2025年九年級中考數(shù)學二次函數(shù)壓軸題專題練習08矩形存在性問題含答案

/專題08矩形存在性問題（2024?濟寧二模）1．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于，兩點，與y軸交于點C，且．

(1)試求拋物線的解析式；(2)直線與y軸交于點D，與拋物線在第一象限交于點P，與直線交于點M，記，試求m的最大值及此時點P的坐標；(3)在（2）的條件下，m取最大值時，是否存在x軸上的點Q及坐標平面內(nèi)的點N，使得P，D，Q，N四點組成的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的Q點和N點的坐標；若不存在，請說明理由．2．如圖，已知二次函數(shù)的頂點為，點、的坐標分別是，，以為對角線作．(1)點在某個函數(shù)的圖象上運動，求這個函數(shù)的表達式；(2)若點也在二次函數(shù)的圖象上，求的值；(3)是否存在矩形，使頂點、都在二次函數(shù)的圖象上？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．（2023?東源縣三模）3．如圖，二次函數(shù)與x軸交于、兩點，且與y軸交于點C．

(1)求拋物線的解析式．(2)點P是直線上方拋物線上一動點，過點P作于點M，交x軸于點N，過點P作軸交BC于點Q，求的最大值及此時P點坐標．(3)將拋物線沿射線平移個單位，平移后得到新拋物線．D是新拋物線對稱軸上一動點，在平面內(nèi)確定一點E，使得以B、C、D、E四點為頂點的四邊形是矩形．直接寫出點E的坐標．（2023?羅定市三模）4．如圖1，拋物線過兩點，動點M從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿方向運動，設(shè)運動的時間為t秒．

(1)求拋物線的表達式；(2)如圖1，過點M作軸于點D，交拋物線于點E，當時，求四邊形的面積；(3)如圖2，動點N同時從點O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿方向運動，將繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)得到．①當點N運動到多少秒時，四邊形是菱形；②當四邊形是矩形時，將矩形沿x軸方向平移使得點F落在拋物線上時，直接寫出此時點F的坐標．（2023秋?鐵東區(qū)校級月考）5．如圖，已知二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象相交于，B兩點．(1)求a，k的值及點B的坐標；(2)在拋物線上求點P，使△PAB的面積是△AOB面積的一半；（寫出詳細解題過程）(3)點M在拋物線上，點N在坐標平面內(nèi)，是否存在以A，B，M，N為頂點的四邊形是矩形，若存在直接寫出M的坐標，若不存在說明理由．（2023?歙縣校級模擬）6．如圖，若二次函數(shù)的圖象與x軸交于點、，與軸交于點，連接．(1)求該二次函數(shù)的解析式；(2)若點Q是拋物線上一動點，在平面內(nèi)是否存在點K，使以點B、C、Q、K為頂點，BC為邊的四邊形是矩形？若存在請求出點K的坐標；若不存在，請說明理由．（2024?淮陰區(qū)校級模擬）7．如圖1，二次函數(shù)與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．點B坐標為，點C坐標為0,3，點P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，過點P作軸，垂足為D，交直線于點E，設(shè)點P的橫坐標為m．(1)求該二次函數(shù)的表達式；(2)如圖2，過點P作，垂足為F，當m為何值時，最大？最大值是多少？(3)如圖3，連接，當四邊形是矩形時，在拋物線的對稱軸上存在點Q，使原點O關(guān)于直線的對稱點恰好落在該矩形對角線所在的直線上，請直接寫出滿足條件的點Q的坐標．（2024?張店區(qū)二模）8．如圖1，拋物線與x軸交于點，與y軸交于點C，連接，．(1)求該拋物線及直線的函數(shù)表達式；(2)如圖2，在上方的拋物線上有一動點P（不與B，C重合），過點P作，交于點D，過點P作軸，交于點E．在點P運動的過程中，請求出周長的最大值及此時點P的坐標；(3)如圖3，若點P是該拋物線上一動點，問在點P運動的過程中，坐標平面內(nèi)是否存在點Q使以B，C，P，Q為頂點為對角線的四邊形是矩形，若存在，請求出此時點Q的坐標；若不存在，請說明理由．（2024?婁底二模）9．如圖，拋物線交軸于，兩點，交軸于點，點是拋物線上一個動點．

(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；(2)當點的坐標為時，求四邊形的面積；(3)當動點在直線上方時，在平面直角坐標系內(nèi)是否存在點，使得以，，，為頂點的四邊形是矩形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．（2024?榆次區(qū)三模）10．綜合與探究如圖，拋物線與軸交于兩點（點在點的左側(cè)），與軸交于點，作直線是直線下方拋物線上一動點．

(1)求兩點的坐標，并直接寫出直線的函數(shù)表達式．(2)過點作軸，交直線于點，交直線于點．當為線段的中點時，求此時點的坐標．(3)在（2）的條件下，若是直線上一動點，試判斷在平面內(nèi)是否存在點，使以為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．參考答案：1．(1)(2)當時，m取得最大值，此時點P的坐標為(3)存在，或【分析】（1）先求出點，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式即可；（2）過點P作軸交直線于E，連接，先求出直線的解析式為，設(shè)，則，，由得出，因此，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出m最大值及此時點P的坐標；（3）分兩類進行討論：①當是矩形的邊時，有兩種情形，當四邊形為矩形時，如圖2，連接，過點作軸于M，證明，，求出，，，從而得出滿足條件的Q點和N點的坐標；當四邊形是矩形時，如圖2，過點作軸交的延長線于，過點作軸于T，證明，，求出，，，從而得出滿足條件的Q點和N點的坐標；②當是對角線時，設(shè)，由Q是直角頂點，根據(jù)勾股定理得出方程，此方程無解，此種情形不存在．【詳解】（1）∵，∴，∵，∴，∴，∵拋物線經(jīng)過點，，，∴，解得：，∴該拋物線的解析式為；（2）如圖1，過點P作軸交直線于E，連接，

設(shè)直線的解析式為，∵，，∴，解得：，∴直線的解析式為，設(shè)，則，∴，∵直線與y軸交于點D，∴，∴，∵軸，即，∴，∴，∵，

∴，∵，∴當時，m取得最大值，此時點P的坐標為；（3）存在這樣的點Q、N，使得以P、D、Q、N四點組成的四邊形是矩形．由（2）知：，①當是矩形的邊時，有兩種情形，

當四邊形為矩形時，如圖2，連接，過點作軸于M，則，∴，∵四邊形為矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即，

∴，∴，∴；當四邊形是矩形時，如圖2，過點作軸交的延長線于，過點作軸于T，∵四邊形是矩形，∴，，∴，∵，∴，

∴，∴，∴，即，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴；②當是對角線時，設(shè)，則，，，∵Q是直角頂點，∴，∴，

整理得，此方程無解，此種情形不存在；綜上所述，或．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，待定系數(shù)法，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識，綜合性較強，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)題意正確作出圖形，進行分類討論是解題的關(guān)鍵．2．(1)(2)(3)存在，或【分析】（1）把二次函數(shù)的解析式化成頂點式，得出頂點的坐標，再根據(jù)坐標特點寫出函數(shù)解析式即可；（2）由平移的性質(zhì)，用表示點的坐標，再將點坐標代入二次函數(shù)的解析式，得到的方程，解方程即可；（3）根據(jù)平行四邊形是矩形，得，由勾股定理列出方程求出的值，再根據(jù)頂點、都在二次函數(shù)的圖象上，求得、的關(guān)系，進而求解．【詳解】（1）∵，∴，∵，∴點在函數(shù)上，∴所求函數(shù)的表達式為；（2）∵四邊形是平行四邊形，∴AB∥DC，，∴將AB沿方向平移可得，∵，，，∴，把代入中，得，化簡為：，解得：；（3）∵平行四邊形是矩形，∴，∴，∴，化簡得，，解得：或，∵點在二次函數(shù)的圖象上，∴，∴，當時，，此時，當時，，此時．故存在矩形，使頂點、都在二次函數(shù)的圖象上，的值為或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)與判定、勾股定理，熟練掌握上述性質(zhì)及其應用是解題的關(guān)鍵．3．(1)；(2)，；(3)，，，．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）延長交x軸于H點，則軸，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到，即，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（3）求得平移后的拋物線解析式，再分情況討論求解即可．【詳解】（1）解：由題意得解得該拋物線的解析式為；（2）由可得，延長交x軸于H點，則軸，

∵∴又∵∴設(shè)直線：∵，，則∴直線，，∴∵∴∴設(shè)，，∵，開口向下，對稱軸為直線，且∴當時，有最大值，此時（3）由題意可得：拋物線沿射線平移個單位，即拋物線向右平移了4個單位，向下平移了2個單位，此時拋物線為：則拋物線的對稱軸為設(shè)，當以、為對角線時，由矩形的性質(zhì)可得：，解得或即，；當以、為對角線時，由矩形的性質(zhì)可得：，解得即當以、為對角線時，由矩形的性質(zhì)可得：，解得，綜上，，，，．【點睛】此題為二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的平移，二次函數(shù)與矩形的綜合，二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)知識，能夠靈活運用，學會分類討論的方法求解問題．4．(1)(2)(3)①當點N運動到秒時，四邊形NBFG是菱形；②點F的坐標為或．【分析】（1）利用待定系數(shù)法將B、C兩點坐標代入拋物線求解即可；（2）當時求得長度，并且利用平行線分線段成比例求得E點橫坐標，代入拋物線解析式即可求得E點縱坐標，再根據(jù)求解即可；（3）①根據(jù)題意可求出，．再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易證四邊形是平行四邊形，則四邊形是菱形，只需即可，又可求出，，則，解出t的值即可；②當四邊形是矩形時，只需．由，得出，利用平行線分線段成比例，求得；將矩形沿x軸方向平移時，點F落在拋物線的圖象上，即，再代入解析式即可求得點F的坐標．【詳解】（1）解：∵拋物線的圖象過兩點，∴，解得：，∴拋物線的表達式為；（2）解：如圖：

∵，∴，，∴．當時，．∵，∴，∴，即，∴，∴．在中，令，得：，∴；∴；（3）解：①如圖：

根據(jù)題意得：，．∵將繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，∴四邊形是平行四邊形，若四邊形是菱形，只需，即，此時．在中，，∴，解得：，答：當點N運動到秒時，四邊形是菱形；②如圖：

由①得四邊形是平行四邊形．當四邊形NBFG是矩形時，只需．∴，∴，∴，即，解得：．∴當點N運動1秒時，四邊形是矩形．∴，∴．將矩形沿x軸方向平移時，點F落在拋物線的圖象上，即．當時，即，解得：，，∴點F的坐標為或．【點睛】本題為二次函數(shù)綜合題，考查求函數(shù)解析式，勾股定理，平行線分線段成比例，特殊四邊形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，屬于中考壓軸題．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．5．(1)，，B的坐標為(2)，，，(3)，，【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得a，k的值，解析式聯(lián)立，解方程組即可求得B的坐標；（2）設(shè)直線與y軸的交點為G，則，利用求得的面積．過點P作交直線于點C，設(shè)，分兩種情況列方程求解即可；（3）分為矩形的邊和為矩形的對角線利用勾股定理列方程求解．【詳解】（1）解：∵過點，∴，解得a=?1，∵一次函數(shù)的圖象相過點，∴，解得；解得或，∴B的坐標為；（2）解：設(shè)直線與y軸的交點為G，則，∴．過點P作交直線于點C，設(shè)，則，當點C在點P的右側(cè)時，，∴，解得，，，，當點C在點P的左側(cè)時，，∴，解得，，，，綜上可知，，，，．（3）解：設(shè)，則，，．當為矩形的邊的邊時，由題意得，整理得，解得，（與A重合，舍去）∴．當為矩形的對角線時，由題意得整理得，解得，，（與B重合，舍去），（與A重合，舍去）∴，，綜上可知：，，．【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系．6．(1)(2)存在，點的坐標為或【分析】（1）將、代入，聯(lián)立方程組，求出a、的值，即可得出該二次函數(shù)的解析式；（2）設(shè)，當時，過點作軸交點，過作軸交點，證明，得到，則，所以；當時，設(shè)與x軸的交點為，與軸的交點為，過點作軸交點，過作軸交點，證明，則有，求得，則，可求，綜合即可得出K點的坐標．【詳解】（1）解：把、代入，可得：，解得：，∴該二次函數(shù)的表達式為．（2）解：存在，理由如下：設(shè)，當時，如圖1，∵矩形是以為邊，∴，，，過點作軸交點，過作軸交點，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴或（舍去），∴，∴；當時，如圖2，∵矩形是以為邊，∴，，，設(shè)與x軸的交點為，與軸的交點為，過點作軸交點，過作軸交點，∵，∴，，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，∴或（舍去），∴，∴；綜上所述，K點的坐標為或．【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應用，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，靈活應用矩形和等腰直角三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．7．(1)(2)當m為3時，最大，最大值是(3)點Q的坐標為或或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，根據(jù)題意設(shè)，則，從而可求出的長，根據(jù)勾股定理可求出．易證，得出，代入數(shù)據(jù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（3）設(shè)，拋物線的對稱軸交x軸于點H，交于點G，則，，．分類討論：①當點恰好落在該矩形對角線所在的直線上時，②當點恰好落在該矩形對角線上時和③當點恰好落在該矩形對角線的延長線上時，分別畫出圖形，利用軸對稱的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理分析求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點B坐標為，點C坐標為0,3，∴，解得：，∴該二次函數(shù)的表達式為：；（2）解：設(shè)的解析式為，∴，解得：，∴直線的解析式為：．∵點P的橫坐標為m，∴，則，∴．∵，軸，∴．∵，∴．∵，∴，∴．在中，，，∴，∴，∴當m為3時，最大，最大值是；（3）解：∵拋物線解析式為，∴拋物線的對稱軸為直線．∵點Q在拋物線的對稱軸上，故可設(shè)．設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于點H，交于點G，則，，．分類討論：①當點恰好落在該矩形對角線所在的直線上時，如圖，則垂直平分，即，∴．又∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，∴，即，解得：，∴；②當點恰好落在該矩形對角線上時，如圖，連接交于點K，∵點O與點關(guān)于直線對稱，∴垂直平分，∴．∵，∴，∴，∴．∵C，P關(guān)于對稱軸對稱，即點G是的中點，又∵，∴點K是的中點，∴，即，∴，∴，∵，，∴，∴，解得，∴；③當點恰好落在該矩形對角線的延長線上時，如圖，過點作軸于點K，連接交直線于點M，∵點O與點關(guān)于直線對稱，∴垂直平分，∴，．∵，∴，∴，即，∴，，∴，∴．∵點M是的中點，∴，由，得直線的解析式為，當時，，∴．綜上所述，點Q的坐標為或或．【點睛】本題為二次函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、坐標與圖形、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、對稱性質(zhì)、銳角三角函數(shù)以及勾股定理等知識，解答的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用，運用數(shù)形結(jié)合和分類討論思想求解是解答的關(guān)鍵．8．(1)，(2)的周長最大值：，P的坐標為；(3)點Q的坐標為或【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，直角三角形勾股定理，分類討論是解題的關(guān)鍵．（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（2）證明，得求出直線的解析式，設(shè)點P的坐標，則點E的坐標，得；當時，取得最大值，即，當時，的周長取得最大值；（3）設(shè)點P的坐標，設(shè)點Q的坐標，分所求情況討論：當點P在y軸右邊的拋物線上時，當時，，則，列方程求解m；當點P在y軸左邊的拋物線上時，同理求解．【詳解】（1）解：（1）將點，代入，得，，解，得，所以，該拋物線的函數(shù)表達式為，設(shè)直線的函數(shù)表達式為，將點，代入，得，解，得，所以，直線的函數(shù)表達式為；（2）如圖，過點A作軸，交于點F，因為，軸，所以，，所以，，因為，，所以，，所以，，在和中，，所以，所以，，由直線和點，得點F坐標為，所以，，，，所以，的周長，所以，的周長．的周長，設(shè)點P的坐標，則點E的坐標，所以，所以，當時，取得最大值，即，當時，的周長取得最大值：此時點P的坐標為；（3）設(shè)點P的坐標，設(shè)點Q的坐標①當點P在y軸右邊的拋物線上時，存在即可存在點Q使以B，C，P，Q為頂點為對角線的四邊形是矩形，過點P作軸，交y軸于點M，過點B且平行于y軸的直線于點N，如圖（1），所以，，，，，因為，當時，，所以，，即，，解，得，（舍）所以，點P的坐標為，由題意，易得線段的中點坐標為，因為，點Q與點P關(guān)于線段的中點成中心對稱，所以，所以，點Q的坐標為；②當點P在y軸左邊的拋物線上時，存在即可存在點Q使以B，C，P，為頂點為對角線的四邊形是矩形，過點P作軸，交x軸于點N，交過點C且平行于x軸的直線于點M，如圖（2），同①得，，即，，解，得，所以，點P的坐標為，同理，因為點Q與點P關(guān)于線段的中點成中心對稱，所以，，所以，點Q的坐標為綜上所述，點Q的坐標為或．9．(1)(2)(3)存在，點的坐標為或【分析】（1）把，代入中求解，得出拋物線的函數(shù)表達式即可；（2）連接、、、，過點作于點，利用點的坐標得出出線段、、、、的長度，再根據(jù)，進行計算即可；（3）當為矩形的邊時，四邊形為矩形，交軸于點，交軸于點，連接，過點作軸于點，過點作軸于點，利用等腰直角三角形的判定與性質(zhì)及矩形的判定與性質(zhì)得到，利用待定系數(shù)法求得直線的解析式與拋物線的解析式聯(lián)立方程組求得點的坐標，則，進而得到、的長度，即可得出點的坐標；當為對角線時，四邊形為矩形，過點作軸于點，軸于點，證明，得出，設(shè)，，表示出，，，，，得出方程，整理、分解因式得，則或，求解并取舍，求出、，即可得出點的坐標．【詳解】（1）解：把，代入得：，解得：，∴該拋物線的函數(shù)表達式為；（2）解：如圖，連接、、、，過點作于點，

∵點的坐標為，∴，，∵時，，∴C0,?3∴，∵，，∴，，∴；（3）解：存在，如圖，當為邊時，四邊形為矩形，交軸于點，交軸于點，連接，過點作軸于點，過點作軸于點，

∵，∴，∵四邊