2025年蘇科版九年級(jí)數(shù)學(xué)寒假專練：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（原卷版）

專題07二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

嫌內(nèi)容早知道

G第一層鞏固提升練（7大題型）

目錄

題型一二次函數(shù)的概念辨析......................................................................1

題型二根據(jù)二次函數(shù)的解析式判斷其性質(zhì).........................................................2

題型三二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì).......................................................2

題型四二次函數(shù)的平移變換問題.................................................................3

題型五根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求字母的取值范圍..................................................4

題型六根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值...............................................................5

題型七二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)符合問題.......................................................6

今第二層能力提升練

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題型一二次函數(shù)的概念辨析

☆技巧積累與運(yùn)用

二次函數(shù)的定義

（1）二次函數(shù)的定義：一般地，形如y=ax?+bx+c（a、b、c是常數(shù)，aWO）的函數(shù)，叫做二次函數(shù).其

中x、y是變量，a、b、c是常量，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng).y—ax2+bx+c（a、b、

c是常數(shù)，a=0）也叫做二次函數(shù)的一般形式.

判斷函數(shù)是否是二次函數(shù)，首先是要看它的右邊是否為整式，若是整式且仍能化簡(jiǎn)的要先將其化簡(jiǎn)，然

后再根據(jù)二次函數(shù)的定義作出判斷，要抓住二次項(xiàng)系數(shù)不為0這個(gè)關(guān)鍵條件.

（2）二次函數(shù)的取值范圍：一般情況下，二次函數(shù)中自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，對(duì)實(shí)際問題，自變

量的取值范圍還需使實(shí)際問題有意義.

例題：（24-25九年級(jí)下?全國?階段練習(xí)）下列函數(shù)是關(guān)于％的二次函數(shù)的是（）

,21

A.y=x+2x+3B.y=—

x

鞏固訓(xùn)練

1.（2025九年級(jí)下,全國?專題練習(xí)）若函數(shù)y=（%-3）—-+2+加x+i是關(guān)于x的二次函數(shù)，則加的值是

A.0B.3C.0或3D.1或2

2.（24-25九年級(jí)上?廣東陽江?期中）若函數(shù)y=（加-3）M-7+2m-i3是二次函數(shù)，則加=,

題型二根據(jù)二次函數(shù)的解析式判斷其性質(zhì)

☆技巧積累與運(yùn)用

1.二次函數(shù)y=a（x-機(jī)1+左（。/0）的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（m,k）,對(duì)稱軸是直線x=機(jī).圖象的

開口方向：當(dāng)。〉0時(shí)，開口向上;當(dāng)。<0時(shí)，拋物線開口向下.

2.二次函數(shù)y=+bx+c（QW0）的圖象是一條拋物線,它de對(duì)稱軸是直線為=--，頂點(diǎn)坐標(biāo)

2a

是_—二丁D當(dāng)。〉0時(shí)，拋物線開口向上,頂點(diǎn)是拋物線上的最低點(diǎn);

12a4aJ

例題：（24-25九年級(jí)上?浙江金華?階段練習(xí)）已知二次函數(shù)了=-3口-4）2-5,下列說法正確的是（）

A.對(duì)稱軸為直線x=-4B.頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4,5）

C.與y軸的交點(diǎn)是（0,-5）D.函數(shù)的最大值是-5

鞏固訓(xùn)練

1.（24-25九年級(jí)上,湖北咸寧?階段練習(xí)）已知拋物線產(chǎn)-5（%+1）2+/?經(jīng)過4（-24,M）、8（24,%）兩點(diǎn)，則

必與力的大小關(guān)系是（）

A.B.c.yi<y2D.不能確定

2.（24-25九年級(jí)上?福建廈門?階段練習(xí)）拋物線."=-/+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是.

題型三二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)

☆技巧積累與運(yùn)用

2

2

二次函數(shù)y=ax2+bx+c（aW0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-上二,―殳-），對(duì)稱軸直線x=-二次函數(shù)y=ax+bx+c

2a4a2a

（aWO）的圖象具有如下性質(zhì)：

①當(dāng)a>0時(shí)，拋物線尸ax2+bx+c（aWO）的開口向上，xV-'時(shí)，y隨x的增大而減小；x>一旦時(shí)，

2a2a

2

y隨X的增大而增大；x=--L時(shí)，y取得最小值細(xì)￡土，即頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn).

2a4a

②當(dāng)aVO時(shí)，拋物線y=ax?+bx+c（aWO）的開口向下，xV--L時(shí)，y隨x的增大而增大；x>-_?-時(shí)，

2a2a

2

y隨X的增大而減??；X=--L時(shí)，y取得最大值細(xì)￡士，即頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn).

2a4a

例題：（24-25九年級(jí)上?陜西渭南?期中）拋物線>=-/+6》+8的對(duì)稱軸是（）

A.直線x=3B.直線x=-3C.直線x=2D.直線x=4

鞏固訓(xùn)練

1.（24-25九年級(jí)上?河北衡水?階段練習(xí)）拋物線y=a/+6x+c的頂點(diǎn)為（1,2）,拋物線與了軸的交點(diǎn)位于x

軸下方，以下結(jié)論不正確的是（）

A.a<0B.c<0C.a+b+c=1D.b1-4ac=0

2.（24-25九年級(jí)上,山東荷澤?階段練習(xí)）已知拋物線了=4f+樂+，（a>0）的對(duì)稱軸為直線尤=1,且經(jīng)

過點(diǎn)（2,%）,試比較乂和%的大?。罕?.（填"（"或"="）

題型四二次函數(shù)的平移變換問題

☆技巧積累與運(yùn)用

二次函數(shù)的平移

（1）平移步驟：

①將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式》="》-獷+人確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)（隊(duì)力）；

②保持拋物線>的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到他，刀處，具體平移方法如下:

y^a(x-h}2■->ya(x-h)2^k

向上（后>0）［或下（kvO）】平移因個(gè)單位

（2）平移規(guī)律

在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“〃值正右移，負(fù)左移；左值正上移，負(fù)下移”.概括成八個(gè)字“左加右減，上加

下減”.

例題：（24-25九年級(jí)上?浙江紹興?期中）拋物線了=爐向左平移5個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位后，所

得的拋物線表達(dá)式是（）

A.=（x-5）2-3B.y=(x-5)2+3

C.y=（x+5）2-3D.y=(x-5)~+3

鞏固訓(xùn)練

1.（24-25九年級(jí)上?全國?期末）拋物線了=-X2+以-2經(jīng)過平移后得到拋物線歹=-/-4X，其平移方法

是（）

A.向右平移3個(gè)單位,再向上平移2個(gè)單位

B.向右平移4個(gè)單位,再向下平移3個(gè)單位

C.向左平移3個(gè)單位,再向上平移2個(gè)單位

D.向左平移4個(gè)單位,再向上平移2個(gè)單位

2.（24-25九年級(jí)上?山東濰坊?階段練習(xí)）二次函數(shù)y=--2x-4的圖象先向左平移2個(gè)單位長度，再向上

平移4個(gè)單位長度，所得圖象的解析式的一般式為

題型五根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求字母的取值范圍

☆技巧積累與運(yùn)用

2

二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a=0）的圖象是拋物線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-旦，4ac-b-）.

2a4a

①拋物線是關(guān)于對(duì)稱軸X=-反成軸對(duì)稱，所以拋物線上的點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，且都滿足函數(shù)函數(shù)關(guān)系

2a

式.頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)或最低點(diǎn).

②拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是函數(shù)解析中的c值.

③拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)分別是（xi，0）,（x2,0）,則其對(duì)稱軸為x=

x[+x2

-2-,

例題：（24-25九年級(jí)上?江蘇南通?期中）若二次函數(shù)y=（x-m）2-1在x<l時(shí)，y隨x的增大而減小，

則m的取值范圍是（）

A.m>\B.加C.m>1D.m<\

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24九年級(jí)上?浙江?期末）點(diǎn)川在拋物線>=°尤2+&+4（。>0）上，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為

直線x=f,若機(jī)<〃<4,貝h的取值范圍是（）

13

A.-<t<2B.2<t<3C.-<?<2D.l<t<2

22

2.（24-25九年級(jí)上?上海?階段練習(xí)）已知y=（左+1）/+8斤，當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)值V隨著自變量x的增大而

減小，那么人的取值范圍是.

題型六根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值

☆技巧積累與運(yùn)用

二次函數(shù)的最值

（1）當(dāng)a>0時(shí)，拋物線在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減少；在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，因

2

為圖象有最低點(diǎn)，所以函數(shù)有最小值，當(dāng)X=一旦時(shí)，y=%￡二

2a4a

（2）當(dāng)aVO時(shí)，拋物線在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而減少，因

2

為圖象有最高點(diǎn)，所以函數(shù)有最大值，當(dāng)x=一旦時(shí)，y=4號(hào)b

2a4a

（3）確定一個(gè)二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當(dāng)自變量取全體實(shí)數(shù)時(shí)，其最值為拋物線頂

點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)；當(dāng)自變量取某個(gè)范圍時(shí)，要分別求出頂點(diǎn)和函數(shù)端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，

從而獲得最值.

例題：（24-25九年級(jí)上?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí)）二次函數(shù)y=（x-1）?+2的最小值是（）

A.2B.1C.-1D.-2

鞏固訓(xùn)練

1.（24-25九年級(jí)上?浙江紹興?期中）己知二次函數(shù)y=/+6x+c,當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)有最小值-1,當(dāng)xVO

時(shí)，函數(shù)有最小值-2,則6c的值為（）

A.1B.1或一1C.2或-2D.-2

2.（24-25九年級(jí)上?江蘇蘇州?期中）如圖，尸是拋物線y=f2+尤+3在第一象限上的點(diǎn)，過點(diǎn)P分別向x

軸和y軸引垂線，垂足分別為4B,則四邊形。/尸3周長的最大值為.

題型七二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)符合問題

☆技巧積累與運(yùn)用

二次函數(shù)歹=a/+bx+c(awO)的系數(shù)與圖象的關(guān)系

(1)。的符號(hào)由拋物線y=ax2+bx+c的開口方向決定：開口向上u>?！?,

開口向上oa〉0；

(2)6的符號(hào)由拋物線y=a/+云+。的對(duì)稱軸的位置及。的符號(hào)共同決定：對(duì)稱軸在y軸左側(cè)

=同號(hào)，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)=a,6異號(hào)；

(3)c的符號(hào)由拋物線y=a/+bx+c與y軸的交點(diǎn)的位置決定：與y軸正半軸相交=c〉0,與y

軸正半軸相交=c<0

例題：(24-25九年級(jí)上?遼寧沈陽?階段練習(xí))一次函數(shù)〉=acx+b與二次函數(shù)y=a/+bx+c在同一平面

直角坐標(biāo)系中的圖象可能是()

鞏固訓(xùn)練

1.(24-25九年級(jí)上?山東濟(jì)寧,階段練習(xí))如圖是二次函數(shù)了="2+區(qū)+c的圖象，其對(duì)稱軸為直線x=-2,

且過點(diǎn)(0,1).有以下四個(gè)結(jié)論：①abc<0；②a-b+c>l；③12a+c<0；@4a-2b>m2a+mb(加是

任意實(shí)數(shù)).其中正確的結(jié)論有()

2.（24-25九年級(jí)上?上海?階段練習(xí)）如圖，拋物線>=◎?+云+。（°,6,c為常數(shù)）關(guān)于直線x=1對(duì)

稱.下列四個(gè)結(jié)論中，

①次>0；②2a+6=0；③3a+c>0；?am2+bm>a+b,正確的有（填序號(hào)）.

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一、單選題

1.（24-25九年級(jí)上?廣東珠海?階段練習(xí)）已知點(diǎn)/（國,%），B（x2,y2）,。（無3，%）在拋物線了=—+2》-3

上.當(dāng)王<一3,-1<x2<0,0<%<1時(shí)，乂，%，打三者之間的大小關(guān)系是（）

A.必<%<%B.力</<必C.D.

2.（24-25九年級(jí)上,貴州畢節(jié),階段練習(xí)）若二次函數(shù)>=&+6x+c的x與夕的部分對(duì)應(yīng)值如下表，則當(dāng)x=-l

時(shí)，y的值為（）

X-7-6-5-4-3-2

D.-13

3.（24-25九年級(jí)上?江蘇蘇州?階段練習(xí)）下列選項(xiàng)是對(duì)二次函數(shù)y=2（x-3）2+l的描述，其中正確的是

A.圖象的開口向下B.圖象的對(duì)稱軸為直線x=-3

C.函數(shù)的最小值為1D.當(dāng)x<3時(shí)，y隨x的增大而增大

（24-25九年級(jí)上?天津武清?階段練習(xí)）下列函數(shù)是二次函數(shù)的是（

A.y=2x+ly=ax2+bx+c（a,b,c是常數(shù)）

C.y——x+2y——x—2

2

5.（24-25九年級(jí)上?湖北武漢?階段練習(xí)）如圖，拋物線>的對(duì)稱軸為直線尤=1,與x

軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（T,0）.下列結(jié)論：①。<0；②a-6+c=0；③2。+6=0；④渥+bx+c<"++〃

的解集為x<g.其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）

7o

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

二、填空題

6.（24-25九年級(jí)上?江蘇無錫?階段練習(xí)）將二次函數(shù)了=2r+1的圖象向左平移3個(gè)單位，得到的拋物線

的表達(dá)式為.

7.（24-25九年級(jí)上,陜西西安?階段練習(xí)）將拋物線>-8x繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,則旋轉(zhuǎn)后的拋物線表達(dá)式

為.

8.（2025九年級(jí)下?貴州廣西?專題練習(xí)）若了=（僅+2）/匕是二次函數(shù)，則加的值是.

9.（內(nèi)蒙古鄂爾多斯市三校聯(lián)考2024-2025學(xué)年上學(xué)期九年級(jí)第一次月考數(shù)學(xué)試卷）已知-1,%），

2（也%）,。（2,%）三點(diǎn)都在二次函數(shù)尸-（1丫+3的圖象上，那么乂，力，力的大小關(guān)系是

（用小于號(hào)連接）.

10.（24-25九年級(jí)上?浙江金華?階段練習(xí)）豎直向上發(fā)射的小球的高度〃（