2025年上海高考數學二輪復習熱點題型專練：集合與邏輯 （選填題熱點八大題型）（解析版）

熱點題型?選填題攻略

專題01集合與邏輯(八大題型)

o------------題型歸納?定方向-----------?>

題型01集合的概念.............................................................................1

題型02集合的關系.............................................................................2

題型03集合的運算.............................................................................3

題型04集合與函數、不等式.....................................................................5

題型05集合的運算(字母運算，含文氏圖)......................................................6

題型06充分必要條件...........................................................................8

題型07命題的否定、反證法....................................................................10

題型08集合難點..............................................................................11

?>----------題型探析?明規(guī)律-----------*>

【解題規(guī)律?提分快招】

工一元素寫集吾皈關系I扇#丁W「不庸于7石一廣

2、對于元素與集合的關系，牢牢抓住元素是否在集合內；

3、集合中元素的特性：確定性，互異性，無序性；

4、解決集合中元素的問題特別注意互異性，有時需要分類討論，或檢驗；

5、集合的表示方法主要有列舉法，描述法，ve〃〃圖法等；

6、充分條件、必要條件的兩種判定方法：

(1)定義法：根據p=q，qnp進行判斷，適用于定義、定理判斷性問題；

(2)集合法：根據p,q對應的集合之間的包含關系進行判斷，多適用于條件中涉及參數范圍的推斷問題.

7、求參數問題的解題策略：

(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系，然后根據集合之間的關系列出關于參數的不等式(或

不等式組)求解；

(2)要注意區(qū)間端點值的檢驗.

函型一oi集百的概念

【典例1-1】.中國國旗上所有顏色組成的集合為.

【答案】｛紅,黃｝;

【分析】根據集合的定義即可求解.

【解析】中國國旗上所有顏色組成的集合為｛紅,黃｝.

故答案為：｛紅，黃｝.

【典例1-2].已知集合4=｛加,同｝,若2e/,則優(yōu)=.

【答案】-2

【分析】根據題意結合元素與集合之間的關系結合集合的互異性分析求解.

【解析】因為/=｛%,|可｝,且2e/,

[m=21加w2

則{1+)或{I)，解得加=-2.

叫工2[J叫=2

故答案為：-2.

【變式1-1].已知0<2戶2-1},則實數x=.

【答案】±1

【分析】直接根據，-1=0求解即可.

【解析】?.?()€{2/2-1},

—1=0,

解得x=±l.

故答案為：±1.

【變式1?2].若集合/="￡Z|-24XW2},B={y\y=x1^x^A\,則用列舉法表示集合5=

【答案】{5,2,1}

【分析】根據題意，分析集合/可得/中的元素，將其元素代入中，計算可得丁的值，即可得5

的元素，用列舉法表示即可得答案.

【解析】根據題意，A={-2f-1,0,1,2},

對于集合8=僅|歹=/+1,xEA},

當x=±2時，y=5,

當x=±1時，歹=2,

當x=0時，y=l；

故答案為{521}

【點睛】本題考查集合的表示方法，注意集合3中x所取的值為/中的元素且必須用列舉法表示.

【變式1-3].己知集合屈={0,l,a+l},若—leM,則實數。=.

【答案】-2

【分析】利用元素與集合的關系可得出關于。的等式，解之即可.

【解析】因為集合河={0,3+1},若TeM,則a+I，解得a=-2.

故答案為：-2.

題型02集合的關系

【典例2-1].已知集合4={2,卜+1|,°+3},且le/,則實數。的值為.

【答案】0

【分析】根據給定條件，利用元素與集合的關系，結合集合元素的性質求解即得.

【解析】由集合4={2,,+l|,a+3},且1”,得卜+1|=1或a+3=1,解得a=0或a=-2,

當a=0時，/={2,1,3},符合題意，

當。=-2時，|。+1|=1且a+3=l,與集合元素的互異性矛盾，

所以實數。的值為0.

故答案為：0

【典例2-2].已知集合/={1,3},2={104},且4仁8,則"=.

【答案】3

【分析】利用集合間的基本關系及元素與集合的關系計算即可.

【解析】由題意/={1,3},5={l,a,4},且ZC,可知3e{l田,4},所以a=3.

故答案為：3

【變式2-1].若集合/={1,⑼，3={1,/},且/=3,貝口=.

【答案】0

【分析】利用兩個集合相等結合集合元素的互異性求解即可.

【解析】因為集合/=所以x=V解得尤=0或1,

當x=1時不滿足集合元素互異性的要求舍去，

當x=0時，4=8={1,0},

故答案為：0

【變式2-2].已知集合/={x[l<x<2},B=[x\x<a},若4屋B,則。的取值范圍是.

【答案】[2,+8)

【分析】由/包8列不等式求。的取值范圍，

【解析】??,集合/={x[l<x<2},B=\x\x<a\,AQB,

a>2.

的取值范圍是[2,+8).

故答案為：[2,+8).

【變式2-3】.若集合M={0,2,3,7},N={x|x=a6,aeM,6cM},則集合N的子集最多有個.

【答案】128

【分析】先求出集合N,再求集合N的子集個數.

【解析】^M={0,2,3,7},N={x\x=ab,aeM,beM],

所以N={0,6,14,21,4,9,49},

則集合N的子集個數有27=128個.

故答案為：128.

【點睛】本題考查集合子集的個數，掌握當集合中有〃個元素時，子集的個數為2"，屬于基礎題.

題型03集合的運算

【典例3-1】.已知集合力=[4,+動，8={2,4,6,8},則/口8=.

【答案】{4,6,8}

【分析】找出集合/與集合8的公共元素，即可確定出交集.

【解析】因為集合4=[4,+s）,3={2,4,6,8},

所以/口8={4,6,8}.

故答案為：{4,6,8}.

【典例3-2].已知集合初={1},N={a,a1},且MuN=N,則實數。=.

【答案】-1

【分析】根據集合中元素的互異性求。的值.

【解析】MUN=N=M三N,0=：!或"=i,由互異性，a=-l.

故答案為：-1.

【變式3-1].已知全集0=!<,集合/={x||x|41},8={0,1,2},則）口3=.

【答案】{2}

【分析】將集合A化簡，即可得到工,再由交集的運算，即可得到結果.

【解析】因為/=,卜曰}=3-1"?1},則1={小<一1或力>1},

且3={0,1,2},所以7nB={2}.

故答案為：{2}

【變式3-2].若集合/=卜巧<2卜8={小訓，則/口8=.

【答案】{x|l〈x<4}

【分析】

根據集合的交運算進行運算即可.

【解析】A=|x|0<x<4^,2={無,21},={x|lVx<4},

故答案為:{x|l<x<4}.

【變式3-31.已知集合/={xH<x〈l}，集合B=32"14x4a+1},若/。8=0,則實數。的取值范

圍為?

【答案】（-8,-3]U（1,+8）

【分析】由題意分集合8是否為空集進行討論，結合/口8=0,列出相應的不等式（組），從而即可得解.

[解析]集合/=卜卜2<xVl},集合2={x|2a-IVxVa+l},且/口3=0,

若2=0,則2"1>°+1,即a>2,此時滿足/08=0,即a>2滿足題意；

若Bw0,則2a—IVQ+1,即Q<2,此時若要使得4nB=0,

則還需2。-1〉1或〃+1?-2,解得〃<-3或Q>1,

注意到此時a<2,從而此時滿足題意的。的范圍為QV-3或1<?！?；

綜上所述，實數。的取值范圍為(-8,-3]u(l,+e).

故答案為：(-?,-3]u(l,+oo).

題型04集合與函數、不等式

【典例4-1].已知集合/={-1,0/},8={x[/<2，},則()

A.{1}B.{-1,0}C.{0,1}D.{-1,0,1}

【答案】C

【分析】驗證集合A中的元素，是否是集合8中元素，即可求NcB.

【解析】因為(―1)2>2一,所以析02<2°,所以0e8,『<*所以析3,

所以/03={0,1}.

故選：C

【典例4-2].設集合M=[xx=45°+"|xl80°,左ez},N=卜=45°+：xl80°,上ez},那么()

A.M=NB.N^MC.MjND.McN=0

【答案】C

【分析】變形表達式為相同的形式，利用集合間的關系，比較可得.

【解析】由題意得舷=Nx=45°+：xl80°Kez[={xk=(2A+l)x45°,%eZ},

即M是45。的奇數倍構成的集合，

N=]x[x=45°+：xl80°Kez}={xk=(^+l)x45°#eZ},

即N是45。的整數倍構成的集合，

所以MRN.

故選：C.

【變式4-1].已知集合/=,何/+2工+2=0}中有兩個元素，則實數機的取值范圍是.

【答案】(一8,0)u?

【分析】由題意可知：機，+2x+2=0有2個不同的實數根，利用A判別式列式求解即可.

【解析】由題意可知：…2+2工+2=0有2個不同的實數根，

〔加w01

則L/Q八，解得加<彳且加WO,

[A=4-8m>02

所以實數用的取值范圍是（-鞏ON]。,；]

故答案為：（-叫0）u],￡].

【變式4-2].已知集合河=同5/1^1<4},"=3-2<苫43,無€2},則Mp|N=（）

A.{x|l<x<3}B.{x|l<x<3}C.{2,3}D.{1,2,3}

【答案】D

【分析】首先求集合M,再求McN.

【解析】Jx-1<4,即04x-l<16,得14x<17,

即Af={x|lVx<17},J[JV=[x\-2<x<3,xeZ|;

所以"nN={l,2,3}.

故選：D

【變式4-3】?設集合〃={xM=x},N={即gxVO},則MCN=_.

【答案】⑴

【分析】分別求解出集合川和集合N,根據交集定義求得結果.

【解析】---M-=1x|x2=xj={0,11,N={x|lgx40}={x[0<x41}:.MryN={1}

故答案為：{1}

【點睛】本題考查集合運算中的交集運算，涉及到一元二次方程和對數不等式的求解，屬于基礎題.

題型05集合的運算（字母運算，含文氏圖）

【典例5-1].設集合/、B、C均為非空集合，下列命題中為真命題的是（）

A.若AcB=BcC,則/=CB.若ADB=BDC,則/=C

C.若Zn8=3UC,則CuBD.若AuB=BcC,則

【答案】C

【分析】關于這幾個命題真假的判斷，真命題可以根據集合的運算和運算法則證明，如果命題是假命題,

則可以舉反例.

【解析】對于A,AcB=BcC,當么={1,2},8={1},。={1,2,3}時，結論不成立，則A錯誤；

對于B,ADB=BDC,當/={1,2},8={3},C={1,2,3}時，結論不成立，則B錯誤；

對于C,因為/口8=2,/n8=8UC,所以=

又BU8UC,所以3=2UC,則C=則C正確；

對于D,AuB=BcC,當4={1},8={1,2}9={1,2,3}時，結論不成立，則D錯誤；

故選：c

【典例5-21.如圖表示圖形陰影部分的是（）

C.（ZU8）n（8UC）D.（AuB）cC

【答案】B

【分析】由韋恩圖可以看出，陰影部分中的元素滿足"是8的元素且C的元素，或是/的元素”，由韋恩圖

與集合之間的關系可得答案.

【解析】圖中陰影部分表示元素滿足：是/中的元素，或者是3與C的公共元素

故可以表示為/u（8nc）,也可以表示為：（/U5）n（/uc）.

故選：B.

【變式5-1】.已知全集為U,非空集合42滿足/包瓦下列各式中，錯誤的是（）

A.AuB^UB.AnB=0

C.A<JB=BD.Ar\B=B

【答案】C

【分析】根據非空集合、子集的知識求得正確答案.

【解析】依題意，全集為。，非空集合42滿足

所以=Ac萬=0、AuB=A>Ar\B=B

所以ABD選項正確，C選項錯誤

故選：C

【變式5-2].設48是全集U的兩個子集，A^B,則下列式子成立的是（）

A.A^BB.A<J~B=U

C.Ar>B=0D.AC\B=0

【答案】C

【分析】根據子集、補集、并集、交集的知識來求得正確答案.

【解析】依題意，48是全集。的兩個子集，A^B,

A選項，A^B,所以A選項錯誤.

B選項，ADB=A=U,所以B選項錯誤.

C選項，4cz=0，所以C選項正確.

D選項，A^B^0,所以D選項錯誤.

故選：C

【變式5-3】?已知全集。和集合M、N、尸如圖所示，則圖中陰影部分所表示的集合是()

A.Mc(N2P)B.MC(N2P)

C.M2(N2P)D.MC(NCP)

【答案】B

【分析】根據圖可得陰影部分在集合〃中，不在集合N、尸中，進而可得答案.

【解析】解：根據圖可得，陰影部分在集合M中，不在集合N、尸中，

則陰影部分所表示的集合是Me(NuP).

故選：B.

題型06充分必要條件

【典例6-1].已知x,"R,則"|x-y|=|x|+|y|"是"xy<0”的條件.

【答案】必要不充分

【分析】由已知中x,yeR,根據絕對值的性質，分別討論"|x-y|=|x|+|川〃=>"?<()",與"硬<0"n

"1x-vHx|+|y|〃，的真假，然后根據充要條件的定義，即可得到答案.

【解析】若1x-yHx|+|川，則X/異號或三〉至少有一個為0,故充分性不成立，

若"孫<0",則x,了異號，則"|。一團=|)+卜|”成立,

即"|x-y|=|x|+|y|"是"孫的必要條件;

即"|x-y|=|x|+l用"是"k的必要不充分條件;

故答案為：必要不充分.

【典例6-21.設a：I<x44,夕：x>m,a是"的充分條件，則實數他的取值范圍是.

【答案】(-8,1]

【分析】由a是尸的充分條件，根據對應集合的包含關系，可得實數加的取值范圍.

【解析】：I<x44,/3-x>m,a是4的充分條件，

則(1,4]=(加,+co),則%W1,

實數加的取值范圍是

故答案為：（-叫1].

【變式6-1]."x>y>0"是的（）

Xy

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分也非必要條件

【答案】A

【分析】應用作差法，結合充分、必要性定義判斷條件間的推出關系即可.

—,1/1、x2-1y2-1{xy+l）（x-y）人

【解析]由x---（y一一）=-------z——=—~~,又x>>>0,

xyxyxy

所以x_L_（y_，）>0,y--,充分性成立；

xyxy

當時，即（到+1）（X7）>0,顯然x=2,y=-l時成立，必要性不成立.

xyxy

故〃x>y>0〃是〃％」>V-L的充分非必要條件.

xy

故選：A

【變式6-2】.已知夕2x-8<0以：1-Q<X<2Q-3,且P是9的充分不必要條件，則實數〃的取值范圍

是?

【答案】1+8）

【分析】根據不等式所表示的集合的關系列出不等式，解出即可.

[解析]X2-2X-8<0,解得-2<X<4,設/={X|-2<X<4},B={x\\-a<x<2a-i\,

若。是4的充分不必要條件，則A$B,

則有。9、/且等號不會同時取到，解得。之《，

[2。一3242

則實數。的取值范圍是（+8）.

故答案為：p+°°y

【變式6-3].已知集合/=卜|皿1（%+2）<01,集合8={x|（x-a）（x-6）<0},若"a=-3"是

"/口3W0"的充分條件，則實數6的取值范圍是.

【答案】b>-\

【分析】分別求出關于A、3的不等式，通過/口220",求出6的范圍即可.

【解析】解：A=^x^logl(x+2)<0}={x|x>-1}

a=-3

B={x\(x-a)(x-b)<0}=(-3,Z?)或(仇一3),

由〃4口5。0〃，得b>—i,

故答案為：b>-\.

【點睛】本題考查了充分必要條件，考查對數函數以及解不等式問題，考查集合的關系，是一道基礎題.

題型07命題的否定、反證法

【典例7-1].己知命題p任意正數x,恒有(x+l)e、>l,則命題〃的否定為.

【答案】存在正數%,使(x°+l)eJl

【分析】含有全稱量詞的否定，改成特稱量詞即可.

【解析】由全稱命題的否定為特稱命題知：

存在正數%,使(%+l)eJL

故答案為：存在正數%,使+

【典例7-2].己知陳述句a：所有的aeN滿足性質p,則。的否定形式為.

【答案】存在ae/不滿足性質

【分析】用全稱量詞命題的否定形式即得結果.

【解析】陳述句"是全稱量詞命題，故其否定形式是：

存在a&A不滿足性質p.

故答案為：存在ae/不滿足性質"

【變式7-1】.若要用反證法證明"若/+/=0,貝曦=0且y=0",應假設為

【答案】"0或"0

【分析】根據用反證法證明數學命題的方法，應先假設要證命題的否定成立，求得要證命題的否定，可得

結果.

【解析】要證命題的結論為無=0且>=0,它的否定為x#0或》片0.

故答案為：XW0或ywO.

【變式7-2].用反證法證明"若x2-2x-3=0,則x=-l或x=3”時,應假設.

【答案】#-1且xw3

【分析】根據反證法，假設原命題的結論的否定即可.

【解析】"x=—1或x=3"的否定為"xw-1且xw3”.

故答案為：XH-1且XX3

【變式7-3】.存在xeR,使得/(x)>0的否定形式是()

A.存在xeR,使得B.不存在xeR,使得/(x)40

C.對任意的xeRJ(x)VOD.對任意的xeR,/(x)>0

【答案】C

【分析】根據特稱命題的否定為全稱命題判斷即可.

【解析】"存在xeR,使得/(x)>0"的否定形式是"對任意的xeRJ(x)WO〃.

故選：C

題型08集合難點

【典例8-1].若規(guī)定集合￡={0J,2,……,〃}的子集…為￡的第k個子集，其中

左=2可+2"2+2%+……+2%,則￡的第2n個子集是.

【答案】{0,1,4,6,7}

【分析】正確理解左的含義，左=211時，即要先求出滿足2"<211,2用>211的〃=7,即E的第211個子集

應含有的元素，計算出211-27=83,再要求滿足2"<83,2用>83的”=6,即￡的第211個子集應含有的元

素，如此類推即得.

【解析】因27=128<211,28=256>211,則E的第21工個子集必包含7,此時211-128=83；

又因26=64<83,27=128>83,則E的第211個子集必包含6,此時83-64=19；

又24=16<19,25=32>19,則E的第211個子集必包含4,此時19-16=3；

又，=2<3,22=4>3,則E的第211個子集必包含1；而2°=1.

綜上所述,E的第211個子集是{0,1,4,6,7}.

故答案為：{0,1,4,6,7}.

【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵在于仔細閱讀題目所提供的信息，正確理解集合的新定義的含義，

將文字語言轉化為數學語言.

【典例8-2】?設集合S={1,2,3,…，小,〃為正整數，記/(")為同時滿足下列條件的集合A的個數：

①/U。"，②若xe/,則2xe/,③若xel,則2》任彳，則/(16)=

【答案】256

【分析】任取偶數xe。,，將x除以2,若商仍為偶數，再除以2,…，經過上次后，商必為奇數，此時商

為m,從而x="八2*,的x是否屬于A,由機是否屬于A確定，求得了(")的表達式，即可求解.

【解析】任取偶數xe。"，將x除以2,

若商仍為偶數，再除以2,…，經過上次后，商必為奇數，此時商為〃Z,

從而X="23其中"?為奇數，左eN*,

由題意知，若加e/,則無e/等價于左為偶數；

若加比4,則xe/等價于左為奇數，

所以x是否屬于A,由加是否屬于A確定，

設2“是6中所有奇數的集合，所以/(")是2的子集個數，

當〃為偶數（或奇數）時，。"中奇數的個數為T（或胃），

22

所以/（"）=」;為偶數，所以“16）=2'=256.

.2h,〃奇數

故答案為：256.

【變式8-1】?設4、4、4、…、4是均含有2個元素的集合，且4c4=0,

4c4+1=01=1,2,3,…,6）,記8=4口4口45-口4,則8中元素個數的最小值是（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【分析】設為、馬、…、毛（〃24）是集合B互不相同的元素，分析可知〃24,然后對"的取值由小到大進

行分析，驗證題中的條件是否滿足，即可得解.

【解析】解：設占、X2、…、匕（〃24）是集合8互不相同的元素，若〃=3,則4c4/0,不合乎題意.

①假設集合B中含有4個元素，可設4={再/2},則4=4=4={w，xj,

4=4=4={占戶2},這與4c4=0矛盾；

②假設集合3中含有5個元素，可設4=4={再戶2},4=4="3，匕}，

4={“5'%}94-{”2，馮}，4-1兩足題思.

綜上所述，集合8中元素個數最少為5.

故選：A.

【點睛】關鍵點點睛：本題考查集合元素個數的最值的求解，解題的關鍵在于對集合元素的個數由小到大

進行分類，對集合中的元素進行分析，驗證題中條件是否成立即可.

【變式8-21.M是正整數集的子集，滿足：leM,2022eM,2023eM,并有如下性質：若。、bwM,則

JgKeM,其中［x］表示不超過實數x的最大整數，則"的非空子集個數為.

【答案】2*1

【分析】根據題意，先判斷M中相鄰兩數不可能大于等于2,可得2,3,…，2021eA/,從而求出再

根據子集的個數與集合元素個數之間的關系即可得答案.

【解析】由題意可知：若x,yeM（x<y）,貝曦+1,x+2,…，夕-1均屬于

而事實上,^y-x>2,中x+14亨〈八

I22

所以x+i&jxy］“_1,

I2,2

故［X,叫中有正整數［\匕］,

從而/中相鄰兩數不可能大于等于2,

故2,3,…，2021eAf,

若p22024,peM,則有2023e",與2023隹X矛盾，

當a=6=2022時，^±^=2022,

當。=6=1時，則員=］,

所以［產2022］,

所以,={1,2,2022）,

所以非空子集有個⑼-1個.

故答案為：2的一1.

【點睛】新定義題型的特點是：通過給出一個新概念，或約定一種新運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設全新

的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎上，依據題目提供的信息，聯(lián)系所學的知識和方法，實現信息的

遷移，達到靈活解題的目的.遇到新定義問題，應耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質，按新

定義的要求，“照章辦事"，逐條分析、驗證、運算，使問題得以解決.

【變式8-3】.已知集合S是由某些正整數組成的集合，且滿足：若aeS,則當且僅當a=機+：?（其中見"eS

且"?=〃），或。=。+式其中〃qeS,0,qeZ*且現有如下兩個命題:①4GS；②集合

{x［x=3"+5,〃eN}qS.則下列選項中正確的是（）

A.①是真命題，②是真命題；B.①是真命題，②是假命題

C.①是假命題，②是真命題；D.①是假命題，②是假命題.

【答案】C

【分析】根據集合s的定義即可判斷①是假命題，根據集合S的定義先判斷5eS,3〃eS,再由Vxe/,

有x=3〃+5,3neS,5eS且3〃w5,所以xeS,可判斷②是真命題.

【解析】因為若aeS,則當且僅當a=+〃（其中加,且加片〃），或a=。+以其中eS,p,qeZ"且

p手q）,

且集合s是由某些正整數組成的集合，

所以1史S,2史S,

因為3=1+2,滿足。=。+4（其中p,qeS,p，4eZ"^?wq）,所以3eS,

因為4=1+3,且1隹5,3eS,所以4eS,故①是假命題；

記/={x|x=3〃+5,〃eN},

當”=0時，5eA,因為5=1+4,US,4eS,所以5eS；

下面討論元素為（"21）與集合S的關系，

當”=1時，3eS,當〃=2時，6=2+4,2電S,4eS,所以6eS,

當〃=3時，9=3+6,3eS,6eS,所以9eS,

當〃=4時，12=3+9,3eS,9eS,所以12eS,依次類推，

當“23時，3"=3+3（〃-1）,3eS,3（n-l）eS,所以3〃eS,

下面討論〃21時，集合A中元素與集合S的關系，

因為VXE/,有X=3〃+5,3neSf5ES且3〃。5,所以XES