基本不等式的關(guān)系，可直接利用基本不等式來求最值.

(2)配湊法：利用配湊法求最值，主要是配湊成“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式.

(3)常數(shù)代換法：主要解決形如“已知x+尸娥為常數(shù))，求g十夕的最值”的問題，先將巴+々轉(zhuǎn)化為

xyxy

(￡+?)?，再用基本不等式求最值.

(4)消元法：當(dāng)所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時，通常考慮利用已知條件消去部分變量后，湊出“和

為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式，最后利用基本不等式求最值.

(5)構(gòu)造不等式法：構(gòu)建目標(biāo)式的不等式求最值，在既含有和式又含有積式的等式中，對和式或積式利

用基本不等式，構(gòu)造目標(biāo)式的不等式求解.

【知識點(diǎn)2基本不等式的實際應(yīng)用】

1.基本不等式的實際應(yīng)用的解題策略

(1)根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值.

(2)解應(yīng)用題時，一定要注意變量的實際意義及其取值范圍.

(3)在應(yīng)用基本不等式求函數(shù)的最值時，若等號取不到，則可利用函數(shù)的單調(diào)性求解.

?舉一反三

【題型1直接法求最值】

【例1】(2024?北京東城?一模)已知%>0,則％-4+&的最小值為()

X

A.12B.0C.1D.2V2

【解題思路】由基本不等式求得最小值.

【解答過程】：x>0,+￡-422XX&-4=0,當(dāng)且僅當(dāng)％=士即％=2時等號成立.

xyjxx

故選：B.

【變式1-1］（2024?甘肅定西?一模）/+彳+位的最小值為（）

A.2V7B.3V7C.4V7D.5?

【解題思路】利用基本不等式即可得解.

【解答過程】由題意知％片0,所以/>0,5>0,

所以/+5+夕225+夕=3夕.

當(dāng)且僅當(dāng)/=1，即/-舊時，等號成立.

故選：B.

【變式1-2］（2024?全國?模擬預(yù)測）已知M為正數(shù)，則g+2（）

A.有最小值，為2B.有最小值，為2/

C.有最小值，為4D.不一定有最小值

【解題思路】利用基本不等式計算可得.

【解答過程】因為ab為正數(shù)，所以三>0,->0,

ba

所以自+222區(qū)&=2魚，當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)=2,即b=/a時取等號，

bababa

所以F+'有最小值2V2.

ba

故選：B.

【變式1-3］（2024?全國?模擬預(yù)測）（3+a）（1+4久2）的最小值為（）

A.9V3B.7+4V2C.8百D.7+4再

【解題思路】依題意可得（3+5）（1+4x2）=7+2+12x2,再利用基本不等式計算可得.

【解答過程】（3+^）（1+4x2）=7+妥+12/>7+2012/=7+473,

當(dāng)且僅當(dāng)攝=12/即/=卷時，等號成立，

故（3+（1+4/）的最小值為7+4V3.

故選：D.

【題型2配湊法求最值】

【例2】（2024?全國?模擬預(yù)測）函數(shù)y=x2+1（/>5）的最小值為（）

A.2B.5C.6D.7

【解題思路】由基本不等式即可求解.

【解答過程】由/>5可得/一5>0,所以

。+六="-5+六+522卜一5）.（六）+5=7,

當(dāng)且僅當(dāng)/-5=六，即％=幾時等號成立，

x￡-5

故選:D.

【變式2-1］（2024?全國?模擬預(yù)測）已知a〉0,b>0,則a+2b+—?的最小值為（）

a+2b+l

A.6B.5C.4D.3

【解題思路】根據(jù)基本不等式即可求解.

【解答過程】由于a>0,b>0,所以a+2b+l>0,

由Q+2b4:=（a+2b+1）H—122（a+2b+1）X—:—1=3,

a+2b+l''a+2b+l'a+2b+l'

（當(dāng)且僅當(dāng)a+26=1時取等號），可得a+2b+17T的最小值為3,

a+2b+l

故選：D.

【變式2-2］（23-24高三上?海南省直轄縣級單位?階段練習(xí)）設(shè)為>2,則函數(shù)y=4x—1+展，的最小值

為（）

A.7B.8C.14D.15

【解題思路】利用基本不等式求解.

【解答過程】因為尤>2,所以乂—2>0,

所以y=4%—1+專=40—2）+展+722^4（%-2）-+7=15,

當(dāng)且僅當(dāng)4（%—2）=夫，即x=3時等號成立，

所以函數(shù)y=4久一1+展的最小值為15,

故選:D.

【變式2-3］（2024?山西忻州?模擬預(yù)測）已知a>2,則2a+上的最小值是（）

A.6B.8C.10D.12

【解題思路】利用基本不等式性質(zhì)求解即可.

【解答過程】因為。>2,所以a—2>0

OO__

所以2a+^=2(a-2)+三+422同+4=12,

當(dāng)且僅當(dāng)2（a-2）=三，即a=4時，等號成立.

所以2a+冬的最小值為12.

故選：D.

【題型3常數(shù)代換法求最值】

【例3】（2024?河北?模擬預(yù)測）已知非負(fù)實數(shù)x,y滿足久+y=1,則*+*的最小值為（）

A.2B.山C.2D.&

243

【解題思路】根據(jù)x+y=l,化簡求得如+1+y）=1，得到W+擊=便+土）*3％+1+y）=卜（|+

祟+力），結(jié)合基本不等式，即可求解.

【解答過程】因為％+y=1,可得x+y+l=2,Bp1(x+1+y)=1,

又因為非負(fù)實數(shù)x,y,所以x>0,y+1>0,

則(+*=G+A)x：(x+i+y)=?(|+祟+指)

3+2企

4

當(dāng)且僅當(dāng)也=工時，即x=2企一2,y=3-2夜時，等號成立,

2x1+y

所以力荒的最小值針棄

故選：B.

【變式3-1］（2024?云南大理?模擬預(yù)測）已知a20,620且2a+b=l,則2+工的最小值為（）

a+1a+b

A.4B.6C.8D.10

【解題思路】根據(jù)已知等式，應(yīng)用常值代換法應(yīng)用基本不等式求和的最小值即可.

【解答過程】言+京=（京+￡）［缶+1）+（a+切嗎

9(a+b)(a+1)1

"a+1+a+b3I

>flO+2回通[叵1x工=8(當(dāng)且僅當(dāng)a=工，b=0時取等號).

故選:c.

【變式3-2](2024?江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測)已知x>0,y>0,且2x+y=l,則詈的最小值為()

A.4B.4V2C.6D.2/+3

【解題思路】利用乘“1”法及基本不等式計算可得.

【解答過程】因為x>0,y>0,且2x+y=l,

所以上=*工=(2x+y)--+^+3>2/--z+3=2夜+3,

xyyx\yxjyxyjyx

當(dāng)且僅當(dāng)在=4即％=學(xué)，y=近一1時取等號.

yx2

故選：D.

【變式3-3](2024?四川成都?模擬預(yù)測)若a,b是正實數(shù)，且4+-=1,貝Ua+b的最小值為()

3a+b2a+4b

42

A.7B.-C.1D.2

53

【解題思路】觀察等式分母可知(3a+b)+(2a+4b)=5(a+b),利用基本不等式中“1”的妙用可得結(jié)果.

【解答過程】因為a+b=-1(5a+5b)=[[(3a+b)+(2a+4b)]=g[(3a+b)+(2a+4b)]Q；%+

1Zn.2a+4b3a+b\1nl2a+4b3a+b\4

=-IZd------------1---------I>-Z+Z/------------------=

5\3a+b2a+4b/5Iyj3a+b2a+4bI5

當(dāng)且僅當(dāng)a=l，b=(時取等號，

所以a+b的最小值為，

故選：A.

【題型4消元法求最值】

-.2

【例4】(2024?全國?模擬預(yù)測)已知居y,zE(0,+8),且滿足X-2y+3z=0.則士的最小值為()

A.12B.6C.9D.3

【解題思路】消元后用基本不等式求得最小值.

【解答過程】因為招y,zE(0,+8),且滿足％-2y+3z=0.即丫=3(%+32),

所以￡=&*=-=工仔+絲+[用+6)=3,當(dāng)且僅當(dāng)孑=2，即x=3z時等號成立,

xz4xz4xz4zx4yzxzx

故選：D.

【變式4-1](2024?北京?模擬預(yù)測)設(shè)正實數(shù)x、y、z滿足4/-3久y+y2—z=0,貝盧的最大值為()

A.0B.2C.1D.3

【解題思路】計算得出把=屋丁，利用基本不等式可求得把的最大值.

Z竺y+匕x3Z

【解答過程】因為正實數(shù)久、y、z滿足4/一3%y+y2-z=0,貝Ijz=4/一3%y+y2,

則2=42工2=荻）<一一=1，當(dāng)且僅當(dāng)y=2X>°時取等號?

zz

z4x-3xy+y—+2.-3914%y/

yx

故2的最大值為1.

Z

故選：C.

【變式4-2](2024?浙江紹興?三模)若%,y,z>0,且%2++2%z+2yz=4,則2%+y+2z的最小值是

4.

【解題思路】由題意可借助第、y表示出z,從而消去z,再計算化簡后結(jié)合基本不等式計算即可得.

【解答過程】由久2+%y+2xz+2yz-4,貝!j2z=4r一孫,

x+y

即2x+y+2z=2x+y+*&=3+加+疥1…

x+yx+y

2x2+3xy+y2+4—%2—%yx24-2xy+y2+4(x+y)2+4

x+yx+yx+y

4n~4

=x+yH---->2(x+y)----=4,

x+yqx+y

當(dāng)且僅當(dāng)久+y=*,即％+y=2時，等號成立.

故答案為：4.

【變式4-3](2024?四川德陽?模擬預(yù)測)已知正實數(shù)％,y,z滿足/+孫+yz++%+z=6,則3%+2y+z

的最小值是4V3-2.

【解題思路】因式分解得到x+z=^石，變形后得到3x+2y+z=2(x+y)+;；3,利用基本不等式求

出最小值.

【解答過程】因為乂y,z為正實數(shù)，

故%2+xy+yz+xz+x+z=6=>(%2+xz)+(xy+yz)+(%+z)=6,

即%(久+z)+y(x+z)+(第+z)=6=(%+y+1)(%+z)=6=%+z=

6

3x+2y+z=2(%+y)+(x+z)=2(x+y)+x+y+1

=2(x+y+D+f-2"j2(x+y+l)?點(diǎn)一2=4百一2,

當(dāng)且僅當(dāng)2(%+y+1)=%+；+(，即％+y=H-l,此時l+z=1+；+]=28,

所以3x+2y+z的最小值為4V3-2.

故答案為：4V3-2.

【題型5齊次化求最值】

【例5】(2024?江西新余?二模)已知x,y為正實數(shù)，且久+y=2,則生乎的最小值為()

A.12B.3+2&C.-D.逋口

22

【解題思路】借助“1”的活用將分式其次化后結(jié)合基本不等式計算即可得.

[解答過程】由X+y=2,則出”=2x+12y+12=(x+y)x+6(x+y)y+3(x+y)2

,xy2xy2xy

_4-+9y2+i3%y_在+型+上>2怪.亞+U_至

2xyy2x2--\ly2x22

當(dāng)且僅當(dāng)在=9即乂=±y=：時，等號成立.

y2x55

故選：c.

【變式5-1](23-24高一下?重慶沙坪壩?階段練習(xí))已知正數(shù)比,y滿足x+2y=1,則亨的最小值為()

A.吃B.2V2C.-^―D.2V2+1

2V22V2+1

【解題思路】將目標(biāo)式整理為齊次式，再結(jié)合均值不等式即可求得結(jié)果.

【解答過程]①=，2+y(x+2y)=/+町+2y2=J+空+1,因為x>0,y>0,故工>0,空>0,

xyxyxyyxyx

則2+到+122昌歷+1=2迎+1,當(dāng)且僅當(dāng)工=到,x+2y=1,也即x=&一l,y=1-遮取得等號,

yxylyxyx2

故"+'的最小值為2V2+1.

xy

故選：D.

【變式5-2](23-24高一上?江蘇常州?階段練習(xí))已知孫=1,且。<y<；,則高言最大值為半.

2H+16yz8

【解題思路】由xy=1且0<y<g可得y=-(x>2),可得x-4y>0,再將二九化為——后利用

2x工+16/(1〃)+國

基本不等式求解即可.

【解答過程】解：由孫=1且0<y<g,可得y=：(x>2),代入x-4y=x-]>。，

又X—4y_x-4y_1<1_V2

28?

/+16y2-(x-4y)+8xy-(x-4y)+^—2l(x-4y)~~

當(dāng)且僅當(dāng)汽—4y=—,即％—4y=2V2,

Jx-4y/

又%y=l,可得％=魚+乃，y=漁;二時,不等式取等，

即反的最大值瑞，

故答案為：V-

O

【變式5-3】（2024?遼寧葫蘆島?二模）已知實數(shù)x>0,y>0,則把尊誓的最大值為」

Jxz+9yz4-2

【解題思路】利用分離常數(shù)法，把分子降為一次式，再可以利用基本不等式結(jié)合條件即得.

x2+2x+l+9y24-6y4-l_.2(x+3y)

【解答過程】因為。+1*（設(shè)1）2x2+9y2+2-+，+9y2+2

產(chǎn)+9片+2

x+3y

又因為x>0,y>0,所以可由平方均值不等式得:2'

取等號條件是x=3y,即/+9y2>史磐，

所以上式可變?yōu)橐?黑簧W1+黑巖=1+號工,+平片=2,

—r-+2丁七+3y2,2%論

取等號條件是：島=等,即久+3、=2,結(jié)合x=3y,

可得取到最大值的條件是：x=l,y=1.

故答案為：2.

【題型6多次使用基本不等式求最值】

【例6】（2024?山西運(yùn)城?二模）若a,b,c均為正實數(shù)，則螳三的最大值為（）

A.-B.-C.—D.—

2422

【解題思路】對原式變形，兩次利用基本不等式，求解即可.

【解答過程】因為a,6均為正實數(shù)，

rn.rab+bc_a+ca+c_a+c

、a2+2b2+c2~琮M2b~2歸巴⑵-2V2（a2+c2）

_1la2+2ac+c2_111ac<1/1.ac_1

2\2（a2+c2）2飛2a2+c2-2J2lylc^xc22，

當(dāng)且僅當(dāng)上揮=25,且。=c,即a=b=c時取等號，

b

則2：祟2的最大值為白

片+2〃+-2

故選:A.

【變式6-1］（2024?河北衡水?模擬預(yù)測）己知實數(shù)x,y,z>0,滿足砂+：=2,則當(dāng);+1取得最小值時，y+z

的值為（）

5

A.1BC.2D.

-12

【解題思路】兩次應(yīng)用基本不等式，根據(jù)兩次不等式等號成立的條件列方程求解即可.

【解答過程】因為實數(shù)與y,z>0,滿足町/+：=2,

所以%y+：=222Jxyx|=2y[yz=>yz<1,當(dāng)且僅當(dāng)工二、/時，yz=L

所以H2反1=2,222=4,當(dāng)且僅當(dāng)2=工且yz=l時，等號成立;

yz\yzyjyzy1yz

所以當(dāng)yz=1且&=工時，&+工取得最小值4,

yzyz

(7=2r

此時解得｛i=>y+z=-,

kZ=22

故選：D.

【變式6-2］（23-24高三下?浙江?開學(xué)考試）已知a、b、c、d均為正實數(shù)，且工+J=c2+d2=2,則a+占

abca

的最小值為（）

A.3B.2V2

八3+V2D3+2點(diǎn)

?2

【解題思路】由題意，根據(jù)基本不等式先求解321,從而將a+二的最小值轉(zhuǎn)化為a+b的最小值，再利用

cdcd

乘“1”法求解不等式最小值.

【解答過程】因為工+1=c2+d2=2,所以cdW一=1,即521,當(dāng)且僅當(dāng)c=d=1時取等號，所以a+3

ab2cdca

的最小值為a+6的最小值，所以g（。+匕）（｝+=g（3+￡+g）2+2,彳）=3+：.,當(dāng)且僅當(dāng)

（*2=2

f/2a時取等號，所以a+捺的最小值為呼I

（廣了c

故選：D.

【變式6-3］（2024?全國?模擬預(yù)測）已知a為非零實數(shù)，b,c均為正實數(shù)，則小震今的最大值為（）

4a*+fez+cz

A.1B.WC.遮D.q

2424

【解題思路】對原式變形，兩次利用基本不等式，求解即可.

【解答過程】因為a為非零實數(shù)，a?〉。，b,c均為正實數(shù)，

rj,.ia2b+a2c_b+cb+c_b+c

'4a4+62+c2-4a2+與~14a2、上~4y/b2+c2

a2Na2

當(dāng)且僅當(dāng)4a2=空J(rèn)且力=的即應(yīng)/=b=c時取等號,

則黑除的最大值為￥?

故選：B.

【題型7實際應(yīng)用中的最值問題】

【例7】（23-24高一上?陜西西安?期中）一家商店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金，一顧客到店購買黃

金100g,售貨員先將50g祛碼放在天平左盤中，取出黃金放在右盤中使天平平衡；再將50g祛碼放在天平

右盤中，再取出黃金放在左盤中使天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客.你認(rèn)為顧客購得的黃金

()

A.小于100gB.等于100g

C.大于100gD.與左右臂的長度有關(guān)

【解題思路】利用杠桿原理求得顧客購得的黃金質(zhì)量的表達(dá)式，依據(jù)均值定理即可得到顧客購得的黃金質(zhì)

量的取值范圍，進(jìn)而得到選項.

【解答過程】設(shè)天平左、右兩邊的臂長分別為x,乃

設(shè)售貨員第一次稱得黃金的質(zhì)量為?？耍诙畏Q得黃金的質(zhì)量為b克，

{_50%

二，

則顧客購得的黃金為。+6=碼+晚22/—x^=100（克），

yxYyx

（當(dāng)且僅當(dāng)％=y時等號成立），

由題意知，％Hy,則a+b＞100克.

故選：C.

【變式7-1］（24-25高三上?江蘇無錫?期中）一家貨物公司計劃租地建造倉庫儲存貨物，經(jīng)過市場調(diào)查了解

到下列信息：每月土地占地費(fèi)為（單位：元）與倉庫到車站的距離％（單位：km）成反比，每月庫存貨物費(fèi)

丫2（單位：元）與%成正比；若在距離車站6km處建倉庫，則丫2=4yi.要使這家公司的兩項費(fèi)用之和最小，

則應(yīng)該把倉庫建在距離車站（）

A.2kmB.3kmC.4kmD.5km

【解題思路】設(shè)%=*丫2=卜2%（的＞0，七＞0），結(jié)合題意求出的=9k2,從而求出兩項費(fèi)用之和的表達(dá)

式，利用基本不等式，即可求得答案.

【解答過程】由題意設(shè)月=-,丫2=&%，（如>0,憶2>。），倉庫到車站的距離%>0，

由于在距離車站6km處建倉庫，則丫2=4yi，即6七=*'?的=9七，

兩項費(fèi)用之和為y=為+為=^+七久―2=6k2,

當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?k2x,即x=3時等號成立，

即要使這家公司的兩項費(fèi)用之和最小，則應(yīng)該把倉庫建在距離車站3km.

故選：B.

【變式7-2］（24-25高一上?四川瀘州?期中）如圖，某花圃基地計劃用柵欄圍成兩間背面靠墻的相同的矩形

花室.

（1）若柵欄的總長為120米，求每間花室面積的最大值；

（2）若要求每間花室的面積為150平方米，求所需柵欄總長的最小值.

【解題思路】（1）由題意得面積表達(dá)式結(jié)合表達(dá)式性質(zhì)以及二次函數(shù)性質(zhì)即可得解；

（2）由基本不等式即可得解.

【解答過程】（1）設(shè)每間花室與墻體垂直的圍墻的邊長為a米，與墻體平行的圍墻的邊長為b米.

因為柵欄的總長為120米，所以3a+2bW120,

其中0<a<40,0cb<60,則

每間花室的面積S=abW塔迎.

因為（i20；2b）b=_|（^2-60b）=-|（b-30）2+600<600,

當(dāng)且僅當(dāng)a=20,6=30時，等號成立，

所以每間花室面積的最大值為600平方米.

（2）因為每間花室的面積為150平方米，所以ab=150,貝防=詈.

柵欄的總長］=3a+26=3a+迎^>213a,迎^=60,

a\a

當(dāng)且僅當(dāng)a=10,b=15時，等號成立,

故柵欄總長的最小值為60米.

【變式7-3](24-25高一上?陜西咸陽?期中)某校計劃利用其一側(cè)原有墻體，建造高為1米，底面積為100

平方米，且背面靠墻的長方體形狀的露天勞動基地，靠墻那面無需建造費(fèi)用，因此甲工程隊給出的報價如

下：長方體前面新建墻體的報價為每平方米320元，左、右兩面新建墻體的報價為每平方米160元，地面

以及其他報價共計6400元.設(shè)勞動基地的左、右兩面墻的長度均為尤(6<%<12)米，原有墻體足夠長.

(1)當(dāng)左面墻的長度為多少米時，甲工程隊的報價最低？

(2)現(xiàn)有乙工程隊也參與該勞動基地的建造競標(biāo)，其給出的整體報價為32°,i+x)屹>0)元,若無論左面墻的

長度為多少米，乙工程隊都能競標(biāo)成功(約定整體報價更低的工程隊競標(biāo)成功)，求a的取值范圍.

【解題思路】(1)設(shè)甲工程隊的總報價為y元，根據(jù)題意可得出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，利用基本不等式可

求出y的最小值，利用等號成立的條件求出x的值，即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)題意可得出320(%+?)+6400>32。,1+久),可知，口<嚀乎對任意的久6[6,12]恒成立，利用

基本不等式求出竺孚(萬€[6,12])的最小值，即可得出實數(shù)a的取值范圍.

【解答過程】(1)解：設(shè)甲工程隊的總報價為y元，依題意，左、右兩面墻的長度均為x(6WxW12)米，

則長方體前面新建墻體的長度為3米，

X

所以y=160x2尤x1+320x-x1+6400,

即y=320(%+詈)+6400>320x2Jx-+6400=12800,

當(dāng)且僅當(dāng)％=小時，即x=10時，等號成立.

X

故當(dāng)左面墻的長度為10米時，甲工程隊的報價最低，且最低報價為12800元.

(2)解：由題意可知，320(x+理)+6400>當(dāng)也過，

即(X+￥)+2°>更詈對任意的久e612]恒成立，

所以"處〉”上包，可得°<生處，即a<[”些].

xx%+1Lx+1」min

=x+l+—+18>2/(x+1)-—+18=36,

x+1x+17x+1

當(dāng)且僅當(dāng)x+1=型時，即x=8時，上鰭取最小值36,

x+1x+1

則0<a<36,即a的取值范圍是(0,36).

【題型8與其他知識交匯的最值問題】

【例8】（23-24高三上?山西運(yùn)城?階段練習(xí)）在△力BC中，已知b=c-cosA,△力BC的面積

T—>

為6,若P為線段上的點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)4點(diǎn)B重合），且H=+y?普，貝內(nèi)+4的最小值為（）

同|CB|*3y+2

391

A.9B.-C.—D.-

4142

【解題思路】先根據(jù)題意得bccos4=9,bcsinA=12,進(jìn)而得tan4=sin/=:，cosA=|,he=15,b=|c,

—*,?—>—>

進(jìn)而得c=5,b=3,a=4,故CP=gx?C4+rCB,再根據(jù)P為線段48上的點(diǎn)得：+=1,最后結(jié)合基本

不等式求解即可得答案.

->—）

【解答過程】解：因為4B?ZC=9,所以bccos/=9,

因為△4BC的面積為6,所以bcsinA=12,

所以tan/=p

所以sin/=(,cosA=I，be=15,

由于b=c?COST4,

所以b=1c,

所以c=5,b=3,

所以由余弦定理得：a2=b2+c2—2bccosA=25+9—2x5x3x|=16,即Q=4.

—>—?

所以CP=x?+y,---x,CA+Y,CB,

\CA\CF34

因為P為線段ZB上的點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)4點(diǎn)B重合)，

所以：+q=L根據(jù)題意得%>0,y>0

所以《+誓=5

所以G+冊)仔+等)=1+蓍+而篇+專

53y+2xQ,3y+2x.5153

1212x3(3y+2)—712x3(3y+2)123124

當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?—,即3y+2=2x時等號成立，

12x3(3y+2)

故選：c.

【變式8-1](2020?全國?高考真題)設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線％=。與雙曲線C:5—，=1(a>0,6>0)的兩條

漸近線分別交于兩點(diǎn)，若△ODE的面積為8,貝UC的焦距的最小值為()

A.4B.8C.16D.32

【解題思路】因為。捺―，=l(a>0,6>0),可得雙曲線的漸近線方程是y=±gx,與直線欠=。聯(lián)立方程

求得。，E兩點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得出。|,根據(jù)△ODE的面積為8,可得M值，根據(jù)2c=2卜。2+爐,結(jié)合均值

不等式，即可求得答案.

【解答過程1C:—p,=1(a>0,6>0)

二雙曲線的漸近線方程是y=±—x

?.?直線x=a與雙曲線c5—捺=l(a>0,b>0)的兩條漸近線分別交于D,E兩點(diǎn)

不妨設(shè)。為在第一象限，E在第四象限

聯(lián)立，二。解得｛；：I

故D(a,b)

x~~CLxa

聯(lián)立0=_2刀，解得｛y二》

JaJ

故E(a,—b)

|ED|=2b

△OOE面積為：SAODE=x2b=ab=8

,??雙曲線C:5一,=l(a>0,h>0)

??.其焦距為2c=2Va2+b2>2y[2ab=2V16=8

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2企取等號

C的焦距的最小值：8

故選：B.

【變式8-21(23?24高三?全國?階段練習(xí))在44BC中，a,b,c分別為內(nèi)角4B,。的對邊，且(acosC+

ccos/)tan/=V3fo.

(1)求角Z的大??；

(2)若。=遮，求兒的最大值.

【解題思路】(1)利用正弦定理邊化角，再由兩角和的正弦公式即可求出tanA,結(jié)合角力的取值范圍即可

求解；

(2)由(1)知，結(jié)合余弦定理得到關(guān)于b,c的方程，利用基本不等式即可求解.

【解答過程】(1)因為(acosC+ccos4)tanA=百/),

利用正弦定理可得，(sinAcosC+sinCcos4)tan4=V3sinF,

即sin(X+C)tan4=V3sinB,因為4+C=TT—B,

所以sin(7r—B)tan4=V3sinB,即sinBtan力=V3sinB,

因為0<B<n,所以sinB豐0,tan4=V3,

因為o<a<兀，所以力

(2)由(1)及余弦定理可得，

a2—b2+c2-2bccosA,即3=所+?2—2bccosg,

所以3=〃+c?—be22bc—be-be,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時等號成立，

所以6c的最大值為3.

【變式8-3](23-24高二下?遼寧?階段練習(xí))平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理論研究

和證明中占有重要的位置，基本不等式等2房(a>0,b>0)就是最簡單的平均值不等式,一般地，假設(shè)

的,。2,…，怎為?個非負(fù)實數(shù)，它們的算術(shù)平均值記為4=—”也=七(注：七=即+的+???+

71n1-11-

1

1/n\7n

冊)，幾何平均值記為G九=,,…斯"=("囚)亦(注：??…冊)，算術(shù)平均值與幾何平

ai+ai+a

均值之間有如下的關(guān)系：+-">^/Q1Q1..an,即412G”，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?a2=??=%時等號成立，上

述不等式稱為平均值不等式，或簡稱為均值不等式.

O

(1)已知%>y>0,求％+-；^~；的最小值；

y(x-y)

(2)已知正項數(shù)列｛冊｝,前n項和為％.

nn

(i)當(dāng)Sj=l時,求證：者(1一崎)2("一1?]哈

v-in<?i

(ii)求證：n(1+a；)>>斗.

i=l乙i=0"

【解題思路】(1)湊配成三個數(shù)的均值不等式；

(2)(i)對1+Qj=的+4+…+冊+%,1—%=%+牝+…+。九—七應(yīng)用均值不等式后相乘可證；(ii)

首先應(yīng)用均值不等式，然后由二項式定理展開，再結(jié)合不等式用=(九-i)!(ri-i+1)...n<(n-i)!nf

可證.

【解答過程】(1)(x—y)+y+123V^=6,

y(.x-y7)

當(dāng)且僅當(dāng)?shù)谝粂=y=8,即％=4,y=2時等號成立，

y(x-y)J

則％+占的最小值為6.

y(x-y)

(2)(i)證明：因為的+和+…+。九=1，

1

所以由均值不等式可得1+④=%+&2■1----1-an+ttj>(ri+l)(a1a2,…，冊見)京，

1

1—④=+。2+…+冊—Q]之(?1—....渠)"1.取t=1,2,…,71,再將之分別累積后得J"J二](1—

電)>(n2-i)nrL埠.

(ii)證明：因為Gn44，

n

所以(1+的)(1+a2).?…(1+時)<一+：+…+a”)=(1+曰)八

=1+%X『鬃0)2+…+墨U)，+…+C暗y,

因為n！=(n—i)!(n—i+1)...n<(n—i)!n1,

所以墨(少=1?￥㈠生

從而證明成立.

?課后提升練(19題

一、單選題

1.(2024?河北?模擬預(yù)測)已知無>1,y>0,且W+：=l，貝!)4x+y的最小值為()

「15+5巡

A.13h>.-----------C.14D.9+V65

2

【解題思路】由4%+丫=4(%-1)+丫+4=[4(%-1)+田島+；)+4,利用基本不等式即可求.

【解答過程】<**x>1,x—1>0,又y>0,且」7+工=1,

x-ly

,「，、r/11\V4(%—1)

???4%+y=4(%-1)+y+4=[4(%—1)+y]——-+/+4=9+-——-H--------

>9+25在互=13,

7x-ly

(-+-=1(_5

當(dāng)且僅當(dāng)個，_：(,_]),解得久[5時等號成立，故4x+y的最小值為13.

\x-1y，

故選：A.

2.（2024?四川綿陽?一模）已知久>0,丫>0,且滿足%+）/=%丫一3,貝!]4/的最小值為（）

A.3B.2V3C.6D.9

【解題思路】利用基本不等式化簡已知條件，再解不等式求得xy的范圍，從而求得xy的最小值.

【解答過程】x+y-xy-3>2^/xy,

I國￥-2歷-3=I歷-3）（V%y+1）>0,

yfxy-3>0,xy>9,

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=3時等號成立，

所以孫的最小值為9.

故選：D.

3.（2024?江蘇宿遷?一模）若。>0,8>0,。+26=3,貝喉+9的最小值為（）

ab

A.9B.18C.24D.27

【解題思路】利用基本不等式中力”的妙用即可求得最小值.

【解答過程】根據(jù)題意可得之+，="a+2b）（三+=J（3+1+段+12）>15+2隹.歿）=9；

ab3\anJ3\baJ3\ybal

當(dāng)且僅當(dāng)償二改，即Q=l,b=l時，等號成立；

ba

此時三+1的最小值為9.

ab

故選：A.

4.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）下列說法錯誤的是（）

A.若正實數(shù)滿足Q+b=l