2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：二次函數(shù)的面積問題 壓軸練習(xí)題（含答案）

2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：二次函數(shù)的面積問題壓軸練習(xí)題

一'選擇題

1.已知點(diǎn)M是拋物線y=/一2znx+巾？+小一1(m為常數(shù))的頂點(diǎn)，直線y=久+3與坐標(biāo)軸分別交

于4B兩點(diǎn)，則AABM的面積為()

A.6A/2B.6C.4D.3A/2

2.如圖，拋物線Li：y=a2+b久+c(aHO)與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)4(2,0),與y軸交于點(diǎn)B(0,4),虛線為

其對(duì)稱軸，若將拋物線向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得拋物線L，則圖中兩個(gè)陰影部分的面積和為()

3.已知等腰直角△ABC的斜邊=4e，正方形OEFG的邊長(zhǎng)為遮，把△和正方形。EFG如圖放

置，點(diǎn)B與點(diǎn)E重合，邊與EF在同一條直線上，將AZBC沿ZB方向以每秒四個(gè)單位的速度勻速平行移

動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)4與點(diǎn)E重合時(shí)停止移動(dòng).在移動(dòng)過程中，△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積S與移動(dòng)時(shí)間

t(s)的函數(shù)圖象大致是()

4.如圖，已知A(1,1),B(3,9)是拋物線y=/上的兩點(diǎn)，在y軸上有一動(dòng)點(diǎn)P,當(dāng)△PAB的周長(zhǎng)

最小時(shí)，則此時(shí)△PAB的面積為

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)4(8,0),點(diǎn)B(0,6),點(diǎn)C為線段4B中點(diǎn)，點(diǎn)O為線段OA上一動(dòng)

點(diǎn)，將線段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段CE,連接OE,則△OED面積的最大值為.

6.已知拋物線y=/+力久一3(b是常數(shù))經(jīng)過點(diǎn)4(2,-3).

(1)求該拋物線的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)A關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為才，求拋物線頂點(diǎn)P與點(diǎn)A、才所圍成的三角形的面積.

7.如圖，二次函數(shù)y=/+b久+c的圖象與x軸交于4(—1,0),B(3,0)兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為D.

(1)求此二次函數(shù)的解析式.

(2)求的面積.

8.如圖，已知拋物線y=a/+b%+c與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為2(3,。)，與y軸的交點(diǎn)為3(0,3),其頂點(diǎn)為

(1)求拋物線的解析式;

(2)判斷△ABC的形狀;

(3)已知點(diǎn)M為線段ZB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)寫出AABM面積關(guān)系式，并求出當(dāng)A/BM面積

最大時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).

9.已知二次函數(shù)、=久2+"+?￡170)的圖象與久軸的交于4、B(l,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,—3).

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式及/點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)O是二次函數(shù)圖象上位于第三象限內(nèi)的點(diǎn)，求△4CD面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)。的坐標(biāo);

(3)M是二次函數(shù)圖象對(duì)稱軸上的點(diǎn)，在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)N.使以“、N、B、。為頂點(diǎn)的

四邊形是平行四邊形？若有，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo).

10.如圖，拋物線y=以％-1)(久—3)與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C,其頂點(diǎn)為D.

（1）寫出C,D兩點(diǎn)的坐標(biāo)（用含a的式子表示）；

（2）設(shè)SABCD：SMBD=卜，求k的值；

（3）當(dāng)△BCD是直角三角形時(shí)，求對(duì)應(yīng)拋物線的解析式.

11.如圖，拋物線y=a/+b￡+c（a。0）與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.AC^V10,OB=

（2）在第二象限內(nèi)的拋物線上確定一點(diǎn)P,使APCB的面積最大，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在（2）的結(jié)論下，點(diǎn)M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，拋物線上是否存在一點(diǎn)Q,使點(diǎn)P,B,M,Q為頂

點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

12.已知拋物線y=a/+故+c（a力0）經(jīng)過點(diǎn)M（-2給和NQ-■!）兩點(diǎn)，且拋物線與x軸交于A、B

兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C.

備用圖

（1）若點(diǎn)M是拋物線、=a/+b久+c的頂點(diǎn)，求拋物線解析式及A、B、C坐標(biāo)；

（2）在（1）的條件下，若點(diǎn)P是A、C之間拋物線上一點(diǎn)，求四邊形4PCN面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P

的坐標(biāo);

(3)若B(m,O),且求a的取值范圍.

13.在四邊形ABCD中，AD=BC=1,AB=CD=2,BD=而.點(diǎn)E為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B,

D重合)，連結(jié)AE,過E作CE的垂線交邊AB于點(diǎn)F.

(1)求證：四邊形ABCD是矩形.

(2)設(shè)DE=x,求△AEF的面積S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式.

(3)在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程，當(dāng)△AEF的某一個(gè)內(nèi)角等于NBDC時(shí)，求所有滿足條件的AF的長(zhǎng).

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(-l,0),B(3,0),與y軸交于點(diǎn)

C,作直線BC,點(diǎn)P是拋物線在第四象限上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)B,C重合)，連結(jié)PB,PC,以PB,PC為邊

作口CPBD,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.

(1)求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)當(dāng)口CPBD有兩個(gè)頂點(diǎn)在x軸上時(shí)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為；

(3)當(dāng)口CPBD是菱形時(shí)，求m的值.

(4)當(dāng)m為何值時(shí)，口CPBD的面積有最大值？

15.“距離”是數(shù)學(xué)研究的重要對(duì)象，如我們所熟悉的兩點(diǎn)間的距離.現(xiàn)在我們定義一種新的距離：已知P

(a,b),Q(c,d)是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的兩點(diǎn)，我們將|a-c|+|b-d|稱作P,Q間的“L型距離”，記作L

(P,Q),即L(P,Q)=|a-c|+|b-d|.已知二次函數(shù)yi的圖像經(jīng)過平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的A,B,C三點(diǎn)，

其中A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為A(-1,0),B(0,3),點(diǎn)C在直線x=2上運(yùn)動(dòng)，且滿足L(B,C)<BC.

(2)求拋物線yi的表達(dá)式；

(3)已知y2=2tx+l是該坐標(biāo)系內(nèi)的一個(gè)一次函數(shù).

①若D,E是y2=2tx+l圖像上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且DE=5,求ACDE面積的最大值;

②當(dāng)t<x<t+3時(shí)，若函數(shù)y=yi+y2的最大值與最小值之和為8,求實(shí)數(shù)t的值.

(補(bǔ)充兩點(diǎn)間距離公式：平面直角坐標(biāo)中兩點(diǎn)A(xi.yi),B(X2,y2),則

AB=J(久]—肛)2+(y]一丫2])

答案解析部分

1.【答案】B

2.【答案】D

3.【答案】C

4.【答案】6

5.【答案】普

6.【答案】(1)解：：拋物線y=X2+b久—3(b是常數(shù))經(jīng)過點(diǎn)4(2,—3)

-3=2^+2/?—3,

解得：b=-2,

二拋物線的表達(dá)式為y=%2-2%-3；

故答案為：y-x2-2x-3.

(2)解：拋物線y=%2—2%—3=(%—I)2—4,

???拋物線的對(duì)稱軸為x=1,頂點(diǎn)坐標(biāo)P(l,-4),

?.?點(diǎn)A關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為4(2,-3)

.,.AA'=2,AAA'P的高為1,如圖所示：

>

X

1

*t,LAA'P=]X2xl=l,

???點(diǎn)P與點(diǎn)A、/所圍成的三角形的面積為1,

故答案為：1.

7.【答案】(1)解：??,二次函數(shù)y=/+.+c的圖象與％軸交于力(一1,0),B(3,0)兩點(diǎn),

.?.y=(%+1)(%—3)=%2—2%—3,

???二次函數(shù)的解析式為y=x2-2x-3.

故答案為：y=%2-2%-3；

(2)解：vy=%2—2%—3=(%—l)2—4,

.??點(diǎn)O的坐標(biāo)為(1,-4),

???點(diǎn)。到4B的距離為4,

???X(-l,0),B(3,0),

???AB—4,

1

SAABD=]X4X4=8.

故答案為：8.

8.【答案】(1)解：：拋物線y=。/+5%+。與*軸的一個(gè)交點(diǎn)為2(3,0),對(duì)稱軸為直線久=1.

...與x軸的另外一個(gè)交點(diǎn)為(-1,0)

可設(shè)y=a(久+1)(%—3).

:與y軸的交點(diǎn)為B(0,3),

；.3=(-3)a,

解得：a=-L

二拋物線的解析式為y=-(％+1)(%-3)=—X2+2%+3.

(2)解：Vy=—久2+2%+3,

當(dāng)x=l時(shí)，y=-l+2+3=4,

頂點(diǎn)C(l,4),

*(3,0),8(0,3),

'-AB=3?AC=J(3—1產(chǎn)+(0—4(=2V5.BC=&，

'：BC2+AB2=2+18=20,AC2=20

-,-BC2+AB2=AC2,

：.AABC=90°,

...△ABC是直角三角形.

(3)解：?；過點(diǎn)A(3,0),B(0,3),

線段AB所在直線的解析式為：y=-x+3,(0<x<3).

將直線AB向上平移a個(gè)單位，使經(jīng)過點(diǎn)M,則y=-x+3+a,

記平移后的直線為MD,點(diǎn)D為平移后的直線與x軸的交點(diǎn)，故D(3+a,0),

過點(diǎn)A作AELMD于點(diǎn)E,如圖：

.OB_AE

??詆=而

VOA=OB=3,AB=y/OA2+OB2=3A/2,AD=a

.3_AE

"372一~a'

.?.AE=當(dāng)

2曲=；xZBx4E=；x3或x學(xué)=當(dāng)，

聯(lián)立y=—%+3+。和y=—x2+2%+3得%2-3%+a=0,

△=b2-4ac=9—4a>0

,,9

???！床?/p>

._3a.39_27

??c^ABM=~2—2x4="g-'

即當(dāng)a=5時(shí)，A/BM面積的最大值為年.

QO

此時(shí)/—3%+彳=o,%=-.

4Z

故點(diǎn)M坐標(biāo)(I，竽).

9.【答案】(1)解：把B(l,0),C(0,—3)代入y=/+bx+c得,

Cl+b+c=0

Ic=—3，

解得｛,1I，

I.二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x2+2x-3,

當(dāng)y=0時(shí)，/+2%-3=o,

解得％1=Lx2=-3

...4(—3,0)；

(2)解：連接CD,

II

-6-5-4-

序C

-5-

—6-

設(shè)直線4。的表達(dá)式為y=上比+九，把4(一3,0)、C(0,—3)代入得,

CO=-3k+n

(—3=n'

解得卜=一[,

(71=—3

工直線ZC的表達(dá)式為y=—x—3,

過點(diǎn)。作％軸的垂線，交4c于點(diǎn)G,

則S4/CD=S△力國(guó)+S^CDG=qDG?OA=]DGx3=/G,

???當(dāng)。G取最大值時(shí)，△ACD的面積最大，

^D(m,m2+2m—3),則G(m,一6—3),

???點(diǎn)。位于第三象限，

3<m<0,DG=-m—3—(m2+2m—3)=—m2—3m,

,?S.CD—|(-m2_3m)=~|(m+1)+等

???當(dāng)m=—掾時(shí)，△力CD的面積最大，最大值為尊，

Zo

此時(shí)，點(diǎn)。的坐標(biāo)為(弓-均

(3)解：:BQ。)，

：.0B=1,

由y=/+2%—3得，拋物線的對(duì)稱軸為直線久=-1,

???以M、N、B、。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

①當(dāng)0B為平行四邊形的邊時(shí)，MN=0B=1,

設(shè)點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為3

,:MN||%軸，

AIt-(-1)1=1，

解得t=0或t=-2,

?.?點(diǎn)N在拋物線上，

.?.點(diǎn)N的坐標(biāo)為(一2,-3)或(0,-3)；

②當(dāng)。B為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，

則與￡=2+1,

解得t=2,

.?.點(diǎn)N的坐標(biāo)為(2,5)；

綜上，點(diǎn)%的坐標(biāo)為(一2,-3)或(0,—3)或(2,5).

10.【答案】(1)解：令x=0,y=3a,，C(0,3a).

"."y=a[x—1)(%—3)=a(x—2)2—a,

￡)(2,—CL)；

(2)解：令y=0,有磯%—1)(%—3)=0,

解得：x=l或x=3,

???力(1,0),8(3,0),

：.AB=3-1=2,

??SAABD=2x2xa=a.

設(shè)直線CD交x軸于點(diǎn)E,如圖所示，

設(shè)直線CD解析式為y=tx+b,

把C、D的坐標(biāo)代入可得

(b=3a

12t+b=-a

二?直線CD解析式為y=-2ax+3a,

令y=0可解得：x=I，

ABE=3-|=|,

.13

?'S^BCD=S^BEC+SRBED=2x2x(3a+a)=3a,

:?SZBCD：SAABD—(3a):a=3,

k=3；

(3)解：VZBCD<ZBCO<90°,

△BCD為直角三角形時(shí)，只能有NCBD=90?；騈CDB=90。兩種情況.

VB(3,0),C(0,3a),D(2,—a),：.BC2=32+(3a)2=9+9a2,CD2=22+(-a-3a)2=4+16a2,

BD2=(3—2)2+a2=l+a2.

①當(dāng)NCBD=90。時(shí)，則有Be?+BD2=CD2,

2

即9+9。2+1+。2=4+16a,

解得：a=-1(舍去)或a=l,

此時(shí)拋物線解析式為y=X2-4X+3；

②當(dāng)/CDB=90。時(shí)，貝I有CD?+BD2=BC2,

即4+16a2+1+a2=9+9a2,

解得：a=_孝(舍去)或2=孝，

此時(shí)拋物線解析式為y=孝久2—2&X+學(xué)；

綜上可知：當(dāng)△BCD是直角三角形時(shí)，拋物線的解析式為y=%2—4無+3或、=孝久2_271%+孚.

11.【答案】(1)解：'：OB=OC=30A,AC=V10.AC2=OA2+OC2,

**?(V10)2=OA2+(304)2,

：.OA=1(負(fù)值舍去)，

：.OB=OC=3OX=3,

.,.71(1,0),B(—3,0),C(0,3),

設(shè)拋物線解析式為y=a(久+3)(久—1),將C(0,3)代入，得:-3a=3,

解得：a=—1,

...拋物線解析式為y=-(%+3)(久-1)=-x2-2%+3；

故答案為：y=-x2-2x+3.

(2)解：過點(diǎn)P作PK||y軸交于點(diǎn)K,如圖1所示：

圖1

設(shè)直線BC解析式為y=/cc+n,將B(—3,0),C(0,3)代入,

得(—3k+=0

''I71=3

解得：卜

1九二3

?,?直線3c解析式為y=x+3,

設(shè)P(t,一「2—2t+3),則K(t,t+3),

PK=—嚴(yán)—2t+3—(t+3)=一/—33

S&PBC=SAPBK+S&PCK

11

^PK-(t+3)+^PK-(0-t)

乙乙

3

=^PK

=^(―t2—3t),

t+l)+系

3

一1<°'

.?.當(dāng)t=—|時(shí)，APCB的面積最大，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為竽)；

故答案為:OS

(3)解：存在.分兩種情況：點(diǎn)Q在左軸上方或點(diǎn)Q在無軸下方.①當(dāng)點(diǎn)Q在無軸上方時(shí)，如圖所示:

；.P與Q縱坐標(biāo)相等，

-/—2%+3=

4

解得：%1=-%2=—4（舍去）,

，Q1（T'竽）’

②當(dāng)點(diǎn)Q在％軸下方時(shí)，如圖所示:

:.PQ、BM的中點(diǎn)坐標(biāo)相同,即它們的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0,

與Q縱坐標(biāo)互為相反數(shù),

2QQ_15

:.-x-2%+3=—

解得：勺=一個(gè)，肛=乎，

?“卜孚，-苧）或Q3（731-2

2

綜上所述，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（T，竽）或（-V31+2

2

故答案為:

12.【答案】（1）解：?點(diǎn)M是拋物線、=?！?+.+。的頂點(diǎn),

，可設(shè)拋物線解析式為y=a(x+2尸+小

\,拋物線過點(diǎn)可卜,一分，

7Q

??—2=a(2+2)2+—

解得：a=-B,

?，?拋物線的解析式為y=—}(%+27+3—2%+搟，

當(dāng)y=0時(shí)，一#-2%+尚=0,

解得％=-5或1,

???4(-5,0),8(1,0),

當(dāng)％=0時(shí)，y=趣，

(2)解:設(shè)p(t,—?2—2t+3設(shè)直線4：的解析式為y=kx+|，

把2(-5,0)代入得：0=-5fc+|，

解得k=寺,

直線AC的解析式為y=Jx+|,

過P點(diǎn)作PG||y軸交4c于點(diǎn)G,如圖所示：

-'-PG=_尹2_21+|_/一拼=_/2_/，

-_1/1,25八^匚_5a,5、2125

fpc4c=2卜尹一＞戶5=-4《+引+正，

當(dāng)t=—|時(shí)，APAC的面積有最大值要，此時(shí)P(—|,笄),

設(shè)直線CN的解析式為y=k'x+|.

??一—2k，+搟，

解得k'=—3，

二直線CN的解析式為y=-3久+|，

二直線CN與x軸的交點(diǎn)為(|,0),

，SAACN=猥+5)X&+|)=竽，

...四邊形APCN面積的最大值為婆+苧=鎏；

16z16

(3)解：將M(-2,?)和NQ-3兩點(diǎn)代入丫=a%2++c,

(,9

4a—2b+c=2

,,),7'

4a+2b+c=-Q-

fb=—2

解得1，

(c=2_A4a

.1

??y—CLX7—2x+2—4a,

當(dāng)171=1時(shí)，CL—2+義—4a=0,解得：a=-

當(dāng)m=3時(shí)，9a-6+：-4a=0,解得。=條，

13.【答案】(1)\<AD=BC,AB=CD,

二四邊形ABCD是平行四邊形，

VAD=1,AB=2,BD=V5.

AAD2+AB2=BD2,

Z.ZDAB=90°,

四邊形ABCD是矩形；

(2)過點(diǎn)E作EJ,AB于點(diǎn)J,交CD于點(diǎn)

DKC

：四邊形ABCD是矩形,

I.NDAJ=NADK=NAJK=90。，

???四邊形ADKJ是矩形，

???AJ=DK,AD=JK,AD〃JK〃BC,

.DE_EK_DK

.x_EK_DK

??西=T=h，

???EK=浮，DK=2Vfx,

???EJ=JK=EK=l_2^x,

VEF±EC,

JNEJF=NFEC=NEKC=90。，

??.NJEF+NCEK=90。，NCEK+NECK=90。,

???NJEF=NECK,

.*.△EJF^ACKE,

-旦一上

"CK~EK9

?1-&_JF

'-等'爭(zhēng)‘

；.AF=AJ+JF=竽x+奈=誓x,

.?.S=/AF.EJ」x延xx(1_裳)=-A23V5(0<X<V5);

Z2105ZUX+20X

(3)當(dāng)NEAF=NCDB時(shí)，VAB^CD,，NCDB=NABD,

???NEAB=NEBA,

???EA=EB,

VZDAE+ZEAB=90°,NADE+NABE=90。，

???NDAE=NADE,

???AE=DE,

???DE=EB=2^,

2

??x：

2

.,.AF=^X—=--

1024

當(dāng)/AEF=NBDC=/ABE時(shí)，

：NEAF=NEAB,

；.△EAF^ABAE,

；.AE2=AF?AB,

(1_叢)2+(紗x)2=亞I(2,

5510

解得x=嬰1,

._3VsV5±l_15±3A/5

"A=F而X-^2~=—20-'

綜上所述，AF的長(zhǎng)為梳或至黑1

420

14.【答案】(1)解：?.,拋物線y=X?+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(-l,0),B(3,0),

拋物線的解析式為y=(x+l)(x-3),

即y=x2—2x—3；

(2)(2,-3)

(3)解：???拋物線的解析式為y=x2-2x-3,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.

二P(m,in?—2m—3),

「口CPBD是菱形，

PB=PC,

.1■m2+(m2-2m-3+3)2=(3-m)2+(m2-2m-3)2,

整理得m2—m—3=0,解得m=1士嚴(yán)，

???點(diǎn)P是拋物線在第四象限上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

???m>0,

m的值為1+尸;

(4)解：過P作PE〃y軸交直線BC于點(diǎn)E,如圖，

把B、C坐標(biāo)代入得:

0=3k+b

-3=b

解得：｛b「13.

???y=x-3,

設(shè)P(m,m?—2m—3),則E(m,m—3),

???PE=—m2+3m,

17

???SAPBC=2x3(-mN+3m)，

327

,,1S平行四邊形CPBD=2S&PBC=-3m2+9m=-3(m-^)2+彳,

???當(dāng)m=|時(shí)，四邊形CPBD的面積有最大值.

15.【答案】(1)解：由題意得:

???4(-1,0),5(0,3),

???L(AB)=|-1-0|+|0-3|=1+3=4;

(2),?,點(diǎn)C在直線％=2上運(yùn)動(dòng),

.??設(shè)點(diǎn)C(2,m),且B(0,3)

由平面上兩點(diǎn)間距離，利用勾股定理得:

22

BC=(2—0)+(3—m)2=4+(3_m)2

???L(B,C)=|0-2|+|3-m|=2+|3-m|

L2(B,C)=(2+|3—m|)2=22+4|3-m|+(3-m)2

???0<L(B,C)<BC

L2(B,C)<BC2

即22+4|3—m|+(3—zu)?<4+(3—m)2

?,?4|3-m\<0,

又??,|3—20