2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1章 三角函數(shù) 1.4 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 1.4.1 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象（教師用書(shū)）教學(xué)實(shí)錄 新人教A版必修4

2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章三角函數(shù)1.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.4.1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象（教師用書(shū)）教學(xué)實(shí)錄新人教A版必修4科目授課時(shí)間節(jié)次--年—月—日（星期——）第—節(jié)指導(dǎo)教師授課班級(jí)、授課課時(shí)授課題目（包括教材及章節(jié)名稱）2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章三角函數(shù)1.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.4.1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象（教師用書(shū)）教學(xué)實(shí)錄新人教A版必修4設(shè)計(jì)意圖本節(jié)課旨在通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生觀察正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象，讓學(xué)生掌握函數(shù)圖象的基本特征，理解函數(shù)的周期性、奇偶性、單調(diào)性等性質(zhì)，為后續(xù)學(xué)習(xí)三角函數(shù)的應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。教學(xué)過(guò)程中，注重培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析、歸納能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。核心素養(yǎng)目標(biāo)1.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，通過(guò)分析正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象，抽象出函數(shù)的一般性質(zhì)。

2.增強(qiáng)學(xué)生的邏輯推理能力，通過(guò)觀察和比較，推導(dǎo)出函數(shù)的周期性、奇偶性等性質(zhì)。

3.提升學(xué)生的直觀想象能力，通過(guò)圖象直觀理解函數(shù)的變化規(guī)律。

4.強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，并用函數(shù)圖象進(jìn)行分析。重點(diǎn)難點(diǎn)及解決辦法重點(diǎn)：

1.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的繪制方法及特征。

2.函數(shù)周期性、奇偶性、單調(diào)性的識(shí)別與理解。

難點(diǎn)：

1.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的對(duì)稱性、周期性在圖象上的體現(xiàn)。

2.從圖象直觀理解函數(shù)性質(zhì)與函數(shù)解析式之間的關(guān)系。

解決辦法：

1.通過(guò)實(shí)際操作，引導(dǎo)學(xué)生繪制正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象，并總結(jié)出繪制方法。

2.利用實(shí)例分析，幫助學(xué)生理解周期性、奇偶性、單調(diào)性在圖象上的表現(xiàn)。

3.通過(guò)對(duì)比解析式與圖象，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)函數(shù)性質(zhì)與圖象特征之間的聯(lián)系。

4.設(shè)計(jì)分層練習(xí)，逐步突破難點(diǎn)，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。教學(xué)資源1.軟硬件資源：多媒體教學(xué)設(shè)備（投影儀、電腦）、白板、粉筆、三角尺。

2.課程平臺(tái)：學(xué)校內(nèi)部教學(xué)平臺(tái)，用于發(fā)布教學(xué)資料和作業(yè)。

3.信息化資源：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的動(dòng)態(tài)演示軟件，如幾何畫(huà)板、Mathematica等。

4.教學(xué)手段：實(shí)物教具（如圓形旋轉(zhuǎn)模型），用于直觀展示函數(shù)圖象的形成過(guò)程。教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)1.導(dǎo)入新課（5分鐘）

目標(biāo)：引起學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的興趣，激發(fā)其探索欲望。

過(guò)程：

開(kāi)場(chǎng)提問(wèn)：“你們?cè)谌粘Ｉ钪杏袥](méi)有遇到過(guò)需要測(cè)量角度或距離的情況？”

展示一些關(guān)于測(cè)量角度和距離的圖片或視頻片段，如建筑工人使用測(cè)量工具、運(yùn)動(dòng)員比賽中的計(jì)時(shí)等。

簡(jiǎn)短介紹三角函數(shù)的基本概念和重要性，為接下來(lái)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

2.三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)講解（10分鐘）

目標(biāo)：讓學(xué)生了解三角函數(shù)的基本概念、組成部分和原理。

過(guò)程：

講解三角函數(shù)的定義，包括正弦、余弦、正切等基本三角函數(shù)。

詳細(xì)介紹三角函數(shù)的組成部分或結(jié)構(gòu)，使用圖表或示意圖幫助學(xué)生理解。

3.三角函數(shù)案例分析（20分鐘）

目標(biāo)：通過(guò)具體案例，讓學(xué)生深入了解三角函數(shù)的特性和重要性。

過(guò)程：

選擇幾個(gè)典型的三角函數(shù)應(yīng)用案例進(jìn)行分析，如建筑設(shè)計(jì)中的三角函數(shù)計(jì)算、物理中的振動(dòng)問(wèn)題等。

詳細(xì)介紹每個(gè)案例的背景、特點(diǎn)和意義，讓學(xué)生全面了解三角函數(shù)的多樣性或復(fù)雜性。

引導(dǎo)學(xué)生思考這些案例對(duì)實(shí)際生活或?qū)W習(xí)的影響，以及如何應(yīng)用三角函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題。

4.學(xué)生小組討論（10分鐘）

目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的合作能力和解決問(wèn)題的能力。

過(guò)程：

將學(xué)生分成若干小組，每組選擇一個(gè)與三角函數(shù)相關(guān)的主題進(jìn)行深入討論，如“三角函數(shù)在物理學(xué)中的應(yīng)用”或“三角函數(shù)在工程設(shè)計(jì)中的角色”。

小組內(nèi)討論該主題的現(xiàn)狀、挑戰(zhàn)以及可能的解決方案。

每組選出一名代表，準(zhǔn)備向全班展示討論成果。

5.課堂展示與點(diǎn)評(píng)（15分鐘）

目標(biāo)：鍛煉學(xué)生的表達(dá)能力，同時(shí)加深全班對(duì)三角函數(shù)的認(rèn)識(shí)和理解。

過(guò)程：

各組代表依次上臺(tái)展示討論成果，包括主題的現(xiàn)狀、挑戰(zhàn)及解決方案。

其他學(xué)生和教師對(duì)展示內(nèi)容進(jìn)行提問(wèn)和點(diǎn)評(píng)，促進(jìn)互動(dòng)交流。

教師總結(jié)各組的亮點(diǎn)和不足，并提出進(jìn)一步的建議和改進(jìn)方向。

6.課堂小結(jié)（5分鐘）

目標(biāo)：回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)三角函數(shù)的重要性和意義。

過(guò)程：

簡(jiǎn)要回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，包括三角函數(shù)的基本概念、組成部分、案例分析等。

強(qiáng)調(diào)三角函數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活或?qū)W習(xí)中的價(jià)值和作用，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)一步探索和應(yīng)用三角函數(shù)。

7.課后作業(yè)布置（5分鐘）

目標(biāo)：鞏固學(xué)習(xí)效果，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考和解決問(wèn)題的能力。

過(guò)程：

布置課后作業(yè)：讓學(xué)生完成以下任務(wù)：

（1）繪制正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象，并標(biāo)注出關(guān)鍵點(diǎn)。

（2）選擇一個(gè)實(shí)際生活中的問(wèn)題，運(yùn)用三角函數(shù)進(jìn)行建模和分析。

（3）撰寫一篇簡(jiǎn)短的報(bào)告，總結(jié)本節(jié)課的學(xué)習(xí)收獲和心得體會(huì)。知識(shí)點(diǎn)梳理1.三角函數(shù)的定義：

-正弦函數(shù)：一個(gè)角度的余弦值。

-余弦函數(shù)：一個(gè)角度的正弦值。

-正切函數(shù)：一個(gè)角度的正弦值除以余弦值。

2.三角函數(shù)的周期性：

-正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的周期為2π。

-正切函數(shù)的周期為π。

3.三角函數(shù)的奇偶性：

-正弦函數(shù)和余弦函數(shù)是偶函數(shù)。

-正切函數(shù)是奇函數(shù)。

4.三角函數(shù)的圖象：

-正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象是連續(xù)的波形。

-正切函數(shù)的圖象有垂直漸近線。

5.三角函數(shù)的性質(zhì)：

-正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在[0,π]區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在[π,2π]區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。

-正切函數(shù)在(0,π/2)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在(π/2,π)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。

-正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在π的整數(shù)倍處取得零值。

-正切函數(shù)在π的整數(shù)倍處取得無(wú)窮大值。

6.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式：

-正弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式：sin(π-α)=sinα，sin(π+α)=-sinα。

-余弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式：cos(π-α)=-cosα，cos(π+α)=-cosα。

-正切函數(shù)的誘導(dǎo)公式：tan(π-α)=-tanα，tan(π+α)=tanα。

7.三角函數(shù)的倍角公式：

-正弦函數(shù)的倍角公式：sin2α=2sinαcosα。

-余弦函數(shù)的倍角公式：cos2α=cos2α-sin2α。

-正切函數(shù)的倍角公式：tan2α=(2tanα)/(1-tan2α)。

8.三角函數(shù)的和差公式：

-正弦函數(shù)的和差公式：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ。

-余弦函數(shù)的和差公式：cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ。

-正切函數(shù)的和差公式：tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)。

9.三角函數(shù)的應(yīng)用：

-在幾何學(xué)中，用于計(jì)算角度、邊長(zhǎng)和面積。

-在物理學(xué)中，用于描述振動(dòng)、波動(dòng)和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。

-在工程學(xué)中，用于設(shè)計(jì)和分析結(jié)構(gòu)、電路和系統(tǒng)。

10.三角函數(shù)的極限：

-當(dāng)α趨向于0時(shí)，sinα/α趨向于1。

-當(dāng)α趨向于π/2時(shí)，cosα趨向于0。

-當(dāng)α趨向于π時(shí)，tanα趨向于無(wú)窮大。典型例題講解例題1：求函數(shù)f(x)=sin(x)在區(qū)間[0,2π]上的最大值和最小值。

解答：由于正弦函數(shù)的周期為2π，且在[0,π]區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在[π,2π]區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，因此最大值出現(xiàn)在x=π/2處，最小值出現(xiàn)在x=3π/2處。計(jì)算得：

f(π/2)=sin(π/2)=1

f(3π/2)=sin(3π/2)=-1

所以，函數(shù)f(x)=sin(x)在區(qū)間[0,2π]上的最大值為1，最小值為-1。

例題2：已知點(diǎn)P(3,4)在單位圓上，求∠POA的正切值，其中O為原點(diǎn)，A為點(diǎn)P在x軸上的投影。

解答：由于點(diǎn)P(3,4)在單位圓上，所以O(shè)P的長(zhǎng)度為1。在直角三角形OAP中，OA的長(zhǎng)度為1，AP的長(zhǎng)度為3。因此，∠POA的正切值為：

tan(∠POA)=OP/AP=1/3

例題3：求函數(shù)g(x)=cos(2x)在區(qū)間[0,π]上的最大值和最小值。

解答：由于余弦函數(shù)的周期為2π，且在[0,π]區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，因此最大值出現(xiàn)在x=0處，最小值出現(xiàn)在x=π/2處。計(jì)算得：

g(0)=cos(2*0)=cos(0)=1

g(π/2)=cos(2*(π/2))=cos(π)=-1

所以，函數(shù)g(x)=cos(2x)在區(qū)間[0,π]上的最大值為1，最小值為-1。

例題4：已知tan(α)=2，求sin(α)和cos(α)的值。

解答：由于tan(α)=sin(α)/cos(α)，可以設(shè)sin(α)=2k，cos(α)=k，其中k是一個(gè)常數(shù)。由于sin2(α)+cos2(α)=1，可以得到：

(2k)2+k2=1

4k2+k2=1

5k2=1

k2=1/5

k=±√(1/5)

因此，sin(α)=2k=±2√(1/5)，cos(α)=k=±√(1/5)。

例題5：求方程sin(x)-cos(x)=1在區(qū)間[0,2π]上的解。

解答：將方程sin(x)-cos(x)=1轉(zhuǎn)換為sin(x)=1+cos(x)。利用恒等式sin2(x)+cos2(x)=1，可以得到：

sin2(x)=(1+cos(x))2

sin2(x)=1+2cos(x)+cos2(x)

sin2(x)-cos2(x)=2cos(x)

(sin(x)+cos(x))(sin(x)-cos(x))=2cos(x)

由于sin(x)+cos(x)≠0（否則sin(x)=-cos(x)，與原方程矛盾），可以除以sin(x)+cos(x)得到：

sin(x)-cos(x)=2/(sin(x)+cos(x))

設(shè)t=sin(x)+cos(x)，則sin(x)-cos(x)=2/t。由于sin2(x)+cos2(x)=1，可以得到：

t2=sin2(x)+2sin(x)cos(x)+cos2(x)

t2=1+2sin(x)cos(x)

t2=1+2(t/2)

t2=1+t

t2-t-1=0

解這個(gè)二次方程得到t的值，然后回代求解sin(x)和cos(x)的值。板書(shū)設(shè)計(jì)①三角函數(shù)定義

-正弦函數(shù)：y=sin(x)

-余弦函數(shù)：y=cos(x)

-正切函數(shù)：y=tan(x)

②三角函數(shù)性質(zhì)

-周期性：周期為2π

-奇偶性：正弦函數(shù)和余弦函數(shù)為偶函數(shù)，正切函數(shù)為奇函數(shù)

-單調(diào)性：正弦函數(shù)在[0,π]遞增，在[π,2π]遞減；余弦函數(shù)在[0,π]遞減，在[π,2π]遞增；正切函數(shù)在(0,π/2)遞增，在(π/2,π)遞減

③三角函數(shù)圖象

-正弦函數(shù)圖象：波形，在x=π/2時(shí)達(dá)到最大值，在x=3π/2時(shí)達(dá)到最小值

-余弦函數(shù)圖象：波形，在x=0時(shí)達(dá)到最大值，在x=π時(shí)達(dá)到最小值

-正切函數(shù)圖象：在x=π/2和x=3π/2處有垂直漸近線

④三角函數(shù)誘導(dǎo)公式

-sin(π-α)=sinα

-cos(π-α)=-cosα

-tan(π-α)=-tanα

⑤三角函數(shù)倍角公式

-sin(2α)=2sinαcosα

-cos(2α)=cos2α-sin2α

-tan(2α)=(2tanα)/(1-tan2α)

⑥三角函數(shù)和差公式

-sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

-cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

-tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)反思改進(jìn)措施反思改進(jìn)措施（一）教學(xué)特色創(chuàng)新

1.互動(dòng)式教學(xué)：在課堂上，我嘗試通過(guò)提問(wèn)、小組討論等方式，讓學(xué)生參與到課堂中來(lái)，提高他們的參與度和積極性。

2.案例教學(xué)：結(jié)合實(shí)際生活，引入具體的案例，讓學(xué)生在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用三角函數(shù)知識(shí)，增強(qiáng)他們的實(shí)踐能力。

反思改進(jìn)措施（二）存在主要問(wèn)題

1.教學(xué)組織：有時(shí)候課堂紀(jì)律管理不夠嚴(yán)格，導(dǎo)致部分學(xué)生注意力不集中，影響了整體教學(xué)效果。

2.教學(xué)方法：在講解三角函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，可能過(guò)于依賴?yán)碚撝v解，忽視了學(xué)生的直觀感受，導(dǎo)致學(xué)生理解不夠深入。

3.教學(xué)評(píng)價(jià)：評(píng)價(jià)方式較為單一，主要依靠期末考試，未能全面評(píng)估學(xué)生的學(xué)習(xí)成果。

反思改進(jìn)措施（三）改進(jìn)措施

1.課堂紀(jì)律管理：加強(qiáng)課堂紀(jì)律管理，通過(guò)制定明確的課堂規(guī)則，讓學(xué)生養(yǎng)成良