2025年滬科版八年級(jí)數(shù)學(xué)寒假預(yù)習(xí)：一元二次方程的應(yīng)用

第07講一元二次方程的應(yīng)用

素養(yǎng)目標(biāo)—

模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)1.通過分析具體問題中的數(shù)量關(guān)系，建立方程模型并

模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）解決實(shí)際問題，總結(jié)運(yùn)用方程解決實(shí)際問題的一般步

模塊三核心考點(diǎn)舉一反三

模塊四小試牛刀過關(guān)測(cè)驟；

2.通過列方程解應(yīng)用題，進(jìn)一步提高邏輯思維能力、

分析問題和解決問題的能力；

模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)

■:分—■,一3■、

/■:**m.?網(wǎng)/Mtn殺臨美，■

---------------------------------./■:■?9■中立科力?

/?-------■:■方■,注■外WML梯帚，■衰承工.

/

/\\_?：S方■mNHHKgMZ■父

?---------------------------------------3/V------------------------------------------

?/\W：WMWHI

B;一元二次方程的應(yīng)用■X

L................................................:\■???

\/—

一先二次方—■內(nèi)吏■?[“■??

“模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理-----------------------------

知識(shí)點(diǎn)1列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟

L利用方程解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系.

2.解決應(yīng)用題的一般步驟：

審：審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等；

設(shè)：設(shè)未知數(shù)，有時(shí)會(huì)用未知數(shù)表示相關(guān)的量；

列：根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程；

解：解方程，注意分式方程需檢驗(yàn)，將所求量表示清晰；

驗(yàn)：檢驗(yàn)方程的解能否保證實(shí)際問題有意義

答：寫出答案，切忌答非所問。

注意：列方程解實(shí)際問題的三個(gè)重要環(huán)節(jié)：一是整體地、系統(tǒng)地審題；二是把握問題中的等量關(guān)系；三是

正確求解方程并檢驗(yàn)解的合理性.

知識(shí)點(diǎn)2一元二次方程應(yīng)用題的主要類型

1

L數(shù)字問題

（1）任何一個(gè)多位數(shù)都是由數(shù)位和數(shù)位上的數(shù)組成.數(shù)位從右至左依次分別是：個(gè)位、十位、百位、千位……，

它們數(shù)位上的單位從右至左依次分別為：1、1。100、1000............數(shù)位上的數(shù)字只能是0、1、2................

9之中的數(shù)，而最高位上的數(shù)不能為0.因此，任何一個(gè)多位數(shù)，都可用其各數(shù)位上的數(shù)字與其數(shù)位上的單位

的積的和來表示，這也就是用多項(xiàng)式的形式表示了一個(gè)多位數(shù).如：一個(gè)三位數(shù)，個(gè)位上數(shù)為a,十位上數(shù)

為b,百位上數(shù)為c,則這個(gè)三位數(shù)可表示為：100c+10b+a.

（2）幾個(gè)連續(xù)整數(shù)中，相鄰兩個(gè)整數(shù)相差1.

如：三個(gè)連續(xù)整數(shù)，設(shè)中間一個(gè)數(shù)為x,則另兩個(gè)數(shù)分別為x-1,x+1；幾個(gè)連續(xù)偶數(shù)（或奇數(shù)）中，相鄰兩個(gè)

偶數(shù)（或奇數(shù)）相差2。如：三個(gè)連續(xù)偶數(shù)（奇數(shù)），設(shè)中間一個(gè)數(shù)為x,則另兩個(gè)數(shù)分別為x-2,x+2.

2.平均變化率問題

列一元二次方程解決增長(zhǎng)（降低）率問題時(shí)，要理清原來數(shù)、后來數(shù)、增長(zhǎng)率或降低率，以及增長(zhǎng)或降低

的次數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系.如果列出的方程是一元二次方程，那么應(yīng)在原數(shù)的基礎(chǔ)上增長(zhǎng)或降低兩次.

（1）增長(zhǎng)率問題：平均增長(zhǎng)率公式為a（l+x）R=b（a為原來數(shù)，x為平均增長(zhǎng)率，n為增長(zhǎng)次數(shù)，b為增長(zhǎng)

后的量.）

（2）降低率問題：平均降低率公式為a（l-x）"=b（a為原來數(shù)，x為平均降低率，n為降低次數(shù)，b為降低

后的量.）

3.利息問題

⑴概念：

本金：顧客存入銀行的錢叫本金.

利息：銀行付給顧客的酬金叫利息.

本息和：本金和利息的和叫本息和.

期數(shù)：存入銀行的時(shí)間叫期數(shù).

利率：每個(gè)期數(shù)內(nèi)的利息與本金的比叫利率.

（2）公式：

利息=本金x利率x期數(shù)

禾I］息稅=利1息X稅率

本金X（l+利率X期數(shù)尸本息和

本金X［l+利率X期數(shù)x（l-稅率）］=本息和（收利息稅時(shí)）

4利潤(rùn)（銷售）問題

利潤(rùn)（銷售）問題中常用的等量關(guān)系：

利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)（成本）

總利潤(rùn)=每件的利潤(rùn)X總件數(shù)

2

利潤(rùn)率=積福-樂標(biāo)價(jià)*窄=售價(jià)

近VT（冢成不）10

道價(jià)X。+利潤(rùn)率）=標(biāo)價(jià)X五符

5.圖形面積問題

此類問題屬于幾何圖形的應(yīng)用問題，解決問題的關(guān)鍵是將不規(guī)則圖形分割或組合成規(guī)則圖形，根據(jù)圖

形的面積或體積公式，找出未知量與已知量的內(nèi)在關(guān)系并列出方程.

注意：列一元二次方程解應(yīng)用題是把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（列方程），然后由數(shù)學(xué)問題的解決而獲得對(duì)

實(shí)際問題的解決.這是在解決實(shí)際問題時(shí)常用到的數(shù)學(xué)思想一方程思想.

6模塊三核心考點(diǎn)舉一反三------------------------------

考點(diǎn)01：傳播問題

［X例題1.春季流感爆發(fā)，有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有81人患了流感.

（1）每輪傳播中平均一人傳染幾個(gè)人？

（2）經(jīng)過三輪傳染后會(huì)超過700人患流感嗎？請(qǐng)說明理由.

【變式1-1］學(xué)?！白匀恢馈毖芯啃〗M在野外考查時(shí)發(fā)現(xiàn)了一種植物的生長(zhǎng)規(guī)律，即植物的1個(gè)主干上長(zhǎng)出

x個(gè)枝干，每個(gè)枝干又長(zhǎng)出2x個(gè)小分支，現(xiàn)在一個(gè)主干上的主干、枝干、小分支數(shù)量之和為68,根據(jù)題意,

下列方程正確的是（）

A.1+x+x2=68B.l+（l+2x）-=68

C.1+尤+2x?=68D.尤+（l+2x）~=68

【變式1-2】諾如病毒是一種傳染性比較強(qiáng)的病毒，會(huì)引起病毒性胃腸疾病，具有發(fā)病急、傳播速度快、涉

及范圍廣等特點(diǎn)，在學(xué)校、游戲廳等聚集性場(chǎng)所易引起暴發(fā).假設(shè)有一個(gè)人感染了該病毒，經(jīng)過兩輪傳染

后共有49人感染該病毒，則每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了人.

【變式1-3】在人群密集的場(chǎng)所，信息傳播很快，某居委會(huì)有3人同時(shí)得知一則喜訊，經(jīng)過兩輪傳播后，使

得這則喜訊在共有864人的居民小區(qū)中的知曉率達(dá)50%,那么每輪傳播中平均一人傳播了多少人？設(shè)每輪

傳播中平均一人傳播了x人，列方程為.

考點(diǎn)02：增長(zhǎng)率問題

例題2.（24-25九年級(jí)上?吉林長(zhǎng)春?期中）隨著旅游旺季的到來，某景區(qū)游客人數(shù)逐月增加，2月份

游客人數(shù)為1.6萬人，4月份游客人數(shù)為2.5萬人.求這兩個(gè)月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率.

【變式2-1］（24-25九年級(jí)上?山東濟(jì)寧?期中）新能源汽車節(jié)能，環(huán)保，越來越受消費(fèi)者喜愛，2022年某款

新能源汽車銷售量為20萬輛，銷售量逐年增加，2024年預(yù)估銷售量為24萬輛，求這款新能源汽車的年平

均增長(zhǎng)率，可設(shè)這款新能源汽車的年平均增長(zhǎng)率為x,根據(jù)題意，下列方程正確的為（）

A.20（l+x）2=24B.24（1-x）2=20

3

C.24（1-X2）=20D.20（1+X2）=24

【變式2-2】某藥品經(jīng)過兩次降價(jià)，每瓶零售價(jià)由112元降為63元.已知兩次降價(jià)的百分率相同.要求每

次降價(jià)的百分率，若設(shè)每次降價(jià)的百分率為x,則得到的方程為（）

A.U2（l-x）2=63B.U2（l+x）2=63

C.112（1-X2）=63D.112（1+X2）=63

【變式2-2］（24-25九年級(jí)上?廣東廣州?期中）新能源汽車已逐漸成為人們喜愛的交通工具，據(jù)某品牌新能

源汽車經(jīng)銷商8月份至10月份統(tǒng)計(jì)，該品牌新能源汽車8月份銷售1000輛，10月份銷售1690輛.設(shè)月平

均增長(zhǎng)率為x,根據(jù)題意可列方程為.

考點(diǎn)03：數(shù)字問題

注2）例題已知一個(gè)數(shù)的平方與1。的差等于這個(gè)數(shù)與10的和，求這個(gè)數(shù).

【變式3-1］（24-25九年級(jí)上?河北唐山?期中）兩個(gè)相鄰奇數(shù)的積是195,則這兩個(gè)奇數(shù)的和為（）

A.26B.28C.一26或26D.-28或28

【變式3-2］一個(gè)兩位數(shù)比它的十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之積大40,已知十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字

大2,則這個(gè)兩位數(shù)是.

【變式3-3］（24-25九年級(jí)上?吉林松原?期中）《念奴嬌?赤壁懷古》，在蘇軾筆下，周瑜年少有為，文朵風(fēng)流,

雄姿英發(fā)，談笑間，橘櫓灰飛煙滅，然天妒英才，英年早逝，欣賞下面改編的詩歌，“大江東去浪淘盡，千

古風(fēng)流數(shù)人物.而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù).十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽符.”請(qǐng)你求周瑜

去世的年齡.（友情提示：周瑜去世的年齡大于二十七歲.）

考點(diǎn)04：營(yíng)銷問題

4.（24-25九年級(jí)上?江西九江?期中）某童裝專賣店在銷售中發(fā)現(xiàn)，一款童裝每件的進(jìn)價(jià)為80

元，當(dāng)銷售單價(jià)為120元時(shí)，每天的銷售量是20件，據(jù)測(cè)算，每件童裝每降價(jià)1元，平均每天可多售出2

件.

（1）若該專賣店銷售這款童裝要想每天盈利1088元，求該款童裝每件應(yīng)降價(jià)多少元？

（2）在（1）的基礎(chǔ)上，在獲利不變的情況下，為盡可能減少庫(kù)存，擴(kuò)大銷售量，該專賣店銷售該款童裝時(shí)應(yīng)

按原售價(jià)的幾折出售？

【變式4-1］（24-25九年級(jí)上?陜西咸陽?期中）某水果經(jīng)銷商批發(fā)了一批水果，進(jìn)貨單價(jià)為每箱50元，若按

每箱60元出售，則每天可銷售80箱.現(xiàn)準(zhǔn)備提價(jià)銷售，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研后發(fā)現(xiàn)：每箱每提價(jià)1元，每天的銷量

4

就會(huì)減少2箱.設(shè)該水果售價(jià)為每箱x(x>60)元.

(1)用含x的代數(shù)式表示提價(jià)后平均每天的銷售量為箱；(化為最簡(jiǎn)形式)

(2)既要考慮經(jīng)銷商的利潤(rùn)，保證經(jīng)銷商每天可獲得1200元利潤(rùn)，又要讓利于消費(fèi)者，則這批水果應(yīng)按每箱

多少元銷售？

【變式4-2](24-25九年級(jí)上?山東棗莊?期中)2024年4月25日，搭載神舟十八號(hào)載人飛船的長(zhǎng)征二號(hào)9

遙十八運(yùn)載火箭發(fā)射成功.某網(wǎng)店為滿足航空航天愛好者的需求，特推出了“中國(guó)空間站”模型.已知該模型

平均每天可售出20個(gè)，每個(gè)盈利40元.為了擴(kuò)大銷售，該網(wǎng)店準(zhǔn)備適當(dāng)降價(jià)，經(jīng)過一段時(shí)間測(cè)算，每個(gè)

模型每降低1元，平均每天可以多售出2個(gè).

(1)若每個(gè)模型降價(jià)5元，平均每天可以售出多少個(gè)模型？此時(shí)每天獲利多少元？

(2)在每個(gè)模型盈利不超過25元的前提下，要使“中國(guó)空間站”模型每天獲利1200元，每個(gè)模型應(yīng)降價(jià)多少

元？

【變式4-3】超市銷售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷售，增加盈利該店采

取了降價(jià)措施，在讓顧客得到更大實(shí)惠的前提下，經(jīng)過一段時(shí)間銷售，發(fā)現(xiàn)銷售單價(jià)每降低1元，平均每天

可多售出2件.

(1)若降價(jià)6元，則平均每天銷售數(shù)量為多少件；

(2)當(dāng)每件商品降價(jià)多少元時(shí)，該商店每天銷售利潤(rùn)為1200元？

考點(diǎn)05：圖形面積問題

I、4列題5.我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《增刪算法統(tǒng)宗》記載“圓中方形”問題：“今有圓田一段，中間有個(gè)方池.丈

量田地待耕犁，恰好三分在記，池面至周有數(shù)，每邊三步無疑.內(nèi)方圓徑若能知，堪作算中第一.”其大意

為：有一塊圓形的田，中間有一塊正方形水池，測(cè)量出除水池外圓內(nèi)可耕地的面積恰好72平方步，從水池

邊到圓周，每邊相距3步遠(yuǎn).如果你能求出正方形邊長(zhǎng)和圓的直徑，那么你的計(jì)算水平就是第一了.如圖，

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)是x步，則列出的方程是

A.?(x+3)2-%之=72=72

2

2

C."0+3)2—=36D.喈+3I-X=36

【變式5-1】圖①是一張長(zhǎng)28cm,寬16cm的矩形紙片，將陰影部分裁去(陰影部分為4個(gè)完全相同的小矩

形)并折疊成一個(gè)如圖②的底面積為80CD?的有蓋長(zhǎng)方體盒子.設(shè)該盒子的高為xcm,根據(jù)題意，可列方程

5

為()

A.(28-2x)(16-2x)=80B.(28-2x2x)(16-2x)=80

C.1x28-2x](16-2x)=80D.1(28-2x)(16-2x)=80

【變式5-2】如圖，利用一面墻，用長(zhǎng)80m的籬笆圍成一個(gè)矩形場(chǎng)地，所圍矩形場(chǎng)地的面積為800平方米,

請(qǐng)求出BC的長(zhǎng).

II

AD

s'--------'C

【變式5-3](22-23九年級(jí)上?四川成都?期中)學(xué)校停車場(chǎng)車位布局如圖所示.已知矩形停車場(chǎng)的長(zhǎng)為50m,

寬為30m,共有42,五個(gè)等寬矩形停車區(qū)，其總面積為850m七其余部分是等寬通道，設(shè)通道寬加.

50

(1)用含x的代數(shù)式表示：停車區(qū)寬為.m,停車區(qū)4B、C、。的長(zhǎng)為m.

(2)停車場(chǎng)的通道寬為多少米?

考點(diǎn)06：動(dòng)態(tài)幾何問題

VI例題6.如圖所示，V48C中，￡>8=90°,AB=6cm,BC=8cm.

(1)點(diǎn)尸從點(diǎn)A開始沿邊向8以lcm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)。從8點(diǎn)開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移

動(dòng).如果尸、。分別從A,3同時(shí)出發(fā)，線段尸。能否將V/8C分成面積相等的兩部分？若能，求出運(yùn)動(dòng)時(shí)

間；若不能說明理由.

6

（2）若P點(diǎn)沿射線方向從A點(diǎn)出發(fā)以lcm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)。沿射線CB方向從C點(diǎn)出發(fā)以2cm/s的速度移

動(dòng)，尸、。同時(shí)出發(fā)，問幾秒后，V48c的面積為len??

【變式6-1］如圖，在矩形45CD中，^5=10cm,4D=8cm,點(diǎn)尸從點(diǎn)/出發(fā)，沿以2cm/s的速度向

點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)。從點(diǎn)3出發(fā)，沿8c以lcm/s的速度向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)尸到達(dá)終點(diǎn)后，P,0兩點(diǎn)同時(shí)停

止運(yùn)動(dòng).當(dāng)運(yùn)動(dòng)多少s時(shí)，V8P。的面積是6cm2.

【變式6-2］如圖，在V4BC中，AC=50m,BC=40m,NC=90。.點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿NC邊向點(diǎn)C以2m/s

的速度勻速移動(dòng)，同時(shí)另一點(diǎn)。由C點(diǎn)開始以3m/s的速度沿著邊C8勻速移動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少時(shí)，

△尸C0的面積等于300m2?

【變式6-3］如圖，在矩形48CD中，N8=6cm,8c=12cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A沿4B向點(diǎn)8以lcm/s的速度

移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)。從點(diǎn)8沿8C邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng).當(dāng)其中一點(diǎn)達(dá)到終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停

止.設(shè)P,。兩點(diǎn)移動(dòng)的時(shí)間為xs.

（1）當(dāng)x為何值時(shí)，PB=BQ.

（2）當(dāng)x為何值時(shí)，APB。的面積為5cm2.

6模塊四小試牛刀過關(guān)測(cè)-------------------------------

—＞單選題

1.（24-25九年級(jí)上?安徽蕪湖?期中）今年“十一”長(zhǎng)假某濕地公園迎來旅游高峰，第一天的游客人數(shù)是0.8

萬人，第三天的游客人數(shù)為3.2萬人，假設(shè)每天游客增加的百分率相同且設(shè)為x,則根據(jù)題意可列方程為（）

A.3.2（l+x）2=0.8B.0.8（1+X）2=3.2

7

C.o.8（l-x）2=3.2D.0.8+0.8（l+x）+0.8（l+x）2=3.2

2.（23-24八年級(jí)下?安徽亳州?期中）某種電腦病毒傳播非常快，如果一臺(tái)電腦被感染，經(jīng)過兩輪就會(huì)有64

臺(tái)電腦被感染.設(shè)每輪感染中平均一臺(tái)電腦可感染x臺(tái)，下面所列方程正確的是（）

A.x2=64B.X2+1=64

C.（1+x）2=64D.1+x+x2=64

3.（23-24八年級(jí)下?安徽淮北?期中）阿進(jìn)同學(xué)有一塊長(zhǎng)30cm,寬12cm的長(zhǎng)方形紙板，他想制作一個(gè)有蓋

的長(zhǎng)方體盒子.為了合理使用材料，他設(shè)計(jì)了如圖所示的裁剪方案，空白部分為裁剪下來的邊角料，其中

左側(cè)兩個(gè)空白部分為正方形.如果裁剪并折出底面積為104cm2的有蓋盒子（盒蓋與盒底的大小形狀相同），

那么裁去的左側(cè)正方形的邊長(zhǎng)是（）

A.5cmB.4cmC.3cmD.2cm

二、填空題

4.（23-24九年級(jí)上?安徽合肥?期中）某商家銷售某種商品，當(dāng)單價(jià)為10元時(shí)，每天能賣出200個(gè)，現(xiàn)在采

用提高售價(jià)的方法來增加利潤(rùn)，已知商品單價(jià)每上漲1元，每天的銷售量就少10個(gè)，則每天的銷售金額最

大為?

5.（22-23八年級(jí)下?安徽滁州?期中）如圖，把一塊長(zhǎng)為50cm,寬為30cm的長(zhǎng)方形硬紙板的四個(gè)角減去四

個(gè)相同的小正方形，然后把硬紙板的四邊沿虛線折起，并用膠帶粘好，即可做成一個(gè)無蓋紙盒.若該無蓋紙

盒的底面積為600cm叱設(shè)剪去的小正方形的邊長(zhǎng)為xcm,則可列方程為.

6.（24-25九年級(jí)上?安徽蕪湖?期中）我國(guó)古代著作《四元玉鑒》記載“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，

倩人去買幾株椽.每株腳錢三文足，無錢準(zhǔn)與一株椽.”其大意如下：現(xiàn)請(qǐng)人代買一批椽，這批椽的價(jià)錢為

6210文.如果每株椽的運(yùn)費(fèi)是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運(yùn)費(fèi)恰好等于一株椽的價(jià)錢.設(shè)這批

椽的數(shù)量為x,則根據(jù)題意可列一元二次方程：（化為一般式）.

三、解答題

7.（24-25九年級(jí)上?安徽蕪湖?期中）化學(xué)是一門以實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)的學(xué)科，小華在化學(xué)老師的幫助下，學(xué)會(huì)了

用高銃酸鉀制取氧氣的實(shí)驗(yàn)，回到班上后，第一節(jié)課手把手教會(huì)了同一個(gè)學(xué)習(xí)小組的x名同學(xué)做該實(shí)驗(yàn)，第

二節(jié)課小華因家中有事請(qǐng)假了，班上其余會(huì)做該實(shí)驗(yàn)的每名同學(xué)又手把手教會(huì)了x名同學(xué)，這樣全班43名

同學(xué)恰好都會(huì)做這個(gè)實(shí)驗(yàn)了.求x的值.

8

8.(23-24八年級(jí)下?安徽阜陽?期中)某商場(chǎng)銷售某種冰箱，每臺(tái)進(jìn)貨價(jià)為3000元，市場(chǎng)調(diào)研表明：當(dāng)銷售

價(jià)為3500元/臺(tái)時(shí)，平均每天能銷售10臺(tái)；而當(dāng)銷售價(jià)每降低20元時(shí)，平均每天就能多售出1臺(tái).該商場(chǎng)

為了減少庫(kù)存，讓利于顧客，且想使這種冰箱的銷售利潤(rùn)平均每天達(dá)到6000元，那么每臺(tái)冰箱應(yīng)降價(jià)多少

元？

9.(23-24八年級(jí)下?安徽蚌埠?期中)如圖，在長(zhǎng)方形48C。中，AB=6cm,BC=12cm,點(diǎn)P從點(diǎn)/出發(fā)

沿以lcm/s的速度向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)0從點(diǎn)2出發(fā)沿8C以2cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間

為xs(04x46).

(1)BP=_cm.,CQ=_cm；(用含x的式子表示)

(2)若VDP。的面積為31cm2,求x的值.

10.(23-24八年級(jí)下?安徽安慶?期中)某水果商店經(jīng)銷一種名為“陽光玫瑰”水果，現(xiàn)進(jìn)行春日促銷，原價(jià)每

千克50元，連續(xù)兩次降價(jià)后每千克32元，若每次下降的百分率相同.

(1)求每次下降的百分率；

(2)若每千克盈利10元，每天可售出250千克，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價(jià)不變的情況下，商場(chǎng)決定采取適

當(dāng)?shù)臐q價(jià)措施，若每千克漲價(jià)1元，日銷售量將減少10千克，現(xiàn)該商場(chǎng)要保證每天盈利3000元，且要盡

快減少庫(kù)存，那么每千克應(yīng)漲價(jià)多少元？

9

第07講一元二次方程的應(yīng)用

素養(yǎng)目標(biāo)—

模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)1.通過分析具體問題中的數(shù)量關(guān)系，建立方程模型并

模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）解決實(shí)際問題，總結(jié)運(yùn)用方程解決實(shí)際問題的一般步

模塊三核心考點(diǎn)舉一反三

模塊四小試牛刀過關(guān)測(cè)驟；

2.通過列方程解應(yīng)用題，進(jìn)一步提高邏輯思維能力、

分析問題和解決問題的能力；

模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)

■:分—■,一3■、

/■:**m.?網(wǎng)/Mtn殺臨美，■

---------------------------------./■:■?9■中立科力?

/?-------■:■方■,注■外WML梯帚，■衰承工.

/

/\\_?：S方■mNHHKgMZ■父

?---------------------------------------3/V-----------------------------------------

?/\W：WMWHI

;一元二次方程的應(yīng)用

B■X

L................................................:\■???

\/—

一先二次方—■內(nèi)吏■?[“■??

IOWMM*

“模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理-----------------------------

知識(shí)點(diǎn)1列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟

1.利用方程解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系.

2.解決應(yīng)用題的一般步驟：

審：審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等；

設(shè)：設(shè)未知數(shù)，有時(shí)會(huì)用未知數(shù)表示相關(guān)的量；

列：根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程；

解：解方程，注意分式方程需檢驗(yàn)，將所求量表示清晰；

驗(yàn)：檢驗(yàn)方程的解能否保證實(shí)際問題有意義

答：寫出答案，切忌答非所問。

注意：列方程解實(shí)際問題的三個(gè)重要環(huán)節(jié)：一是整體地、系統(tǒng)地審題；二是把握問題中的等量關(guān)系；三是

正確求解方程并檢驗(yàn)解的合理性.

知識(shí)點(diǎn)2一元二次方程應(yīng)用題的主要類型

10

L數(shù)字問題

（1）任何一個(gè)多位數(shù)都是由數(shù)位和數(shù)位上的數(shù)組成.數(shù)位從右至左依次分別是：個(gè)位、十位、百位、千位……，

它們數(shù)位上的單位從右至左依次分別為：1、1。100、1000......數(shù)位上的數(shù)字只能是0、1、2........

9之中的數(shù)，而最高位上的數(shù)不能為0.因此，任何一個(gè)多位數(shù)，都可用其各數(shù)位上的數(shù)字與其數(shù)位上的單位

的積的和來表示，這也就是用多項(xiàng)式的形式表示了一個(gè)多位數(shù).如：一個(gè)三位數(shù)，個(gè)位上數(shù)為a,十位上數(shù)

為b,百位上數(shù)為c,則這個(gè)三位數(shù)可表示為：100c+10b+a.

（2）幾個(gè)連續(xù)整數(shù)中，相鄰兩個(gè)整數(shù)相差1.

如：三個(gè)連續(xù)整數(shù)，設(shè)中間一個(gè)數(shù)為x,則另兩個(gè)數(shù)分別為x-1,x+1；幾個(gè)連續(xù)偶數(shù)（或奇數(shù)）中，相鄰兩個(gè)

偶數(shù)（或奇數(shù)）相差2。如：三個(gè)連續(xù)偶數(shù)（奇數(shù)），設(shè)中間一個(gè)數(shù)為x,則另兩個(gè)數(shù)分別為x-2,x+2.

2.平均變化率問題

列一元二次方程解決增長(zhǎng)（降低）率問題時(shí)，要理清原來數(shù)、后來數(shù)、增長(zhǎng)率或降低率，以及增長(zhǎng)或降低

的次數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系.如果列出的方程是一元二次方程，那么應(yīng)在原數(shù)的基礎(chǔ)上增長(zhǎng)或降低兩次.

（1）增長(zhǎng)率問題：平均增長(zhǎng)率公式為磯1+x）"=b（a為原來數(shù)，x為平均增長(zhǎng)率，n為增長(zhǎng)次數(shù)，b為增長(zhǎng)

后的量.）

（2）降低率問題：平均降低率公式為。（1-x）"=b（a為原來數(shù)，x為平均降低率，n為降低次數(shù)，b為降低

后的量.）

3.利息問題

⑴概念：

本金：顧客存入銀行的錢叫本金.

利息：銀行付給顧客的酬金叫利息.

本息和：本金和利息的和叫本息和.

期數(shù)：存入銀行的時(shí)間叫期數(shù).

利率：每個(gè)期數(shù)內(nèi)的利息與本金的比叫利率.

（2）公式：

利息=本金x利率x期數(shù)

禾I］息稅=利1息X稅率

本金X（l+利率X期數(shù)尸本息和

本金X［l+利率X期數(shù)x（l-稅率）］=本息和（收利息稅時(shí)）

4利潤(rùn)（銷售）問題

利潤(rùn)（銷售）問題中常用的等量關(guān)系：

利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)（成本）

總利潤(rùn)=每件的利潤(rùn)X總件數(shù)

11

利潤(rùn)率=積福-樂標(biāo)價(jià)*窄=售價(jià)

近VT(冢成不)10

道價(jià)X。+利潤(rùn)率)=標(biāo)價(jià)X五符

5.圖形面積問題

此類問題屬于幾何圖形的應(yīng)用問題，解決問題的關(guān)鍵是將不規(guī)則圖形分割或組合成規(guī)則圖形，根據(jù)圖

形的面積或體積公式，找出未知量與已知量的內(nèi)在關(guān)系并列出方程.

注意：列一元二次方程解應(yīng)用題是把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題(列方程)，然后由數(shù)學(xué)問題的解決而獲得對(duì)

實(shí)際問題的解決.這是在解決實(shí)際問題時(shí)常用到的數(shù)學(xué)思想一方程思想.

3模塊三核心考點(diǎn)舉一反三------------------------------

考點(diǎn)01：傳播問題

例題1.春季流感爆發(fā)，有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有81人患了流感.

(1)每輪傳播中平均一人傳染幾個(gè)人？

(2)經(jīng)過三輪傳染后會(huì)超過700人患流感嗎？請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)8個(gè)人

(2)會(huì)，理由見解析

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，

(1)設(shè)每輪傳播中平均一人傳染x個(gè)人，則第一輪傳染中有x人被感染，第二輪傳染中有x(x+l)人被感染,

根據(jù)“有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有81人患了流感”，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符

合題意的值，即可得出結(jié)論；

(2)利用經(jīng)過三輪傳染后患流感的人數(shù)等于經(jīng)過兩輪傳染后患流感的人數(shù)義(1+8),即可求出結(jié)論.

【解析】(1)解：設(shè)每輪傳播中平均一人傳染x個(gè)人，則第一輪傳染中有x人被感染，第二輪傳染中有x(x+l)

人被感染，根據(jù)題意得，

l+x+x(x+1)=81,

解得：X1=8,X2=-10(不符合題意，舍去).

答：每輪傳播中平均一人傳染8個(gè)人；

(2)經(jīng)過三輪傳染后會(huì)超過700人患流感，理由如下：

根據(jù)題意得：81x(1+8)=81x9=729(人)，

,/729>700,

.?.經(jīng)過三輪傳染后會(huì)超過700人患流感.

【變式1-1］學(xué)校“自然之美”研究小組在野外考查時(shí)發(fā)現(xiàn)了一種植物的生長(zhǎng)規(guī)律，即植物的1個(gè)主干上長(zhǎng)出

x個(gè)枝干，每個(gè)枝干又長(zhǎng)出2x個(gè)小分支，現(xiàn)在一個(gè)主干上的主干、枝干、小分支數(shù)量之和為68,根據(jù)題意,

下列方程正確的是()

A.1+x+x~=68B.l+(l+2x)2=68

12

c.1+X+2%2=68D.x+(l+2x)~=68

【答案】C

【分析】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)

鍵.由枝干數(shù)及每個(gè)枝干又長(zhǎng)出2x個(gè)小分支，可得出x個(gè)枝干上共長(zhǎng)出2x2個(gè)小分支，結(jié)合一個(gè)主干上有主

干、枝干、小分支數(shù)量之和為68,即可列出關(guān)于》的一元二次方程，此題得解.

【解析】解：???植物的1個(gè)主干上長(zhǎng)出x個(gè)枝干，每個(gè)枝干又長(zhǎng)出2x個(gè)小分支，

個(gè)枝干上共長(zhǎng)出個(gè)小分支.

根據(jù)題意得：l+x+2x2=68.

故選：C.

【變式1-2】諾如病毒是一種傳染性比較強(qiáng)的病毒，會(huì)引起病毒性胃腸疾病，具有發(fā)病急、傳播速度快、涉

及范圍廣等特點(diǎn)，在學(xué)校、游戲廳等聚集性場(chǎng)所易引起暴發(fā).假設(shè)有一個(gè)人感染了該病毒，經(jīng)過兩輪傳染

后共有49人感染該病毒，則每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了人.

【答案】6

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵.設(shè)每輪傳染中平均一人傳染x

人，根據(jù)題意列一元二次方程，解方程即可.

【解析】解：設(shè)每輪傳染中平均一人傳染尤人，則第一輪有（1+X）人感染，第二輪有（1+X）2人感染，

根據(jù)題意可得：（1+X）2=49

解得：x=6或》=-8（不符題意，舍去），

故答案為：6.

【變式1-3】在人群密集的場(chǎng)所，信息傳播很快，某居委會(huì)有3人同時(shí)得知一則喜訊，經(jīng)過兩輪傳播后，使

得這則喜訊在共有864人的居民小區(qū)中的知曉率達(dá)50%,那么每輪傳播中平均一人傳播了多少人？設(shè)每輪

傳播中平均一人傳播了x人，列方程為.

【答案】3（l+x）2=864x50%

【分析】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，正確列出方程是解答的關(guān)鍵.設(shè)每輪傳播中平均一人

傳播了x人，根據(jù)經(jīng)過兩輪傳播后，使得這則喜訊在共有864人的居民小區(qū)中的知曉率達(dá)50%,列出一元

二次方程即可.

【解析】解：設(shè)每輪傳播中平均一人傳播了x人，

根據(jù)題意得：3+3X+（3+3X）X=864X50%,

即：3（l+x）2=864x50%.

故答案為：3（l+x『=864x50%.

考點(diǎn)02：增長(zhǎng)率問題

13

例題2.（24-25九年級(jí)上?吉林長(zhǎng)春?期中）隨著旅游旺季的到來，某景區(qū)游客人數(shù)逐月增加，2月份

游客人數(shù)為1.6萬人，4月份游客人數(shù)為2.5萬人.求這兩個(gè)月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率.

【答案】這兩個(gè)月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為25%.

【分析】本題考查了一元二次方程在實(shí)際問題中的應(yīng)用.設(shè)這兩個(gè)月的平均增加率為x,根據(jù)題意列出方程,

解方程即可求解.

【解析】解：設(shè)這兩個(gè)月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為x,由題意，可得

1.6（l+x）2=2.5,

9

解得玉=25%,x2=-^（不合題意，舍去）.

答：這兩個(gè)月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為25%.

【變式2-1］（24-25九年級(jí)上?山東濟(jì)寧?期中）新能源汽車節(jié)能，環(huán)保，越來越受消費(fèi)者喜愛，2022年某款

新能源汽車銷售量為20萬輛，銷售量逐年增加，2024年預(yù)估銷售量為24萬輛，求這款新能源汽車的年平

均增長(zhǎng)率，可設(shè)這款新能源汽車的年平均增長(zhǎng)率為x,根據(jù)題意，下列方程正確的為（）

A.20（l+x）2=24B.24（1-x）2=20

C.24（1-x2）=20D.200+尤2）=24

【答案】A

【分析】本題考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)平均變化率的等量關(guān)系a（l±x『=6,增長(zhǎng)為加，降低為

減，列出方程即可.

【解析】解：由題意，可列方程為：20（1+X）2=24；

故選A.

【變式2-2】某藥品經(jīng)過兩次降價(jià)，每瓶零售價(jià)由112元降為63元.已知兩次降價(jià)的百分率相同.要求每

次降價(jià)的百分率，若設(shè)每次降價(jià)的百分率為x,則得到的方程為（）

A.112（l-x）2=63B.112（l+x）2=63

C.H2（1-X2）=63D.112（1+X2）=63

【答案】A

【分析】本題主要考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，熟練的掌握由實(shí)際問題抽象出一元二次方程是

解題的關(guān)鍵.

根據(jù)題意可得等量關(guān)系“原零售價(jià)x（1-百分比）（1-百分比）=降價(jià)后的售價(jià)”列出方程即可.

【解析】解：設(shè)每次降價(jià)的百分率為x,由題意得：112（1-X）2=63.

故答案選：A.

【變式2-2］（24-25九年級(jí)上?廣東廣州?期中）新能源汽車已逐漸成為人們喜愛的交通工具，據(jù)某品牌新能

14

源汽車經(jīng)銷商8月份至10月份統(tǒng)計(jì)，該品牌新能源汽車8月份銷售1000輛，10月份銷售1690輛.設(shè)月平

均增長(zhǎng)率為x,根據(jù)題意可列方程為.

【答案】1000（l+x）2=1690

【分析】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，設(shè)月平均增長(zhǎng)率為x,根據(jù)題意列出方程即可.

【解析】解：設(shè)月平均增長(zhǎng)率為x,根據(jù)題意可列方程為1000（l+x）2=1690

故答案為：1000（1+x）2=1690.

考點(diǎn)03：數(shù)字問題

f\］例題3.已知一個(gè)數(shù)的平方與10的差等于這個(gè)數(shù)與10的和，求這個(gè)數(shù).

【答案】這個(gè)數(shù)為5或-4

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及列代數(shù)式，根據(jù)“一個(gè)數(shù)的平方與10的差等于這個(gè)數(shù)與10的和“

列方程求解.找到相等關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【解析】解：設(shè)這個(gè)數(shù)為x,貝U：

x~—10—x+10，

整理得/一x-20=0,

因式分解得：（尤-5）（尤+4）=0,

/.x-5=0,x+4=0,

解得：玉=5,x2=-4.

則這個(gè)數(shù)為5或-4.

【變式3-1］（24-25九年級(jí)上?河北唐山?期中）兩個(gè)相鄰奇數(shù)的積是195,則這兩個(gè)奇數(shù)的和為（）

A.26B.28C.-26或26D.-28或28

【答案】D

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用；設(shè)這兩個(gè)奇數(shù)分別為2〃-1,2"+1,由題意得方程，求得〃的值，

即可求得這兩個(gè)奇數(shù)的和.

【解析】解：設(shè)這兩個(gè)奇數(shù)分別為2〃7,2"+1,

由題意得:（2"-1）（2"+1）=195,

即4n2=196，

解得：〃=±7,

而2〃-1+2〃+1=4場(chǎng)二i28,

故兩個(gè)奇數(shù)和為：-28或28；

故選：D.

【變式3-21一個(gè)兩位數(shù)比它的十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之積大40,已知十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字

大2,則這個(gè)兩位數(shù)是.

15

【答案】64或75

【分析】可設(shè)個(gè)位數(shù)字為X，則十位上的數(shù)字是(x+2).等量關(guān)系：十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字的積+40=

這個(gè)兩位數(shù).本題考查了一元二次方程的應(yīng)用.正確理解關(guān)鍵描述語，找到等量關(guān)系準(zhǔn)確列出方程是解決

問題的關(guān)鍵.

【解析】解：設(shè)個(gè)位數(shù)字為X,則十位上的數(shù)字是(x+2),

根據(jù)題意得x(x+2)+40=10(x+2)+x,

整理，得;？-9x+20=0,即(尤-4)(x-5)=0,

解得再=4,X2=5(不合題意，舍去)，

當(dāng)再=4時(shí)，尤+2=6,這個(gè)兩位數(shù)是64；

當(dāng)士=5時(shí)，x+2=7,這個(gè)兩位數(shù)是75.

答：這兩位數(shù)是64或75.

故答案為：64或75.

【變式3-3](24-25九年級(jí)上?吉林松原?期中)《念奴嬌?赤壁懷古》，在蘇軾筆下，周瑜年少有為，文朵風(fēng)流,

雄姿英發(fā)，談笑間，橘櫓灰飛煙滅，然天妒英才，英年早逝，欣賞下面改編的詩歌，“大江東去浪淘盡，千

古風(fēng)流數(shù)人物.而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù).十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽符.”請(qǐng)你求周瑜

去世的年齡.(友情提示：周瑜去世的年齡大于二十七歲.)

【答案】周瑜去世時(shí)年齡為36歲

【分析】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，根據(jù)“十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽符”以及10x十

位數(shù)字+個(gè)位數(shù)字=個(gè)位數(shù)字的平方，據(jù)此列方程可得答案，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題

的關(guān)鍵.

【解析】解：設(shè)周瑜去世的年齡十位數(shù)字為無，則個(gè)位數(shù)字為x+3,

則根據(jù)題意：10x+(x+3)=(x+3)2,

整理得：5尤+6=0，解得占=2,%=3,

由題意，而立之年督東吳，則x=2舍去，

周瑜去世的年齡為36歲，

考點(diǎn)04：營(yíng)銷問題

4.(24-25九年級(jí)上?江西九江?期中)某童裝專賣店在銷售中發(fā)現(xiàn)，一款童裝每件的進(jìn)價(jià)為80

元，當(dāng)銷售單價(jià)為120元時(shí)，每天的銷售量是20件，據(jù)測(cè)算，每件童裝每降價(jià)1元，平均每天可多售出2

16

件.

（1）若該專賣店銷售這款童裝要想每天盈利1088元，求該款童裝每件應(yīng)降價(jià)多少元？

（2）在（1）的基礎(chǔ)上，在獲利不變的情況下，為盡可能減少庫(kù)存，擴(kuò)大銷售量，該專賣店銷售該款童裝時(shí)應(yīng)

按原售價(jià)的幾折出售？

【答案】（1）該款童裝每件應(yīng)降價(jià)6元或24元

（2）該專賣店銷售該款童裝時(shí)應(yīng)按原售價(jià)的八折出售

【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，有理數(shù)混合運(yùn)算的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等量關(guān)系列出

方程.

（1）設(shè)該款童裝每件應(yīng)降價(jià)x元，則每天可銷售（20+2尤）件，每件盈利（120-80-尤）元，根據(jù)該專賣店銷

售這款童裝要想每天盈利1088元，列出方程，解方程即可；

（2）根據(jù)要盡可能減少庫(kù)存，擴(kuò)大銷售量，得出該款童裝每件應(yīng)降價(jià)24元，求出售價(jià)，然后列式算出答

案即可.

【解析】（1）解：設(shè)該款童裝每件應(yīng)降價(jià)x元，則每天可銷售（20+2x）件，每件盈利（120-80-x）元，

根據(jù)題意可得：（120-80-“（20+2x）=1088,

解得：網(wǎng)=24,x2=6,

答：該款童裝每件應(yīng)降價(jià)6元或24元；

（2）解：由（1）可知，該款童裝每件可降價(jià)6元或24元，

因?yàn)橐M可能減少庫(kù)存，擴(kuò)大銷售量，所以該款童裝每件應(yīng)降價(jià)24元，

96

此時(shí)，售價(jià)為：120-24=96（元），一x100%=80%.

120

答：該專賣店銷售該款童裝時(shí)應(yīng)按原售價(jià)的八折出售.

【變式4-1］（24-25九年級(jí)上?陜西咸陽?期中）某水果經(jīng)銷商批發(fā)了一批水果，進(jìn)貨單價(jià)為每箱50元，若按

每箱60元出售，則每天可銷售80箱.現(xiàn)準(zhǔn)備提價(jià)銷售，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研后發(fā)現(xiàn)：每箱每提價(jià)1元，每天的銷量

就會(huì)減少2箱.設(shè)該水果售價(jià)為每箱x（x>60）元.

（1）用含x的代數(shù)式表示提價(jià)后平均每天的銷售量為箱；（化為最簡(jiǎn)形式）

（2）既要考慮經(jīng)銷商的利潤(rùn)，保證經(jīng)銷商每天可獲得1200元利潤(rùn)，又要讓利于消費(fèi)者，則這批水果應(yīng)按每箱

多少元銷售？

【答案】⑴（200-2x）

（2）應(yīng)按每箱70元銷售

【分析】本題考查列代數(shù)式及一元二次方程的應(yīng)用，找出等量關(guān)系列一元二次方程是解題的關(guān)鍵；

（1）利用平均每天的銷售量=80-2x提高的價(jià)格，即可用含x的代數(shù)式表示出提價(jià)后平均每天的銷售量；

（2）根據(jù)每天的銷售利潤(rùn)=每箱的銷售利潤(rùn)x銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出x

的值，即可確定無的值.

17

【解析】（1）解：由題意得：80-2（x-60）=200-2x（箱），

故答案為：（200-2%）；

（2）解：依題意得，（x-50）（200-2無）=1200,

解得，再=70,x2=80

?.?要讓利于消費(fèi)者，

x=70.

答：若超市銷售該水果每天想要獲得1200元的利潤(rùn)，則應(yīng)按每箱70元銷售.

【變式4-2］（24-25九年級(jí)上?山東棗莊?期中）2024年4月25日，搭載神舟十八號(hào)載人飛船的長(zhǎng)征二號(hào)廠

遙十八運(yùn)載火箭發(fā)射成功.某網(wǎng)店為滿足航空航天愛好者的需求，特推出了“中國(guó)空間站”模型.已知該模型

平均每天可售出20個(gè)，每個(gè)盈利40元.為了擴(kuò)大銷售，該網(wǎng)店準(zhǔn)備適當(dāng)降價(jià)，經(jīng)過一段時(shí)間測(cè)算，每個(gè)

模型每降低1元，平均每天可以多售出2個(gè).

（1）若每個(gè)模型降價(jià)5元，平均每天可以售出多少個(gè)模型？此時(shí)每天獲利多少元？

（2）在每個(gè)模型盈利不超過25元的前提下，要使“中國(guó)空間站”模型每天獲利1200元，每個(gè)模型應(yīng)降價(jià)多少

元？

【答案】（1）30個(gè)，1050元

（2）20元

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用一盈利問題，根據(jù)銷售問題列出方程并正確求解是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)降價(jià)，求出降價(jià)后得每件利潤(rùn)和每天得銷量，即可求出利潤(rùn)；

（2）設(shè)每個(gè)模型降價(jià)x元，則每件利潤(rùn)（40-x）元，平均每天可以售出（20+2.個(gè)模型，根據(jù)利潤(rùn)可列方程

（40-x）（20+2x）=1200,解方程，再進(jìn)行取舍即可.

【解析】（1）解：20+2x5=30（個(gè)）；

（40-5）x30=1050（元）.

答：平均每天可以售出30個(gè)模型，此時(shí)每天獲利1050元；

（2）設(shè)每個(gè)模型應(yīng)降價(jià)x元，

根據(jù)題意得：（40-力（20+2x）=1200,

整理得：x2-30x+200=0,

解得：匹=10,x2=20,

又?.?每個(gè)模型盈利不超過25元，

.\x=20.

答：每個(gè)模型應(yīng)降價(jià)20元.

【變式4-3】超市銷售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷售，增加盈利該店采

取了降價(jià)措施，在讓顧客得到更大實(shí)惠的前提下，經(jīng)過一段時(shí)間銷售，發(fā)現(xiàn)銷售單價(jià)每降低1元，平均每天

18

可多售出2件.

（1）若降價(jià)6元，則平均每天銷售數(shù)量為多少件；

（2）當(dāng)每件商品降價(jià)多少元時(shí)，該商店每天銷售利潤(rùn)為1200元？

【答案】（1）平均每天銷售數(shù)量為32件.

（2）當(dāng)每件商品降價(jià)20元時(shí)，該商店每天銷售利潤(rùn)為1200元.

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

（1）利用平均每天的銷售量=20+2x每件商品降低的價(jià)格，即可求出結(jié)論；

（2）設(shè)每件商品降價(jià)x元，則每件盈利（40-x）元，平均每天可售出（20+2x）元，利用總利潤(rùn)=每件盈利x平

均每天的銷售量，即可得出關(guān)于尤的一元二次方程，解之即可得出x的值，再結(jié)合在讓顧客得到更大實(shí)惠的

前提下，即可得出每件商品應(yīng)降價(jià)20元.

【解析】（1）解：根據(jù)題意得：20+2x6=20+12=32（件），

答：平均每天銷售數(shù)量為32件.

（2）解：設(shè)每件商品降價(jià)無元，則每件盈利（40-x）元，平均每天可售出（20+2x）元，依題意得：

（40-x）（20+2x）=1200,

整理得：x2-30x4-200=0,

即（x-10）（x-20）=0

解得：匕=10,x2=20,

;要讓顧客得到更大實(shí)惠，

x=20.

答：當(dāng)每件商品降價(jià)20元時(shí)，該商店每天銷售利潤(rùn)為1200元.

考點(diǎn)05：圖形面積問題

（、”列題5.我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《增刪算法統(tǒng)宗》記載“圓中方形”問題：“今有圓田一段，中間有個(gè)方池.丈

量田地待耕犁，恰好三分在記，池面至周有數(shù)，每邊三步無疑.內(nèi)方圓徑若能知，堪作算中第一.“其大意

為：有一塊圓形的田，中間有一塊正方形水池，測(cè)量出除水池外圓內(nèi)可耕地的面積恰好72平方步，從水池

邊到圓周，每邊相距3步遠(yuǎn).如果你能求出正方形邊長(zhǎng)和圓的直徑，那么你的計(jì)算水平就是第一了.如圖，

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)是x步，則列出的方程是（）

19

A."（x+3）2-》