2025年上海高考數(shù)學復習熱點題型專練：空間向量與立體幾何 （十大題型） （原卷版）

熱點題型?選填題攻略

專題08空間向量與立體幾何（十大題型）

o------------題型歸納?定方向-----------?>

題型012021-2024年高考+春考真題.............................................................1

題型02空間向量的運算.......................................................................3

題型03求幾何體的表面積與體積...............................................................3

題型04空間的位置關(guān)系........................................................................4

題型05空間向量基本定理......................................................................5

題型06立體幾何、導數(shù)結(jié)合的實際應(yīng)用.........................................................5

題型07空間向量數(shù)量積的應(yīng)用（含難點）.......................................................8

題型08個數(shù)、種類等問題......................................................................8

題型09軌跡、圍成面積等問題.................................................................9

題型10空間向量與立體幾何選擇題綜合辨析....................................................9

?>-----------題型探析?明規(guī)律-----------*>

【解題規(guī)律?提分快招】

"「而丙基藪霸的造義如「夏茶w寫丁皈藪豆枳「需巨痢加一區(qū)甬寫下而莢鬲后為面有笑「二

I定要根據(jù)方向正確判定夾角的大小，才能使a-b計算準確.

I2、利用向量法證明平行、垂直關(guān)系，關(guān)鍵是建立恰當?shù)淖鴺讼担ūM可能利用垂直條件，準確寫出相關(guān)點的坐

"示，進而用向量表示涉及到直線、平面的要素）.

|3、向量證明的核心是利用向量的數(shù)量積或數(shù)乘向量，但向量證明仍然離不開立體幾何的有關(guān)定理.

14、多面體的表面積是各個面的面積之和.

|5、旋轉(zhuǎn)體的表面積是將其展開后，展開圖的面積與底面面積之和.

16、組合體的表面積求解時注意對銜接部分的處理.

|7、題源注明：立體幾何與導數(shù)結(jié)合的實際應(yīng)用中，選用適量解答題來練習填選題

題型0]2021-2024年高考+春考真題

【典例1-1].（2024?上海）定義一個集合。，集合元素是空間內(nèi)的點集，任取B，P2,Re。，存在不全

為0的實數(shù)即，刖，k3,使得入1而7+入。詞+人々砥=3.已知（I，0,0）GQ,貝U（0,0,1）

0的充分條件是（）

A.（0,0,0）GQB.（-1,0,0）GQ

C.（0,1,0）GQD.（0,0,-1）GQ

【典例1-2].（2024?上海）已知四棱柱底面N8CD為平行四邊形，，小=3,8。=4且

AF[-BC-AD-J-DC=5-求異面直線441與AD的夾角-

【典例1-3].（2023?上海）空間中有三個點/、B、C,且/3=8C=C/=1,在空間中任取2個不同的點

D,E（不考慮這兩個點的順序），使得它們與/、3、C恰好成為一個正四棱錐的五個頂點，則不同的取

法有種.

【典例1-4].（2023?上海）如圖所示，在正方體N2CD-431cbDi中，點尸為邊4cl上的動點，則下列

直線中，始終與直線8尸異面的是（）

A.DDiB.ACC.ADXD.BXC

【典例1-5].（2022?上海）如圖正方體48CD-小841。1中，P、。、R、S分別為棱48、BC、BB】、CD

的中點，連接小S,BiD.空間任意兩點M、N,若線段九W上不存在點在線段為5、81。上，則稱

兩點可視，則下列選項中與點）可視的為（）

A.點PB.點3C.點、RD.點。

【典例1-6】.（2022?上海）上海海關(guān)大樓的頂部為逐級收攏的四面鐘樓，如圖，四個大鐘分布在四棱柱的

四個側(cè)面，則每天0點至12點（包含0點，不含12點）相鄰兩鐘面上的時針相互垂直的次數(shù)為（）

A.0B.2C.4D.12

【典例1-7】.（2021?上海）已知圓柱的底面圓半徑為1,高為2,N3為上底面圓的一條直徑，C是下底面

圓周上的一個動點，則A48C的面積的取值范圍為.

【典例1-8】.（2021?上海）已知圓柱的底面半徑為1,高為2,則圓柱的側(cè)面積為

題型02空間向量的運算

【典例2-1】例2024?上海徐匯?一模）已知向量2=（2,5,1）4=（4,弧5）,若鼠刃=3，則實數(shù)用的值為.

【變式2-1].（24-25高三上?上海寶山?期中）已知向量）=（-2,1,1）,彼=（1,1,0）,則）在B方向上的投影向

量為.

【變式2-2].（2025?上海高考復習?專題練習）已知空間單位向量b，工兩兩垂直，則歸-彼+,卜（）

A.V3B.V6C.3D.6

題型03求幾何體的表面積與體積

【典例3-1】.（2024?上海虹口?一模）若某圓錐的底面半徑為1,高為1,則該圓錐的側(cè)面積為.（結(jié)

果保留兀）

【典例3-2】?（24-25高三上?上海松江?期末）已知一個圓錐的底面半徑為3,其側(cè)面積為15兀，則該圓錐的

高為,

【變式3-1】.（24-25高三上?上海?期中）若一個圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為景且半徑為5的扇形，則它

的體積為.

【變式3-2】.（2024?上海寶山?一模）將棱長為2的正四面體繞著它的某一條棱旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體

積為.

【變式3-3】.（2024?上海青浦?一模）已知圓柱M的底面半徑為3,高為g,圓錐N的底面直徑和母線長

相等.若圓柱M和圓錐N的體積相同，則圓錐N的底面半徑為.

【變式3-4】.（2024?上海徐匯?一模）徐匯濱江作為2024年上海國際鮮花展的三個主會場之一，吸引了廣

大市民前往觀展并拍照留念.圖中的花盆是種植鮮花的常見容器，它可視作兩個圓臺的組合體，上面圓臺的

上、下底面直徑分別為30cm和26cm,下面圓臺的上、下底面直徑分別為24cm和18cm,且兩個圓臺側(cè)面展

開圖的圓弧所對的圓心角相等.若上面圓臺的高為8cm,則該花盆上、下兩部分母線長的總和為cm.

【變式3-51.（2024?上海?三模）如圖，矩形4BCD中，E為/。的中點，AB=\,BC=2,連接防,

EC,若△8EC繞直線/￡＞旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的表面積為.

B

【變式3-6】.（24-25高三上?上海松江?開學考試）正方體/BCD-44GA的棱長為2,P為棱CQ的中點,

△BPD、以BDX為軸旋轉(zhuǎn)一周，則得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積是.

【變式3-7].（2024?上海奉賢?三模）如圖，已知三角形048為直角三角形（。為直角），分別連接點B與

線段。/的〃等分點4，4,…，4-得到"個三角形依次為々，…，將繞看所在直線旋

轉(zhuǎn)一周，記、，勺，…，△，旋轉(zhuǎn)得到的幾何體的體積依次為匕，匕，…，匕，若匕=1,匕=49,則三角形

OAB旋轉(zhuǎn)得到的幾何體的體積V=.

題型04空間的位置關(guān)系

【典例4-1].（24-25高三上?上海楊浦?開學考試）已知a,P，/是不同的平面，/,〃?，〃是不同的直線,

下列命題中：

（1）若a_L/，aCl萬=/,m±l,則機_L4；

（2）若a〃/7,mua,nu/3,則血/〃；

（3）若/_La,PV\y=m,H/m,則a_L4且a_L7；

（4）若a，4，丫[B，aPl7=/,貝i]/_L￡,

所有真命題的序號是.

【典例4-2].（24-25高三上?上海金山?期末）已知某圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為&兀，半徑為2的扇形，

則該圓錐的母線與底面所成角的大小為.

【變式4-1].（2024?上海虹口?一模）如圖，已知正三角形4BC和正方形3cDE的邊長均為2,且二面角

JT____.

的大小為工，則就?麗=

6

【變式4-2].（15-16高三下?上海?階段練習）設(shè)J為隨機變量，從邊長為1的正方體12條棱中任取兩條,

當兩條棱相交時，4=0;當兩條棱異面時，。=1;當兩條棱平行時，J的值為兩條棱之間的距離，則數(shù)學

期望第=

題型05空間向量基本定理

【典例5-1】?（24-25高二上?上海?期中）已知空間非零向量￡、?、c，則下列命題中正確的是（）

A.若￡、b,1共面，則￡、?、c，中至少存在一對向量平行；

B.若]=xB+刀（x,yeR）,那么）與g、1共面；

C.若￡、吞、c，不共面，那么￡、務(wù)、）所在直線中至少存在兩條直線異面；

D.若入馬、屋不共面，那么￡、方、）所在直線中不可能存在兩條直線異面.

【變式5-1】.（24-25高二上?上海寶山?階段練習）在正四面體尸4BC中，PA=PB=3,點M滿足

PM=xPA+yPB+（2-x-y）PC,貝的最小值為（）

A.殍B.&C?粵D.2幾

題型06立體幾何、導數(shù)結(jié)合的實際應(yīng)用

【典例6-1].（23-24高三上?上海寶山?期末）有一矩形硬紙板材料（厚度忽略不計），一邊長為6分米，

另一邊足夠長.現(xiàn)從中截取矩形（如圖甲所示），其中?！陜禾锸且浴閳A心，/￡。尸=120。的扇形，且

弧赤，初分別與邊8C,相切于點M,N.剪去圖中的陰影部分，剩下的部分恰好能折卷成一個底面是弓

形的柱體包裝盒（如圖乙所示，重疊部分忽略不計）.

（1）當BE長為1分米時，求折卷成的包裝盒的容積；

（2）當BE的長是多少分米時，折卷成的包裝盒的容積最大？

【典例6-2】.（2025?上海高考復習?專題練習）某市一特色酒店由一些完全相同的帳篷構(gòu)成.每座帳篷的體

積為54萬米）且分上、下兩層，其中上層是半徑為21）米的半球體，下層是底面半徑為廠米，高為〃米的

圓柱體（如圖）.經(jīng)測算，上層半球體部分每平方米的建造費用為2千元，下層圓柱體的側(cè)面、隔層和地面三

個部分每平方米的建造費用均為3千元，設(shè)每座賬篷的建造費用為y千元.

（圖。

（1）求y關(guān)于，的函數(shù)解析式，并指出該函數(shù)的定義域；

（2）當半徑7-為何值時，每座帳篷的建造費用最??？并求出最小值.

【變式6-1】.（23-24高三上?上海浦東新?期中）圖①是高橋中學的校門，它由上部屋頂，和下部兩根立柱

組成，如圖②，屋頂由四坡屋面構(gòu)成，其中前后兩坡屋面化和CDE尸是全等的等腰梯形，左右兩坡屋

面￡40和EBC是全等的三角形.點尸在平面4BCD和上的射影分別為//、M,已知〃M=2m,

BC=2m,梯形4BFE的面積是AEBC面積的4倍，設(shè)/月必=彳0＜。＜己）.

①

（1）求屋頂面積S關(guān)于。的函數(shù)關(guān)系式；

（2）已知上部屋頂造價與屋頂面積成正比，比例系數(shù)為左（左為正的常數(shù)），下部兩根立柱的總造價與其單根

的高度成正比，比例系數(shù)為"，假設(shè)校門的總高度為3m,試問，當6為何值時，校門的總造價（上部屋頂

和下部兩根立柱）最低？

【變式6-2】.（2025?上海高考復習?專題練習）如圖所示的某種容器的體積為90%,療，它是由圓錐和圓柱

兩部分連結(jié)而成的，圓柱與圓錐的底面圓半徑都為圓錐的高為片母線與底面所成的角為45。；圓

柱的高為，2.已知圓柱底面造價為2a兀,圓柱側(cè)面造價為。兀/a/,圓錐側(cè)面造價為J5a兀.

（1）將圓柱的高燈表示為底面圓半徑『的函數(shù)，并求出定義域；

（2）當容器造價最低時，圓柱的底面圓半徑，?為多少？

【變式6-3】.（2025?上海高考復習?專題練習）設(shè)計一個帳篷，它下部的形狀是正四棱柱

上部的形狀是正四棱錐P-44G〃，且該帳篷外接于球。（如圖所示）.

（1）若正四棱柱48cA-ABCD是棱長為2m的正方體，求該帳篷的頂點P到底面ABCD中心02的距離；

TT

⑵若該帳篷外接球。的半徑3m,設(shè)/尸。。=8,6e（0,1）,該帳篷的體積為K，則當cos。為何值時，體積/

取得最大值.

【變式6-4].（20-21高二上?上海寶山?期末）《九章算術(shù)》是古代中國乃至東方的第一部自成體系的數(shù)學專

著，書本記載了一種名為“芻薨”的五面體（如圖1）.其中四邊形ABC。為矩形，EFHAB,和/BC

是三角形，“芻薨”字面意思為茅草屋頂.圖2是一棟農(nóng)村別墅，為全新的混凝土結(jié)構(gòu).它由上部屋頂和下部

主體兩部分組成.如圖3,屋頂五面體為“芻薨”，其中前后兩坡屋面/瓦加和CAEF是全等的等腰梯形，左

右兩坡屋面E4D和FBC是全等的三角形，點尸在平面4BCD和8c上射影分別為“，M,已知用1=5米,

8C=10米，梯形NB斯的面積是面積的2.2倍.設(shè)N尸

（1）求屋頂面積S關(guān)于。的函數(shù)關(guān)系式；

（2）已知上部屋頂造價由屋頂面積確定，造價為600元/平方米，下部主體造價由高度確定，造價為9600元

/米.現(xiàn)欲造一棟上、下總高度為6米的別墅，試問：當9為何值時，總造價最低？

題型07空間向量數(shù)量積的應(yīng)用（含難點）

【典例7-1].（24-25高三上?上海楊浦?期中）己知空間單位向量

e

|i+e2|=|e3+e4|=2|et+e2+e3+e4|=1,則-e3的最大值是.

【變式7-11.（2024?上海嘉定?一模）已知空間向量兩，甌,西兩兩垂直，若空間點A滿足

畫麗卜]彳瓦卜1,記麗=西+西+西，且網(wǎng)W1,則網(wǎng)的取值范圍為.

【變式7-2].（23-24高三上?上海寶山?期中）已知夕、礪、反為空間中三個單位向量，且力J.礪、a_1_反、

礪與反夾角為120。，點尸為空間一點，滿足|西=1且|麗?因《回?西V回?列，則|班因最大值

為.

題型08個數(shù)、種類等問題

【典例8-1】.（2024?上海閔行?二模）已知空間中有2個相異的點，現(xiàn)每增加一個點使得其與原有的點連接

成盡可能多的等邊三角形.例如，空間中3個點最多可連接成1個等邊三角形，空間中4個點最多可連接成4

個等邊三角形.當增加到8個點時，空間中這8個點最多可連接成個等邊三角形.

【典例8-2].（24-25高三上?上海浦東新?期末）已知空間中三個單位向量可、破、的，

西.恒=恒.西=西.西=0,尸為空間中一點，且滿足廖?可=1,聲?恒|=2,|赤.恒卜3,

則點P個數(shù)的最大值為.

【變式8-1].（2025?上海高考復習?專題練習）如圖，設(shè)點尸為正四面體表面（含棱）上與頂點不

重合的一點，由點P到四個頂點的距離組成的集合記為如果集合M中有且只有2個元素，那么符合條

件的點尸有個.

【變式8-2】.（2021?上海楊浦?三模）設(shè)正四面體《七心與在空間直角坐標系中點耳的坐標為

（x,.,Z.,z,.）G-=l,2,3,4）,集合/=皿存在ie{1,2,3,4},使得）=%},則集合/的元素個數(shù)可能為種.

（寫出所有可能的值）

【變式8-3】.（23-24高三上?上海浦東新?期末）已知棱長均為1的正力棱柱有2〃個頂點，從中任取兩個頂

點作為向量Z的起點與終點，設(shè)底面的一條棱為N8.若集合4={x|x=7萬},則當4中的元素個數(shù)最少

時，力的值為（）

A.3B.4C.6D.8

【變式8-4].（23-24高二上?上海?階段練習）設(shè)4,4,…，小叱是空間中給定的2023個不同的點，則使得

珂+?！?祝亞=6成立的點河的個數(shù)為（）

A.0個B.1個C.2023個D.4046個

題型09軌跡、圍成面積等問題

【典例9-1].（2025?上海高考復習?專題練習）在正四棱柱N8CO-44GA中，AB=1,44”4,￡為。2

中點，尸為正四棱柱表面上一點，且弓尸，4石，則點尸的軌跡的長為

【變式9-1】.（2023?上海?模擬預(yù)測）正方體-的邊長為1,點M、N分別為。2、8c邊的中

點，尸是側(cè)面上動點，若直線與面GPN的交點位于ACfN內(nèi)（包括邊界），則所有滿足要求的

點P構(gòu)成的圖形面積為.

【變式9-21.（2024?上海虹口?一模）己知邊長為2的正四面體4-BCD的內(nèi)切球（球面與四面體四個面都

相切的球）的球心為O,若空間中的動點P滿足赤=》反+了礪+z歷,X、八ze[0,l],則點尸的軌跡所形

成的幾何體的體積為（）.

A.V2B.—C..2^3D.也

33

題型10空間向量與立體幾何選擇題綜合辨析

【典例10-1].（24-25高二上?上海?階段練習）如圖，在棱長為2的正方體44G2中，點M、N

分別在線段和及&上，給出下列命題：①有且僅有一條直線與幺2垂直；②存在點M、N,使

為等邊三角形，則（）

A.①、②均為真命題B.①、②均為假命題

C.①為真命題，②為假命題D.①為假命題，②為真命題

【典例10-2].（24-25高三上?上海?期中）在正方體/BCD-44GA中，點尸，。分別是線段力4,4G上

的點（不為端點），給出如下兩個命題：

①對任意點尸，均存在點。，使得產(chǎn)。，。2；

②存在點P,對任意的。，均有尸瓦，貝U（）

A.①②均正確B.①②均不正確

C.①正確，②不正確D.①不正確，②正確

【變式10-1].（23-24高二下?上海楊浦?期末）如圖，已知正方體的棱長為1,點、M為棱AB

的中點，點尸在正方形3CG片內(nèi)部（不含邊界）運動，給出以下三個結(jié)論：

①存在點尸滿足

②存在點P滿足PDX與平面A\D、M所成角的大小為60°；

19

③存在點尸滿足孫+MP=不；

其中正確的個數(shù)是（）.

【變式10-21?（23-24高二上?上海?期末）在直三棱柱N8C-4用。中，底面A/BC為等腰直角三角形，且

滿足=.點p滿足而=幾就+〃函，其中則下列說法不正確的是（）

A.當彳=1時，ANBP的面積S的最大值為e

2

B.當4=1時，三棱錐48c的體積為定值

c.當九=；時，有且僅有一個點尸，使得4尸

D.當〃=；時，存在點P,使得&8_L平面

【變式10-3】?（23-24高二上?上海?期末）如圖，在正方體中，E為棱4G的中點.動點尸

沿著棱DC從點。向點C移動，對于下列四個結(jié)論中正確的個數(shù)是（）

（1）存在點P,使得心=尸￡；

（2）存在點P,使得1平面尸4E；

（3）△尸4E的面積越來越??；

（4）四面體4P4后的體積不變.

A.0B.1C.2D.3

企----------題型通關(guān)?沖高考-----------*>

一、填空題

1.（2024?上海崇明?一模