2025年上海高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)題型專(zhuān)練：函數(shù)（九大題型）（解析版）

熱點(diǎn)題型?解答題攻略

專(zhuān)題02函數(shù)(九大題型)

*>----------題型歸納?定方向------------?

題型01證明函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性...............................................................1

題型02函數(shù)的值域、最值問(wèn)題...................................................................4

題型03函數(shù)中的解不等式、比較大小問(wèn)題........................................................8

題型04恒成立問(wèn)題............................................................................12

題型05有解問(wèn)題..............................................................................22

題型06零點(diǎn)、實(shí)數(shù)根等問(wèn)題....................................................................23

題型07函數(shù)與數(shù)列............................................................................28

題型08函數(shù)的其他應(yīng)用........................................................................29

題型09函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用........................................................................31

*>----------題型探析?明規(guī)律-----------*

【解題規(guī)律?提分快招】

i「確兔而霹贏桂的血神萬(wàn)基

(1)定義法；(2)導(dǎo)數(shù)法；(3)圖象法；(4)性質(zhì)法.

2、判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個(gè)必備條件

(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，否則即為非奇非偶函數(shù).

(2)判斷次x)與八一x)是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)等量關(guān)系式

優(yōu)T)+4一X)=0(奇函數(shù))或加)一/(—X)=0(偶函數(shù)))是否成立.

3、利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原則，比較大小還可以借助中間量.

4、求解與指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問(wèn)題，要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問(wèn)

題時(shí)，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷.

5、求解函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的基本方法

(1)直接法：令f(x)=0,方程有多少個(gè)解，則f(x)有多少個(gè)零點(diǎn)；

(2)定理法：利用定理時(shí)往往還要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等；

(3)圖象法：一般是把函數(shù)拆分為兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)，依據(jù)兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)得出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

面函-oF定明函藪的單畫(huà)畫(huà)「寄福醫(yī)

【典例1-1】.(2024?上海?三模)已知〃目=差(，函數(shù)y=/(x)是定義在(-2,2)上的奇函數(shù)，且

⑴求“X)的解析式；

⑵判斷y=/(x)的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義加以證明.

【答案】(1)/(X)=U7(-2<X<2)

(2)/(x)在區(qū)間(-2,2)上為嚴(yán)格增函數(shù)，證明見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)題意，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得/(。)=0,求出6的值，結(jié)合函數(shù)的解析式求出。的值，計(jì)算

可得答案；

(2)根據(jù)題意，根據(jù)單調(diào)性的定義，結(jié)合作差法證明可得答案.

【解析】(1)根據(jù)題意，/(x)=產(chǎn)是定義在(-2,2)上的奇函數(shù)，

4-x

則有/(0)===0,解得6=0,

4

又由/(1)=三=；，解得。=1，

所以/(刈=/】，"X)定義域?yàn)?-2,2),

4-x

且/0=百$=曰=-/3,所以仆)=占(-2。<2)；

(2)“X)在區(qū)間(-2,2)上為嚴(yán)格增函數(shù).

證明如下：設(shè)任意一2<%<迎<2,則/(再)-/?)=±二1,

由一2<玉</<2,得一4<xxx2<4,

即4+玉％2>°，再一工2<°，(4一％；)(4—只)>0,

所以/(占)一即/(芭)</(々)，

故“X)在區(qū)間(-2,2)上為嚴(yán)格增函數(shù).

【變式1-D.(23-24高三上?上海楊浦?期中)已知。為實(shí)數(shù)，設(shè)/3=/+卜_小

(1)若a=l,求函數(shù)y=/(x),xwR的最小值；

⑵判斷函數(shù)>="x),xwR的奇偶性，并說(shuō)明理由.

【答案】⑴】3

4

⑵當(dāng)。=0時(shí)/(x)為偶函數(shù)，當(dāng)a?0時(shí)/(X)為非奇非偶函數(shù).

【分析】(1)首先得到了(x)的解析式，將其寫(xiě)成分段函數(shù)，再分段利用函數(shù)的單調(diào)性分別求出函數(shù)的最小

值，即可得解；

(2)分別判斷了=》2、夕=歸-。|的奇偶性，即可得解.

【解析】(1)當(dāng)"1時(shí)/(*)=，+忖-1|=］：+":

當(dāng)X21時(shí)/3=尤2+》-1,函數(shù)在［1,+向上單調(diào)遞增，則〃尤)血n=〃l)=l,

當(dāng)x<l時(shí)/(x)=--x+l,函數(shù)在1一8,；上單調(diào)遞減，在H上單調(diào)遞增,

所以/(Hmm=/］；)=:,

綜上可得/(xL=/&］=；.

(2)因?yàn)椤傲?/+k-同定義域?yàn)镽,

又>=/為偶函數(shù)，了=國(guó)為偶函數(shù)，

所以當(dāng)a=0時(shí)/(力=尤2+忖為偶函數(shù)，

當(dāng)aw0時(shí)y=忖一。|關(guān)于x=a對(duì)稱(chēng)，止匕時(shí)y=以一《為非奇非偶函數(shù)，

所以/(x)=—+|x-4為非奇非偶函數(shù)，

綜上可得：當(dāng)a=0時(shí)為偶函數(shù)，當(dāng)aW0時(shí)為非奇非偶函數(shù).

【變式1-2】.(2022?上海浦東新?一模)已知函數(shù)/(x)=x?+辦+1,a&R.

⑴判斷函數(shù)〃x)的奇偶性，并說(shuō)明理由；

(2)若函數(shù)g(x)=￡12(x>0),寫(xiě)出函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間并用定義證明.

X

【答案】(1)答案見(jiàn)解析

(2)［l,+°o),證明見(jiàn)解析

【分析】(1)分。=0、QW0兩種情況，利用函數(shù)奇偶性的定義判斷出結(jié)果;

(2)求得g(x)=x+」+a,可以確定g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為［1,+s),之后利用函數(shù)單調(diào)性證明即可.

【解析】(1)當(dāng)a=0時(shí)，/(x)=x2+1,

定義域?yàn)镽，任選xeA,都有"-x)=x2+l=/(x),

所以。=0時(shí)函數(shù)〃x)為偶函數(shù)；

當(dāng)"0,/(-1)=2-a,/(I)=2+a

則/(T)小)J(-1)T⑴；

。片0時(shí)函數(shù)/(x)既非奇函數(shù)又非偶函數(shù)；

(2)函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為［1,+s).

證明：g(x)="'=xH----1-a,

xx

任取再,尤2且％<%2，

g(西)-g(x2)=X]+工+a—(％+'+。)=(再一X2)(1一一—)=(西一尤2X*"1),

石x2XxX2XxX2

由于項(xiàng)<%2，則石一々<0；

由于斗,々￡[1，+“)，則1〉0;

所以(再一%)(堊二)<0,即/(再)</(無(wú)2).

x{x2

函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[1,+8).

【變式1-31.(2021?上海徐匯?二模)已知函數(shù)/(x)=k+4-VTZF.

(1)若"=&,求函數(shù)/(X)的零點(diǎn)；

(2)針對(duì)實(shí)數(shù)a的不同取值，討論函數(shù)/(x)的奇偶性.

【答案】(1)x=-字；(2)當(dāng)。=0時(shí)，函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，當(dāng)今0時(shí)，函數(shù)/(x)為非奇非偶函數(shù).

【分析】(1)根據(jù)解析式，求得定義域，當(dāng)“=拒時(shí)，令卜+行卜VI千=0,解得x=-*G[-l,1],

所以零點(diǎn)為x=-Y2.

2

(2)若/(x)為奇函數(shù)，則必有[(-1)tf(l)=0,代入求得°不存在，若函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，由了

(-1)=/(1),解得。=0,經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，即可得答案.

【解析】⑴根據(jù)題意，函數(shù)〃尤)=|元+4-萌二)，則有17之0,解可得-1?1,

即函數(shù)/(x)的定義域?yàn)閇-1,1],

由.=^/^，W+V21—y/l—x2=0,

化簡(jiǎn)得2x。+20X+1=0,即(V^x+1)=0,則x=-1,1],

所以，函數(shù)7?(》)的零點(diǎn)為云=-也；

2

(2)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)閇-1,1],若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則必有/(-1)+/(1)=0;

[a=1

代入得|。+1|+|。-1|=0于是]無(wú)解,所以函數(shù)/(x)不能為奇函數(shù)，

[a=-1

若函數(shù)f(%)為偶函數(shù)，由/(-I)=/(1)得l+a|=|l+a|解得。=0；

又當(dāng)a=0時(shí)，/(x)=|x|-71-x2,

則f(-x)=\-x\-Vl-x2=\x\-Vl-x2=/(x)；

對(duì)任意x￡[-l,1]都成立，

綜上，當(dāng)。=0時(shí)，函數(shù)/(%)為偶函數(shù)，當(dāng)好0時(shí)，函數(shù)/(x)為非奇非偶函數(shù).

題型02函數(shù)的值域、最值問(wèn)題

【典例2-1］.(22-23高三上?上海楊浦?階段練習(xí))已知函數(shù)人%)是定義在區(qū)間句上的奇函數(shù),

當(dāng)時(shí)，/(x)=4x-x2.

⑴求x<-l時(shí)/(%)的解析式；

(2)求函數(shù)g(x)=一9的值域.

【答案】⑴"x)=4x+/；

(2)(-00,12].

【分析】(1)利用奇函數(shù)性質(zhì)求f。)的解析式;

9

4—x,xN1

(2)由(1)得g(x)=<:,應(yīng)用基本不等式、函數(shù)單調(diào)性求g(x)在對(duì)應(yīng)區(qū)間上的值域，即可

4+x—,x<-1

X

得答案.

【解析】(1)令x?—1,貝U—x21,故/(—x)=—4x—(—x)2=—4x—x2,而/(—x)=一/(%),

所以/(一%)-一/⑴--4、-x2,則/(x)=4x+x2.

4X-X2-99

=4-x——,x>l

Xx

(2)由(1)知：g(x)=，

4x+x2-99

=4+x—,x<-1

x

99

當(dāng)xNl,g(x)=4-x——<4-2jx?-=-2,當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)g(x)w(-oo,-2］；

XX

9

當(dāng)。4-1,g(x)=4+x——單調(diào)遞增，則g(x)￡(—8,12］；

綜上，函數(shù)值域?yàn)?-8,12］.

【變式2-1】.(21-22高三上?上海黃浦?階段練習(xí))已知二次函數(shù)/(x)=4_4x+c的值域?yàn)椋?,+8).

(1)若此函數(shù)在［1,2)上是單調(diào)減函數(shù)，求實(shí)數(shù)°的取值范圍；

(2)求〃x)在［1,+s)上的最小值g(a),并求g(a)的值域.

'4"c

/qClH----4,〃〉2「\

【答案】(1)(0,1］；(2)g(a)=<a,g(6Z)e［0,+co).

0,0<tz<2

24

【分析】(1)結(jié)合二次函數(shù)的值域可得開(kāi)口向上，且在對(duì)稱(chēng)軸、=一處取得最小值0,進(jìn)而求出。=之且

aa

2

a>0,然后根據(jù)單調(diào)性得出一22,進(jìn)而可以求出結(jié)果；

a

22

(2)根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸的位置分別討論一<1和4N1,進(jìn)而求出g(Q),然后結(jié)合分段函數(shù)的單調(diào)性即可求出值

aa

域.

2

【解析】(1)由題意可知數(shù)尤+c開(kāi)口向上，且在對(duì)稱(chēng)軸x=一處取得最小值0,

244

所以〃>0,-4x—+c=----be=0,即0=一

因此/(X)="2-4X+：,因?yàn)楹瘮?shù)在［1,2)上是單調(diào)減函數(shù),

7

所以422,所以aWl,故實(shí)數(shù)。的取值范圍為(0』；

(2)若］<1，即。>2,所以/(x)="2-4x+,在［1,+8)上單調(diào)遞增，所以/a)mM=/(l)=4+§；

若即0<。42,所以〃司="2-4x+±在上單調(diào)遞減，在(2,+s］上單調(diào)遞增，所以

uH-----4,u>2

a

0,0<ti<2

因?yàn)楹瘮?shù)8(。)=。+&-4在(2,+8)上單調(diào)遞增，且g(2)=2+。-4=0,因此g(。)的值域?yàn)椋?,+“).

a2

【變式2-2】.(24-25高三上?上海金山?期末)已知常數(shù)。>1,函數(shù)y=/(x)的表達(dá)式為

/(x)=logfl(x+2)-loga(2-x)

⑴證明：函數(shù)y=/(x)是奇函數(shù)；

⑵若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［05上的最大值為2,求實(shí)數(shù)a的值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵a=V3

【分析】(1)求出定義域，利用奇函數(shù)的定義判斷可得答案；

(2)判斷出函數(shù)了=/卜)在區(qū)間［0,1］上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求出最值可得答案.

fx+2>0

【解析】(1)由cc得-2<X<2,

12-x>0

所以函數(shù)y=〃x)的定義域?yàn)?-2,2),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),

y(f)=log“(-x+2)-log0(2+x)=-/(x),

所以函數(shù)>=/(x)是奇函數(shù)；

丫+2

(2)/(x)=log(x+2)-log(2-x)=log。--

aaX

x-2+4,4

令u=--------二—1-------

x-2x—2

4

則〃=-1——在［0,1］上單調(diào)遞增,

x—2

又＞=1。8/(。＞1)為增函數(shù),

所以〃x)=log“(x+2)-log?(2-x)在［0,1］上單調(diào)遞增,

其最大值為/⑴=1。&3=2,

解得a=V3.

【變式2-3］.(21-22高三上?上海徐匯?開(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)/(x)=x2+ax+3-a,aeR.

⑴求。的取值范圍，使＞=在閉區(qū)間［-1,3］上是單調(diào)函數(shù)；

⑵當(dāng)04x42時(shí)，函數(shù)了=/(x)的最小值是關(guān)于a的函數(shù)機(jī)⑷.求加(°)的最大值及其相應(yīng)的a值.

【答案】或

(2)當(dāng)a=-2時(shí)，加伍)有最大值4

【分析】(1)利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)結(jié)合單調(diào)性求解；

a+7M<-4

11

(2)分類(lèi)討論二次函數(shù)在給定區(qū)間的最大值，再分段討論皿。)=_〃+3,_4<〃<0的最大值即可求角軍.

3-a,a>0

【解析】(1)函數(shù)=無(wú)+3-。圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x=

因?yàn)樾?在閉區(qū)間曰，刃上是單調(diào)函數(shù)，所以-臺(tái)-1或-臺(tái)3.

故?！?6或QN2.

(2)當(dāng)Q20時(shí)，m(a)=f(0)=3-a；

當(dāng)一4Ka<0時(shí)，m(a)=f(~~)--a+3；

當(dāng)a<—4時(shí)，加(a)=/(2)=a+7.

a+7,a<-4

1

所以機(jī)(a)=<tz7-a+3,-4<a<0,

3-a,a>0

當(dāng)a20時(shí)，加(a)=3—a?3；

當(dāng)一4WQ<0時(shí)，m(a)=--a1-a+3,

4

對(duì)稱(chēng)軸為〃o=-2,所以m(a)=m(-2)=4,

當(dāng)。＜一4時(shí)，加（〃）=4+7V3.

所以當(dāng)Q=-2時(shí)，加5）有最大值4.

題型03函數(shù)中的解不等式、比較大小問(wèn)題

【典例3-1】?（24-25高三上?上海?階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)/（x）=lz",且〃司+/［m=-1（"0）.

1+XIX）

⑴求。的值；

（2）判斷函數(shù)"X）的奇偶性和單調(diào)性（不用說(shuō)明理由），并據(jù)此求解關(guān)于x的不等式/（月+/］二］+1＜0

【答案】（1）2；

（2）偶函數(shù)，在［0,+”）上單調(diào)遞減，在（一雙0］上單調(diào)遞增，解集為

【分析】⑴根據(jù)+/［￡］=-1化簡(jiǎn)求解即可；

（2）根據(jù)奇偶性定義和單調(diào)性定義即可判斷奇偶性和單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性和奇偶性將函數(shù)符號(hào)去掉，轉(zhuǎn)化

為一元二次不等式求解可得.

【解析】（1）由題知,

因?yàn)?（x）+4J=-l,所以1-ax2x2-a

-----1-----=-----------=]—〃=—]

x2+lx2+lx2+l

解得a=2.

i_23

（2）由（1）知，/（x）=—22x=—-2,定義域?yàn)镽,

1+x2x2+l

33

又/（-x）=（_療+1-2=/n-2=〃x）,所以/（X）為偶函數(shù).

Vx1?x2G[0,+CO）,且再<12,

3（X2一再）（%2+西）

（」+1）（君+1）

因?yàn)??項(xiàng)<%2，所以％2-再>0，-2+尤1>0，<；+1>0，%；+1>0，

所以/（再）一/（尤2）＞°，即/（玉）＞/（馬），

所以"X）在［0,+e）上單調(diào)遞減，

又因?yàn)橐唬╔）為偶函數(shù)，所以“X）在（-*0］上單調(diào)遞增,

因?yàn)椤?/1］=-1,所以一

所以+4]+l<Oo〃x)-〃2X-1)<0=〃X)</(2XT)(X4],

因?yàn)?(x)為偶函數(shù)，且在[0,+8)上單調(diào)遞減，

所以國(guó)>|2x-l|,即3X2-4X+1<0,解得:<X<1,

又xwg,所以不等式解集為

4

【典例3-2】?(24-25高三上?上海?階段練習(xí))已知函數(shù)/'(x)=x——+a.

x

(1)證明函數(shù)V=/(X)在(-00,0)上嚴(yán)格增；

⑵若函數(shù)丁=/(x)在定義域上為奇函數(shù)，求不等式〃無(wú))>0的解集.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)(-2,0)U(2,+a>)

【分析】(1)利用函數(shù)的單調(diào)性定義證明即得；

(2)根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出。值，再求出方程/(x)=0的解，分別利用函數(shù)在(-叫0)和(0,+對(duì)上的單調(diào)性

即可求得不等式的解集.

4

【解析】(1)因/(x)=x--+a,任取國(guó),迎e(-s,0),且王<々，

X

44

由/(X1)-/(X2)=X1-----+”(工2------+。)

再x2

,、4(x-x)/、/14、

=(再一工2)+-------2-=(占-%2)。+----),

xxx2xxx2

4

因再<%2<0,則再一工2<0，1+--->°，故/(項(xiàng))一/(%2)<。，

西、2

即，?)</(%).

故函數(shù)y=/(x)在(-叫0)上嚴(yán)格增；

(2)因?yàn)楹瘮?shù)〃X)在定義域｛x|x*0｝上為奇函數(shù)，則=

44

月f以一XH---U=—XH----Q.

XX

所以2〃=0,即Q=0,

4

所以/(x)=x——，

X

由/(x)>0得：x-->o,即(x-2)(x+2)>0,

%X

(%>or%<o

所以[(X-2)(x+2)>0或'[(x-2)(x+2)<0'

解得x>2或-2Vx<0,

所以不等式/(力>0的解集為(-2,0)U(2,+s).

【變式3-1】.(21-22高三上?上海浦東新?階段練習(xí))設(shè)函數(shù)”x)=|2x-7|+辦+1(。為實(shí)數(shù)).

(1)若。=-1,解不等式/(x)Z0；

(2)若當(dāng)一二>0時(shí)，關(guān)于x的不等式/(x)21成立，求。的取值范圍.

1-X

Q

【答案】(1)或X26}(2)“2—5

【分析】(1)分2x-7>0,2x-7W0打開(kāi)絕對(duì)值，解不等式即可；

(2)由一^>0可得0<%<1,再由可得|2X—7|+QX20,結(jié)合0<X<1,即為7+(Q—2)X20,

1-x

分4N2,。<2討論，即得解

【解析】(1)由于。=-1,不等式

可得|2x-7|2x-1,即

j2x-7>0j2x-7<0

[2x>x-V^\J-2x>x-\

Q

解不等式得：四工4|或苫26}

V

(2)由--->0<=>x(l—x)>0,解得0<x<l

1-x

由/(x)21,可得|2X—7|+QX?0

當(dāng)0<X<1時(shí)，該不等式即為7-2X+QX20,Bp7+(a-2)x>0

當(dāng)Q22時(shí)，符合題設(shè)條件；

77

當(dāng)。<2時(shí)，x<-，由題意得二>1

2—。2—a

解得2>a>-5

綜上，實(shí)數(shù)。的取值范圍是。2-5

11

-------0n<xW44

【變式3-2】.(20-21高三上?上海奉賢?期中)已知/'(x)=ax'-

Inx-1,x>4

(1)若函數(shù)“X)在|,e2的最大值為2,求〃的值；

(2)若°求不等式〃x)<l的解集.

【答案】(1)a=g;(2)(o，g)u(4,e2)

【解析】（1）由函數(shù)y=lnx-l在（4,e?]上是增函數(shù)且后腿=1，故根據(jù)題意得函數(shù)丁=：-：,；<xV4的最

114

大值為2,再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可得——7=2,解得

a49

51八.[0<x<4[[

/、----，0<x44nInx—1<1

（2）根據(jù)題意得f（x）=2x'，進(jìn)而分之_4或兩種情況求解即可得答案.

tax-1,x>4[27<X>

【解析】解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)V=lnx-1在（44]上是增函數(shù)，

所以5=lne?-1=1，

因?yàn)楹瘮?shù)〃x）在1,e2的最大值為2,

所以函數(shù)>=2<xV4的最大值為2,

ax2

由于函數(shù)歹是增函數(shù)，

ax2

114

所以一-：=2,解得：。=不

a49

2（\--------,0<x4

（2）當(dāng)。=不時(shí)，/r（%）=<2x,

「[inx-1,x>4

0<x<4,

Inx-1<12

所以《51]或（.，解得0<x<;或4<x</.

-------<1[%>43

、2x

故若°=|,求不等式/（X）<1的解集為（。，號(hào)U（4,/）

【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查分類(lèi)討論思想與運(yùn)算求解能力，是中檔題.本題第一問(wèn)

解題的關(guān)鍵在于注意到函數(shù)V=lnx-1在（4爐]上是增函數(shù)且1*=1,進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)

y=的最大值為2求解，第二問(wèn)的解題核心是分類(lèi)討論.

ax2

【變式3-3].（23-24高三上?上海長(zhǎng)寧?期中）已知函數(shù)〃力=|嚏/，其中常數(shù)。>0且awl.

（1）判斷上述函數(shù)在區(qū)間（0』上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性定義證明你的結(jié)論；

⑵若然0,利用上述函數(shù)在區(qū)間（0』上的單調(diào)性，討論/⑺和/（鼻）的大小關(guān)系，并述理由.

【答案】（1）函數(shù)在區(qū)間（0』上的單調(diào)遞減，證明見(jiàn)解析；

（2）當(dāng),=1時(shí)，/⑺=了]產(chǎn)+j,當(dāng)，>°且時(shí)，]產(chǎn)+J

【分析】（1）利用定義法結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可得到其單調(diào)性;

（2）利用（1）中的結(jié)論即可得到大小關(guān)系.

【解析】（1）/（x）=|bg/|在區(qū)間（0』上單調(diào)遞減,

證明：當(dāng)0＜。＜1時(shí)，任取0＜再＜%41，

則/（占）-H）=|logM-|logN|=log。%-loge=loga%,

X2

因?yàn)?＜再＜龍2?1，貝|0＜上＜1，所以log“土＞0,

即/（玉）-/（尤2）＞0，即/（占）＞/（X2）,所以此時(shí)/（X）=|log°x|在區(qū)間（0,1］上單調(diào)遞減,

當(dāng)。＞1時(shí)，任取。

/（再）一/（》2）=|log“xjTlogaX?|=-log/］+logax2=log”強(qiáng)

x\

因?yàn)?＜再＜工241,則？＞1,所以log-＞0,

即/㈤-/（3）＞。即/（不）＞〃尤2），所以此時(shí)/（x）=|log°x|在區(qū)間（o,1］上單調(diào)遞減,

綜上所述，/（X）=|log國(guó)在區(qū)間（0,1］上單調(diào)遞減，

（2）當(dāng)X＞1時(shí)，0＜”1時(shí)，函數(shù)/（x）=T0gaX在（1,+00）上單調(diào)遞增,

當(dāng)時(shí),函數(shù)/（x）=logi在（L+s）上單調(diào)遞增,

由（1）/（X）在（0,1）上單調(diào)遞減，在（1,+8）上單調(diào)遞增，

當(dāng)』時(shí),3"

2

當(dāng)0＜/＜1時(shí)，/+1€（1,2）,—e（l,2）,

〃。二|1嗎4=Tog/=log?；'

“1時(shí)，?！磵u＜L。〈小，/（?/「，且卜島

所以?。㏕%《島｝

綜上，當(dāng);1時(shí)，2］，

當(dāng)f>0且rwl時(shí)，/(/)>/Ml

題型04恒成立問(wèn)題

【典例4-1］.(2022?上海徐匯?三模)已知。為實(shí)數(shù)，函數(shù)/(“小卜-4-。，xeR.

⑴當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)“X)的單調(diào)遞增區(qū)間；

⑵若對(duì)任意xe(O,l),/(x)<0恒成立，求。的取值范圍.

【答案】⑴(一85和［2,+s)

⑵H

【分析】(1)當(dāng)。=2時(shí)，化簡(jiǎn)函數(shù)〃x)的解析式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可得出函數(shù)〃x)的增區(qū)間；

(2)由已知可得推導(dǎo)出a>0,可得出利用參變量分離法可求得實(shí)數(shù)。的取值

XXX

范圍.

【解析】(1)解：當(dāng)a=2時(shí)，/(x)=x|x-2|-2=-2之：

［-x+2x-2,x<2

當(dāng)xW2時(shí)，f(x)=(x-l)2-3,此時(shí)函數(shù)〃x)的單調(diào)遞增區(qū)間為［2,+s)；

當(dāng)x<2時(shí)，f(x)=-(x-l)2-l,此時(shí)函數(shù)〃x)的單調(diào)遞增區(qū)間為

綜上所述，當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)“X)的增區(qū)間為(-甩1］和［2,+8).

(2)解：當(dāng)xe(O,l)時(shí),由/(x)<0可得x|x-a|<a,即卜_4《巴,所以，a>0,

.x2

Q>---

所以，-巴<a-x<L整理得,X：；對(duì)任意的xe(O,l)恒成立，

XX1

因?yàn)閤e(O,l),貝收-工=七1<0,所以，不等式對(duì)任意的xe(O,l)恒成立，

xxVx)

2

只需考慮不等式a>」對(duì)任意的xe(0,1)恒成立，

X+1

當(dāng)xe(O,l)時(shí)，JL(X+1-1)2--2，

==X+I+J

x+1x+1x+1

令f=x+le(l,2),g⑺=/+；-2,

由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)g?)=t+；-2在(1,2)上單調(diào)遞增，

當(dāng)fe(l,2)時(shí)，g(/)=/+；_2e]o,g],因此，fl>1.

A-4

【典例4-2】?（24-25高三上?上海?階段練習(xí)）已知函數(shù)〃尤）="*（6>0,6/1）是定義在R上的奇函

數(shù).

⑴求了（外的解析式；

（2）存在xe[2,3],使得廠(chǎng)/（幻22工-2成立，求實(shí)數(shù)f的取值范圍.

【答案】⑴/（X）=，（xe尺）；

1+1

⑵P日io刁）.

【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)/（。）=。求得6=2,再驗(yàn)證是否滿(mǎn)足題設(shè)，即可得解析式;

2

（2）令加=2"-1￡[3,7],問(wèn)題化為￡2加——+1能成立求參數(shù)范圍.

A-I-7A0-4h-?

【解析】(1)由題設(shè)/(0)J勿J=W=0,故6=2,

b+2b°b+2

°x+l_r\X

所以/(')二篇if2-1

2、+1

2-「11—2、2'—1

又/(-%)==-f（x）,滿(mǎn)足題設(shè),

2111+2"2X+1

所以/a）=*ir且x￡R；

（2）由題設(shè)在xe[2,3]上能成立，

2工+1

令加=2,-le[3,7],則-1,即//（_―1）（加+2）="一2+1,

m+2mm

又>工+1在加e[3,7]上遞增，貝|J%11n=4-"|=當(dāng)，

m33

所以f€[?，+°°）.

【變式4-1】.（24-25高三上?上海楊浦?期中）已知函數(shù)〃無(wú)）=紇《為奇函數(shù).

l+ex

⑴求。的值并直接寫(xiě)出/（x）的單調(diào)性（無(wú)需說(shuō)明理由）；

（2）若存在實(shí)數(shù)"使得了（『-2。+/（2/一左）>0成立，求實(shí)數(shù)上的取值范圍.

【答案】（1）。=1,單調(diào)遞減

⑵

【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的含義可求得。的值，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義法可求得單調(diào)性;

(2)根據(jù)單調(diào)性以及奇函數(shù)性質(zhì)可得/左-2產(chǎn))，從而得到不等式，求解即可.

【解析】(1)因?yàn)楹瘮?shù)〃x)="2為奇函數(shù)，定義域?yàn)镽,則/(。)=0,

l+e%

〃一e°

所以/(o)=^1r=0,即a=l,

此時(shí)〃刈=二，滿(mǎn)足/(r)=匕匚=￡U=-/(x),即/(x)為奇函數(shù)，

1+e1+e-1+e

x

i-e7

f(x}=------=-l+--------，定義域?yàn)镽,對(duì)Vxi./sR，且再<%，

7l+exl+ex

2?2(產(chǎn)-9)

貝I/(xi)-/(x2)=------------------=7__\7\，

V17Vz,l+ex'1+e^(l+e,(l+e,

因?yàn)橥?lt;%，所以e*-e』>0,1+ex,>0,l+e%>0,

所以/(占)-/(々)>0,即函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞減；

(2)由八產(chǎn)一2/)+/(2/f)>0,則/(產(chǎn)-2f)>―/(2/叫,

又因?yàn)椤槠婧瘮?shù)，所以/(〃-2/)>-/(2/一力=/小一2/),

又因?yàn)楹瘮?shù)在R上單調(diào)遞減，

所以尸一2f<萬(wàn)一2/,因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)t,使得3/一2/-左<0，

所以A=4+12左>0,解得左>一?，

所以左的取值范圍為1-1，+少］.

【變式4-2】.(23-24高三上?上海浦東新?期末)已知函數(shù)y=/(x),其中〃x)=W々keR).

⑴是否存在實(shí)數(shù)上，使函數(shù)>=/(》)是奇函數(shù)？若存在，請(qǐng)寫(xiě)出證明.

⑵當(dāng)左=1時(shí)，若關(guān)于x的不等式/(x"a恒成立，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

【答案】(1)4=-1,證明見(jiàn)解析

⑵(-00』

【分析】(D“X)是奇函數(shù)，利用〃0)=0解出左并檢驗(yàn)即可.

(2)利用基本不等式求/(x)的最小值解決恒成立問(wèn)題.

【解析】(1)函數(shù)〃x)=史史定義域?yàn)镽,若“X)是奇函數(shù)，則"0)=1+左=0,解得左=一1,

2

此時(shí)〃X)=U=2*-2T，/(-幻=2一'-2'=-(2'-2一')=一〃刈，符合題意，

故左=T.

4v+11

(2)當(dāng)左=1時(shí)，f^=--=T+-,

由2，>0,則2、+工22,6」=2,當(dāng)且僅當(dāng)2'=],即x=0時(shí)等號(hào)成立，

2,VYT

所以〃x)22,又不等式恒成立，得。<2,

則實(shí)數(shù)。的取值范圍為(-s,2].

【變式4-3】.(24-25高三上?上海?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=/-加工+加，g(x)=^12_2,meR

x+1

⑴求〃X)的單調(diào)區(qū)間和值域；

⑵若對(duì)于任意不?0』，總存在%e[O,l],使得/(x°)=g(xj成立，求加的取值范圍.

2

【答案】(1)遞減區(qū)間為(-8,：],遞增區(qū)間為(9,+8)；值域?yàn)榘⒁?,+00)

224

(2)[0J]

【分析】(1)根據(jù)題意，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解；

(2)化簡(jiǎn)函數(shù)g(x)=(x+l)+$-4,利用換元法和單調(diào)性，求得g(x)的值域?yàn)閇0,1],根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為

作"=/(%)}[[0,1],結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式組，即可求解.

【解析】(1)解：由函數(shù)/(x)=/一加工+加，其圖象對(duì)應(yīng)的拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，且對(duì)稱(chēng)軸為x=￡,

所以函數(shù)/(x)在上單調(diào)遞減，在弓,+8)上單調(diào)遞增，

2

當(dāng)時(shí)，函數(shù)/(X)取最小值，最小值為〃/)=機(jī)一.，

2

所以函數(shù)/(x)的值域?yàn)橛梢?,+00).

&刀小跖/\/+3(x+1)2—2(x+1)+4,.4

(2)解：由函數(shù)g(x)=------2=^——-——-——-----2=(x+l)+------4,

x+1x+1X+1

當(dāng)xw[o1]時(shí)，令％=x+l,可得％=%-1且％￡口,2],

4

則g⑺=/+7-4在”[1,2]為單調(diào)遞減函數(shù)，

所以g(omn=g(2)=o,g(f)111ax=g(l)=l,所以函數(shù)g(x)的值域?yàn)閇0,1],

對(duì)于任意x°e[0,l],總存在玉使得/(xo)=g(xj成立，

可得函數(shù)〃x)的值域?yàn)楹瘮?shù)g(x)的值域的子集，即3了=/(x)}c[0,1],

由/(力=尤2-加x+機(jī)，可得〃0)="?,/'⑴=1,

當(dāng)?<0時(shí)，即m<0時(shí)，顯然不成立；

2

當(dāng)時(shí)，即機(jī)>1,根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，可得/(0)>/(1),顯然不成立；

0<^<1

所以要使得3尸/(%)}a[OH,則、22，解得0?加“1，

m-->0

[4

所以實(shí)數(shù)加的取值范圍為[05.

【變式4-4】.(23-24高三上?上海?期中)已知函數(shù)/(x)=log「->(xT)(?>0,。*1).

(1)若加=-1時(shí)，判斷函數(shù)/(X)在(2,+8)上的單調(diào)性，并說(shuō)明理由.

(2)若對(duì)于定義域內(nèi)一切x,〃l+x)+〃l-x)=0恒成立，求實(shí)數(shù)加的值.

【答案】(1)當(dāng)。>1時(shí)，/(X)在(2,+8)上單調(diào)遞減

當(dāng)ae(O,l)時(shí)，/(X)在(2,+8)上單調(diào)遞增

(2)m=-1

【分析】(1)按單調(diào)性的定義即可證明.

(2)按題意列方程即可求解.

【解析】(1)7〃=一1時(shí)/(%)=噢(1工？，記g(x)=T，任取馬>%>2

x—2x-2

?)二段淄

故g(xj>g(x2)，g(x)在(2,+00)上單調(diào)遞減

當(dāng)0>1時(shí)，〃X)在(2,+8)上單調(diào)遞減

當(dāng)"(0,1)時(shí),/(x)在(2,+動(dòng)上單調(diào)遞增

(2)由〃1+工)+〃1一力=。恒成立可得1。&匕等+1。=葉等=0

x—1—x—1

化簡(jiǎn)得加2%2=%2,解得加=±1

0—y0-Y

加=1時(shí)，/(x)=10gfl-而一J=-l<0,無(wú)意義

x-2x-2

加二一1符合題意

故加=-1.

【變式4-51.(2021?上海黃浦三模)已知函數(shù)為實(shí)常數(shù)).

(1)討論函數(shù)/(x)的奇偶性，并說(shuō)明理由；

(2)當(dāng)〃x)為奇函數(shù)時(shí)，對(duì)任意xe[l,6],不等式"x"/恒成立，求實(shí)數(shù)”的最大值.

【答案】(1)函數(shù)〃x)是奇函數(shù)，理由見(jiàn)解析；(2)1.

【分析】(1)若函數(shù)"X)為奇函數(shù)，由奇函數(shù)的定義可求得。的值；又當(dāng)aw；時(shí)/(-且

函數(shù)〃x)是非奇非偶函數(shù)；

(2)對(duì)任意xe[l,6],不等式/恒成立，化簡(jiǎn)不等式參變分離，構(gòu)造新函數(shù)夕⑺，利用換元法和對(duì)

勾函數(shù)的單調(diào)性求出最值，代入得出實(shí)數(shù)式的最大值.

333

【解析】解：(1)當(dāng)。=彳時(shí)/(x)+/(-x)=2a-;^r^-:^^=2a-3=0,

即=故此時(shí)函數(shù)〃x)是奇函數(shù)；

因當(dāng)時(shí)，/(l)=?-l,/(-l)=a-2,故

止1)—(1),且"-l)f1)

于是此時(shí)函數(shù)/(x)既不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù)；

(2)因〃x)是奇函數(shù)，故由(1)知a=；,從而〃耳=；一力；

由不等式/'(x"E，得，

v72X22X+1

令2*+1=te[3,65](因xe[1,6]),故aW—(f—1)—------=-pH"一—

2t2\t)2

由于函數(shù)夕⑺=|"+3-|在[3,65]單調(diào)遞增，所以可焉=〃3)=1；

因此，當(dāng)不等式/'(x"/在xe[l,6]上恒成立時(shí)，仁=1.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知不等式能恒成立求參數(shù)值(取值范圍)問(wèn)題常用的方法：

(1)函數(shù)法：討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調(diào)性求解；

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域或最值問(wèn)題加以解決；

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象,

利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

【變式4-6].(22-23高三下?上海?階段練習(xí))已知力(x)=W+|x-a|,其中aeR.

⑴判斷函數(shù)y=4(x)的奇偶性，并說(shuō)明理由；

⑵當(dāng)a=4時(shí)，對(duì)任意非零實(shí)數(shù)c,不等式力