江蘇省蘇州市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)期中試卷（含答案）

江蘇省蘇州市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)期中試卷姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三四總分評(píng)分一、單選題1．設(shè)函數(shù)f(x)=1?x2，則f(x)在A．-2 B．0 C．1 D．22．已知Cn2=28（n∈N，且n≥2A．30 B．42 C．56 D．723．設(shè)f'(x0)為函數(shù)f(x)在xA． B．C． D．4．在某項(xiàng)志愿服務(wù)中，需從來(lái)自甲、乙兩個(gè)單位的10名志愿者（甲單位6名、乙單位4名）中選出4名志愿者組成志愿者服務(wù)小組，所選4名志愿者不全來(lái)自同一個(gè)單位的選法種數(shù)為（）A．156 B．180 C．194 D．6725．在某項(xiàng)測(cè)驗(yàn)中，假設(shè)測(cè)驗(yàn)數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布N(75，16).如果按照16%，34%，34%，16%的比例將測(cè)驗(yàn)數(shù)據(jù)從大到小分為A，B，【附：隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ?σ<ξ<μ+σ)=0.A．75 B．79 C．83 D．916．?x1，x2∈[1，A．1e2 B．1e C．7．講臺(tái)上有左、右兩盒粉筆，左盒中有20支白色粉筆、5支黃色粉筆，右盒中有5支紅色粉筆、6支黃色粉筆、4支藍(lán)色粉筆.某位老師從這兩盒中取粉筆，取自左盒的概率為40%，取自右盒的概率為60%.若這位老師從這兩盒粉筆中任取一支，則取到黃色粉筆的概率為（）A．0.275 B．0.28 C．0.32 D．0.68．設(shè)a=1.A．a(chǎn)<b<c B．b<c<a C．c<b<a D．c<a<b二、多選題9．已知f'(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，其圖象如圖所示，則下列關(guān)于函數(shù)A．在(?∞，1)上單調(diào)遞減 B．在C．在x=1處取得極小值 D．在x=4處取得極大值10．在(xA．常數(shù)項(xiàng)為212 B．x3C．系數(shù)最大項(xiàng)為第3項(xiàng) D．有理項(xiàng)共有5項(xiàng)11．甲、乙兩盒中各放有除顏色外其余均相同的若干個(gè)球，其中甲盒中有4個(gè)紅球和2個(gè)白球，乙盒中有2個(gè)紅球和3個(gè)白球，現(xiàn)從甲盒中隨機(jī)取出1球放入乙盒，再?gòu)囊液兄须S機(jī)取出1球.記“從甲盒中取出的球是紅球”為事件A，“從甲盒中取出的球是白球”為事件B，“從乙盒中取出的球是紅球”為事件C，則（）A．A與B互斥 B．A與C獨(dú)立 C．P(C|A)=12 12．設(shè)函數(shù)f(x)=eA．fB．函數(shù)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(?1，1eC．函數(shù)f(x)既存在極大值又存在極小值，且其極大值大于其極小值D．方程f(x)=k有兩個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為(0三、填空題13．用0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，在組成的四位數(shù)中，能被5整除的有個(gè).14．寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)f(x)=.①定義域?yàn)镽，函數(shù)值不恒為0，且圖象是條連續(xù)不斷的曲線；②?x∈R，f(?x)+f(x)=0；③f'(x)為函數(shù)15．在下圖中，從第2行起，除首末兩個(gè)位置外，每個(gè)位置上的數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)的和，最初幾行是：自左向右，第n行第i+1個(gè)數(shù)記為Cni（n，i∈N且i≤n）.若C15k=C152k?3（n，k∈N且k≤n），則k的值為16．已知函數(shù)f(x)=lnx，g(x)=12x四、解答題17．從4名男生和2名女生中任選2人參加演講比賽，（1）至少選到1名女生的的方法有多少種?（2）設(shè)隨機(jī)變量X表示所選2人中女生的人數(shù)，求X的分布列及期望、方差.18．在①只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；②第5項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等；③奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為512；這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答.已知(2x?1)n注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.（1）求a1（2）求a119．將一個(gè)邊長(zhǎng)為1米的正六邊形鐵皮的六個(gè)角截去六個(gè)全等的四邊形，再把它沿虛線折起（如圖），做成一個(gè)無(wú)蓋的正六棱柱鐵皮盒.（1）試把這個(gè)正六棱柱鐵皮盒的容積V表示為盒底邊長(zhǎng)x的函數(shù)；（2）x多大時(shí)，盒子的容積V最大?20．近年來(lái)，我國(guó)電影市場(chǎng)非?；鸨?，有多部?jī)?yōu)秀國(guó)產(chǎn)電影陸續(xù)上映，某影評(píng)網(wǎng)站統(tǒng)計(jì)了100名觀眾對(duì)某部電影的評(píng)分情況，得到如下表格：評(píng)價(jià)等級(jí)★★★★★★★★★★★★★★★人數(shù)23101075以表中各評(píng)價(jià)等級(jí)對(duì)應(yīng)的頻率作為各評(píng)價(jià)等級(jí)對(duì)應(yīng)的概率，假設(shè)每個(gè)觀眾的評(píng)分結(jié)果相互獨(dú)立.從全國(guó)所有觀眾中隨機(jī)抽取4名，（1）求恰有3人評(píng)價(jià)為五星，1人評(píng)價(jià)為四星的概率；（2）記其中評(píng)價(jià)為五星的觀眾人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.21．已知函數(shù)f(x)=x（1）求f(x)的極值；（2）設(shè)曲線f(x)在點(diǎn)T(t，f(t))處的切線為l，記l在y軸上的截距為b=g(t)，當(dāng)l的斜率為非負(fù)數(shù)時(shí)，求22．已如函數(shù)f(x)=e（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)a=1時(shí)，求證：函數(shù)f(x)存在極小值點(diǎn)x0，且f(

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】f(x)=1?x2，f'故答案為：A

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，瞬時(shí)變化率的定義求解，即可得答案.2．【答案】C【解析】【解答】因?yàn)镃n2=28，所以n(n?1)2=28所以An故答案為：C

【分析】由已知結(jié)合排列數(shù)及組合數(shù)公式即可求解出答案.3．【答案】D【解析】【解答】結(jié)合圖象根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得：對(duì)于A：由圖可得f'對(duì)于B：由圖可得f'對(duì)于C：由圖可得f'對(duì)于D：由圖可得f'故答案為：D.

【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得f'(x0)4．【答案】C【解析】【解答】所選4名志愿者來(lái)自同一單位的共有C6同一個(gè)單位的選法種數(shù)為C10故答案為：C

【分析】先求出所選的4名志愿者來(lái)自于一個(gè)單位的結(jié)果數(shù)，然后用總數(shù)去掉不符合條件的情況即可求解出答案.5．【答案】B【解析】【解答】設(shè)測(cè)驗(yàn)數(shù)據(jù)為X，依題意X～N(75，16)，則μ=75，設(shè)等級(jí)為A的測(cè)驗(yàn)數(shù)據(jù)的最小值為a，則P(X≥a)=0.因?yàn)镻(μ?σ<ξ<μ+σ)=0.6826，所以所以P(X≥79)≈0.1587，所以故答案為：B

【分析】設(shè)測(cè)驗(yàn)數(shù)據(jù)為X，依題意X～N(75，16)，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)可得6．【答案】B【解析】【解答】因?yàn)?x1，x2即lnx1?令h(x)=lnx?ax，x∈[1，e]，則即h(x)=lnx?ax在[1，又h'(x)=1x?a所以a≤1x在[1，e]上恒成立，因?yàn)樗詆(x)min=g(e)=1e，所以a≤故答案為：B

【分析】令h(x)=lnx?ax，x∈[1，e]，求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可得g(x)=1x在[1，7．【答案】C【解析】【解答】p=40%故答案為：C

【分析】利用全概率公式進(jìn)行求解，可得答案.8．【答案】A【解析】【解答】ln令f(x)令f'(x)當(dāng)0<x<e時(shí)，f'所以f(x)所以f所以lna<lnb令g(x)令g'(x)=0當(dāng)0<x<1時(shí)，g'當(dāng)x>1時(shí)，g'所以g(x)在(0所以g(x)≤g(1)=ln因?yàn)閘n所以b<e，即所以a<b<c.故答案為：A.

【分析】令f(x)=lnxx，，求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)可得f(x)9．【答案】B,D【解析】【解答】由題意可得：當(dāng)x<4時(shí)，f'(x)≥0；當(dāng)x>4時(shí)，所以f(x)在(?∞，4)上單調(diào)遞增，在(4，+∞)上單調(diào)遞減，則A不符合題意，B符合題意，C不符合題意，D符合題意；故答案為：BD.

【分析】由f'(x)的圖像可知10．【答案】B,C,D【解析】【解答】(x?1對(duì)于A：令9?3r2=0，解得r=3，可得即常數(shù)項(xiàng)為?21對(duì)于B：令9?3r2=3，解得r=1，可得即x3項(xiàng)的系數(shù)為?對(duì)于C：由通項(xiàng)公式可得：第r+1項(xiàng)的系數(shù)為ar當(dāng)r為偶數(shù)時(shí)，ar>0；當(dāng)r為奇數(shù)時(shí)，取r為偶數(shù)，令ar≥a整理得3r2+29r?64≥0所以系數(shù)最大項(xiàng)為第3項(xiàng)，C符合題意；對(duì)于D：令9?3r2∈Z，則所以有理項(xiàng)共有5項(xiàng)，D符合題意；故答案為：BCD.

【分析】由題意，利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，逐項(xiàng)進(jìn)行判斷，可得答案.11．【答案】A,C,D【解析】【解答】對(duì)A：A與B是互斥事件，正確；對(duì)B：P(A)=46=23P(A)?P(C)≠P(AC)，錯(cuò)誤；對(duì)C：P(C|A)=P(AC)對(duì)D：P(C)=4故答案為：ACD

【分析】根據(jù)互斥事件的定義，條件概率公式，全概率公式，即可求解出答案.12．【答案】A,D【解析】【解答】由題意可知f對(duì)于A，由f'(x對(duì)于B，設(shè)切點(diǎn)為(切線方程y?ex0(2+1x令h所以函數(shù)f(x)在(?1，1e)因?yàn)閔(12所以存在x0∈(1所以過(guò)點(diǎn)(?1，1e)的直線與函數(shù)f(x)所以過(guò)點(diǎn)(?1，1對(duì)于C，f(x)的定義域?yàn)??∞令f'(x)=0，當(dāng)x∈(?∞，?1)∪(當(dāng)x∈(?1，0)∪(0所以f(x)在(?∞，?1)和(12，當(dāng)x=?1，時(shí)，f(x)取得極大值為f(?1)=當(dāng)x=12，時(shí)，f(x)因?yàn)?所以極大值小于極小值，C不符合題意；對(duì)于D，由C選項(xiàng)知，作出f(x)的圖象如圖所示要使方程f(x)=k有兩個(gè)不等實(shí)根，只需要y=k與f(x)有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖可知，k∈(0所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為(0，故答案為：AD.

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則及初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，利用導(dǎo)數(shù)值的定義及求過(guò)點(diǎn)處的切線方程的步驟，結(jié)合導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的極值的步驟及將方程f(x)=k有兩個(gè)不等實(shí)根轉(zhuǎn)化為y=k與f(x)有兩個(gè)交點(diǎn)，再利用數(shù)形結(jié)合即可求解，逐項(xiàng)進(jìn)行判斷，可得答案.13．【答案】108【解析】【解答】若個(gè)位為0，則有A53=60個(gè)，若個(gè)位為5綜上可得組成的四位數(shù)中，能被5整除的有60+48=108個(gè).故答案為：108

【分析】分末位是數(shù)字0和末位是數(shù)字5兩種情況討論，利用排列組合知識(shí)，結(jié)合計(jì)數(shù)原理得到答案.14．【答案】sinx+x【解析】【解答】取f(x)=sin函數(shù)定義域?yàn)镽，函數(shù)值不恒為0，且圖象是條連續(xù)不斷的曲線；f(?x)=sinf'故答案為：sin

【分析】取f(x)=sinx+x，根據(jù)已知條件，結(jié)合奇偶函數(shù)的定義判定出函數(shù)為奇函數(shù)，可得15．【答案】3或6；1819【解析】【解答】C15k=C152k?3，則k=2k?3，k=3或k+2k?3=15，C=C故答案為：3或6；1819

【分析】由已知結(jié)合組合數(shù)公式的性質(zhì)即可求解出答案.16．【答案】[?【解析】【解答】∵f(x)=lnx，則設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)A(x1，ln故切線方程為y?lnx1又∵g(x)=12x設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)B(x2，故切線方程為y?(12x由題意可得1x1=構(gòu)建F(x)=12x∵x>0，可得x+1>0，令F'(x)>0，解得x>1；令F'∴F(x)在(1，+∞)上單調(diào)遞增，在(0，當(dāng)x趨近于0時(shí)，F(xiàn)(x)趨近于正無(wú)窮大，當(dāng)x趨近于正無(wú)窮大時(shí)，F(xiàn)(x)趨近于正無(wú)窮大，可得F(x)的值域?yàn)閇?12，故答案為：[?1

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析可得12x217．【答案】（1）解：從4名男生和2名女生中任選2人有C62種方法，不含女生的方法C4（2）解：隨機(jī)變量X的可能取值為0，PPP故X的分布列為X012P681所以ED【解析】【分析】(1)利用間接法及組合數(shù)公式即可求解出至少選到1名女生的的方法數(shù)；

(2)根據(jù)已知條件求出隨機(jī)變量的取值，求出對(duì)應(yīng)的概率，即可得出隨機(jī)變量的分布列，利用隨機(jī)變量的期望公式及方差公式即可求解出X的分布列及期望、方差.18．【答案】（1）解：二項(xiàng)式(2x?1)n的展開式第r+1項(xiàng)為Tr+1=Cnr(2x)選擇①，因?yàn)檎归_式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以在Cnr（n，r∈N且r≤n）中只有Cn選擇②，因?yàn)檎归_式中的第5項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以Cn4=選擇③，因?yàn)檎归_式中的奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為512，所以Cn0+所以(2x?1)n=在(*)式中令x=0，得(2×0?1)10=a在(*)式中令x=12，得(2×1所以a1（2）解：對(duì)(*)式兩邊求導(dǎo)得10×(2x?1)令x=1，得10×(2×1?1)9×2=所以a1【解析】【分析】(1)選①②③時(shí)，求出n=10，利用展開式和賦值法求出結(jié)果即可；

(2)利用函數(shù)的求導(dǎo)和賦值法求出結(jié)果.19．【答案】（1）解：如圖，易得MN=CD=x，(0<x<1)，AC=1?x2，則盒子的高所以盒子的底面積S=6S所以盒子的容積V=Sh=332（2）解：由（1）可得V(x)=94x所以V'(x)=94(2x?3x2所以當(dāng)0<x<23時(shí)V'當(dāng)23<x<1時(shí)V'所以當(dāng)x=23時(shí)所以當(dāng)x=2【解析】【分析】(1)正六棱柱鐵皮盒的底面邊長(zhǎng)為x(0<x<1)，求出正六棱柱容器的高，表示出正六棱柱容器的容積V表示為盒底邊長(zhǎng)x的函數(shù)；

(2)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)V(x)的最值.20．【答案】（1）解：依題意樣本中抽取1人，評(píng)價(jià)為五星的頻率為P5=75所以從全國(guó)所有觀眾中隨機(jī)抽取4名，恰有3人評(píng)價(jià)為五星，1人評(píng)價(jià)為四星的概率P=C（2）解：依題意X的可能取值為0、1、2、3、4，且X～B(4，所以P(X=0)=C40P(X=2)=C42P(X=4)=C所以隨機(jī)變量X的分布列為：X01234P13272781所以E(X)=4×3【解析】【分析】(1)首先求出評(píng)價(jià)為五星、四星的頻率，再根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算即可；

(2)依題意可得X～B(4，21．【答案】（1）解：因?yàn)閒(x)=x2+x?1f'令f'(x)=0，解得x1所以f'(x)、x(?∞?1(?12(2f?0+0?f(x)單調(diào)遞減極小值?e單調(diào)遞增極大值5單調(diào)遞減所以當(dāng)x=?1時(shí)f(x)取極小值，即f(x)極小值=?e，當(dāng)x=2時(shí)f(x)（