2025年人教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)寒假提升訓(xùn)練：圓的證明題（含解析）

2024-2025學(xué)年人教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)寒假提升訓(xùn)練：圓的證明

題

1.如圖，在VA3C中，AB=AC,以48為直徑的與BC,AC分別相交于點(diǎn)。，E.

⑴求證：BD=CD-,

⑵若0。半徑為5,NCDE=50°,求扇形的面積.

2.如圖，VABC為等腰三角形，。是底邊2C的中點(diǎn)，腰與。。相切于點(diǎn)D

⑴求證：AC是0。的切線.

(2)已知：ZBAC=120°,BC=12,求。。的半徑是多少？

3.如圖，是0。的直徑，過點(diǎn)B作。。的切線點(diǎn)A、C、。分別為0。的三等分

2025年

點(diǎn)，連接AC,AD,DC,延長(zhǎng)AD交8M于點(diǎn)E,CD交AB于點(diǎn)F.

\M

⑴求證：CD//BM-,

⑵連接OE,若￡>E=〃z,求△OBE■的面積.

4.如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,以AC邊為直徑作0。交AB于點(diǎn)D,連接。。并

延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，連接。尸.

(1)求證：PD是。。的切線;

(2)若。。的半徑為3,4=30。，求PE的長(zhǎng).

5.如圖，A8是。。的直徑，AC是。。的弦，半徑CE交A3于點(diǎn)F點(diǎn)D在AB

的延長(zhǎng)線上，SLDC^DF.

c

(1)求證：DC是。。的切線;

(2)若NOEC=15。，OE=6,求圖中陰影部分的面積.

6.如圖，CD是。。的直徑，點(diǎn)尸是C。延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且相與00相切，弦ASLCD于

點(diǎn)、F,過。點(diǎn)作于點(diǎn)E.

⑴求證：AEAD=AFAD；

(2)若尸A=8,PD=4,求。。的半徑和DE的長(zhǎng).

7.如圖，在VABC中，以48為直徑的作。。，分別交AC,8C于點(diǎn)且BE=DE,連

接AE,過點(diǎn)C作CF〃AB,NCBF=NCAE.

2025年

(1)求證：B尸為。。的切線；

⑵求證：CF=CD；

(3)若CF=4,AE=4yj5,求AB的長(zhǎng).

8.如圖，是。。的直徑，弦CD〃AB,過點(diǎn)。作。。的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連

接BC,BD.

⑴求證：NE=NCBD；

(2)若AE=8,DE=4,求CD的長(zhǎng).

9.如圖，A5是。。的直徑，ODLAB交。。于點(diǎn)。，點(diǎn)C為上方0。上一點(diǎn)，連接

AC、CD,CD與AB交于點(diǎn)E,過點(diǎn)C作。。的切線C/交A3的的延長(zhǎng)線于點(diǎn)況

c

(1)求證：NFCE=NOED；

(2)若C尸=4,BF=2,求0斤的長(zhǎng).

10.如圖，在Rt^ABC的斜邊上取點(diǎn)E,以AE為直徑作。。，。。切BC于點(diǎn)。，連接AD.

4/\

(1)求證：AD平分4AC；

⑵如果AE=6,OC=4,求CE的長(zhǎng).

11.如圖，是。。的直徑，。是弦AC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，S.CD=AC,的延長(zhǎng)線交。。

于點(diǎn)E.

2025年

(1)求證：CD=CE；

(2)連接AE,若/。=26。，求154E的度數(shù).

12.如圖，VABC內(nèi)接于。。，且為。。的直徑，過點(diǎn)。作OE〃3C,交0。于點(diǎn)E,

交AC于點(diǎn)。.過A點(diǎn)作直線/交OE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，且//=/B4C.

(1)求證：直線AF與。。相切；

(2)若。尸=8,1F30?,求AO的長(zhǎng).

13.如圖，AB是。。的直徑，點(diǎn)C在。。上，連接AC,BC.作OD〃AC交。。于點(diǎn)

交于點(diǎn)E.

⑴求證：BD=CD-

(2)過點(diǎn)。作的切線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)?若CP=1,BC=4.求AC的長(zhǎng).

14.如圖，在0。中，弦40=3。，0EJL/1B于E,OH1BC^H.

⑴求證：AB=CD.

⑵若。。的半徑為5,CD=8,BC=4,求OE+C區(qū)的長(zhǎng).

15.如圖，AB為。。的直徑，C為。。上一點(diǎn)，。為AC的中點(diǎn)，過C作。。的切線交OD

的延長(zhǎng)線于E,交力B的延長(zhǎng)線于兄連E4.

2025年

(1)求證：E4與。。相切；

⑵若CE=3,CF=2,求。。的半徑.

16.如圖VABC中，ZACB=90°,BE平分—ABC交AC于點(diǎn)E,以點(diǎn)E為圓心，EC為半

徑作OE交AC于點(diǎn)?

⑴求證：AB與。E相切；

⑵若AB=15,BC=9,試求AF的長(zhǎng).

17.如圖，AB,AC分別與。。相切于B,C兩點(diǎn)，2。的延長(zhǎng)線交弦CD于點(diǎn)E,CE=DE,

連接OD.

B

A

⑴求證：ZA=ZDOE；

(2)若OD〃AC,。。的半徑為2,求AB的長(zhǎng).

18.如圖，四邊形ABC。，ZC=90°,以4B為直徑作。。，經(jīng)過點(diǎn)。，交3C于點(diǎn)E,D為

弧AE的中點(diǎn).

⑴求證：CD是。。的切線;

(2)若A2=20,BE=2CD,求陰影部分的面積.

19.如圖，在VA3C中，AB=AC,以45為直徑的0。分別交8C,AC于點(diǎn)。，E,連

接BE,OD,BE與OD交于點(diǎn)、F.

2025年

A

⑵當(dāng)/ABE=48。時(shí)，求/C3E的度數(shù).

20.如圖，A5是。。的直徑，點(diǎn)C在上.BC平分/過點(diǎn)8作應(yīng)＞_U于點(diǎn)￡).

⑴求證：CD是。。的切線；

(2)連接OD,若/ASD=60。，CD=3,求OD的長(zhǎng).

2025年

《2024-2025學(xué)年人教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)寒假提升訓(xùn)練：圓的證明題》參考答案

1.(1)見解析

⑵些無

36

【分析】本題考查了扇形面積和等腰三角形的性質(zhì)以及圓周角定理.掌握扇形的面積公式、

等腰三角形的性質(zhì)以及圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

(1)連接，根據(jù)圓周角定理的推論得到/班n=90。，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到;

(2)根據(jù)已知求出40。=50。，根據(jù)扇形面積公式即可得到答案.

【詳解】(1)證明：連接AO

為。。的直徑

:.ZADB=90°

又?.?AC=AB

:.CD=BD

(2)vZCDE=50°

Z.EDB=180°-NCDE=130°

又：四邊形ABDE內(nèi)接于

:.ZCAB+ZEDB=180°

ZCAB=180°-ZEDB=50°

VAO=BO,CD=BD

是△胡C的中位線

:.OD//AC,

:.ZBOD=ZBAC=5QP

.<_50,_125

??3南取八女八—-----71XJ2-.............71

扇形OBD36Q36

2.(1)見解析

(2)。0的半徑是3

【分析】(1)過點(diǎn)。作OELAC于點(diǎn)E,連接ODQ4,根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性

2025年

質(zhì)結(jié)合角平分線的性質(zhì)定理，得出OE=OD,即OE是0。的半徑，即證AC是。。的切線;

（2）根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可求出08=6,/3=30。，再根據(jù)含30度角的直角

三角形的性質(zhì)得出DO=；O2=3,即得出答案.

【詳解】（1）證明：過點(diǎn)。作OELAC于點(diǎn)E,連接OD,OA,

?.?△ABC為等腰三角形，。是底邊2C的中點(diǎn),

.?.AO是/BAC的平分線.

?.?AB與O相切于點(diǎn)。,

ODLAB,

:.OE=OD,即OE是0。的半徑，

二AC是。。的切線；

（2）解：：VA5C為等腰三角形，。是底邊BC的中點(diǎn),

AO是ZB4c的平分線，AO±BC,OB=6,

：.ZBAO=ZCAO=-ABAC=60°.

2

=30°.

OD±AB,

DO=-OB=3,

2

.??。0的半徑是DO=3.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)和判定，角平分線的性質(zhì)定理，含30度

角的直角三角形的性質(zhì)，連接常用輔助線是解題關(guān)鍵.

3.（1）見解析

（2）S&OBE=6府

【分析】本題主要考查了垂直平分線的判定、三角形的外心、圓切線的性質(zhì)、平行線的判定，

等邊三角形的判定與性質(zhì)、直徑所對(duì)的圓周角是直角、勾股定理、含30。角的直角三角形的

性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)推理是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)三等分點(diǎn)，得出AO=Z）C=AC，AACD內(nèi)接于。。，推出AD=OC=AC,點(diǎn)0

2025年

是AACD的外心，得出AB_LCD,根據(jù)切線的性質(zhì)，得出5E_LM,根據(jù)“同一平面內(nèi)，垂

直于同一條直線的兩條直線平行”，即可得證。0〃3加；

(2)連接08,由(1)^AD=DC=AC,ABLCD,BELAB,得出AACD是等邊三角

形，ZABE=90°,得出NC4O=60。，計(jì)算出角度NE4B=30。，ZAEB=60°,根據(jù)“直徑所

對(duì)的圓周角是直角“，得出NADB=//)E=90。，求出N￡>3E=30。，根據(jù)“30。角所對(duì)的直

角邊是斜邊的一半”，結(jié)合勾股定理，推出比=2〃z,OB=y/3m,根據(jù)三角形面積公式，計(jì)

算SAOBE=gxBExO2,得出答案即可.

【詳解】(1)證明：：點(diǎn)A、C、。為。。的三等分點(diǎn)，

AD=DC=AC>AACD內(nèi)接于。。，

AD=DC=AC,點(diǎn)。是AACD的外心，

...點(diǎn)A、。在線段C。的垂直平分線上，

C.ABLCD,

1.,過點(diǎn)B作。。的切線BM,

，BELAB,

：.CD//BM；

(2)解：如圖，連接05,

???由（1）得：AD=DC=AC,AB1CD,BE±AB,

???△ACD是等邊三角形，ZABE=90°,

：.ACAD=60°,?EAB-?CAD-^60=30?,

22

ZAEB=90°-30°=60°,

?IA5是。。的直徑，

:?ZADB=ZBDE=90。，

：.?DBE90??AEB30?,

2025年

又DE=m,

BE=2DE=2m,BD=BE2-DE2=-m2=8n,

又：在RtAADB中，ZDAB=3O°,

:.AB=2BD=2?n,OB=^AB=y/3m,

在RAOBE中，SROBE=g*BExOB—~x2mxy/3m=\f3rn2.

4.(1)見解析

(2)6A/3

【分析】(1)連接8,圓周角定理，得到NCD3=90。，斜邊上的中線得到

PB=PD=PC=-BC,進(jìn)而得到N3=N3。尸，等邊對(duì)等角，得到NA=NOZM,根據(jù)等角

2

的余角，推出/電火=90。，即可；

(2)證明△口)尸是等邊三角形，進(jìn)而推出ABDC四應(yīng))尸(ASA),得到尸E=3C,勾股定

理求出BC,即可得出結(jié)果.

【詳解】(1)證明：連接。，

CDLAB,

NCDB=90°,

:點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，

，PB=PD=PC=-BC,

2

ZB=ZBDP,

?/OD=OA,

：.ZA=Z.ODA,

:ZACB=90°,

ZB+ZA=90°,

2025年

NBDP+ZADO=90。,

：.NPDE=180°-NBDP-ZADO=90°,

'/O。是。。的半徑，

PO是0。的切線；

(2)解：NBDC=90°,ZB=30°,

：.ZPCD=60°,

由(1)知，PC=PD,

二△口)「是等邊三角形，

PD=CD,ZBCD=ZDPE=60°,

NBDC=NPDE=90。,

：.ABDC名AEDP(ASA),

：.PE=BC,

?/AC=6,

：.AB=2AC=12,

BC=7AB2-AC2=6G，

PE=BC=6A/3.

【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，切線的判定，等邊三角形的判定性質(zhì)，含30度角的直角三

角形，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵.

5.(1)證明見解析

⑵186-6萬

【分析】(1)連接OC,由等邊對(duì)等角可得/OCE=/OEC,NDCF=NDFC=NEFO,由

直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得NE+NEFO=90。，進(jìn)而可得/OB+/DCF=90。，即

ZOCD=90°,然后根據(jù)切線的判定定理即可得出結(jié)論；

(2)由三角形的內(nèi)角和定理可得=尸C=NOCE=75。，ZD=30°,由直角三角形

的兩個(gè)銳角互余可得/COD=60°,由含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得OD=2OC=U,

利用勾股定理可得CD=y]OD2-OC2=673，然后根據(jù)§陰影=S^COD~S扇形C08即可得出答案.

【詳解】(1)證明：如圖，連接OC,

2025年

OC=OE9

???ZOCE=ZOEC,

,:DC=DF,

：.ZDCF=ZDFC=ZEFO,

VOE1AB,

???ZEOF=90。,

；?/E+/EFO=90°,

：.ZOCF+ZDCF=90°,

：.NOCD=90。，

???OC是O。的半徑，

???OC是。。的切線；

(2)解：,：ZOEC=15°,NEO尸=90。，

???ZEFO=ZDFC=ZDCF=75°,

???ND=30。，

???ZCOD=6Q0,

OC=OE=6,

:.OD=2OC=n,

CD=yl0D2-0C2=6A/3>

S陰影=S?COD-S扇衫COB=1X6X673-6°^6^18A/3-6^,

即圖中陰影部分的面積為18石-6%.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊對(duì)等角，直角三角形的兩個(gè)銳角互余，切線的判定，三角形的

2025年

內(nèi)角和定理，含30度角的直角三角形，勾股定理，求其他不規(guī)則圖形的面積，三角形的面

積公式，求扇形面積等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)并能加以綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

6.(1)證明見解析

(2)6;y

【分析】(1)連接Q4,根據(jù)OA是0。半徑，AP是。。的切線得。4LAP,ZQ4E=90°,

即NE4Z)+/QW=90。，根據(jù)AB_LCD于尸得NAFD=90。，則NE4￡>+NAZ?=90。，根據(jù)

。4=。。得/。4。=44。0,即可得；

(2)在中，設(shè)。A=x,則QD=x,OP=x+2,由勾股定理可得。4?+4尸？=O尸，

,74

即無2+8?=(尤+4)一，解得x=6，則OA-6,OP=10,在AAOP中，根據(jù)等面積法可求AF=—,

1Q19

在Rt△尸。4中，由勾股定理得。方=],即可得。尸=(,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得

DE=DF=—.

5

【詳解】(1)證明：如圖，連接。4,

???。4是。0半徑，AP是。。的切線，

：.OA±APf

：.NQ4￡=90。，

即NE40+/Q4O=9O。，

TAB_LCD于凡

JZAFD=90°,

ZFAD+ZADO=90°,

'：OA=ODf

：.ZOAD=ZADO,

：.ZEAD=ZFAD；

(2)解：在RtzXAOP中，設(shè)OA=%,

2025年

OD=X,OP-x+4,

由勾股定理可得：OA2+AP2=OP-，

即f+82=(x+4)2,

得x=6,

,OA=6,OP=\0,

：AB_LCD于R

__AOAP_OPAF

??^/\AOP=2=2'

即S△3等=

AF=y,

24

在Rt△尸。4中，04=6,AF=y,由勾股定理得:

???DF=OD-OF=—,

5

「A。平分NE4P,DF±AF,DELAP,

：.DE=DF=Xj,

12

???。。的半徑為6,DE的長(zhǎng)為

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，掌

握切線的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，勾股定理，角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.(1)證明見解析

(2)證明見解析

⑶AS=10

【分析】(1)由圓中弦、弧、圓周角之間的關(guān)系，結(jié)合題意得到/8尸再由直徑

所對(duì)的圓周角是直角，利用直角三角形兩銳角互余，等量代換即可得到NCBR+NABC=90。,

從而確定8尸為。。的切線；

(2)連接2。，如圖所示，由直徑所對(duì)的圓周角是直角，得至lJ/3DC=90°,再由兩個(gè)三角

形全等的判定與性質(zhì)得到AB=AC,/ABE=NACE,BE=EC,進(jìn)而根據(jù)平行性質(zhì)及全等

三角形的判定得到ABFC沿&BDC,從而得到CF=CD；

2025年

(3)設(shè)AB=無，BE=EC=y,在RtABD。中、在中、在RtZXABE中由勾股定理

列出相應(yīng)方程，解方程組及方程即可得到答案.

【詳解】(1)證明：?.?5石=DE,

:.BE=DE，

:./CAE=NBAE,

?.?NCBF=NCAE,

:"CBF=/BAE,

?「AB為。。的直徑，

.\ZAEB=90°,

:.ZBAE+ZABC=90°f

ZCBF-^-ZABC=90°.

.?.AB_L5尸且05為。。的半徑，

為。。的切線；

(2)證明：連接50,如圖所示：

??.NBDC=9U。,

由（1）知NC4E=44E,

Y.-ZAEB=ZAEC=90°,AE=AE,

.△AEB^AAEC,

:.AB=ACf/ABE=/ACE,BE=EC,

?：CF//AB,

2025年

,\ZCFB=ZABF=90°NFCB=NCBA,

:"FCB=/DCB,

又YBCMBC,

/.△BFC^ABDC,

:.CD=CF；

（3）解：設(shè)=BE=EC=y,

CD=CF=4,AE=4A/5,

???在RM5DC中，由勾股定理可得8。2=5。2+。02,即瓦)2=4,2—16,

???在RtZXABO中，由勾股定理可得=502+4)2,即加＞2=/,

/.4y2-16=x2-(x-4)2?,

???在RtZkABE1中，由勾股定理可得即②f=/十卜石『，

由①②消去V得到4Y一卜石了-16=/-(x-4『，解得為=10,X2=-8(舍去)，

AB=10.

【點(diǎn)睛】本題考查圓綜合，涉及圓中弦、弧、圓周角之間的關(guān)系、圓周角定理、直角三角形

性質(zhì)、切線的判定、平行線性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、勾股定理、解方程(組)等知

識(shí)，熟練掌握相關(guān)幾何知識(shí)靈活運(yùn)用是解決問題的關(guān)鍵.

8.(1)證明見解析

(2)CD=y

【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵.

(1)作C。于點(diǎn)P，連接OC,OD,先由平行的性質(zhì)易得NDO尸+NDOE=90。，再

由切線的性質(zhì)得OD/OE,進(jìn)而得NE+NDOE=90。，即可得NE=NDO/，再由垂徑定理

和圓周角定理可得NCBD=g/DOC,繼而可得結(jié)論；

(2)作于點(diǎn)G,設(shè)。。的半徑為r，則Q4=OD=r,OE=8-r,由勾股定理列

2025年

方程得r+42=（8-4，解方程得r=3,進(jìn)而可得?！?、。尸的值，再由勾股定理可得DF的

值，最后由8=2。廠可得答案.

【詳解】（1）證明：作。尸，CD于點(diǎn)尸，連接OC,OD,如圖1,

???ZDFO=90°,

■:CD//AB,

：.ZDFO+ZEOF=180°,

???ZEOF=90。,

ZDOF+ZDOE=90°,

???。石是。。的切線，。是切點(diǎn)，

：.OD1DE,

：.ZE+Z￡>OE=90°,

???ZE=ZDOF9

?：OC=OD,

：.ZDOF=-ZDOC,

2

?.?ZCBD=-ZDOC,

2

???ZDOF=ZCBD,

???ZE=ZCBD；

(2)解：作DG_LAE1于點(diǎn)G,如圖2

G\BE

2025年

-：CD//AB,O'，。于點(diǎn)尸，

/.DGLCD,OF±AE,

.,?四邊形OfUD為矩形，

/.DG=OF,

設(shè)。。的半徑為「，則CM=OD=r,

VAE=8,

OE=8-r,

:在RtzXODE中，NODE=90。,DE=4,

：.r2+42=(8-r)2,

解得r=3,

：.OE=5,

'：S&ODE=^ODDE=^GDOE,

.erODDE12

OE5

...在Rt^OF。中，DF=>JOD2-OF2=|,

1Q

CD=2DF=—.

5

9.(1)見解析

(2)5

【分析】此題考查了切線的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí).

(1)連接OC,由切線的性質(zhì)得到NOCF=90。，則/。7￡+/尸?￡=90。，由OD_LAB得

到NOED+/ODE=90。，由OC=OD得到NOCE=/ODE,即可證明結(jié)論；

(2)設(shè)。。的半徑為r,則OC=QB=r,OF=OB+BF=r+2,■；利用勾股定理得到

(r+2)2=42+r2,解方程得到r=3,即可得到答案.

【詳解】(1)解：連接OC,

2025年

,/過點(diǎn)C作。。的切線CF交AB的的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

：.OC±CF,

：.NOCF=90°,

：.ZOCE+ZFCE=90°,

：8,48交。0于點(diǎn)。，

NBOD=90。,

ZOED+ZODE^90°,

"：OC=OD

：.NOCE=NODE,

：.NFCE=NOED；

(2)設(shè)。。的半徑為r,則OC=O3=r,OF=OB+BF=r+2,

在RtAOCF中,

OF2^CF2+OC2,

A(r+2)2=42+r2,

解得r=3,

OF=OB+BF=r+2=5

10.(1)見解析;

⑵CE的長(zhǎng)為2.

［分析Xl)連接OD,由切線的性質(zhì)得OD±3C,又ABL2C,則故有OD〃A3,

根據(jù)平行線的性質(zhì)可得N3AD=NO/M,再證明/Q4D=/R4D,從而求證；

(2)設(shè)CE=x,則OC=3+x,然后由勾股定理得出32+42=(無+3))再解方程并檢驗(yàn)即

可.

【詳解】（1）證明：連接OD,

2025年

:。。切BC于點(diǎn)。，

:.OD±BC,

?；ZABC=90°,

AB±BC,

：.OD//AB,

：./BAD=NODA,

'：OA=OD,

：.AODA=AOAD,

：./OAD=/BAD,

/.AD平分/R4C；

(2)解：：AE=6,

：.OD=3,

設(shè)CE=x,則OC=3+x,

在RtAOCD中，or>2+CD2=OC2,

32+42=(%+3)2,

解得不=2,無2=-8（舍），

即CE的長(zhǎng)為2.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線性質(zhì)，角平分線定義，平行線的判定和性質(zhì)，勾股定理，解一

元二次方程，解題的關(guān)鍵時(shí)熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理.

11.⑴見解析

（2）ZBAE=38°

【分析】（1）連接BC.首先證明鉆=BD,推出ZA=ZD=ZE即可解決問題；

（2）連接AE,根據(jù)Zfi4E=90O-ZABE,只要求出NABE即可.

【詳解】（1）證明：連接BC,

2025年

?：CD=AC,則5c垂直平分

AB=BD,

.\ZA=ZD,

?.?ZA=ZE,

「.ZD=NE,

CD=CE；

(2)解：連接A石，

ZABE是AABD的一個(gè)外角，

:.ZABE=ZBAC+ZD=52°,

?.?AB是。。的直徑，

:.ZAEB=90°,

.-.ZB4￡,=90°-52°=38°.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角

形的外角性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題.

12.(1)見解析

(2)273

【分析】本題考查切線的判定與性質(zhì)、圓周角定理的推論、勾股定理應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌

握相關(guān)的性質(zhì)定理，進(jìn)行證明.

2025年

(1)先證明NAOR+N尸=90。即可得出NQ4/=90。，從而證明結(jié)論；

(2)先求出。4=,0/=4,再求出。。==。4=2,利用勾股定理求出結(jié)論.

【詳解】(1)證明：???O￡〃3C,

???ZAOF=ZABC,

???A3是。。的直徑，

???ZACB=90°,即ZABC+ABAC=90°,

?；NF=/BAC,

ZAOF+ZF=90°f

ZOAF=90°,

OA±AFf

??,Q4是。。的半徑，

直線AF與。0相切；

(2)解：,：OF=8,?F30靶OAF=90?,

：.OA=-OF^4,

2

?/OE//BC,

：.ZODA=ZBCA=90°,

,：?BACIF30?,

OD=—OA=2,

2

在RtAOAD中，OD2+AD2=OA2,

22+AD2=42，

解得4。=2百，

，AD的長(zhǎng)為2石.

13.⑴見解析

(2)3

【分析】(1)根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，平行線的性質(zhì)可得出8±BC,然后根據(jù)垂

徑定理即可得證；

(2)根據(jù)切線的性質(zhì)以及(1)的結(jié)論可證明四邊形CFDE是矩形，則Z)E=CF=1,根據(jù)

垂徑定理得出BE=CE=；BC=2,在RtABOE中，根據(jù)勾股定理求出OE,然后根據(jù)三角

2025年

形中位線定理求解即可.

【詳解】(1)證明：是。。的直徑,

ZC=90°,

'：OD//AC,

：./O￡B=/C=90。，

:.OD±BC,

BD=CD；

,/DF是。。的切線，

:.ODVDF,

又OD上BC,ZBCF=1800-ZACB=90°,

四邊形CFDE是矩形，

,DE=CF=1,

?/OD1BC,BC=4,

：.BE=CE=-BC=2,

2

在RUBOE中，BO2=OE-+BE1,

A(<9E+1)2=OE2+22,

3

解得OE=5，

VBO=AO,BE=CE,

：.AC=2OE=3.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理等

知識(shí)，熟練掌握上述知識(shí)并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵.

14.⑴見解析

2025年

(2)O￡+O//=3+V21

【分析】本題主要考查弧、弦之間的關(guān)系及垂徑定理，熟練掌握弧、弦的關(guān)系及垂徑定理是

解題的關(guān)鍵；

(1)由題意易得AB=CD，進(jìn)而問題可求證；

(2)連接OB,由勾股定理，得OE=3.根據(jù)垂徑定理可進(jìn)行求解.

【詳解】(1)證明：?.?AD=3C,

AD=BC'AD+BD=BC+BD，

即AB=CD>

:.AB=CD.

由勾股定理，得OE=dOB2-EB。=,52-42=3.

同理可得OH=5.

:.OE+OH=3+向.

15.(1)見解析

⑵,

2

【分析】本題考查三線合一、切線的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握相關(guān)定理

并能利用等面積法解決問題是關(guān)鍵.

(1)連接OC,由三線合一得OELAC,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得CE=AE,證明

△OCE絲△OAE,利用全等三角形的性質(zhì)可得NQ1E=9O。即可；

(2)先利用勾股定理求得AF=4,設(shè)OA=OC=x,再根據(jù)等面積法列

』x3x4=，x5尤+』x3x即可求解.

222

2025年

【詳解】（1）證明：如圖，連接OC,

?.?￡F是。。的切線,

:.ZOCE=90°,

,.山為AC的中點(diǎn)，OC=OA,

:.OE±AC,則OE垂直平分AC,

CE-AE,

-.-OC=OA,OE=OE,

..△OCE絲AOAE'(SSS),

/OAE=NOCE=90。,

與。。相切；

(2)解：-.-CE=3,CF=2,

:.EF=5,

由(1)可知CE=AE=3,/OAE-90°,

AF=y]EF2-AE2=752-32=4，

設(shè)OA=OC=x,

?°AEAF-Q&EOFT口AEAO，

:.-AEAF=-EFOC+-AEOA

222f

—x3x4=—x5x+—x3x,

222

解得尤=:3,

3

故。。的半徑為

2

16.(1)見解析

⑵3

【分析】本題主要考查了圓與三角形綜合，熟練掌握角平分線性質(zhì)，圓切線判定和性質(zhì)，切

2025年

線長(zhǎng)定理，勾股定理，是解題的關(guān)鍵.

(1)作于點(diǎn)X,根據(jù)角平分線性質(zhì)得E"=EC,得點(diǎn)》在。E上，即得A3與。石

相切；

(2)根據(jù)勾股定理得AC=12,得AE=12-EC,根據(jù)BC是。E的切線，得BH=BC=9,

,9

得AH=6,??AH2+EH2=AE2>W62+EC2=(12-EC'),解得￡。=萬，CF=9,即得

AF=3.

【詳解】(1)證明：作EH_LAB于點(diǎn)打，

平分—ABC,ZACB=90°,

：.EC±BC,

：.EH=EC,

點(diǎn)〃在。E上，

二AB與。E相切.

(2)解：VZACB=90°,AB=15,BC=9,

AC=y/AB--BC-=12>

AE=AC-EC=12-EC,

：EC是的半徑，BC±EC,

/.BC是。E的切線，

BH=BC=9,

:.AH=AB—BH=6,

■:NAHE=90。,

AH2+EH2=AE2,

：.62+EC2=(12-EC^,

2025年

9

:.EC=-,

2

???CF=2EC=9,

???AF=AC-CF=3,

**?AF的長(zhǎng)為3.

17.（1）見解析

⑵2+20

【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，矩形的判定和性質(zhì).

（1）連接C。，由切線的性質(zhì)得NOB4+NOC4=180。，再由四邊形內(nèi)角和得

ZA+ZBOC=180°,由平角的性質(zhì)得NCOE+/3OC=180。，進(jìn)而得/COE=NA,再由垂

徑定理得NCOE=/DOE,繼而可得結(jié)論；

（2）過點(diǎn)C作（＞_L熊于點(diǎn)先由已知得四邊形CE&W是矩形，進(jìn)而得CM=3E,

BM=CE,CE//AB,結(jié)合（1）易得AOED是等腰直角三角形，進(jìn)而可得

AM=CM=BE=2+y/2,BM=CE=3,再由AB=+即可得出答案.

【詳解】（1）證明：如圖，連接CO,

,/AB,AC分別與0。相切于B,C兩點(diǎn),

AOCLAC,OBLAB,

ZOBA+ZOCA=180°,

：.ZA+ZBOC=180°,

又ZCOE+NBOC=180°,

NCOE=ZA,

VCE=DE,OC=OD,

：.OELCD,OE平分NCOD,

：.ZCOE=NDOE,

：.ZA=ZDOE；

（2）解：如圖，過點(diǎn)C作"±四于點(diǎn)

2025年

'：OB1AB,OE【CD,CM1AB,

：.ZCMB=ZBME=/BEC=ZECM=90°,

???四邊形CEW是矩形，

/.CM=BE,BM=CE,CE//AB,

：.ZA+ZACE=180°,

9：OD//AC,

：.ZACD+ZODC=180°,

???ZA=ZODCf

由(1)得NA=NDOE,

???ZODE=ZDOEf

：.OE=DE,

???△西)是等腰直角三角形，

???ZODE=ZDOE=ZA=45°f

???NAOW=45。，

：.AM=CM,

?「O。的半徑為2,即QD=QB=2,

OE=ED=CE=42,

:?AM=CM=BE=2+垃,BM=CE=C，

AB=AM+BM=2+2近.

18.(1)證明見解析

⑵〉

【分析】(1)連接OD,由AD=￡)E可得/ABO=/CBZ),進(jìn)而得/0D3=/CBD,得至I)

OD//BC,即得/ODC+NC=180。，得到/ODC=90。，即可求證；

(2)連接OE,過。作。尸，3C于點(diǎn)尸，可得BE=2BF,/OFC=NOFB=90。,即得

2025年

BF=CD,又可證四邊形OZX尸為矩形，得到C