第21課時　直角三角形與勾股定理 課件 2025年中考數(shù)學一輪總復習

第一部分考點梳理第四章圖形的性質(zhì)第21課時直角三角形與勾股定理知識點1直角三角形的性質(zhì)與判定性質(zhì)判定直

角

三

角

形（1）兩銳角

?

?；（2）斜邊上的中線等于

?

?；（3）30°角所對直角邊等于

?

?；（1）有一個角是直角的三角形是直角三角形；（2）勾股定理的逆定理：

如果三角形的三邊長a，b，c滿足：

?

?，那么這個三角形是直角三

角形；

互余

斜邊的一

半

斜邊

的一半

a2＋b2＝c2

性質(zhì)判定直

角

三

角

形（4）勾股定理：

直角三角形兩直角

邊的平方和等于

?，即a2＋b2＝c2（c為斜邊）；（5）直角頂點在

以斜邊為直徑的圓

上（3）如果三角形的一邊中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形斜邊的平方

知識點2勾股定理內(nèi)容用途勾

股定

理如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，

斜邊長為c，那么

?

?（1）勾股定理是求線段長的重要工具；（2）利用勾股定理可建立三邊關系的方程；（3）勾股定理可用于證明平方關系a2＋

b2＝c2

內(nèi)容用途勾

股定

理的

逆定

理如果三角形

的三邊長

a，b，c滿

足

?

?，那么

這個三角形

是直角三角

形（1）判斷某三角形是

否為直角三角形；（2）證明兩條線段垂

直；（3）解決生活實際中

的問題，比如最短路徑

問題a2＋b2＝

c2

內(nèi)容用途勾

股數(shù)能構成直角三角形的

三條邊長的三個正整

數(shù)，稱為勾股數(shù)－

2.

求幾何體表面上兩點之間的最短距離

時，一般先把立體圖形展開成平面圖形

后再用勾股定理求解，這體現(xiàn)了數(shù)學的

轉(zhuǎn)化思想.3.

關于直角三角形的兩個重要定理：（1）含30°角的直角三角形中，30°角

所對的直角邊等于斜邊的一半，其性質(zhì)

體現(xiàn)直角三角形與等邊三角形之間的聯(lián)

系，即等邊三角形是由兩個相同的含

30°角的直角三角形拼接而成的；（2）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊

的一半，還可以得到有公共斜邊的多個

直角三角形，斜邊上中點到直角三角形

各頂點的距離相等.直角三角形斜邊上的

中線把直角三角形分成兩個等腰三角形.考點一

勾股定理及其逆定理例1

（1）在如圖1所示的2×4的正方

形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，

△ABC的頂點都在小正方形的格點上，

這樣的三角形稱為格點三角形，則點A

到BC的距離等于（

C

）CA.

B.

2

C.

D.

圖1

（2）（2024·浙江）如圖2，正方形

ABCD由四個全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和中間一個小正方形EFGH組成，連接DE.

若AE＝4，BE＝3，則DE＝（

C

）A.

5B.

2

C.

D.

4C圖2（3）（2024·牡丹江）小明同學手中有一張矩形紙片ABCD，AD＝12cm，CD＝10cm，他進行了如下操作：第一步，如圖3，將矩形紙片對折，使AD與BC重合，得到折痕MN，將紙片展平.第二步，如圖4，再一次折疊紙片，把△ADN沿AN折疊得到△AD'N，AD'交折痕MN于點E，則線段EN的長為（

B

）BA.

8cmB.

cmC.

cmD.

cm圖3

圖4考點二

直角三角形相關性質(zhì)例2

（1）由下列條件不能判定△ABC

為直角三角形的是（

B

）A.

∠A－∠B＝∠CB.

a＝

，b＝

，c＝

C.

（b＋a）（b－a）＝c2D.

∠A∶∠B∶∠C＝5∶3∶2B（2）（2024·青海）如圖1，在Rt△ABC

中，D是AC的中點，∠BDC＝60°，

AC＝6，則BC的長是（

A

）A.

3B.

6C.

D.

3

圖1

A（3）（2024·安徽）如圖2，在Rt△ABC

中，AC＝BC＝2，點D在AB的延長線

上，且CD＝AB，則BD的長是（

B

）A.

－

B.

－

C.

2

－2D.

2

－

圖2B例3在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，

BA＝BC，D為邊AC上一動點.（1）如圖1，若DC＝6，∠ABD＝15°，求BD的長；圖1

（答案圖1）（2）如圖2，以BD為直角邊作

Rt△BDE，使得BD＝BE，連接AE，

點F為AE中點.請猜想BF，AD，DE之

間的數(shù)量關系，并說明理由.

圖2[答案]

解：（2）猜想：4BF2＋AD2＝DE2.理由如下：如答案圖2，連接CE并延長交AB的延長線于點T.

∵∠ABC＝∠DBE＝∠CBT＝90°，∴∠ABD＝∠CBE，∠EBT＝∠DBC.

∵BA＝BC，BD＝BE，∴△ABD≌△CBE（SAS），（答案圖2）∴AD＝CE，∠BAD＝∠BCE＝45°，∠ADB＝∠CEB，∴∠BDC＝∠BET，∴△DBC≌△EBT（ASA），∴CD＝ET，BC＝BT，∴AB＝BT.

又∵點F為AE中點，∴ET＝2BF，∴CD＝2BF.

∵∠ACB＝45°，

∴∠DCE＝90°，∴DE2＝CD2＋CE2，∴4BF2＋AD2＝DE2.（答案圖2）考點三

勾股定理與最值問題例4

（1）（2024·內(nèi)江）如圖1，在

△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，E

是BC邊上一點，且BE＝2，點I是

△ABC的內(nèi)心，BI的延長線交AC于點

D，P是BD上一動點，連接PE，PC，

則PE＋PC的最小值為

?；

圖1（2）如圖2為一個圓柱形容器，其高為

1.2m，底面周長為1m，在容器內(nèi)壁離容

器底部0.3m的點B處有一只蚊子.此時，

一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿

0.3m與蚊子相對的點A處，則壁虎捕捉

蚊子的最短路程為

m（容器厚度

忽略不計）.1.3

圖21.

如圖，在直線l上方有正方形①，②，

③.若正方形①，③的面積分別為4和

16，則正方形②的面積為（

B

）A.

24B.

20C.

12D.

22（第1題）B2.

（2024·巴中）“今有方池一丈，葭生

其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸

齊.問：水深幾何？”這是我國數(shù)學史上

的“葭生池中”問題.即AC＝5，DC＝1，

BD＝BA，則BC＝（

C

）A.

8 B.

10 C.

12 D.

13C（第2題）3.

（2024·巴蜀）如圖，圓柱體的底面周

長為6cm，AB是底面圓的直徑，在圓柱

表面的高BC上有一點D，BD＝2CD，

BC＝6cm，一只螞蟻從A點出發(fā)，沿圓

柱的表面爬行到點D的最短路程

是

?cm.（第3題）5

4.

（2024·大慶）如圖①，直角三角形的兩個銳角分別是40°和50°，其三邊上分別有一個正方形.執(zhí)行下面的操作：由兩個小正方形向外分別作銳角為40°和50°的直角三角形，再分別以所