四川省成都市蓉城名校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)期中考試試題（含答案）

四川省成都市蓉城名校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)期中考試試題姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三四總分評(píng)分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，aA．2 B．3 C．12 D．2．已知limΔx→0f(x0+Δx)?f(A．?3 B．3 C．?6 D．63．在數(shù)列{an}中，an=1?1aA．2 B．12 C．?124．下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A．(1x)C．(x?1x5．函數(shù)y=f(x)在定義域(?32,3)內(nèi)可導(dǎo)，記y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)為A．(?32,?13)C．(?1,?13)，(436．已知數(shù)列{an}滿足：an=(3?a)n?3,n<7aA．2 B．157 C．1677．已知f(x)=xex，g(x)=?(x+1)2+a，若?x1A．[e,+∞) B．(?∞,e] C．8．如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》中，后人稱為“三角垛”，“三角垛”最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，第四層有10個(gè)球，…….，設(shè)從上往下各層的球數(shù)構(gòu)成數(shù)列{an}A．20252026 B．20251013 C．40462025二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求；全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．公差為d的等差數(shù)列{an}，其前n項(xiàng)和為Sn，A．d<0 B．a(chǎn)C．{Sn}中S810．已知函數(shù)f(x)=xA．當(dāng)m≥0時(shí)，f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)B．當(dāng)m=1，n=1時(shí)，f(x)有三個(gè)零點(diǎn)C．當(dāng)m=1，n=1時(shí)，直線y=?3x是曲線f(x)的切線D．當(dāng)m=1時(shí)，若f(x)在區(qū)間[?1,c]上的最大值為2+n11．意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，…….，其中從第三項(xiàng)起，每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，后來(lái)人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列{an}稱為“斐波那契數(shù)列”.已知數(shù)列{bn}，b1=1，b2=2，A．bB．SC．bD．a(chǎn)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．曲線y=sinx+cosx在點(diǎn)13．?dāng)?shù)列{an}滿足a1=3，an+114．已知函數(shù)f(x)是定義在(?∞,0)∪(0,+∞)上的偶函數(shù)，且f(x)>0，其導(dǎo)函數(shù)為f'(x)，且x<0時(shí)，2f(x)+xf'(x)<0恒成立，a=f(?4)，b=f(5)，c=f(?6)四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，點(diǎn)M為PC邊上一點(diǎn)，DM⊥PC，PA=AD=2.（1）證明：平面MBD⊥平面PCD；（2）求二面角M?BD?C的余弦值.16．已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），P（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過右焦點(diǎn)F且斜率為1的直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)P為直線x=4上任意一點(diǎn)，求證：直線PM，PF，PN的斜率成等差數(shù)列．17．已知函數(shù)f(x)=ln（1）若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線斜率為?1，求m的取值和曲線y=f(x)在點(diǎn)（2）求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[2,18．已知數(shù)列{an}滿足：a（1）求數(shù)列{a（2）設(shè)bn=15n+1(1?an)(1?an+1)（19．?dāng)?shù)列{an}滿足a1=（1）計(jì)算a2，a3，猜想數(shù)列（2）求數(shù)列{an(n+1)（3）設(shè)bn=2an（n∈N*），數(shù)列{b

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：因?yàn)閿?shù)列{an}各為正項(xiàng)等比數(shù)列，即an>0，且a3a8=82．【答案】D【解析】【解答】解：因?yàn)閒'x0=limΔx→0f(x0+Δx)?f(x03．【答案】B【解析】【解答】解：因?yàn)閍n=1?1an?1（n≥2），且a1=2，

則a2=1?1a1=4．【答案】A【解析】【解答】解：對(duì)于A：(1x)'=(x-12)'=-12x-5．【答案】B【解析】【解答】解：由圖可知當(dāng)且僅當(dāng)?1<x<12或43<x<83時(shí)，f'故答案為：B.【分析】導(dǎo)數(shù)恒正的范圍即增區(qū)間.6．【答案】C【解析】【解答】解：若數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，則3-a>0a>115-6a<a，解得157<a<3，

7．【答案】C【解析】【解答】解：由題意可知[f(x)]min因?yàn)閒(x)=xex，則f'(x)=(x+1)ex，ex>0，所以令所以f(x)在(?∞,?1)上單調(diào)遞減，在(?1,又因?yàn)間(x)=?(x+1)2+a可得a≥?1e，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是故答案為：C.【分析】由題意可知[f(x)]min≤[g(x)]max，利用導(dǎo)數(shù)求8．【答案】B【解析】【解答】解：由題意知a1=1，a2=1+2，所以1a所以1=2×(1?12026)=20251013.

9．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：因?yàn)镾13=13a7>0，S14=7a1+a14=7a7+a8<0，

即a7>0，a7+a8<0，可知a7>0，a8<0，故B正確；

所以d=a8-a710．【答案】B,D【解析】【解答】解：對(duì)于A：當(dāng)m=0時(shí)，f(x)=x3+n，可知f(x)所以m=0時(shí)，f(x)無(wú)極值點(diǎn)，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B：當(dāng)m=1，n=1時(shí)，f(x)=x3?3x+1令f'(x)>0，得到x<?1或x>1；令f'可知f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(?∞,且f(?1)=3>0，f(當(dāng)x趨近于?∞時(shí)，f(x)趨近于?∞，當(dāng)x趨近于+∞時(shí)，f作出f(x)對(duì)于C：當(dāng)m=1，n=1時(shí)，f(x)=x3?3x+1令f'(x)=3x可得f(0)=1，即切點(diǎn)為(0,1)，但(0,所以y=?3x不是曲線f(對(duì)于D：當(dāng)m=1時(shí)，f(x)=x由選項(xiàng)B可知：f(x)在(?∞,?1)令x3?3x+n=2+n，整理得(x+1)2又f(x)在區(qū)間[?1,c]上的最大值為2+n，所以故答案為：BD.【分析】對(duì)于A：根據(jù)冪函數(shù)單調(diào)性分析判斷；對(duì)于B：利用導(dǎo)數(shù)判斷f(x)11．【答案】C,D【解析】【解答】解：A、易知1，2，3，5，8，13，所以b6B、S2025C、b=bD、∵bn∴a故答案為：CD.【分析】由{bn}得b6=13，判斷A；計(jì)算可得S12．【答案】x+y+1?5π=0【解析】【解答】解：因?yàn)閥=sinx+cosx，則y'=cosx-sinx，可知y'|x=5π=-1，

即切點(diǎn)坐標(biāo)為(5π,?1)，切線斜率為k=-1，

所以切線方程為13．【答案】60【解析】【解答】解：因?yàn)閍1=3，an+1?an=2n?1，

則a2?a1=2?1，a3?a2=214．【答案】a>b>c【解析】【解答】解：令F(x)=x2f(x)因?yàn)楫?dāng)x<0時(shí)，2f(x)+xf'(x)<0可知F(x)在(?∞,又因?yàn)閒(x)則F(?x)=(?x)2f(?x)=則F(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，可得即16f(4)>25f(5)>35f(6)，因?yàn)閒(x)>0，可得f(4)f(5)>25所以f(4)>f(5)>f(6)，又因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以f(?4)>f(5)>f(?6).故答案為：a>b>c．【分析】構(gòu)建函數(shù)F(x)=x2f(x)，結(jié)合題意分析可知F(x)為偶函數(shù)，在(?∞,0)上單調(diào)遞增，在(015．【答案】（1）證明：如圖所示，連接AC，BD，因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形，所以BD⊥AC，因?yàn)镻A⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，所以PA⊥BD，又PA∩AC=A，PA，AC?平面PAC，所以BD⊥平面PAC，又PC?平面PAC，所以BD⊥PC，由題得DM⊥PC，且DM∩BD=D，DM，BD?平面MBD，則PC⊥平面MBD，又PC?平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD；（2）解：如圖，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，點(diǎn)D豎直向上方向所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，D(0,0,0)，A(2,0,因?yàn)镈M⊥PC，所以由勾股定理可得DM即8?PM2且PM+MC=PC=PC聯(lián)立①②兩式，可得PM=433=23PC所以M(23,43由題意可知，AP=(0,0設(shè)平面MBD的法向量為n=(x有DM?n=設(shè)二面角M?BD?C為θ，則cosθ=所以二面角M?BD?C的余弦值為33【解析】【分析】（1）連接AC，BD，可證得BD⊥平面PAC，進(jìn)而得BD⊥PC，結(jié)合已知可證PC⊥平面MBD；（2）以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，點(diǎn)D豎直向上方向所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面MBD的一個(gè)法向量為n=(1,?1,1)，又AP16．【答案】（1）解：根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，必過點(diǎn)P1(?1,32代入點(diǎn)P3(0,?3)得，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2（2）證明：設(shè)M(x1,y1設(shè)直線MN的方程為：y=x?1，由y=x?1x24Δ>0，x1+xk===2×(?因?yàn)閗PF=n所以直線PM，PF，PN的斜率成等差數(shù)列．【解析】【分析】(1)分析可知橢圓必過P1(?1,32)，P2(1,32)，必不過點(diǎn)17．【答案】（1）解：因?yàn)閒(x)=lnx?mx，所以則k=f'(1)=1?m=?1，∴f(x)=lnx?2x，則切線方程為y+2=?(x?1)，整理得x+y+1=0；（2）解：由f'(x)=1x?m，因?yàn)閙>0當(dāng)0<x<1m時(shí)，f'(x)>0，當(dāng)故函數(shù)f(x)在(0,1m①當(dāng)1m≤2，即m≥12時(shí)，函數(shù)所以f(x)在區(qū)間[2,3]上的最小值為②當(dāng)1m≥3，即0<m≤13時(shí)，函數(shù)所以f(x)在區(qū)間[2,3]上的最小值為③當(dāng)2<1m<3，即13<m<12又f(3)?f(2)=ln所以當(dāng)13<m<ln32時(shí)，當(dāng)ln32≤m<12綜上可知，當(dāng)0<m<ln32時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值為當(dāng)m≥ln32時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值為【解析】【分析】(1)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得m=2，進(jìn)而可得切點(diǎn)坐標(biāo)和切線方程；

(2)求導(dǎo)可知f(x)的單調(diào)性，分類討論y=f(x)在[2,18．【答案】（1）解：a1+5a1+5a2+①－②得5n?1an∴an=1當(dāng)n=1時(shí)，a1∴an=2（2）解：當(dāng)n=1時(shí)，b1S1當(dāng)n≥2時(shí)，b=S==5∵14×1綜上所述，Sn【解析】【分析】(1)分析可知5n?1an的前n項(xiàng)和為n+15，根據(jù)通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的關(guān)系分析求解；19．【答案】（1）由題意可得a2=1猜想：an=n證明：由an+1=1所以1an+1?1所以1an+1?1數(shù)列{1an?1}所以1an?1（2）解：設(shè)cn設(shè){an(n+1)?3nTn=1×3Tn①－②得，?2Tn所以{an(n+1)?3n（3）解：bnSn要證Sn只需證2n?2(1即證12方法一：設(shè)f(n)=lnn+2只需證明f(n)的最大值小于0，作差得f(n+1)?f(n)=lnn+3構(gòu)造函數(shù)g(x)=ln(1+x)