2024高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)分層特訓(xùn)卷客觀題專練解析幾何13文

PAGEPAGE1解析幾何(13)一、選擇題(本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．[2024·河南八市聯(lián)盟測(cè)試]拋物線y＝eq\f(1,4)x2的準(zhǔn)線方程為()A．y＝－1B．y＝1C．x＝－1D．x＝－eq\f(1,16)答案：A解析：拋物線y＝eq\f(1,4)x2的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝4y，所以拋物線y＝eq\f(1,4)x2的準(zhǔn)線方程為y＝－1.故選A.2．[2024·濟(jì)南市高考模擬試題]已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，若長(zhǎng)軸的長(zhǎng)為6，且兩焦點(diǎn)恰好將長(zhǎng)軸三等分，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,32)＝1B.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1C.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1D.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1答案：B解析：由題意知2a＝6,2c＝eq\f(1,3)×6，所以a＝3，c＝1，則b＝eq\r(32－12)＝2eq\r(2)，所以此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1.3．[2024·山東濟(jì)南外國(guó)語(yǔ)學(xué)校模擬]已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)與橢圓eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1有共同的焦點(diǎn)，且雙曲線的一條漸近線方程為y＝eq\r(3)x，則該雙曲線的方程為()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1B.eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,6)－eq\f(y2,2)＝1D.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,6)＝1答案：D解析：由雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為y＝eq\r(3)x，可得eq\f(b,a)＝eq\r(3)①，橢圓eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±2eq\r(2)，0)，又雙曲線與橢圓有共同的焦點(diǎn)，所以a2＋b2＝8②，由①②可得a＝eq\r(2)，b＝eq\r(6)，則雙曲線的方程為eq\f(x2,2)－eq\f(y2,6)＝1，故選D.4．[2024·福建福州質(zhì)量抽測(cè)]已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線均與圓x2＋y2－6y＋5＝0相切，則雙曲線C的離心率為()A.eq\f(3,2)B.eq\f(2,3)C.eq\f(\r(6),2)D.eq\f(9,4)答案：A解析：雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，即±bx－ay＝0，x2＋y2－6y＋5＝0可化為x2＋(y－3)2＝4，若漸近線與此圓相切，則eq\f(3a,\r(a2＋b2))＝eq\f(3a,c)＝2，則e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,2)，故選A.5．[2024·湖北鄂州調(diào)研]過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F作斜率為eq\r(3)的直線，與拋物線在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)A，若|AF|＝4，則p＝()A．2B．1C.eq\r(3)D．4答案：A解析：過(guò)點(diǎn)A作AB垂直x軸于點(diǎn)B，則在Rt△ABF中，∠AFB＝eq\f(π,3)，|AF|＝4，∴|BF|＝eq\f(1,2)|AF|＝2，則xA＝2＋eq\f(p,2)，∴|AF|＝xA＋eq\f(p,2)＝2＋p＝4，得p＝2，故選A.6．[2024·河南洛陽(yáng)尖子生聯(lián)考]經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,1)，且漸近線與圓x2＋(y－2)2＝1相切的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq\f(x2,\f(11,3))－eq\f(y2,11)＝1B.eq\f(x2,2)－y2＝1C.eq\f(y2,\f(11,3))－eq\f(x2,11)＝1D.eq\f(y2,11)－eq\f(x2,\f(11,3))＝1答案：A解析：通解設(shè)雙曲線的漸近線方程為y＝kx，即kx－y＝0，由漸近線與圓x2＋(y－2)2＝1相切可得圓心(0,2)到漸近線的距離等于半徑1，由點(diǎn)到直線的距離公式可得eq\f(|k×0－2|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝±eq\r(3).因?yàn)殡p曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,1)，所以雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，可設(shè)雙曲線的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，將點(diǎn)(2,1)代入可得eq\f(4,a2)－eq\f(1,b2)＝1，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)－\f(1,b2)＝1，,\f(b,a)＝\r(3)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝\f(11,3)，,b2＝11，))故所求雙曲線的方程為eq\f(x2,\f(11,3))－eq\f(y2,11)＝1.故選A.優(yōu)解設(shè)雙曲線的方程為mx2－ny2＝1(mn>0)，將(2,1)代入方程可得，4m－n＝1①.雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\r(\f(m,n)x)，圓x2＋(y－2)2＝1的圓心為(0,2)，半徑為1，由漸近線與圓x2＋(y－2)2＝1相切，可得eq\f(2,\r(1＋\f(m,n)))＝1，即eq\f(m,n)＝3②，由①②可得m＝eq\f(3,11)，n＝eq\f(1,11)，所以該雙曲線的方程為eq\f(x2,\f(11,3))－eq\f(y2,11)＝1，故選A.7．[2024·武漢市中學(xué)畢業(yè)生調(diào)研]曲線C1：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1與曲線C2：eq\f(x2,25－k)＋eq\f(y2,9－k)＝1(0＜k＜9)的()A．長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等B．短軸長(zhǎng)相等C．離心率相等D．焦距相等答案：D解析：因?yàn)?＜k＜9，所以25－k＞9－k＞0，所以曲線C2是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，記其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a2，短半軸長(zhǎng)為b2，半焦距為c2，則ceq\o\al(2,2)＝aeq\o\al(2,2)－beq\o\al(2,2)＝25－k－(9－k)＝16.曲線C1也是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，記其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a1，短半軸長(zhǎng)為b1，半焦距為c1，則ceq\o\al(2,1)＝aeq\o\al(2,1)－beq\o\al(2,1)＝25－9＝16，所以曲線C1和曲線C2的焦距相等，故選D.8．[2024·石家莊市重點(diǎn)中學(xué)畢業(yè)班摸底考試]已知雙曲線過(guò)點(diǎn)(2,3)，漸近線方程為y＝±eq\r(3)x，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.eq\f(x2,\f(16,7))－eq\f(y2,12)＝1B.eq\f(y2,3)－eq\f(x2,2)＝1C．x2－eq\f(y2,3)＝1D.eq\f(y2,\f(23,3))－eq\f(x2,23)＝1答案：C解析：解法一當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)－\f(9,b2)＝1，,\f(b,a)＝\r(3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝\r(3)，))所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－eq\f(y2,3)＝1；當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(9,a2)－\f(4,b2)＝1，,\f(a,b)＝\r(3)，))無(wú)解．故該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－eq\f(y2,3)＝1，選C.解法二當(dāng)其中的一條漸近線方程y＝eq\r(3)x中的x＝2時(shí)，y＝2eq\r(3)＞3，又點(diǎn)(2,3)在第一象限，所以雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)－\f(9,b2)＝1，,\f(b,a)＝\r(3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝\r(3)，))所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－eq\f(y2,3)＝1，故選C.解法三因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為y＝±eq\r(3)x，即eq\f(y,\r(3))＝±x，所以可設(shè)雙曲線的方程是x2－eq\f(y2,3)＝λ(λ≠0)，將點(diǎn)(2,3)代入，得λ＝1，所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－eq\f(y2,3)＝1，故選C.9．[2024·全國(guó)卷Ⅱ]已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上的一點(diǎn)．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，則CA．1－eq\f(\r(3),2)B．2－eq\r(3)C.eq\f(\r(3)－1,2)D.eq\r(3)－1答案：D解析：在Rt△PF1F2中，∠PF2F1＝60°，不妨設(shè)橢圓焦點(diǎn)在x軸上，且焦距|F1F2|＝2，則|PF2|＝1，|PF1|＝eq\r(3)，由橢圓的定義可知，方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1中，2a＝1＋eq\r(3)，2c＝2，得a＝eq\f(1＋\r(3),2)，c＝1，所以離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,1＋\r(3))＝eq\r(3)－1.故選D.10．[2024·山東省濰坊市第一次模擬]已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的焦點(diǎn)到漸近線的距離為eq\r(3)，且離心率為2，則該雙曲線的實(shí)軸的長(zhǎng)為()A．1B.eq\r(3)C．2D．2eq\r(3)答案：C解析：由題意知雙曲線的焦點(diǎn)(c,0)到漸近線bx－ay＝0的距離為eq\f(bc,\r(a2＋b2))＝b＝eq\r(3)，即c2－a2＝3，又e＝eq\f(c,a)＝2，所以a＝1，該雙曲線的實(shí)軸的長(zhǎng)為2a＝2.11．[2024·北京朝陽(yáng)區(qū)期末]已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,16)＝1(a>0)的一條漸近線方程為4x＋3y＝0，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且|PF1|＝7，則|PF2|＝()A．1B．13C．17D．1或13答案：B解析：由題意，雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,16)＝1(a>0)的一條漸近線方程為4x＋3y＝0，可得eq\f(4,a)＝eq\f(4,3)，解得a＝3，所以c＝eq\r(a2＋b2)＝5.又由F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且|PF1|＝7，可得點(diǎn)P在雙曲線的左支上，所以|PF2|－|PF1|＝6，可得|PF2|＝13，故選B.12．[2024·華中師大一附中模擬]若雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上存在一點(diǎn)P滿意以|OP|為邊長(zhǎng)的正方形的面積等于2ab(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線的離心率的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(5),2)))B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(7),2)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)，＋∞))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(7),2)，＋∞))答案：C解析：由條件，得|OP|2＝2ab.又P為雙曲線上一點(diǎn)，∴|OP|≥a，∴2ab≥a2，∴2b≥a.∵c2＝a2＋b2≥a2＋eq\f(a2,4)＝eq\f(5,4)a2，∴e＝eq\f(c,a)≥eq\f(\r(5),2)，故選C.二、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)13．[2024·江西五市八校聯(lián)考]橢圓C：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F2的直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，則△F1AB的周長(zhǎng)為_(kāi)_______．答案：20解析：△F1AB的周長(zhǎng)為|F1A|＋|F1B|＋|AB|＝|F1A|＋|F2A|＋|F1B|＋|F2B|＝2a＋在橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1中，a2＝25，a＝5，∴△F1AB的周長(zhǎng)為4a＝20.14．[2024·江蘇揚(yáng)州期末]已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為x－2y＝0，則該雙曲線的離心率為_(kāi)_______．答案：eq\f(\r(5),2)解析：雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，所以eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2＋b2),a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2